ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀO HUY CƯỜNG BÀI TOÁN RIEMANN CHO DỊNG LƯU CHẤT CHẢY TRONG ỐNG CĨ TIẾT DIỆN GIÁN ĐOẠN CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ : 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2012 Cơng trình hồn thành Trường Đại Học Bách Khoa, Đại Học Quốc Gia TPHCM Cán hướng dẫn khoa học : PGS.TS MAI ĐỨC THÀNH Cán chấm nhận xét : PGS TS Tô Anh Dũng Cán chấm nhận xét : TS Nguyễn Bá Thi Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TPHCM ngày 10 tháng 01 năm 2013 Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm : PGS TS Nguyễn Đình Huy (Chủ tịch Hội Đồng) TS Nguyễn Quốc Lân PGS TS Mai Đức Thành TS Nguyễn Bá Thi PGS TS Tô Anh Dũng Chủ tịch hội đồng Trưởng Khoa PGS.TS Nguyễn Đình Huy TS Huỳnh Quang Linh i CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP - TỰ DO - HẠNH PHÚC ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : ĐÀO HUY CƯỜNG Mã số học viên : 11240492 Sinh ngày : 15/08/1982 Nơi sinh : TPHCM Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số : 604636 I Tên đề tài : BÀI TOÁN RIEMANN CHO DỊNG LƯU CHẤT CHẢY TRONG ỐNG CĨ TIẾT DIỆN GIÁN ĐOẠN II Nhiệm vụ nội dung : • Tổng quan hệ hyperbolic luật bảo tồn • Các kết chủ yếu có mơ hình dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn • Thiết lập điều kiện đủ để tốn Riemann cho dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn có nghiệm III Ngày giao nhiệm vụ : 02/07/2012 IV Ngày hoàn thành nhiệm vụ : 30/11/2012 V Cán hướng dẫn : PGS.TS MAI ĐỨC THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 11 năm 2012 Cán hướng dẫn Chủ nhiệm môn quản lý chuyên ngành PGS.TS MAI ĐỨC THÀNH PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY ii Lời cảm ơn Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn tơi - PGS.TS Mai Đức Thành, người ln khuyến khích, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn Thầy Cô phản biện đọc cho ý kiến nhận xét để luận văn tơi chỉnh sửa hồn thiện Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Phịng Đào Tạo Sau Đại Học, Thầy Cơ Bộ mơn Tốn Ứng Dụng – Khoa Khoa Học Ứng Dụng – Trường Đại Học Bách Khoa – Đại Học Quốc Gia TPHCM Ban Giám Hiệu, Thầy Cơ đồng nghiệp tổ Tốn Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu TPHCM, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Cuối cùng, xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân gia đình ln khích lệ giúp đỡ tơi suốt trình học tập vừa qua Đào Huy Cường Dành tặng : Trúc Nhiên Hải Lam iii Tóm tắt Luận văn bao gồm ba chương Trong chương giới thiệu khái niệm hệ luật bảo tồn, tính hyperbolic, sóng sốc, sóng giãn, toán Riemann Trong chương giới thiệu kết chủ yếu có mơ hình dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn Trong chương thiết lập điều kiện đủ để toán Riemann cho mơ hình dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn có nghiệm Ta xác định lân cận đủ lớn chứa trạng thái bên trái (tương ứng : bên phải) cho trạng thái bên phải (tương ứng : bên trái) thuộc vào lân cận nghiệm Riemann tồn xây dựng Kết hữu ích cho người muốn áp dụng nghiệm Riemann vào lược đồ Godunov iv Abstract Thesis consists of three chapters In Chapter presents the concept of system of conservation laws, hyperbolicity, shock wave, rarefaction wave, Riemann problem In Chapter presents preliminaries about model of fluid in a nozzle with discontinuous cross-sectional area In Chapter establishes sufficient condition for the existence of Riemann solutions for the model of a fluid in a nozzle with discontinuous cross-section We can determine a large neighborhood of any given left-hand state (right-hand state, respectively) such that whenever the right-hand state (left-hand state, respectively) belongs to this neighborhood, a Riemann solution exists and can be constructed This result would be useful, for example, when one wants to incorporate the Riemann solutions into a Godunov-type scheme v Lời cam đoan Tôi xin chịu trách nhiệm tất tơi viết luận văn Tôi xin cam đoan khơng có tượng đạo văn, đạo ý tưởng xảy luận văn Đào Huy Cường vi Mở đầu Lý chọn đề tài Mơ hình dịng lưu chất ống dẫn với tiết diện ngang gián đoạn mơ hình đặc thù hệ hyperbolic định luật cân dạng phi bảo toàn Do tính chất phi bảo tồn, có nhiều vấn đề nảy sinh quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học giới Một vấn đề nghiên cứu thú vị cho hệ loại giải toán Riemann cho kiện đầu lớn Đó lí tơi chọn đề tài : "Bài tốn Riemann cho dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn" Mục đích nghiên cứu Thiết lập điều kiện đủ để toán Riemann cho dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn có nghiệm Nội dung nghiên cứu • Nội dung thứ : Tổng quan hệ hyperbolic luật bảo tồn • Nội dung thứ : Mơ hình dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn • Nội dung thứ : Thiết lập điều kiện đủ để tốn Riemann cho dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn có nghiệm Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu việc tạo thành sóng : sóng sốc, sóng giãn, sóng dừng • Nghiên cứu kết hợp sóng để tạo đường cong sóng kết hợp vii • Nghiên cứu giao đường cong sóng đường cong sóng kết hợp để xác định nghiệm toán Riemann Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Thiết lập lân cận đủ lớn chứa trạng thái bên trái (tương ứng : bên phải) cho trạng thái bên phải (tương ứng : bên trái) thuộc vào lân cận nghiệm Riemann tồn xây dựng nghiệm tốn Riemann Kết hữu ích cho người muốn áp dụng nghiệm Riemann vào lược đồ Godunov Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày với cấu trúc gồm ba chương : • Chương : Trình bày kiến thức tổng quan gồm khái niệm tính hyperbolic, nghiệm yếu hệ luật bảo tồn, tốn Riemann, sóng sốc, sóng giãn, bất đẳng thức sốc Lax • Chương : Trình bày kiến thức chủ yếu có mơ hình dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn • Chương : Trình bày phép xây dựng nghiệm cho toán Riemann Thiết lập chứng minh điều kiện đủ để toán Riemann cho dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn có nghiệm Tính luận văn Các kết tồn nghiệm toán Riemann nêu định lí chương viii Mục lục Lời cảm ơn iii Tóm tắt iv Abstract v Lời cam đoan vi Mở đầu vii Tổng quan 1.1 Tính hyperbolic 1.2 Nghiệm yếu hệ định luật bảo 1.3 Khái niệm entropy toán học 1.4 Sóng giãn 1.5 Sóng sốc 1.6 Tập Rankine-Hugoniot Mơ 2.1 2.2 2.3 2.4 tồn hình dịng lưu chất chảy ống có tiết Giới thiệu Tính hyperbolic khơng ngặt Các đường cong sóng sốc sóng giãn Các tính chất sóng dừng 1 diện gián đoạn 12 12 13 14 18 Phép xây dựng nghiệm cho toán Riemann 22 3.1 Trường hợp : UL ∈ G1 ∪ C+ aR > aL 23 3.2 Trường hợp : UL ∈ G+ aR > aL 30 3.3 Trường hợp : UR ∈ G1 ∪ C+ ∪ G+ aL > aR 33 Kết luận 36 ix Hình 3.1: Đường cong kết hợp Γ(UL ) Hình 3.2: Sự giao đường cong kết hợp Γ(UL ) đường cong lùi W2B (UR ) 25 Định lý 3.1 Giả sử UL ∈ G1 ∪ C+ , aL < aR trạng thái bên phải UR thỏa mãn w2B (UR , 0) < uup , w2B (UR , ρ0− ) > u0− , với hàm w1 , w2B , w3 cho (2.8), (2.10) UL0 = (ρ0L , u0L ) = (ϕ1 (UL , aR ), w3 (UL , ϕ1 (UL , aR ))) , √ κγ (γ−1)/2 uup = uL + , (ρ ) γ−1 L U− = (ρ− , u− ) = W1 (UL ) ∩ C− , (3.2) U−0 = (ρ0− , u0− ) = (ϕ2 (U− , aR ), w3 (U− , ϕ2 (U− , aR ))) Khi đó, tốn Riemann cho hệ (2.1)-(2.2) có nghiệm dạng W3 (UL , UL0 ) ⊕ W1 (UL0 , U ) ⊕ W2 (U, UR ), dạng W3 (UL , M ) ⊕ W1 (M, M # ) ⊕ W3 (M # , M #0 ) ⊕ W2 (M #0 , UR ), dạng W1 (UL , A) ⊕ W3 (A, A0 ) ⊕ W2 (A0 , UR ) Chứng minh Đường cong Γ(UL ) có phương trình tham số : ρ = ρ(m), u = u(m), với m thuộc đoạn I Vì I = (0, uup ) U−0 = (ρ0− , u0− ) hai đầu mút đường cong Γ(UL ) nên khơng tính tổng qt, ta giả sử I = [m1 , m2 ], giá trị m1 m2 thỏa mãn I = (ρ(m1 ), u(m1 )), U−0 = (ρ(m2 ), u(m2 )) Ta đĩnh nghĩa hàm số : G(m) := u(m) − w2B (UR , ρ(m)), m ∈ I Khi đó, hàm số G(m) liên tục đoạn I = [m1 , m2 ] Ta có G(m1 ) = u(m1 ) − w2B (UR , ρ(m1 )) = uup − w2B (UR , 0) > 0, 26 G(m2 ) = u(m2 ) − w2B (UR , ρ(m2 )) = u0− − w2B (UR , ρ0− ) < Do đó, tồn m0 ∈ (m1 , m2 ) cho G(m0 ) = Điều có nghĩa đường cong Γ(UL ) cắt đường cong W2B (UR ) điểm (ρ(m0 ), u(m0 )) Nếu đường cong W2B (UR ) cắt phần W3→1 (UL ) nghiệm tốn Riemann có dạng W3 (UL , UL0 ) ⊕ W1 (UL0 , U ) ⊕ W2 (U, UR ), Nếu đường cong W2B (UR ) cắt phần W3→1→3 (UL ) nghiệm tốn Riemann có dạng W3 (UL , M ) ⊕ W1 (M, M # ) ⊕ W3 (M # , M #0 ) ⊕ W2 (M #0 , UR ), Nếu đường cong W2B (UR ) cắt phần W1→3 (UL ) nghiệm tốn Riemann có dạng W1 (UL , A) ⊕ W3 (A, A0 ) ⊕ W2 (A0 , UR ) Bổ để sau nói lên điều kiện cần đủ để điểm nằm phần phía hay phần phía đường cong W2B (U0 ) Bổ đề 3.2 Cho trước hai trạng thái Ui = (ρi , ui ), i = 1, Khi đó, u1 > w2B (U2 , ρ1 ) u2 < w2 (U1 , ρ2 ) Điều có nghĩa trạng thái U1 nằm phần phía đường cong W2B (U2 ) U2 nằm phần phía đường cong W2 (U1 ) Chứng minh U1 nằm phần phía đường cong W2B (U2 ) u1 > w2B (U2 , ρ1 ) hay  √ γ−1 γ−1 κγ  u1 > u2 + 2γ−1 ρ1 − ρ2 , ρ1 ≤ ρ2 ,  u >u + κ ρ2 − ρ1 (ρ1 γ − ρ2 γ ) 1/2 , ρ1 ≥ ρ2 , tương đương với  √ γ−1 γ−1 κγ  u2 < u1 + 2γ−1 ρ2 − ρ1 , ρ1 ≤ ρ2 ,  u u0− Ngoài ra, uR < uup nên ta có : √ w2B (UR , 0) = uR − κγ (ρR )(γ−1)/2 < uR < uup γ−1 Theo định lí (3.1) tốn Riemann hệ (2.1)-(2.2) có nghiệm Bây ta chứng minh UL ∈ T Ta có < ρL < ρ− < ϕ2 (U− , aR ) = ρ0− < ρend , U− = (ρ− , u− ) ∈ C− , UL ∈ G1 ∪ C+ uup > u0− Hơn nữa, ubottom (hL ) = u0− + γ−3 √ κγ(ρ0− ) ρL − ρ0− < u0− < uL < w3 (UL , h0L ) = u0L < uup , ρ0L = ϕ1 (UL , aR ) < ρL < ρ0− hàm số w3 (UL , ρ) hàm giảm ngặt Vậy UL ∈ T 29 Ta xét hình chữ nhật R định R := {(ρ, u)|0 < ρ < ρ0− , u0− < u < uup } (3.4) Hình chữ nhật R minh họa hình 3.4 Hệ 3.2 Với hàm w1 , w2B , w3 cho (2.8), (2.10) kí hiệu (3.2), (3.4) Giả sử UL ∈ G1 ∪ C+ , aL < aR Khi đó, trạng thái bên trái UL nằm hình chữ nhật R Hơn nữa, trạng thái bên phải UR nằm hình chữ nhật R, tức < ρR < ρ0− , u0− < uR < uup , tốn Riemann hệ (2.1)-(2.2) có nghiệm Chứng minh Trước hết ta chứng minh R ⊂ T Giả sử U = (ρ, u) ∈ R Khi đó, ρ < ρ0− uup > u0− nên : < ρ < ρ0− < ρend , ubottom (h) < u0− < u < uup Do đó, U ∈ T Bây ta chứng minh UL ∈ R Thật vậy, ta có < ρL < ρ− < ϕ2 (U− , aR ) = ρ0− , u0− < uL < w3 (UL , ρ0L ) = u0L < uup Hệ 3.2 chứng minh 3.2 Trường hợp : UL ∈ G+ aR > aL Từ UL , nghiệm Riemann toán bắt đầu với sóng 1-giãn đến trạng thái U+ = (ρ+ , u+ ) = W1 (UL ) ∩ C+ Sau đó, nghiệm Riemann tiếp tục sóng dừng từ trạng thái U+ (aL ) đến trạng thái U+1 (aR ) ∈ W3 (U+ ) ∩ G1 dùng ϕ1 (U+ , aR ) Ta biết có trạng thái U+1# ∈ W1 (U+1 ) ∩ G+ , U ) < , λ (U cho λ1 (U+1 , U+1# ) = λ1 (U+1 , U ) > ρ1+ < ρ < ρ1# + 1# ρ > ρ+ Nghiệm Riemann tiếp tục 1-sóng từ U+ đến trạng thái U ∈ W1 (U+1 ) cho ≤ ρ ≤ ρ1# + Tập hợp trạng thái U tạo đường cong kết hợp kí hiệu W1→3→1 (UL ) Như vậy, đường cong kết 30 hợp W1→3→1 (UL ) phần đường cong W1 (U+1 ) Đường cong W1 (U+1 ) cắt √ κγ (γ−1)/2 γ−1 (ρ+ ) U+1# trục ρ = điểm I = 0, uup := u1+ + Do đó, đường cong kết hợp W1→3→1 (UL ) có hai đầu mút I Mặt khác, từ UL , nghiệm Riemann tốn bắt đầu với 1-sóng đến trạng thái A ∈ W1 (UL ) ∩ (G2 ∪ C± ) Nghiệm Riemann tiếp tục với sóng dừng từ trạng thái A(aL ) đến trạng thái A0 (aR ) ∈ W3 (A) ∩ G2 dùng ϕ2 (A, aR ) Tập hợp điểm A0 tạo đường cong kết hợp kí hiệu W1→3 (UL ) Hai đầu mút đường cong kết hợp U+0 U−0 , U± = (ρ± , u± ) = W1 (UL ) ∩ C+ , U±0 = (ρ0± , u0± ) = (ϕ2 (U± , aR ), w3 (U± , ϕ2 (U± , aR ))) Bên cạnh đó, từ UL nghiệm Riemann bắt đầu với sóng 1-giãn đến trạng thái U+ Sau đó, với am ∈ [aL , aR ], nghiệm Riemann tiếp tục sóng dừng từ U+ (aL ) đến trạng thái M (am ) ∈ W3 (U+ ) ∩ (G1 ∪ C+ ) dùng ϕ1 (U+ , am ) Nghiệm Riemann tiếp tục với 1-sốc từ trạng thái M đến trạng # thái M # ∈ W1 (M ) ∩ (G+ ∪ C+ ) cho λ1 (M, M ) = Sau đó, nghiệm Riemann cịn tiếp tục với sóng dừng từ trạng thái M # (am ) đến trạng thái M #0 (aR ) ∈ W3 (M # ) ∩ G2 dùng ϕ2 (M # , aR ) Tập hợp điểm M #0 tạo đường cong kết hợp kí hiệu W1→3→1→3 (UL ) Nếu am = aL M = U+ = M # M #0 = U+0 Nếu am = aR M = U+1 M # = U+1# = M #0 Do U+1# U+0 hai đầu mút đường cong kết hợp W1→3→1→3 (UL ) Đặt Λ(UL ) = W1→3→1 (UL ) ∪ W1→3 (UL ) ∪ W1→3→1→3 (UL ) Khi đó, đường cong Λ(UL ) có hai đầu mút I U−0 (được minh họa hình 3.5) Tương tự định lí 3.1 hệ 3.2, ta có định lí hệ sau Phép chứng minh tương tự, ta bỏ qua chứng minh Định lý 3.2 Giả sử UL ∈ G+ , aR > aL trạng thái bên phải UR thỏa mãn : w2B (UR , 0) < uup , w2B (UR , ρ0− ) > u0− , 31 Hình 3.5: Đường cong kết hợp Λ(UL ) với hàm w1 , w2B , w3 cho (2.8), (2.10) U± = (ρ± , u± ) = W1 (UL ) ∩ C+ , U−0 = (ρ0− , u0− ) = (ϕ2 (U− , aR ), w3 (U− , ϕ2 (U− , aR ))) , U+1 = (ρ1+ , u1+ ) = (ϕ1 (U+ , aR ), w3 (U+ , ϕ1 (U+ , aR ))) , √ κγ (γ−1)/2 uup = u+ + (ρ ) γ−1 + (3.5) Khi đó, tốn Riemann cho hệ (2.1)-(2.2) có nghiệm dạng W1 (UL , U+ ) ⊕ W3 (U+ , U+01 ) ⊕ W1 (U+01 , U ) ⊕ W2 (U, UR ), dạng W1 (UL , U+ ) ⊕ W3 (U+ , M ) ⊕ W1 (M, M # ) ⊕ W3 (M # , M #0 ) ⊕ W2 (M #0 , UR ), dạng W1 (UL , A) ⊕ W3 (A, A0 ) ⊕ W2 (A0 , UR ) Hệ 3.3 Với hàm w1 , w2B , w3 cho (2.8), (2.10) kí hiệu (3.5) Giả sử UL ∈ G+ , aR > aL Khi trạng thái bên trái UL nằm hình chữ nhật định : < ρ < ρ0− , u0− < u < uup 32 Hình 3.6: Đường cong kết hợp Λ(UL ) cắt với đường cong lùi W2B (UR ) Hơn nữa, trạng thái bên phải UR nằm hình chữ nhật đó, tức < ρR < ρ0− , u0− < uR < uup , tốn Riemann cho hệ (2.1)-(2.2) có nghiệm Trong hai trường hợp trên, aR > aL nên aR > aL ≥ amin (U0 , aL ) với trạng thái U0 Do đó, đường cong sóng kết hợp xây dựng từ trạng thái bên trái UL (aL ) luôn tồn Đối với trường hợp aL > aR điều kiện aR ≥ amin (U0 , aL ) không xảy với trạng thái U0 Vì vậy, đường cong sóng kết hợp xây dựng khơng tồn Trong trường hợp này, ta xây dựng đường cong sóng kết hợp bắt đầu lùi lại từ trạng thái bên phải UR (aR ) 3.3 Trường hợp : UR ∈ G1 ∪ C+ ∪ G+ aL > aR Từ trạng thái bên phải UR , nghiệm Riemann bắt đầu lùi lại với 2-sóng lùi đến trạng thái U ∈ W2B (UR )∩(G2 ∪C± ) Sau đó, nghiệm Riemann tiếp tục với sóng dừng kết nối từ trạng thái U (aR ) đến trạng thái U (aL ) ∈ W3 (U )∩G2 dùng ϕ2 (U, aL ) Tập hợp tất trạng thái U tạo thành đường 33 B (UR ) Hình 3.7: Đường cong kết hợp W2←3 B (U ) Đường cong có hai đầu mút cong kết hợp lùi kí hiệu W2←3 R 0 U+ U− (được minh họa 3.7), U± = W2B (UR ) ∩ C± , U±0 = (ρ0± , u0± ) = (ϕ2 (U± , aL ), w3 (U± , ϕ2 (U± , aL )) (3.6) Giống định lí 3.1, 3.2 hệ 3.2, 3.3, ta có định lí hệ tương tự Phần chứng minh bỏ qua Định lý 3.3 Giả sử UR ∈ G1 ∪ C+ ∪ G+ , aL > aR trạng thái bên trái UL thỏa w1 (UL , ρ0+ ) < u0+ , w1 (UL , ρ0− > u0− , với hàm w1 , w2B , w3 cho (2.8), (2.10) U+0 U−0 cho (3.6) Khi đó, tốn Riemann cho hệ (2.1)-(2.2) có nghiệm dạng W1 (UL , U ) ⊕ W3 (U , U ) ⊕ W2 (U, UR ) Hệ 3.4 Với hàm w1 , w2B , w3 cho (2.8), (2.10) kí hiệu (3.6) Giả sử UR ∈ G1 ∪ C+ ∪ G+ , aL > aR trạng thái bên trái UL thỏa ρ0− < ρL < ρ0+ , u0− < uL < u0+ Khi đó, tốn Riemann cho hệ (2.1)-(2.2) có nghiệm 34 B (UR ) cắt với đường cong tiến W1 (UL ) Hình 3.8: Đường cong kết hợp W2←3 35 Kết luận Kết đạt Luận văn nêu chứng minh điều kiện đủ để tốn Riemann cho dịng lưu chất chảy ống với tiết diện gián đoạn có nghiệm (trong chương 3) Xác định lân cận đủ lớn chứa trạng thái bên trái (tương ứng : bên phải) cho trạng thái bên phải (tương ứng : bên trái) thuộc vào lân cận nghiệm Riemann tồn xây dựng Kết hữu ích cho người muốn áp dụng nghiệm Riemann vào lược đồ Godunov Hướng phát triển luận văn • Hướng thứ : Nghiên cứu tính đơn điệu đường cong kết hợp để thiết lập tính nghiệm • Hướng thứ : Phát triển kết đạt cho mơ hình định luật cân dạng phi bảo tồn mơ hình dịng chảy phi đẳng entropy ống với tiết diện biến thiên, mơ hình dòng đa pha, 36 Tài liệu tham khảo [1] N Andrianov and G Warnecke, On the solution to the Riemann problem for the compressible duct flow, SIAM J Appl Math., 64 (2004) 878–901 [2] G Dal Maso, P.G LeFloch, and F Murat, Definition and weak stability of nonconservative products, J Math Pures Appl 74 (1995), 483–548 [3] P Goatin and P.G LeFloch, The Riemann problem for a class of resonant nonlinear systems of balance laws, Ann Inst H Poincaré Anal NonLinéaire, 21 (2004) 881–902 [4] J.M Gallardo, C Parés, and M Castro, On a well-balanced high-order finite volume scheme for shallow water equations with topography and dry areas, J Comput Phys 227 (2007), 574-601 [5] E Isaacson and B Temple, Nonlinear resonance in systems of conservation laws, SIAM J Appl Math., 52 (1992) 1260–1278 [6] E Isaacson and B Temple, Convergence of the × godunov method for a general resonant nonlinear balance law, SIAM J Appl Math., 55 (1995) 625–640 [7] P.G LeFloch, Shock waves for nonlinear hyperbolic systems in nonconservative form, Institute for Math and its Appl., Minneapolis, Preprint# 593, 1989 (unpublished) [8] P.G LeFloch and M.D Thanh, The Riemann problem for fluid flows in a nozzle with discontinuous cross-section, Comm Math Sci., (2003) 763–797 [9] P.G LeFloch and M.D Thanh, The Riemann problem for shallow water equations with discontinuous topography, Comm Math Sci., 5(2007) 865– 885 37 [10] P.G LeFloch and M.D Thanh, A Godunov-type method for the shallow water equations with variable topography in the resonant regime, J Comput Phys., 230 (2011) 7631-7660 [11] D Marchesin and P.J Paes-Leme, A Riemann problem in gas dynamics with bifurcation Hyperbolic partial differential equations III, Comput Math Appl (Part A), 12 (1986) 433–455 [12] G Rosatti, L Begnudelli, The Riemann Problem for the one-dimensional, free-surface Shallow Water Equations with a bed step: theoretical analysis and numerical simulations, J Comput Phys., 229 (2010), 760-787 [13] D.W Schwendeman, C.W Wahle, and A.K Kapila, The Riemann problem and a high-resolution Godunov method for a model of compressible twophase flow, J Comput Phys., 212 (2006), 490–526 [14] M.D Thanh, Md Fazlul K., and A Izani Md Ismail, Well-balanced scheme for shallow water equations with arbitrary topography, Inter J Dyn Sys and Diff Eqs., (2008) 196–204 38 Phụ lục CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP - TỰ DO - HẠNH PHÚC LÝ LỊCH TRÍCH NGANG I SƠ LƯỢC LÝ LỊCH Họ tên Phái Ngày tháng năm sinh Nơi sinh Mã số học viên Khoa Ngành Địa thường trú : : : : : : : : ĐÀO HUY CƯỜNG Nam 15/08/1982 TPHCM 11240492 Khoa học ứng dụng Toán ứng dụng 472/14, Phan Huy Ích, Phường 12, Quận Gị Vấp, TPHCM II Q TRÌNH ĐÀO TẠO Từ 09/2000 đến 06/2004 : Học đại học hệ quy ngành Tốn trường Đại Học Sư Phạm TPHCM Từ 08/2011 đến : Học cao học hệ quy ngành Tốn ứng dụng Đại Học Bách Khoa TPHCM III Q TRÌNH CƠNG TÁC Từ 09/2004 đến : Giáo viên mơn Tốn Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu TPHCM TPHCM, ngày 27 tháng 11 năm 2012 Người khai Đào Huy Cường 39 ... tài : "Bài tốn Riemann cho dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn" Mục đích nghiên cứu Thiết lập điều kiện đủ để tốn Riemann cho dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn có nghiệm Nội... tồn • Các kết chủ yếu có mơ hình dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn • Thiết lập điều kiện đủ để tốn Riemann cho dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn có nghiệm III Ngày giao... dung thứ : Mơ hình dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn • Nội dung thứ : Thiết lập điều kiện đủ để tốn Riemann cho dịng lưu chất chảy ống có tiết diện gián đoạn có nghiệm Phương pháp nghiên