Từ giả thiết.[r]
(1)1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 - NĂM 2012 Mơn: TỐN – Khối A; Thời gian làm bài: 180 phút
Câu Đáp án Điểm
1 (1,0 điểm)
a) Tập xác định: R\{−1} b) Sự biến thiên:
* Giới hạn, tiệm cận: Ta có
( )− − =−∞
→ y
xlim1 x→lim( )−1+ y=+∞ Do đường thẳng =−1
x tiệm cận đứng (H)
Vì lim = lim =−2
+∞ → −∞
→ y x y
x nên đường thẳng y=−2 tiệm cận ngang đồ thị * Chiều biến thiên: Ta có 0,
) (
3
' 2 < ∀ ≠− +
−
= x
x
y
Suy hàm số nghịch biến khoảng (−∞;−1) (, −1;+∞)
0,5
* Bảng biến thiên:
x − 1∞ − ∞+
'
y − −
y
+∞
2
− 2−
− ∞
c) Đồ thị: Đồ thị (H) cắt Ox ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ;0
2
, cắt Oy ( )0;1. (H) nhận giao điểm I(−1;−2) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
0,5
2 (1,0 điểm)
Hoành độ giao điểm d (H) nghiệm phương trình
x m
x
x =− + +
+ −
1
) (
1 )
1 (
1 ), )(
1 (
2− + − + =
⇔
− ≠ +
− + = + − ⇔
m x m x
x m x x
x
Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔Δ>0⇔( +1)2−4(− +1)>0 m
m
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
+ − >
− − < ⇔ > − + ⇔
3
3
3
2
m m m
m (2)
0,5 I
(2,0 điểm)
Khi A(x1;−x1+m),B(x2;−x2+m), với x1+x2=m+1, x1x2 =−m+1
Từ giả thiết ta có ( ) ( ) ( )2
1 2
1 2
2 = ⇔ − + − = ⇔ − =
x x x
x x x AB
⎢ ⎣ ⎡
− = = ⇔ = − + ⇔ = + − − + ⇔
= −
+ ⇔
7
7
) ( ) (
4
) (
2
2 2
m m m
m m
m
x x x
x
Đối chiếu với (2), ta có giá trị cần tìm m m= m1, =−7
0,5
1 (1,0 điểm) II
(2,0 điểm)
Phương trình cho tương đương với
x x x
x x
x sin ) sin2 cos2 cos3 cos
3
(sin + + + − = −
⇔2sin2xcosx+2sinxcosx+2sin2x=−2sin2xcosx
) sin )(cos cos ( sin
0 ) sin (cos sin ) sin (cos sin
= +
+ ⇔
= +
+ +
⇔
x x x
x
x x x x
x x
0,5
x O
1 −
2
y
I −2
(2)2 Từ ta có trường hợp sau
*) sinx=0⇔x=kπ,k∈Z
*) ,
3 2
1 cos cos
2 x+ = ⇔ x=− ⇔x=± π +k π k∈Z
*) ,
4
sin
cosx+ x= ⇔x=−π +kπ k∈Z
Vậy phương trình cho có nghiệm ,
4 ,
2
, =± + =− + ∈Z
=k x k x k k
x π π π π π
0,5
2 (1,0 điểm)
Điều kiện:
0
> ⇔ ⎪⎩
⎪ ⎨ ⎧
> − + >
x
x x x
Khi bpt cho tương đương với 4 x x
x
x + − > + − Đặt x2−2x+4=t,t≥0 ta
⎢ ⎣ ⎡
> < ⇔ > + − ⇔ > +
3
3 4
3
2
t t t
t t t
0,5
*) Với t<1 ta có x2− x2 +4<1, bpt vơ nghiệm *) Với t>3 ta có
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− <
+ > ⇔ > − − ⇔ > + −
6
6
5
4
2
2
x x x
x x
x
Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm x>1+
0,5
Ta có d
) (
2 ln
0
2
∫ +
= x
e xe
I x
x
Đặt u=x⇒du=dx,
1 d
) (
d 2
+ − = ⇒ +
= x x x
e v x e
e v
Theo cơng thức tích phân phần ta có
∫
∫ =− + +
+ + + −
= ln2
0
ln
0
2 ln
1 d
2 ln d
1 x x
x e
x e
x e
x
I (1)
0,5 III
(1,0 điểm)
Tính
1 d
2 ln
0
1 = ∫ x +
e x
I Đặt ex =t ta có x=0⇒t=1;x=ln2⇒t=2 d d t
t x=
Suy d ln ln( 1) 2ln2 ln3
1 1 ) (
d
1
1 2
1
1
1 ⎟ = − + = −
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ − = +
=∫ ∫ t t t
t t t
t t I
Thay vào (1) ta ln2 ln3
5 −
= I
0,5
*) Gọi H trung điểm CM Từ giả thiết
45 )) ( ; ( )
(
1
1 ⊥ ⇒∠ =∠ =
⇒C H ABC CCH CC ABC
*) Từ tam giác vuông ABC với 60
,
2
a AC ABC
a
BC= ∠ = ⇒ = ,
a CH a AB CM
a
AM = = =2 ⇒ =
2 ,
4
45 tan
1H CH a
C = =
⇒
3
1
111 CH S a a a
VABCABC = ABC = =
0,5 IV
(1,0 điểm
*) Kẻ HK ⊥ AC⇒ đường xiên C1K ⊥AC⇒∠((ABC);(ACC1A1))=∠C1KH Tam giác MCA cân M
2 30 sin
300 a
HC HK MAC
MCA=∠ = ⇒ = =
∠ ⇒
arctan ))
( ); (( )
tan(∠ 1 = = ⇒∠ 1 1 =
⇒ ABC ACC A
HK CH KH C
0,5
C
A M
H K
1
C
1
B
1
A
2a
(3)3
Ta có 13 13 ; 13 13 ; 13 13
zx x
z yz z
y xy y
x + + ≥ + + ≥ + + ≥
Suy 23 23 23 3 3 zx yz xy z
y
x + + + ≥ + +
Suy 3 3 2 2 2 2 2 2
x zx z z yz y y xy x zx yz xy P
+ − + + − + + − + + + ≥ +
0,5 V
(1,0 điểm
Mặt khác, áp dụng BĐT 1 , b a b
a+ ≥ + với a,b>0 ta có
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ − + + + + ≥
+3 2 2 2 2 2 2 2
x zx z zx z
yz y yz y
xy x xy zx yz xy P
12
9 16 ) 2 (
9
16
) ( ) ( ) (
3
16 ) (
16 )
( 16 )
( 16
1
1
2
2
4
4
2
2
3 2
2
2
2 2
2
2
2 2 2
= ≥
+ + ≥
+ +
+ ≥
+ + + + + ≥
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ + +
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ + +
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ + =
+ + + + + + + + ≥
z y x
x z z y y x x
z z y y x
x z zx z
y yz y
x xy
x z z y y x zx yz xy
Do P≥9 Dấu đẳng thức xảy x=y=z=1 Vậy giá trị nhỏ P 9, đạt x= y=z=1
0,5
1 (1,0 điểm) : ) (
2
= + y x
E có c= 8−4=2⇒F1(−2;0),F2(2;0) Từ giả thiết ⇒d:y=x−2 hay x− y−2=0
0,5
Từ hệ
3 ; ), ; (
2
2
2 ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⇒ ⎪⎩
⎪ ⎨ ⎧
= +
− =
B A
y x
x y
16 2 ) ; (
1
1 = ABd F AB = =
SFAB
0,5
2 (1,0 điểm)
*) (P) chứa d⇒(P) qua M(2;−1;−1)⇒ pt (P) có dạng
) (
0
2 + + = 2+ 2+ ≠
− +
+By Cz A B C A B C
Ax
0
)
( ⇒ = ⇔ + − =
⊂ P u n A B C
d d P (1)
*)
2
6
| |
2 )) ( ; sin( 30
)) ( ; (
2 2
0 =
+ +
+ + ⇔
= Δ
⇔ = Δ
∠
C B A
C B A P
P
2( )2 3( 2 2) C B A C
B
A+ + = + +
⇔ (2)
0,5 VIa
(2,0 điểm)
*) Từ (1) có C= A+B thay vào (2):
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− =
− = ⇔ = + +
2
2
2 2
B A
B A B
AB A
+ Khi A=−2B Chọn B=−1, A=2,C=1⇒(P):2x−y+z−4=0
+ Khi
2 B
A=− Chọn B=−2, A=1,C =−1⇒(P):x−2y−z−5=0
0,5
VIIa (1,0 điểm)
Từ giả thiết ta có ,
6 ) ( ) (
) )( ( ) (
3 n+ + n+ n+ = n+ n n− n≥
11
2 11
22 )
1 ( ) (
6 ⇔ =
⎢ ⎣ ⎡
− = = ⇔ = − − ⇔ − = + +
⇔ n
n n n
n n
n n
(4)4 Theo khai triển nhị thức Newton ta có
∑ ∑
∑
= −
= −
=
− =
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =
⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −
+ k
i
i i i k k k
k k k
k k
k k
x C x
C x
x C x
x
0 11 11
0 11 11
11
0 11 11
) ( ) (
1 ) (
1
( 1)
11
0 11
0 11
i k i k
i i k k
k k
x C
C −
−
= =
−
=∑ ∑
Xét phương trình 4,0 11
11− − = ≤ ≤ ≤ k i i
k
⎢ ⎣ ⎡
= =
= = ⇔ ≤ ≤ ≤ = + ⇔
0 ,
1 , 11
0 ,
i k
i k k
i i
k
Suy hệ số
x C111.3.C11.(−1)1+C113.33=4422
0,5
1 (1,0 điểm)
– TH1: d ⊥Ox⇒d:x=2 Từ
) ; (
) ; (
2
2 ⇒ =
⎩ ⎨ ⎧
− ⇒
⎩ ⎨ ⎧
= =
ON OM N
M
x y x
(1)
– TH2: d ⊥/Ox⇒d:y=kx−2k. Tọa độ M, N nghiệm ⎩ ⎨ ⎧
= − =
x y
k kx y
2
2
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
− = = ⇔
k y k y
y x
2
2
0
2− − =
⇒ky y k (2)
0,5
Để d cắt (P) M, N phân biệt (2) phải có nghiệm phân biệt ⇔ k≠0
Gọi ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
2 2
2
1 ;
2 , ;
2 y
y N y y
M y1, y2 nghiệm (2)
Ta có ( 2) ( 4)
2
2 2
1 ⎟ + = − + − =
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
= y y y y
ON
OM (3)
Từ (1) (3) suy ∠MON=900⇒ΔOMN vuông O Suy tâm I đường tròn ngoại tiếp OMNΔ trung điểm MN ⇒I∈d
0,5
2 (1,0 điểm)
d cắt (P) E(−1;0;4)
Giả sử F(x0; y0;z0),F∈(P)⇒x0+2y0−z0+5=0 (1) Vì EF⊥ nên d' EF⊥ (định lí đường vng góc) d ⇒ud.EF =0
2 0+ 0+ 0− =
⇔ x y z (2)
0,5 VIb
(2,0 điểm)
75 ) ( )
1 (
5
0 2
0+ + + − =
⇔
= x y z
EF (3)
Từ (1), (2) (3) suy F(4;−5;−1), F(−6;5;9) 0,5 Từ giả thiết 0z2− z2 +4= ta có (z−1)2 =−3⇔z=1± 3i. 0,5
VIIb (1,0
điểm) *) Với z=1+ 3i ta có
7
7 7
) sin (cos
) sin (cos
1 ) (
) (
3 3
π π
π π
i i
i i
i i w
+ − + − =
+ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ − =
7
cos sin
1 4 4 1 3
7 32 32
8 cos sin
6
i
i
i i
i
π π
π π
− + −
+ + −
= = − = − −
+ +
*) Với z=1− 3i ta có
7
7
) sin (cos
) sin (cos
1 ) (
) (
π π
π π
− + −
+ =
− + =
i i
i i w
32 32
1 3
1
6 sin
7 cos
4 sin cos
1
i i
i
i
i −
+ + − = + −
− =
− + −
+
= π π
π π
