THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY QUAY XUNG QUANH TRỤC OX Dạng 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) x =a x =b , trục hoành hai đường thẳng , quanh trục Ox: Chú ý: - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường hồnh hai đường thẳng y =c y =d , quanh trục Oy: x =g ( y ) , trục d y O  (C): x = g(y)   (Oy): x =   y= c  y = d x c d V y = π ∫ [ g( y )] dy c Ví dụ (Thi thử lần 2/2017 THPT Quảng Xương _ Thanh Hóa) Thể tích vật thể trịn xoay x quay hình phẳng giới hạn đường A πe B π ( e − e) y = e2 x x = x = , C πe , y=0 D quanh trục π ( e + e) Ox là: V = π ∫ xe x dx Chọn đáp án C = π ( x.e x − e x ) = π e Ví dụ (Thi thử lần 1/2017 THPT Hàm Rồng) Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x y = Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox 16π 17π 18π 19π A 15 B 15 C 15 D 15 Đáp án A Phương pháp: công thức tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) b , trục Ox hai đường thẳng V = π ∫ f ( x ) dx a x = a, x = b ( a < b ) quay xung quanh trục Ox Cách giải: ta có: x = 2x − x = ⇔  ⇒ V = π ∫ ( 2x − x ) dx x =  4x x  16 π = π ∫ ( 4x − 4x + x ) dx = π  −x + ÷ =  15  2 Ví dụ (Thi thử lần 1/2017 Chuyên Lê Quý Đơn _ Ninh Thuận) Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng x = e quay quanh Ox 2e3 + V= A Đáp án A B 2e3 + V= C 2e3 − V= Phương trình hồnh độ giao điểm (C) với trục Ox D , trục hoành 2e3 − V= x ln x = ⇔ x = V = π∫ x ln xdx Thể tích khối trịn xoay cần tính y = x ln x Đặt u = ln x dx x3 ⇔ du = ; v =  x dv = x dx 4  x ln x x  x ln x x e3 e3 2e3 + V= − dx =  − ÷ = − + = ∫1 1 9  Ví dụ (Thi thử 2017 THPT Hoằng Hóa _ Thanh Hóa) Cho đường cong Gọi (H) hình phẳng giới hạn (C), trục tung đường thẳng: y = m ( m > 0) V = xung quanh trục tung ta vật thể trịn xoay tích m A m = B Ta có: B m =  x = y ( x; y ≥ )  ( S) y = m x =  m ( ) VOy = π ∫ y dx = Khi đó: Cho C m = y2 = ⇒ y = m 32π y ⇔ 5 = m5 32 = ⇔m=2 5 ( C) : y = 32π x Cho (H) quay (đvtt) Tìm giá trị D m = Ví dụ (Thi thử lần 2/2017 THPT An Lão _ Hải Phòng) Gọi V thành quay xung quanh trục hồnh elip có phương trình với giá trị sau đây? A 550 Đáp án C Ta có B 400 Ox,Oy cần tính lần thể tích hình sinh 25 − x , y = 4  V = 4.π∫  25 − x ÷ dx ≈ 670,  0 Ví dụ Cho tam giác Tính thể tích V ABC có diện tích quay xung quanh cạnh B V = p V = C p V = Đáp án A SABC = Þ AB = BC = CA = ( O ( 0;0) , A ( 1;0) , B 0;- Chọn hệ trục vng góc ) cho với Phương trình đường thẳng AB y= O trung điểm ( x - 1) , thể tích Ox ABO AC khối trịn xoay quay quanh trục (trùng ) tính V ¢= pò 3( x - 1) dx = p AC khối tròn xoay tạo thành Hướng dẫn giải AC đường thẳng Oxy có giá trị gần D 335 V làm trục đối xứng nên thể tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = 0, x = Ox quay xung quanh V = 2p y= A x2 y2 + =1 V 25 16 C 670 x2 y + =1⇔ y = ± 25 − x 25 16 Do elip nhận thể tích khối trịn xoay tạo Vậy thể tích cần tìm V = 2V ¢= 2p D p Bài tập tự luyện Nhận biết (Thi thử lần 2/2017 Chuyên Quốc Học Huế) Tính thể tích V khối trịn xoay sinh Câu quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = a, x = b ( a < b ) b V = π ∫ f ( x ) dx a , trục Ox, hai đường thẳng quanh trục Ox b A Đáp án C y = f ( x) b V = ∫ f ( x ) dx a B b b a a V = π∫ f ( x ) dx a C b V = ∫ f ( x ) dx a D V = π ∫ f ( x ) dx = π ∫ f ( x ) dx (Thi thử lần 3/2017 Chuyên Thái Bình) Cho hình phẳng (H ) giới hạn đường Câu y = x ; y = 0; x = V= Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay (H ) quanh trục Ox V= A Đáp án D B V= C 8π V= D 32π x5 32π V = π∫ x dx = π = 5 Thể tích cần tính 32 (Thi thử 2017 THPT Nguyễn Huệ _ Huế) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường Câu y = − x2 , y = Tính thể tích V khối trịn xoay hình thành cho (H) quay xung quanh Ox 512 Vđvtt = ( 15 A Đáp án B ) B 512π Vđvtt = ( 15 PT hoành độ giao điểm đồ thị Suy thể tích cần tính ) C V = 2đvtt π( )  x = −2 − x2 = ⇔   x=2 512π V = π ∫ ( − x ) dxđvtt = ( 15 −2 ) D 32π Vđvtt = ( 15 ) Câu (Thi thử lần 2/2017 THPT Kim Sơn A _ Ninh Bình) Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh y= cho hình phẳng giới hạn đường trục Ox  1 V = 1 + ÷π  a , y = 0, x = 1, x = a ( a > 1) x  1 V = 1 + ÷  a  1 V = 1 − ÷  a quay xung quanh  1 V = 1 − ÷π  a A B C D Đáp án D - Phương pháp: Vật thể tròn xoay: Là vật thể tạo quay hình thang cong giới hạn đường y = f(x), x = a, x = b y = quanh trục Ox Khi thể tích vật thể tròn xoay b Vx = π ∫ f ( x ) dx a tính theo cơng thức: a V = π∫ - Cách giải: Câu a 1  1 dx = − π = π 1 − ÷ x x1  a (Thi thử lần 1/2017 THPT Hậu Lộc _ Thanh Hóa) Tính thể tích V khối trịn xoay tạo y= tan x , y = 0, x = 0, x = thành quay hình phẳng giới hạn đường trục Ox π ln V= A Đáp án D B π V = ln π C π2 V= D π xung quanh V = π ln π π sin xdx −d cos x V = π∫ tan xdx = π ∫ = π∫ = π ln cos x = π ln cos x cos x 0 0 Ta có: Câu (Thi thử lần 4/2017 THPT Lý Thái Tổ _ Hà Nội) Cho hình phẳng ( D) giới hạn đồ thị hàm x số y = e2 trục Ox hai đường thẳng trịn xoay quay hình ( D) V = π ∫ e x dx Đáp án B B Viết công thức tính thể tích V khối Ox V = π ∫ e x dx quay quanh trục V = π ∫ e x dx A x = 0, x = C  2x  V = π ∫e d x÷ 0  D  2x  V = π ∫  e ÷ dx = π ∫ e x dx  0 Thể tích khối tròn xoay: Câu (Thi thử 2017 THPT Phan Đình Phùng _ Hà Nội) Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đường x = V = 8π 15 V = A Đáp án A B V = π ∫ ( x − x ) dx = Câu 7π V = V = D 15π 8π 15 (Thi thử 2017 THPT Bắc Yên Thành _ Nghệ An) Cho hình π A Đáp án D x =1 , trục hoành đường thẳng tạo thành quay (H) B − e3 + ln 64π 2 0 π e 2π x ln x − 3 , x = e (H) giới hạn bở đồ thị Tính thể tích khối trịn xoay quanh trục hồnh VOx = π ∫ ( x ln x ) dx = π ∫ x ln xdx ⇒V = ( C ) : y = x ln x Câu C 8π y = x − x, y = 0, x = Đặt e ∫ x ln xdx = C ( −4 + ln 64 ) π D π ( 5e3 − 2) 27  du = ln xdx   u = ln x   x ⇒   dv = x dx v = x   π 2π e − 3 1 e 1e  π x ln x − ∫ x dx ÷ = ( 5e3 − )  3 27   (Thi thử lần 1/2017 THPT Lương Tâm _ Hậu Giang) Thể tích khối trịn xoay tạo nên quay xung quanh trục trục bằng: 8π A Đáp án B Ox hình phẳng giới hạn đường B 2π V = π ∫ (1 − x) dx = Gọi V thể tích cần tìm: y = ( − x ) , y = 0, x = 0, x = C 2π 5π D 2π Câu 10 (Thi thử lần 2/2017 THPT Quảng Xương _ Thanh Hóa) Thẻ tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng D giới hạn đường 5 2 π2 ∫ ( x − 1) dx A Đáp án C B trục hoành, x = 2, x = 5 ( x − 1) dx ∫ y = x − 1, π ∫ ( x − 1) dx C quanh trục Ox ∫ ( x − 1) dx D V = π ∫ (x − 1)dx Thể tích cần tính Câu 11 (Thi thử 2017 Quảng Ninh) Kí hiệu ( H) hình phẳng giới hạn đường cong x = 0, x = trục hoành hai đường thẳng quay hình A ( H) π y = tan x Tính thể tích V khối tròn xoay thu xung quanh trục Ox  π Vπ= −1  − ÷  4  π Vπ=  − ÷  4 C Đáp án C B D  π V = 1 − ÷  4 π  Vπ= 2 − ÷ 4  π Vπ= tan ∫ x dx π  − cos x  π= ∫  dx÷ π= cos x  0 π  ∫  cos x1−  ( x x− ÷π= tan  ) π Thể tích cần tích  π ⇔ Vπ=  − ÷  4 Câu 12 (Thi thử 2017 THPT Thanh Chương _ Nghệ An) Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới y= hạn đồ thị hàm số V = π (a + b ln 2) A Đáp án D vi x , x +1 a, b Ô B trục Khi −4 Xét phương trình hồnh độ giao điểm Ox a.b đường thẳng x =1 quay quanh trục C −x =0⇔ x=0 x +1 D −3 Ox Ta có: 2 1      −x    V =π ∫ dx = π − dx = π − + dx =  x − 2ln x + −  ÷  ÷ ÷ ∫ ∫ x +1 x +1 x + (x − 1)  x +   0 0 0 3  =  − 2ln ÷π 2  Câu 13 a.b = −3 (Thi thử 2017 THPT Nguyễn Đình Chiểu _ BÌnh Định) Thể tích khối trịn xoay tạo thành x quay quanh trục độ Ox hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: 2e − 10 A Đáp án C B 2e + 10 C π (2e2 − 10) y = (2 − x)e D hai trục tọa π ( 2e + 10 ) b - Phương pháp: Áp dụng cơng thức tính thể tích: máy tính x - Cách giải + Tìm cận: π ∫ | f (x) − g(x) | dx a Kết hợp với việc dùng x 2 (2 − x)e = ⇔ x = ⇒ V = π∫ [(2 − x)e ] = π ∫ (2 − x) e x dx 0 Bấm máy tính ta kết xấp xỉ 15,01 Đáp án C Câu 14 (Đề tập huấn 2017 Chuyên Võ Nguyên Giáp _ Quảng Bình) Cho mặt phẳng (H) giới hạn y = x, y = x − đồ thị hàm số trục hồnh Tìm cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay sinh cho hình (H) quay quanh trục hồnh 4  V = π  ∫ xdx + ∫ ( x − 2) dx  0  A 2  V = π  ∫ xdx + ∫ ( x − 2) dx  0  B 4  V = π  ∫ xdx − ∫ ( x − ) dx  0  C Đáp án C Câu 15 D 2  V = π  ∫ xdx − ∫ ( x − 2) dx  0  (Thi thử 2017 THPT Quang Trung _ Bình Phước) Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình (H) quanh Ox với (H) giới hạn đồ thị hàm số 35π A Đáp án C 31π B HD: PT hoành độ giao điểm S = π∫ thể tích cần tính Câu 16 ( C 32π x = 4x − x = ⇔  x = 4x − x ) y = 4x − x2 trục hồnh D Ta có 34π x ∈ (0; 4) ⇒ 4x − x > Suy  x3  32π dx = π  2x − ÷ = 0  (Đề thi thử THPTQG năm 2017 CHUYÊN VỊ THANH HẬU GIANG) Cho hình phẳng (H) y = s inx; x = 0; y = 0; x = giới hạn đường hình phẳng (H) quanh quanh trục Ox −2 A B Đáp án B π C Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh D π π − cos2x π2  x sin 2x  V = π∫ sin xdx = π∫ dx = π  − = ÷ 0 2 0 Thể tích cần tính Thơng hiểu Câu 17 (Thi thử lần 2/2017 Chuyên Thái Nguyên) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay elip x y2 + =1 b2 quanh trục Ox? πb πb πb 4πb A B C D Đáp án D Hình elip nhận Ox làm trục đối xứng nên khối elip tròn xoay sinh nửa phía Ox elip quay quanh Ox Phương trình nửa là: x3 y2 x3  2 + = ⇔ y = b 1 − ÷ b2   C 1024 2π V= 45   16 − − π  ÷ ÷  V = ( D ) Lời giải: Do tính đối xứng nên thể tích cần tìm thể tích khối trịn xoay tạo x = 4− y thành quay hình phẳng giới hạn đường cong Oy hai đường thẳng y = 0, y = quanh trục Oy 4 2π 16π V = π ∫ − ydy = π ∫ ( − y ) dy = − ( − y) = 3 0 ⇒ , trục Chọn đáp án B Vận dụng Câu 25 (Thi thử lần 1/2017 Bắc Giang) Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ đây: Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện V(cm3 ) ly cắt mặt phẳng qua trục đối xứng Parabol Tính thể tích cho V= A 72π B V = 12 V= D 72 C V = 12π vật thể Đáp án C Thể tích vật thể tích khối trịn xoay quay hình (H) giới hạn đường x= 2y + 12 , x = 0, y = −6, y = quanh trục tung 0 Khi Câu 26 2y + 12 1  V = π∫ dy = π  y + 4y ÷ = 12π 3  −6 −6 ( O1;5) (Thi thử 2017 Chuyên Ngữ _ Hà Nội) Cho đường tròn ( O2 ;3) cắt điểm ( O2 ) A, B cho AB đường kính đường trịn Gọi (D) hình thẳng giới hạn đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay (D) quanh trục O1, O2 ta khối trịn xoay Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành V= 14π V= 68π V= 40π V = 36π A B C D Đáp án C Gọi V1 thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng D giới hạn ⇒ V1 = π∫ 9 − ( x − ) dx   y = − ( x − ) , y = 0, x = 4, x = đường quay trục tung Gọi V2 thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng D giới hạn đường y = 25 − x , y = 0, x = 4, x = ⇒ V2 = π ∫ ( 25 − x ) dx quay trục tung Khi thể tích khối 4 trịn xoay cần tính V = V1 − V2 = π ∫ 9 − ( x − ) dx − π ∫ ( 25 − x ) dx   V= Suy 40 π y M Câu 27 (CHUYÊN VINH – L2) a K O H thành quay hình phẳng giới hạn đường Đường thẳng x = a ( < a < 4) cắt đồ thị hàm khối tròn xoay tạo thành quay tam giác A a=2 B a=2 C , M quanh trục a= Gọi y= x y= x OMH x V thể tích khối trịn xoay tạo y=0 x=4 (hình vẽ bên) Gọi Ox Biết D a=3 D Ta có x =0⇔ x=0 ( M a; a Ta có ) Khi quay tam giác V = π ∫ xdx = 8π Khi OMH quanh trục Ox V1 V = 2V1 Hướng dẫn giải Chọn quanh trục tạo thành hai hình nón có chung đáy: Ox thể tích Khi  Hình nón  Hình nón ( N1 ) ( N2 ) , chiều cao thứ có đỉnh H h1 = OK = a , chiều cao , bán kính đáy h2 = HK = − a R = MK = a ; R = MK = a , bán kính đáy 1 π R h 1+ π R2 h = π a 3 V1 = Khi V = 2V1 ⇔ 8π = π a ⇒ a = 3 Theo đề Câu 28 có đỉnh O Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ phần mặt phẳng vng góc bán kính cách tâm 3dm để làm lu đựng Tính thể tích mà lu chứa A 132π (dm3) B 41π (dm3) 100 π C (dm3) D 43π (dm3) Hướng dẫn giải Đáp án: A Đặt hệ trục với tâm O, tâm mặt cầu; đường thẳng đứng Ox, đường ngang Oy; đường 2 trịn lớn có phương trình x + y = 25 Thể tích hình giới hạn Ox, đường cong y = 25 − x , x = 3, x = −3 quay quanh Ox V = π ∫ (25 − x ) dx −3 Câu 29 = 132π Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB vuông A, điểm B nằm góc phần tư thứ A ·AOB = α ,  < α < π   ÷  Khi quay tam giác quanh  nằm trục hồnh, OB = 2017 Góc trục Ox ta khối nón trịn xoay Thể tích khối nón lớn : sin α = A B cos α = C cos α = D sin α = Hướng dẫn giải Đáp án: A Phương trình đường thẳng OB : y = x.tan α ; OA = 2017cos α Khi thể tích nón trịn xoay là: V =π 2017.cos α ∫ 20173.π 20173.π x tan α dx = cosα sin α = cos α − cos α 3 2 ( ) ( )  1  1 t = cos α ⇒ t ∈  0; ÷ f ( t ) = t − t , t ∈  0; ÷   Xét hàm số  2 Đặt Ta tìm f ( t) lớn t= 3 ⇒ cos α = ⇒ sin α = 3 Dạng Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) ,y = g ( x) , x = a, x = b quay quanh trục Ox tính công thức: b V = π∫ f ( x) − g2 ( x) dx a Ví dụ (Thi thử lần 1/2017 THPT Đoàn Thượng _ Hải Dương) Thể tích khối trịn xoay ( P ) : y = x2 cho hình phẳng giới hạn Parabol Ox trục tính cơng thức đây? 2 0 đường thẳng V = π ∫ ( x − x ) dx V = π ∫ ( x − x ) dx C Đáp án A quay xung quanh V = π ∫ x dx − 4π ∫ x 4dx A d:y=x B 2 0 V = π ∫ x dx + 4π ∫ x dx D x = 2x = x ⇔ x ( 2x − 1) = ⇔  x =  Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) 2 Thể tích khối trịn xoay cần tính 2 0 V = π∫ ( 2x ) − x dx = π ∫ x 2dx − 4π ∫ x 4dx Ví dụ (Thi thử 2017 THPT Thanh Miện _ Hải Dương) Cho hình phẳng D giới hạn y = x − 4x + ; y = x + đường tròn xoay tạo thành 120π A (đvtt) Đáp án C Cho hình phẳng D quay quanh trục Ox Tính thể tích khối B Phương pháp: Cho hàm số 100π (đvtt) y = f ( x) C y = g( x) 125π (đvtt) liên tục [ a;b] D 115π Khi thể (đvtt) tích khối trịn xoay giới hạn hai đồ thị hàm số hai đường thẳng x = a, y = b quay b V = π∫ f ( x ) − g ( x ) dx quanh trục Ox là: a  x − 4x + = x + x = x − 4x + = x + ⇔  ⇒  x − 4x + = − x −  x = Ta có: V = π∫ x − 4x + − ( x + 3) dx = 125π ( dvtt ) 2 Vậy thể tích khối trịn xoay Ví dụ Quay hình phẳng (H) hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là: A V = 3π V = 3π C Lời giải B D V = 3π V = 3π  x + y =  x = ⇔ ⇒ x =− 3∨x =   y =1  y = Xét hệ phương trình: Do (H) đối xứng qua Oy nên:  x3  2   V = 2π ∫ ( − x ) −  dx = 2π ∫ ( − x ) dx = 2π  3x − ÷ = 3  0 ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ (Thi thử 2017 THPT Quang Trung _ Bình Phước) Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol) A 19m3 Đáp án D B 21m3 C 18m3 D 40m3 HD: Diện tích mặt cắt diện tích phần gạch chéo hình y = ax +  x = 10 −x ⇒ a = − ⇒ y = +  40 40 y=0 Parabol nằm có phương trình −8 x +2 361 y= Tương tự: Parabol nằm có phương trình 9,5  x2    − + dx − ∫−10  40 ÷ −9,5 ∫  − 361 x + ÷dx = ⇒ V = 8.5 = 40m 10 Khi Bài tập tự luyện Nhận biết Câu 30 (Thi thử lần 3/2017 THPT Ngơ Gia Tự _ Vĩnh Phúc) Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol bằng: π ∫ ( x − x ) dx A Đáp án D π ∫ ( x − x ) dx B Do với x ∈ (0; 2) nên quay xung quanh trục 2 π ∫ x dx + π ∫ x dx x=2 Ox π ∫ x d x − π ∫ x dx C x2 = x ⇔ x = V = V1 − V2 d : y = 2x 2 Phương trình hồnh độ giao điểm 2x ≥ x đường thẳng 2 ( P ) : y = x2 D 0 V1 thể tích khối trịn xoay cho hình d : y = 2x Oy x=2 Ox phẳng giới hạn đường thẳng , trục , đường thẳng trục quay ( P) Ox V2 quanh trục ; thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol , Oy x=2 Ox Ox trục , đường thẳng trục quay quanh trục Từ ta suy câu D (Thi thử lần 2/2017 THPT Hai Bà Trưng _ Thừa Thiên Huế) Cho hình phẳng Câu 31 đường y = x2 y = x 1 π ∫ ( x − x ) dx ( đvtt ) A π∫ ( π ∫ ( x − x ) dx ( đvtt ) V =π∫ ( x Suy ) −( x D Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2 tích là: ) Ox ) x − x dx ( đvtt ) C Đáp án D quay quanh giới hạn π ∫ x − x dx ( đvtt ) B ( Khối tròn xoay tạo (H) ( H) ) x = x2 = x ⇔  x = 1 dx = π ∫ x − x dx = π ∫ ( x − x ) dx 0 Câu 32 (Thi thử lần 3/2017 Chun Vĩnh Phúc) Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol 1 0 ( P) : y = x2 π ∫ x dx − π ∫ x 4dx A đường thẳng 1 0 ( d) : y = x xoay quanh trục Ox bằng: π∫ x 2dx + π∫ x 4dx B π∫ ( x − x ) dx π∫ ( x − x ) dx 0 C D Đáp án A Áp dụng cơng thức tính thể tích khối trịn xoay: Giải phương trình x2 = x để tìm cận Cận tìm 1 V = π ∫ x − x dx V = π∫ ( x − x ) dx Câu 33 x2 − x4 ≥ với x thuộc [ 0;1] (Chuyên KHTN Hà Nội lần 2/2017) Tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số A Đáp án C y = x − 2x B 4π y = −x2 quay quanh trục Ox C π D Xét x − 2x = − x ⇒ x = 0; x = 1 V1 = π ∫ ( x − 2x ) dx = 8π 15 V2 = π∫ ( − x ) dx = π V= Câu 34 8π π − π= 15 (Thi thử lần 1/2017 Chuyên ĐH Vinh) Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường V= 5π y = 0, y = x ln ( x + 1) V= A Đáp án D B π ( 12 ln − ) V= C x =1 5π 18 xung quanh trực Ox là: V= D π ( 12 ln − 5) 18 x ln(x + 1) = ⇔ x = Phương trình hoành độ giao điểm (C) Ox V = π ∫ x ln(x + 1)dx Thể tích khối trịn xoay cần tính 1 Đặt dx  du =  u = ln(x + 1)  x +1 ⇔  dv = x dx v = x  x ln(x + 1) x π ⇒ I = ∫ x ln(x + 1)dx = − ∫ dx = (12ln − 5) ⇒ V = (12 ln − 5) 3 x +1 18 18 0 Câu 35 (Thi thử lần 1/2017 Chun Biên Hịa _ Hà Nam) Thể tích khối trịn xoay hình phẳng 2 giới hạn đường y = x x = y quay quanh trục Ox bao nhiêu? 3π 10π A 10 B 10π C D 3π Đáp án A Phương trình hồnh độ giao điểm Trong đoạn x ∈ [ 0;1] suy (C1 ),(C2 )  y = x x = y = ⇔   x = 1; y =   x = y y = x2; y = x  x5 x2  3π = π ∫ (x − x)dx = π  − ÷ =  10  VOx Thể tích khối trịn xoay cần tính Câu 36 (Thi thử 2017 THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) Thể tích khối trịn xoay quay quanh trục hồnh phần hình phẳng giới hạn đường y = x2 y= x là: π 10 2π 15 3π 10 3π A B C D Đáp án C Thể tích khối trịn xoay thể tích tạo hình phẳng có diện tích phần gạch chéo hình bên quay quanh trục hoành 3π V = π∫ ( x − x ) dx = 10 Khi đó: Câu 37 (Thi thử lần 2/2017 Chun Nguyễn Quang Diệu) Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường x −1 , y = ,x =1 x x y= π ( 2ln − 1) π ( − 2ln ) −π A B C D Đáp án A - Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g( x) hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) quay xung quanh trục Ox b V = π ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a - Cách giải: Có x −1 = ⇔x=2 x x 2  x −1    V = π∫ f ( x ) − g ( x ) dx = π ∫  ÷ −  ÷ dx x  x 1  Thể tích vật thể  x−2 = π∫  ÷dx = π ( ln − 1) x   (Thi thử lần 2/2017 THPT Chu Văn An _ Hà Nội) Câu 38 Cho hai hàm số y = f1 ( x ) y = f2 ( x ) liên tục [ a; b] đoạn có đồ thị hình vữ bên Gọi S hình phẳng giới hạn hai đồ thị x = a, x = b đường thẳng Thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành quay S quanh trục Ox tính cơng thức sau đây? b b V = π∫ ( f12 ( x ) − f 22 ( x ) ) dx a A V = π ∫ ( f1 ( x ) − f ( x ) ) dx a B b V = ∫ ( f12 ( x ) − f 22 ( x ) ) dx a C Đáp án A b V = π ∫ ( f1 ( x ) − f ( x ) ) dx - Phương pháp:Cho hai hàm số a D y = f ( x) y = g( x) khối tròn xoay giới hạn hai hàm số liên tục  y = f ( x ) , y = g ( x ) [ a; b] Khi thể tích V hai đường thẳng b x = a; y = b V = π ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a quay quanh trục Ox là: b V = π∫ f Cách giải: Theo cơng thức ta có: thị hàm số y = f1 ( x ) a b ( x ) − f ( x ) dx = π∫ ( f12 ( x ) − f 22 ( x ) ) dx nằm phía đồ thị hàm số 2 a y = f2 ( x ) (vì đồ ) Thông hiểu (Đề thi thử THPTQG năm 2017 chun ĐH Vinh lần 3) Thể tích khối trịn xoay thu Câu 39 quay hình phẳng giới hạn đường tính theo cơng thức sau đây? A V = π ∫ ( − x ) dx +π ∫ x 2dx V = π∫ ( − x ) dx B y = − x, y = x, y = xung quanh trục Ox V = π∫ xdx +π∫ − xdx C V = π ∫ x dx +π ∫ ( − x ) dx D Đáp án D H1 Kí hiệu H2 Kí hiệu hình phẳng giới hạn đường hình phẳng giới hạn đường Khi thể tích V cần tính thể tích ( H1 ) xung quanh trục Ox cộng với thể tích ( H2 ) V2 y = − x, y = 0, x = khối tròn xoay thu quay hình khối trịn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox Ta có 2 1 V2 = π∫ ( − x ) dx ⇒ V = V1 + V2 = π∫ x dx + π∫ ( − x ) dx V1 = π ∫ x dx Câu 40 V1 y = x, y = 0, x = Quay hình phẳng (H) hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích: V= A V= 46π 23π C Lời giải V= B D 46π 15 V = 13π  x + y = ⇒ x = −1 ∨ x =   y = x Xét hệ phương trình: Do (H) đối xứng qua Oy nên V = 2π ∫ ( − x ) −  ⇒ Chọn đáp án B  x 3x  46π x  dx − 2π ∫ ( − x − x ) dx = 2π  x − − ÷ =  15   0 ( ) Câu 41 V (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích hạn đường trịn V = 6π A khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới (C ) : x + ( y − 3) = B V = 6π xung quanh trục hoành C V = 3π D V = 6π Hướng dẫn giải ChọnD x + ( y − 3) = ⇔ y = ± − x (  V = π ∫  + 1− x2 −1  ) ( − − − x2 x = sin t ⇒ dx = cos t.dt Đặt π ⇒ V = 12π ∫π − Với )   dx = 12π ∫ − x dx −1 π   x = ⇒ t =   x = −11 ⇒ t = − π  − sin t cos tdt = 12π π ∫π cos − 2 tdt = 6π 2 Vận dụng Câu 42 Trên mặt phẳng Oxy, cho ( P ) : y = x ; ( P ') : y = x ; ( d ) : y = bằng: 9π A B Lời giải Đặt V thể tích cần tìm 4π hình phẳng (H) giới hạn đường Thể tích khối tròn xoay quay (H) quanh trục Ox Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d):  x=2 x2 − ⇔   x = −2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P’) (d):  x =1 x2 = ⇔   x = −1 C 7π D 2π VOAC thể tích khối trịn xoay sinh quay (H’):  y = x2   y=4  Oy  quanh Ox  y = 4x2   y=4  Oy VOAB  thể tích khối tròn xoay sinh quay (H’’): quanh Ox Lúc đó: V = VOAC − VOAB 2 0 0 2 = π ∫  − ( x )  dx − π ∫  − ( x )  dx = π ∫ ( − x ) dx − π ∫ ( − 16 x ) dx      x5   x5  16  4π  32 = π  x − ÷ − π  x − 16 ÷ = π  − − + ÷ = 0  0 5   ⇒ Câu 43 (đ.v.t.t) Chọn đáp án B (Thi thử lần 1/2017 Chuyên Lê Quý Đơn _ Quảng Trị) Bên hình vng cạnh a, dựng hình cho bốn cạnh hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho hình) Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình quay trục xy A 5π a 48 B π a 5π a 16 π a C D Đáp án A Gọi V thể tích khối trịn xoay cần tính V1 Gọi thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng tơ màu hình bên quanh trục hồnh V = 2V1 Khi Ta có a a 2 a 5π x a  V1 = π∫  + ÷ dx − π∫  2x − ÷ dx = a 4 2 96 a 0 V = 2V1 = Suy 5π a 48 Cách 2: Thể tích hình nón có bán kính đáy a chiều cao a là:  a  a πa V2 = π  ÷ =   48 Thể tích hình nón có bán kính đáy Thể tích hình nón có bán kính đáy a a chiều cao a là: chiều cao a a πa V3 = π  ÷ a = 2 12 là:  a  a πa V4 = π  ÷ =   96 Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình quanh trục xy là:  πa πa πa  5πa V1 = ( V3 − V ) − V2  =  − − ÷= 96 48  48  12 ... đường Khi thể tích V cần tính thể tích ( H1 ) xung quanh trục Ox cộng với thể tích ( H2 ) V2 y = − x, y = 0, x = khối trịn xoay thu quay hình khối trịn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox Ta có... cho hình) Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình quay trục xy A 5π a 48 B π a 5π a 16 π a C D Đáp án A Gọi V thể tích khối trịn xoay cần tính V1 Gọi thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng... Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay elip x y2 + =1 b2 quanh trục Ox? πb πb πb 4πb A B C D Đáp án D Hình elip nhận Ox làm trục đối xứng nên khối elip tròn xoay sinh nửa phía Ox elip quay