PHẦN MỞ ĐẦU
Vào năm 1919, Gronwall đã phát biểu và chứng minh kết quả sau:
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một bất đẳng thức tích phân dạng Volterra, cụ thể là u(t) ≤ ahe^(bh) với các hằng số thực a, b, h ≥ 0 và α > 0 Kết quả này là bước đầu tiên trong việc nghiên cứu các bất đẳng thức tích phân, đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá các ẩn hàm Từ khi xuất hiện, bất đẳng thức này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu từ nhiều khía cạnh khác nhau Trong số đó, bất đẳng thức Bellman nổi bật như một kết quả quen thuộc.
Giả sử x t( ) và k t( ) là các hàm liên tục không âm với t ≥α
Nếu a là một hằng số, a ≥ 0,và
Kết quả của bất đẳng thức Bellman tổng quát hơn so với Gronwall, do đó, chúng thường được gọi là “bất đẳng thức Gronwall - Bellman” hoặc “bất đẳng thức Gronwall” Các bất đẳng thức này là công cụ quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân, phương trình và bất phương trình tích phân (tham khảo Gronwall [9] và Guiliano [10]) Ứng dụng của kết quả này trong việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến đã được đề cập trong Bellman [3] Ngoài ra, lý thuyết về sự tồn tại và duy nhất của phương trình vi phân cũng được trình bày trong Nemyckii-Stepanov [14] và Bihari.
Trong thời gian qua, nhiều tác giả đã phát triển các bất đẳng thức tích phân loại Gronwall cho hai hoặc nhiều biến độc lập Những kết quả này có ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết các phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng như phương trình tích phân Volterra.
Luận văn này chủ yếu trình bày những kiến thức đã được biết đến và nghiên cứu, do đó nội dung không có gì mới mẻ Tuy nhiên, các kiến thức và kết quả được hệ thống hóa một cách cơ bản, với các chứng minh được trình bày chi tiết hơn và có những giải thích rõ ràng mà các tài liệu khác có thể bỏ qua hoặc không đề cập đến.
Luận văn nầy ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 4 chương
Chương 1 các kiến thức chuẩn bị
Trong Chương 2, chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức tích phân kiểu Gronwall cho hàm phụ thuộc vào hai biến độc lập, với các tích phân này tồn tại trong miền xác định của chúng.
Trong chương 3, chúng tôi trình bày các dạng bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall liên quan đến tích phân lặp, trong đó hàm u trong bất đẳng thức Gronwall được thay thế bằng hàm u p, và hằng số a được thay thế bằng hàm a không âm, không giảm Sự thay đổi giá trị p cho phép chúng tôi thu được các kết quả đánh giá địa phương hoặc toàn cục thông qua các phương pháp xử lý khác nhau.
Trong chương 4, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến độc lập Những bất đẳng thức này có thể được sử dụng như công cụ để đánh giá tính bị chận và chứng minh sự duy nhất của nghiệm trong phương trình vi phân đạo hàm riêng.
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương nầy chúng tôi trình bày và chứng minh một số bổ đề sẽ được áp dụng trong các chương sau
( v t e ( ) − bt ) ′ = e − bt ( v t ′ ( ) − bv t ( ) ) ≤ ae − bt
Tích phân trên [ , ]α t , ta được
Mặt khác, do định lý Lagrange, ta có θ∈(0,1) sao cho
Vậy bổ đề 1.1 được chứng minh
Tích phân hai vế trên [ , ]α t , ta được
Vậy bổ đề 1.2 được chứng minh
Cho b t( ) là hàm liên tục, f t( ) là hàm khả tích , v t( ) là hàm khả vi trên
Nhân hai vế bất đẳng thức v t′ ≤( ) b t v t( ) ( )+ f t( ) bởi exp ( ) α
Lấy tích phân hai vế từ α đến t, ta được
Vậy bổ đề 1.3 được chứng minh
Cho u x y( , ), ( , ), ( , )a x y b x y là những hàm liên tục không âm với mọix y, ∈R + (i) Giả sử a x y( , ) là hàm không giảm theo x , không tăng theo y, với mọix y, ∈R + Neáu
(ii) Giả sử a x y( , ) là hàm không tăng với mọix y, ∈R +
Chia hai vế cho a x y ε ( , ) ta được,
Lấy tích phân hai vế từ 0 đến x, ta được
Vậy (i) được chứng minh ii Đặt a x y ε ( , )=a x y( , )+ >ε 0, ε >0
Chia hai vế cho a x y ε ( , ) ta được
Lấy tích phân hai vế từ x đến ∞ và chú ý rằng ln ( , )v ∞ y =0, ta được
≤ ⎜⎜⎝∫∫ ⎟⎟⎠ Vậy (ii) được chứng minh
Bổ đề 1.4 được chứng minh.
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO HÀM HAI BIẾN
Cho u t( ), ( ), ( )k t b t là hàm liên tục, a t( ) là hàm khả tích, b t( ), ( )k t không aâm treân [ , ]α β
≤k t a t +k t b t v t Áp dụng bổ đề 1.3, chọn v 0 =v( )α =0, ta được
Phần (i) được chứng minh ii Đặt ( ) ( ) ( ) , [ , ]. β α β
≤k t a t +k t b t v t Áp dụng bổ đề 1.3, chọn v 0 =v( )β =0, ta được
Phần (ii) được chứng minh
Bổ đề 2.1 được chứng minh ẹũnh lyự 2.1
Cho hàm thực liên tục không âm f(x, y) trên miền x≥0, y≥0 với các tham số a(x, y), b(x, y), c(x, y), d(x, y) Định nghĩa H(x) là hàm thực dương, liên tục và không giảm trên miền x≥0, trong khi W(x) là hàm thực dương, liên tục và tăng, đáp ứng các điều kiện nhất định.
Giả sử a x y( , ), f x y( , )là hàm không giảm theo biến x, trên x≥0,cho trước α ≥0, nếu u x y( , ) thỏa
G − 1 là hàm ngược của G, với mọi x≥0, y≥0,
G C d s t W p s t f s t dtds thuộc miền xác định của G − 1
Hàm G xác định bởi (2.5) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0,+∞), do đó tồn tại hàm ngược G − 1 xác định trên một khoảng tương ứng
Ta có z x y( , ) là hàm liên tục không âm theo biến x≥0 Cố định y≥0 trong (2.7) áp dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.7), ta được
Hơn nữa z x y( , ) là hàm không giảm theo x≥0, ta được
( , ) ( , ) ( , ), u x y ≤z x y p x y (2.8) trong đó p x y ( ) , được xác định bởi (2.3), từ (2.6), (2.8), ta được
Chú ý rằng W là hàm tăng, từ (2.9) ta được
Từ tính chất của W , ta có
+∫∫ (2.10) Đặt r x y( , ) là vế phải của (2.10), khi đó
Từ (2.10) và r x y( , ) là hàm không tăng theo y≥0, ( , )v x y ≤r x y( , ) và
Chia 2 vế của (2.11) cho W H r x y ( ( ( , ) ) ), ta được
≤∫ (2.13) Đặt x=s trong (2.13), sau đó lấy tích phân theo s từ 0 đến x, ta được
Do G − 1 là hàm tăng nên
Từ (2.9) và v x y( , )≤r x y( , )và (2.14), ta được u x y ( , ) ≤ p x y a x y ( , ) { ( , ) + f x y H G ( , ) ⎡⎣ − 1 ( G C ( )
+∫∫ x ⎤⎦ ∀ ≥ ≥ ∀ ≥ y d s t W p s t f s t dtds x y Định lý 2.1 được chứng minh ẹũnh lyự 2.2
Cho các hàm thực liên tục không âm f(x, y), a(x, y), b(x, y), c(x, y), d(x, y) trên miền x≥0, y≥0 Hàm H(x) là hàm thực dương, liên tục và không giảm trên x≥0, trong khi W(x) là hàm thực dương, liên tục và tăng trên x≥0, đáp ứng các điều kiện nhất định.
Giả sử a x y( , ), f x y( , ) là hàm không tăng trên x≥0, cho trước β ≥0, nếu
G − 1 là hàm ngược của G và với mọi x y, ≥0,
G C d s t W p s t f s t dtds thuộc miền xác định của G − 1
Hàm G xác định bởi (2.19) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0,+∞), do đó tồn tại hàm ngược G − 1 xác định trên một khoảng tương ứng
Ta có z x y( , ) là hàm liên tục không âm theo biến x≥0 Cố định y∈R + trong (2.21) áp dụng (ii) của bổ đề 2.1 vào (2.21), ta được
Hơn nữa z x y( , ) là hàm không tăng theo x∈R + , ta được
( , ) ( , ) ( , ), u x y ≤z x y p x y (2.22) với p x y( , ) được xác định bởi (2.17), từ (2.21), (2.22), ta được
Chú ý rằng W là hàm tăng, từ (2.23) ta được
Từ tính chất W ta được ( , ) ( , ) ( ( , ) ( , ))
+∫∫ (2.24) Đặt r x y( , ) là vế phải của (2.24), khi đó
Từ (2.24) và r x y( , ) là hàm không tăng theo y∈R + , ( , )v x y ≤r x y( , ) và
W H r x y d x t W p x t f x t dt (2.25) Chia 2 vế của (2.25) cho W H r x y ( ( ( , ) ) ), ta được
W H r x y (2.26) Tích phân (2.26) và từ (2.19), ta được
G x y d x t W p x t f x t dt (2.27) Đặt x=s trong (2.27), sau đó lấy tích phân theo s từ x đến ∞, ta được
Do G − 1 là hàm tăng, ta có
+ ∞ ∞ ∫∫ ( , ) ( ( , ) ( , )) )⎤⎦}, ∀ ∈[0, ],β ≥0. x y d s t W p s t f s t dtds x y Định lý 2.2 được chứng minh ẹũnh lyự 2.3
Cho u x y( , ), ( , ), ( , ), ( , ),a x y b x y c x y f x y( , ) là những hàm liên tục không âm treân x y, ≥0.
Hàm L R: + 3 →R + liên tục thỏa điều kiện
0≤L x y u( , , )−L x y v( , , )≤M x y v( , , )φ − 1(u−v), ∀x y, ≥0,u≥ ≥v 0, (2.29) trong đó M x y v ( , , ) là hàm thực liên tục không âm trên x y v, , ≥0.
Hàm φ:R + →R + liên tục và tăng ngặt, φ ( ) 0 = 0, hàm ngược φ − 1 của φ thỏa điều kiện φ − 1 ( ) u v ≤ φ − 1 ( ) ( ) u φ − 1 v , với mọi u v, ∈R +
Giả sử a x y( , ), f x y( , ) là không giảm theo x∈R + , cho α ≥0 cố định, nếu hàm u x y( , ) thỏa
Ta có z x y( , ) là hàm liên tục không âm theo x∈R + Cố định y∈R + trong
(2.35) và sử dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.35), ta được
Hơn nữa z x y( , ) là hàm không giảm theo x∈R + , ta được
( , ) ( , ) ( , ) u x y ≤z x y p x y , (2.36) với p x y ( ) , là hàm xác định bởi (2.32) Ta suy từ (2.34), (2.36), rằng
Từ (2.37) và giả thiết về hàmL và hàm φ, ta được
( , )≤ ( , )+∫∫ x ∞ , , ( , ) ( , ) φ − ( , ) ( , ) ( , ) , y v x y e x y M s t p s t a s t p s t f s t v s t dtds (2.38) trong đó e x y( , ) là hàm liên tục không âm, không giảm theo x∈R + và không taờng theo y∈R + , nhử trong (2.33) Áp dụng (i) của bổ đề 1.4 vào (2.38), ta được
Sử dụng (2.37) vào (2.39), ta được u x y( , )≤ p x y( , ) a x y( , )+ f x y( , ) ( ( , )φ e x y
M s t p s t a s t p s t f s t dtds x y R Định lý 2.3 được chứng minh ẹũnh lyự 2.4
Cho u x y a x y b x y c x y( , ), ( , ), ( , ), ( , ), f x y( , ) là các hàm thực liên tục không âm xác định cho mỗi x y, ∈R +
Hàm L R: + 3 →R + là hàm liên tục thỏa điều kiện
0≤L x y u( , , )−L x y v( , , )≤M x y v( , , )φ − 1(u−v), ∀x y, ≥0,u≥ ≥v 0 trong đó M x y v( , , ) là hàm thực liên tục, không âm xác định trên x y v, , ≥0.
Hàm φ:R + →R + liên tục, tăng ngặt với φ(0)=0, φ − 1 là hàm ngược của φ thỏa điều kiện φ − 1 ( )u v ≤φ − 1 ( )u φ − 1 ( )v , với mọi u v, ∈R +
Giả sử a x y( , ), f x y( , ) là không tăng theo x∈R + , cho β ≥0 cố định, nếu hàm u x y( , ) thỏa
Ta có z x y ( ) , là hàm liên tục không âm theo x∈R + Cố định y∈R + trong
(2.45) và sử dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.45), ta được
Hơn nữa z x y( , ) là hàm không tăng theo x∈R + , ta được
( , )≤ ( , ) ( , ), u x y z x y p x y (2.46) với p x y( , ) là hàm xác định bởi (2.42) Ta suy từ (2.44), (2.46) rằng
Từ (2.47) và giả thiết về hàmL và hàm φ, ta được
( , )≤ ( , )+∫∫ , , ( , ) ( , ) φ − ( , ) ( , ) ( , ) , x y v x y e x y M s t p s t a s t p s t f s t v s t dtds (2.48) trong đó e x y( , ) là hàm liên tục không âm, không tăng theo x y, ∈R + , như trong (2.43) Áp dụng (ii) của bổ đề 1.4, ta được
Sử dụng (2.47) vào (2.49), ta được u x y ( , )≤ p x y a x y ( , ) { ( , )+ f x y( , ) [ ( , )φ e x y ×exp( ∞ ∞ ∫∫ ( , , ( , ) ( , ))φ − 1 ( ( , ) ( , )) )]}, ∀ , ≥0. x y
M s t p s t a s t p s t f s t dtds x y Định lý 2.4 được chứng minh.
MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC GRONWALL
Trường hợp p > 1
Cho u t( ), ( ), ( ), ( , ), ( , , )b t a t k t s h t sτ là những hàm liên tục không âm với mọi s t α τ≤ ≤ ≤ ≤ ≤σ β Giả sử a t( ) là hàm không giảm trên [ , ]α β , cho p>1 cố định, nếu hàm u t( ) thỏa
Khi đó v( )α =0, v t( )là hàm không giảm trên [ , ]α β và
= +∫ +∫∫ Áp dụng bổ đề1.3 vào (3.4), ta được
Lấy mũ p−1 hai vế của (3.5), ta được
Lấy tích phân hai vế của (3.6) từ α đến t, ta được
⎣ ∫ t p ⎦ p p u t a t p B s a s ds t Định lý 3.1 được chứng minh ẹũnh lyự 3.2
Cho u t( ), ( ), ( , ),b t k t s σ( )t là những hàm liên tục không âm với mọi s t α τ≤ ≤ ≤ ≤β Giả sử σ( )t là hàm không giảm trên [ , ]α β p>1, a 1 ≥0 là hằng số, nếu u t( ) thỏa
( ) 0 vα = , v t( )là hàm không giảm trên [ , ]α β , và
R t B t t a v t B t b t k t d Áp dụng bổ đề 1.3 vào (3.11), ta được
Nhân hai vế (3.12) cho σ( ),t sau đó lấy mũ p−1, ta được
⎣ ∫ t ⎦ ∫ t p p d s Z s ds t Z t s Z s ds p B t a t dt (3.13) trong đó
Lấy tích phân hai vế của (3.13) từ α đến t, ta được
⎝∫ t B s p s v s a p ds ⎠ ⎣ p a p ∫ t B s p s ds ⎦ p (3.14) Từ (3.12) và (3.14), ta được
⎣ ∫ ⎦ (3.15) Từ (3.10) và (3.15), ta suy ra rằng
⎣ p ∫ t p ⎦ p p u t a t t p a B s s s ds t Định lý 3.2 được chứng minh
Cho u t( ), ( ), ( )a t b t là những hàm liên tục không âm, trên J =[ , ]α β và p>1 là hằng số Giả sử ( )
( ) a t b t là hàm không giảm trên J , với mọi t ∈ J , k t t i ( , , , ) 1 t i là hàm liên tục không âm trên J i + 1 với mọi i=1, 2, ,n, đạo hàm riêng k i ( , , , ) 1 i t t t t
∂ tồn tại và liên tục không âm trên J i + 1 , w t( ) là hàm liên tục trên J, nếu u t( ) thỏa
R w Q w là hàm tuyến tính, thỏa
Q w w Q w w trong đó w t 1 ( ) là hàm không âm trên J , w t 2 ( )là hàm không giảm trên J Đặt
( ) 0 vα = , v t( )là hàm không giảm, từ (3.16), ta được
=⎣ + ⎦ ⎝⎜ + ⎟⎠ Áp dụng bổ đề 1.3 vào (3.19), ta được
Chuù yù raèng 0 ( ) 0, ( ) exp ( ) exp ( ) 1. α α α ⎛ τ τ ⎞ ⎛ ⎞
Lấy mũ p−1 hai vế, rồi sau đó nhân ⎡⎣R b[ p ]( )t +Q b[ p ]( )t ⎤⎦vào (3.21), ta được
Lấy tích phân hai vế (3.22) từ α đến t, ta được
Từ (3.18) và (3.21), ta suy ra (3.17) Định lý 3.3 được chứng minh.
Trường hợp p ≥ 0 ( p ≠ 1 )
Cho v t ( ) là hàm dương khả vi trên [ , ],α β nếu v t′( ) thỏa v t′( )≤b t v t( ) ( )+k t v t( ) p ( ), ∀ ∈t [ , ],α β khi đó
⎝ ∫ t ⎠ ⎣ q ∫ t ⎝ ∫ s ⎠ ⎦ q v t b s ds v q k s q b d ds trong đó b , k là hàm liên tục trên [ , ],α β p ≥ 0 ( p ≠ 1 , ) q = − 1 p là hằng số, và
Cho u t( ), ( ), ( , )b t k t s , h t s( , , )σ là những hàm liên tục không âm với mọi s t α τ≤ ≤ ≤ ≤ ≤σ β, a > 0 , p ≥ 0 ( p ≠ 1 , ) q = − 1 p là hằng số, nếu u t( ) thỏa
≤ +∫ t p +∫∫ t s p +∫∫∫ t s p u t a b s u s ds k s u d ds h s u d d ds (3.23) khi đó
( ) v t là hàm không giảm trên [ , ], ( )α β v α =a
⎝ b t ∫ t k t d ∫∫ t h t d d ⎠ v t p (3.25) Áp dụng bổ đề 3.1 vào (3.25), ta được
Từ (3.24) và (3.26), ta được (3.23) Định lý 3.4 được chứng minh ẹũnh lyự 3.5
Cho a t( )là hàm dương không giảm và p ≥ 0 ( p ≠ 1 ) , q = − 1 p là hằng số , u t( )
( ), ( , ) b t k t s , h t s( , , )σ là hàm liên tục không âm với mọi α τ≤ ≤ ≤ ≤ ≤s σ t β, nếu
≤ +∫ t p +∫∫ t s p +∫∫∫ t s p u t a t b s u s ds k s t u d ds h s u d d ds (3.27) khi đó
A t là hàm không giảm trên [ , ]α β vàα ≤ ≤ ≤t T β.
( ) ( ) vα =A T , v t ( )là hàm không giảm trên [ , ].α β
⎣ b t ∫ t k t d ∫∫ t h t d d ⎦ v t p (3.32) Áp dụng bổ đề 3.1 vào (3.32), ta được
Từ (3.31), (3.33) ta suy ra (3.28) Định lý 3.5 được chứng minh ẹũnh lyự 3.6
Cho u t( ),b t( )là hàm liên tục không âm trên J =[ , ],α β k t t i ( , , , ) 1 t i là hàm liên tục không âm trên J i + 1 , các đạo hàm riêng k i ( , , , ) 1 i t t t t
∂ tồn tại, liên tục không âm trên J i + 1 với mọi i=1, 2, , ,n nếu u t( ) thỏa
≤ ⎢ ⎣ + ∫ t p + + ⎜ ∫ ∫ ∫ t ⎜ ⎝ t ⎜ ⎜ ⎝ t n n n p n n ⎟ ⎟ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎥ ⎦ u t b t a k t t u t dt k t t t u t dt dt khi đó
> ≥ ≠ = − a p p q p w là hàm liên tục trên J,
( ) , vα =a v t( ) là hàm không giảm liên tục trên J
≤ R b p t +Q b p t v t p (3.36) Áp dụng bổ đề 3.1 vào (3.36), ta được
⎣ q ∫ t p p ⎦ q u t b t a q R b s Q b s ds Định lý 3.6 được chứng minh
Cho u t ( ) là hàm liên tục không trên [ , ],α β k t s( , ), ( , , )h t s σ là hàm liên tục không âm với mọiα σ≤ ≤ ≤ ≤s t β Giả sử k( , ), h( , , ) t s t s t t σ
∂ ∂ các đạo hàm riêng tồn tại liên tục không âm với mọi α σ≤ ≤ ≤ ≤s t β,nếu u t ( ) thỏa
Hệ quả 3.5 được chứng minh tương tự như định lý 3.6 với b t( ) 1, 1( , )1 ( , ), 2( , , )1 2 ( , , ) k t t =k t s k t t t =k t s σ ta thu được chứng minh.
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Cho khoảng I a u, , 0 ∈I, hàm g xác định và liên tục trên I u k, , là các hàm lieõn tuùc treõn J =[ , ],α β sao cho u J( )⊂I,
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình ≤ +∫ ∀ ∈ (4.1) và các giả thiết liên quan đến các hàm g và k Cụ thể, g có thể là hàm dương và không giảm với k là hàm không âm, hoặc g là hàm dương và không tăng với k là hàm không dương Ngoài ra, g cũng có thể là hàm âm và không giảm trong khi k là hàm không âm, hoặc g là hàm âm và không tăng với k là hàm không dương Những điều kiện này tạo ra những mối quan hệ quan trọng giữa các hàm trong nghiên cứu.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét điều kiện cho hàm g và hàm k trong các trường hợp khác nhau Cụ thể, g có thể là hàm dương và không giảm, trong khi k là hàm không dương; hoặc g là hàm dương và không tăng, k là hàm không âm Ngoài ra, g cũng có thể là hàm âm và không giảm, trong khi k là hàm không dương, hoặc g là hàm âm và không tăng, k là hàm không âm Những giả thiết này cần được thỏa mãn để đảm bảo tính chất của các hàm trong bài toán được đề cập.
Chứng minh i Không mất tính tổng quát ta xét trường hợp g là hàm dương, không giảm, k hàm không âm Đặt
Lấy tích phân hai vế (4.7) từ α đến t, ta được
Từ (4.6) và (4.8), ta suy ra
Vậy (4.2) được chứng minh ii Không mất tính tổng quát ta xét trường hợp g là hàm âm, không giảm, k hàm không âm Đặt
Lấy tích phân hai vế (4.10) từ t đến β, ta được
Từ (4.9) và (4.11), ta suy ra
Vậy (4.5) được chứng minh ẹũnh nghúa 4.1
Hàm g: [0, )∞ →[0, )∞ được gọi là thuộc lớp S , nếu i g u( ) là hàm dương liên tục không giảm với mọi u≥0, ii 1 ( )≤ ( ),u >0, ≥1. g u g u v v v ẹũnh lyự 4.1
Cho u x y( , ), ( , ), ( , ), ( , ),a x y b x y c x y d x y( , ) là các hàm liên tục không âm trên
, ≥0, x y g∈S z x y, ( , ) là hàm không giảm theo x z x y, ( , )≥1 trên x y, ≥0, nếu
G − 1 là hàm ngược của hàm G vaứ (1) ( , ) ( 1 ). x
Chia hai vế (4.12) cho z x y( , ), ta được
( , ) z x y là hàm không giảm theo x z x y, ( , )≥1, g∈S
Từ (4.17) và (4.18), ta suy ra
Cố định y∈R + trong (4.19) và sử dụng (i) của bổ đề 3.1 vào (4.19), ta được
Từ (4.14), (4.17), (4.20), ta suy ra rằng
( , ) ( , ) ( , ), u x y ≤z x y p x y và p x y( , ) được xác định như trong (4.14) Từ định nghĩa của z x y( , ), ta có
≤ + ∫∫ x y e x y d s t p s t c s t v s t dtds (4.22) trong đó e x y( , ) là hàm không âm liên tục, không giảm theo x∈R + và không tăng theo y∈R + , như trong (4.15) Áp dụng (i) của bổ đề 1.4 vào (4.22), ta được
Từ (4.20) và (4.23), ta suy ra
≤ ⎢ ⎢ ⎣ + ⎜ ⎜ ⎝ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎥ ⎥ ⎦ Định lý 4.1 được chứng minh ẹũnh lyự 4.2
Cho u x y( , ), ( , ), ( , ), ( , ),a x y b x y c x y d x y( , ) là các hàm liên tục không âm trên
, ≥0, x y hàm g∈S, z x y( , ) là hàm không tăng trên x ≥ 0 và z x y( , ) 1≥ trên x y, ≥0, nếu u x y( , ) thỏa
G − 1 là hàm ngược của hàm G và (1) ( , ) ( 1 ). x
Chia hai vế (4.24) cho z x y( , ), ta được
Từ giả thiết của hàm z g, , ta được
Cố định y∈R + trong (4.31) và sử dụng (i) của bổ đề 3.1 vào (4.31), ta được
( , ) ( , ) ( , ), u x y ≤ z x y p x y trong đó p x y( , ) được xác định như trong (4.26) Từ định nghĩa của z x y( , ) ta có
≤ + ∫∫ x y e x y d s t p s t c s t v s t dtds (4.34) trong đó e x y( , ) là hàm không âm, liên tục, không tăng trên x y, ≥0, như trong
(4.27) Áp dụng (ii) của bổ đề 1.4 vào (4.34), ta được
Từ (4.33) và (4.35), ta suy ra rằng
≤ ⎢ ⎢ ⎣ + ⎜ ⎜ ⎝ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎥ ⎥ ⎦ Định lí 4.2 được chứng minh ẹũnh lyự 4.3
Cho u x y( , ), ( , ), ( , ), ( , )a x y b x y c x y là những hàm liên tục không âm trên
, ≥0 x y và hàm F R: + 3 →R + liên tục thoả điều kiện
0≤F x y u( , , )−F x y v( , , )≤K x y v u( , , )( −v), ∀x y, ≥0, u≥ ≥v 0, (4.36) vàK x y v( , , ) là hàm liên tục không âm trên x y v, , ≥0, hàm g∈S và z x y( , ) là hàm không giảm theo x z x y, ( , )≥1 trên x y, ≥0, nếu u x y( , ) thỏa
Ta có z x y( , ) là hàm không giảm theo x z x y, ( , )≥1 và g∈S.
Từ (4.42), (4.43) và glà hàm tăng, ta suy ra
Cố định y∈R + trong (4.44) và sử dụng (i) của bổ đề 3.1 vào (4.44), ta được
( , )≤ ( , ) ( , ), u x y z x y p x y trong đó p x y( , ) được xác định như trong (4.39) Từ định nghĩa của z x y( , ), ta có
≤ + ∫∫ (4.47) trong đó A x y( , )là hàm liên tục không âm, không giảm theo x∈R + và không tăng theo y∈R + ,như trong (4.40) Áp dụng (i) của bổ đề 1.4 vào (4.47), ta được
Từ (4.46) và (4.48), ta suy ra
⎛ ⎞ × ⎜ ⎜ ⎝ ∫∫ ⎟ ⎟⎥ ⎠⎦ ⎥ Định lý 4.3 được chứng minh ẹũnh lyự 4.4
Cho u x y( , ), ( , ), ( , ), ( , )a x y b x y c x y là các hàm liên tục không âm trên x y, ≥0 và hàm F R: + 3 →R + liên tục thỏa điều kiện
0≤F x y u( , , )−F x y v( , , )≤K x y v u( , , )( −v), ∀x y, ≥0, u≥ ≥v 0, (4.49) vàK x y v( , , )là hàm liên tục không âm trên x y v, , ≥0, hàm g∈S, hàm z x y( , ) không tăng trên x≥0, z x y( , )≥1 trên x y, ≥0, nếu u x y( , ) thỏa
G − 1 là hàm ngược của hàm G , (1) ( , ) ( 1 ). x
Ta có z x y( , ) là hàm không tăng theo x z x y, ( , )≥1 và g∈S.
Từ (4.55), (4.56), g là hàm tăng, ta suy ra
Cố định y∈R + trong (4.57) và sử dụng(ii) của bổ đề 3.1 vào (4.57), ta được
Từ (4.52), (4.56) và (4.58), ta suy ra
Từ định nghĩa của z x y( , ) và (4.59), ta có
A x y K s t p s t a s t p s t c s t w s t dtds (4.61) trong đó A x y( , ) là hàm liên tục không âm, không tăng theo x y, ∈R + ,như trong
(4.53) Áp dụng (ii) của bổ đề 1.4 vào (4.61), ta được
Từ (4.60) và (4.62), ta suy ra rằng
K s t p s t a s t p s t c s t dtds Định lý 4.4 được chứng minh ệ Ù ng duùng
Cho c x y ( ) , liên tục không âm, không giảm theo x và không tăng theo y với mọi x y, ∈R + Cho
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , x x y x y k r s t dtds a x y b s y g u ds α σ ∞ +τ − −∫∫ ∞ ≤ +∫ (4.66) với a x y b x y( , ), ( , ), d x y( , ), gđược xác định như trong định lý 4.1 Nếu u x y( , ) là nghiệm của bài toán (4.63) với điều kiện (4.64), ta được
( , ) ( ) ( ) , , ( , ) ( , ) , x y u x y =σ ∞ x +τ y − − k ∫∫ ∞ h s t u s t + r s t dtds (4.67) với mọi x y, ∈R + Từ (4.65), (4.66), (4.67), ta được
≤ + ∫ + ∫∫ (4.68) Áp dụng định lý 4.1 vào (4.68), ta được
≤ ⎢ ⎢ ⎣ + ⎜ ⎜ ⎝ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎥ ⎥ ⎦ với mọi x y, ∈R + , với e x y p x y( , ), ( , ) được xác định như trong định lý 4.1
Giả sử hàm h trong (4.63) thỏa điều kiện
( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) , h x y u − h x y v ≤ c x y d x y u − v (4.69) với c x y d x y( , ), ( , )được xác định như trong định lý 4.1 Nếu u x y( , ), ( , )v x y là hai nghiệm của bài toán (4.63) với điều kiện (4.64) Từ (4.67), (4.69), ta được
− ≤ ∫∫ x − y u x y v x y c x y d s t u s t v s t dtds (4.70) Áp dụng (i) bổ đề 1.4 với a x y( , )≡0
Vậy bài toán (4.63) với điều kiện (4.64) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhaát
Qua luận văn này, tác giả đã bắt đầu nghiêm túc và hệ thống trong việc đọc tài liệu khoa học Tác giả học được phương pháp học thuật từ thầy hướng dẫn và nghiên cứu một số bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall, có thể áp dụng để đánh giá tính bị chận và chứng minh sự duy nhất nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng Tuy nhiên, với sự hiểu biết còn hạn chế, tác giả mong nhận được sự đóng góp và chỉ bảo từ Quý Thầy Cô cùng các bạn trong và ngoài Hội Đồng.