ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TỐNG VĂN QUÁN VỀ ƯỚC LƯỢNG METRIC BERGMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TỐNG VĂN QUÁN VỀ ƯỚC LƯỢNG METRIC BERGMAN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Ninh Văn Thu Hà Nội - Năm 2017 Mục lục Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Hàm điều hòa, đa điều hòa 1.3 Nhân Bergman, metric Bergman 12 1.3.1 Nhân Bergman 12 1.3.2 Metric Bergman 16 1.4 Các tính chất metric Bergman 17 1.5 Hàm peak chỉnh hỉnh 19 1.6 Hàm peak đa điều hòa 19 1.7 Miền giả lồi, giả lồi chặt 19 Chương Dáng điệu biên metric Bergman 21 2.1 Dáng điệu biên metric Bergman 21 2.2 Một số ước lượng L2 cho toán tử ∂ 23 2.3 Chứng minh Định lý 2.1.5 24 2.4 Chứng minh cho Định lý 2.1.1, 2.1.3 26 2.5 Ví dụ nhận xét 30 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc TS Ninh Văn Thu Thầy dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành đến thầy Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới q thầy Khoa Tốn - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2015 - 2017, có cơng lao dạy dỗ tơi suốt q trình học tập Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Tơi xin chân thành cảm ơn Hà nội, tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Tống Văn Quán Danh mục ký hiệu KΩ (Z) Nhân Bergman BΩ (z, X) Metric Bergman ρ Hàm peak đa điều hòa L2 (Ω) Tập hàm bình phương khả tích Ω · Chuẩn L2 H (Ω) Không gian hàm chỉnh hình L2 (Ω) gΩ (z, w) Hàm Green đa cực H(Ω) Tập hàm điều hòa Ω SH(Ω) Tập hàm điều hòa Ω P H(Ω) Tập hàm đa điều hòa Ω P SH(Ω) Tập hàm đa điều hòa Ω ∂ 2u := nj,k=1 (a)Xj X k dạng Levi ∂zj ∂z k Lu(a; X) D := B1 = {z ∈ C : |z| < 1} đĩa đơn vị Mở đầu Cho Ω miền bị chặn Cn , ký hiệu KΩ (z) nhân Bergman Ω Metric Bergman xác định n BΩ (z, X) = j·k=1 n X = ∂ log KΩ (z) Xj X k ∂zj ∂z k 1/2 Xj ∂/∂zj ∈ T 1,0 (Cn ) Gần đây, người ta metric j=1 Bergman miền siêu lồi bị chặn tùy ý đầy đủ Điều trả lời phần thỏa đáng toán cổ điển Kobayashi: Miền giả lồi bị chặn Bergman đầy đủ? Vấn đề nghiên cứu rộng rãi Tuy nhiên, tính Bergman đầy đủ khơng đảm bảo metric Bergman dần vô cực z dần tới biên Một hàm ρ gọi hàm peak đa điều hòa điểm biên w0 miền Ω ρ đa điều hòa Ω, liên tục Ω với ρ(w0 ) = ρ(z) < với z ∈ Ω\{w0 } Một cách tự nhiên, ta hỏi xem liệu metric Bergman miền giả lồi bị chặn có dần đến vơ cực điểm biên tồn hàm peak đa điều hịa điểm Nội dung luận văn đưa kết riêng sau: Cho Ω miền giả lồi bị chặn Cn cho w0 ∈ ∂Ω Giả sử tồn hàm peak đa điều hòa ρ Ω w0 mà liên tục Holder w0 , nghĩa là, tồn số c, γ > cho ρ(z) ≥ −c|z − w0 |γ với z ∈ Ω Khi đó, ta có BΩ (z; X) →∞ |X| 0=X∈T 1,0 (Cn ) inf z → w0 Ω Kết trình bày báo “Boundary behavior of the Bergman metric” B.-Y Chen tạp chí Nagoya Math J., Vol 168, pp 27–40 [4], khẳng định metric Bergman miền giả lồi bị chặn dần đến vô cực điểm biên tồn hàm peak đa điều hòa điểm Luận văn “Về ước lượng metric Bergman” trình bày lại kết báo B.-Y Chen Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm giải tích phức bao gồm định nghĩa số ví dụ hàm chỉnh hình, hàm song chỉnh hình, hàm điều hịa, hàm đa điều hịa, nhân Bergman, metric Bergman, tính chất metric Bergman, hàm peak chỉnh hình, hàm peak đa điều hịa dưới, miền giả lồi, miền lồi chặt Chương Dáng điệu biên metric Bergman Chương giành để trình bày kết dáng điệu biên metric Bergman với kết số ước lượng L2 cho toán tử ∂ Mặc dù cố gắng vấn đề nghiên cứu phức tạp kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn cịn nhiều khiếm khuyết Trong q trình đọc dịch tài liệu, viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm giải tích phức bao gồm định nghĩa số ví dụ hàm chỉnh hình, hàm song chỉnh hình, hàm điều hịa, hàm đa điều hịa, nhân Bergman, metric Bergman, tính chất metric Bergman, hàm peak chỉnh hình, hàm peak đa điều hịa dưới, miền giả lồi, miền lồi chặt Kiến thức Chương tham khảo từ tài liệu [1, 2, 3] 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử Ω miền mặt phẳng phức C f hàm biến phức z = x+iy xác định Ω Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Hàm f gọi C-khả vi điểm z0 ∈ Ω tồn giới hạn f (z0 ) := lim h→0 h=0 f (z0 + h) − f (z0 ) h Trong trường hợp này, ta nói f có đạo hàm theo biến phức điểm z0 Xét vi phân df = ∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y (1.1) Đối với hàm z = x + iy z = x − iy, ta có dz = dx + idy, dx = (dz + dz), dz = dx − idy dy = (dz − dz) 2i (1.2) Thế (1.2) vào (1.1), thu hệ thức df = ∂f ∂f ∂f ∂f −i dz + +i dz ∂x ∂y ∂x ∂y Bằng cách đặt ∂f ∂f ∂f = −i , ∂z ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f = +i ∂z ∂x ∂y (1.3) ta thu ∂f ∂f ∂f = + , ∂x ∂z ∂z ∂f ∂f ∂f =i − ∂y ∂z ∂z ta viết biểu thức vi phân (1.1) dạng df = ∂f ∂f dz + dz ∂z ∂z (1.4) Định lý 1.1.2 ([1]) Hàm f C-khả vi điểm R2 -khả vi điểm ∂f = ∂z Định nghĩa 1.1.3 ([1]) Giả sử D miền mặt phẳng phức C (i) Hàm f : D → C gọi hàm chỉnh hình điểm z0 C-khả vi lân cận điểm z0 (ii) Hàm f : D → C gọi hàm chỉnh hình miền D chỉnh hình điểm miền Tập hợp hàm chỉnh hình miền D ký hiệu O(D) (iii) Hàm f (z) chỉnh hình điểm vơ hàm ϕ(z) = f z chỉnh hình điểm z = Ví dụ 1.1.4 • Hàm f (z) = z chỉnh hình tập mở C, f (z) = • Hàm đa thức p(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n chỉnh hình tồn mặt phẳng phức p (z) = a1 + · · · + nan z n−1 Ví dụ 1.1.5 Hàm f (z) = z khơng chỉnh hình Thật vậy, ta có f (z0 + h) − f (z0 ) h = h h khơng có giới hạn h → cho h dần tới theo trục thực cho h dần tới theo trục ảo ta thu hai giá trị khác Định lý 1.1.6 ([1]) Nếu f g chỉnh hình Ω thì: (i) f + g chỉnh hình Ω (f + g) = f + g (ii) f g chỉnh hình Ω (f g) = f g + f g (iii) Nếu g(z0 ) = f /g chỉnh hình z0 f g (z0 ) = f (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g (z0 ) g (z0 ) Ngoài ra, f : Ω → U g : U → C chỉnh hình quy tắc đạo hàm hàm hợp (gf ) (z) = g (f (z))f (z) với z ∈ Ω Định nghĩa 1.1.7 Cho Ω Ω miền mặt phẳng phức Hàm f : Ω → Ω gọi song chỉnh hình song ánh chỉnh hình từ Ω vào Ω Tập hợp hàm song chỉnh hình từ Ω vào Ω ký hiệu O(Ω, Ω ) 1.2 Hàm điều hòa, đa điều hòa Định nghĩa 1.2.1 ([1]) Hàm thực u(x, y) đơn trị miền Ω ⊂ R2 gọi hàm điều hòa miền Ω miền Ω có đạo hàm riêng cấp hai liên tục thỏa mãn phương trình ∆u := ∂ 2u ∂ 2u + = ∂x2 ∂y (1.5) Tập hợp hàm điều hòa Ω ký hiệu H(Ω) Ví dụ 1.2.2 Hàm f (x, y) = ln(x2 + y ) hàm điều hòa R2 \{(0, 0)} Thật vậy, f (x, y) liên tục R2 \{(0, 0)}, có đạo hàm riêng liên tục: ∂f 2x , = ∂x x + y2 ∂ 2f 2y − 2x2 = , ∂x2 (x2 + y )2 20 lân cận p, cho n Lρ (p)(w) = i,j=1 với w ∈ Cn thỏa mãn n j=1 ∂ ρ(p) wi w j ≥ ∂zi ∂z j ∂ρ(p) wj = ∂zj Ví dụ 1.7.2 Cho miền Ω = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + |z2 |2m < 1}, m ∈ N∗ Dễ thấy miền Ω miền giả lồi Thật vậy, gọi ρ = |z1 |2 + |z2 |2m − = z1 z + z2m z m − hàm xác định biên Ω Bằng tính tốn đơn giản ta có ∂ρ ∂ 2ρ = z1, = 1, ∂z1 ∂z1 ∂z ∂ρ ∂ 2ρ m−1 m = m(z2 z ), = m2 |z2 |2(m−1) ∂z2 ∂z2 ∂z Khi ma trận dạng Levi (z1 , z2 ) ∈ ∂Ω có dạng m |z2 |2(m−1) (1.11) Do ma trận (1.11) xác định không âm nên Ω miền giả lồi Định nghĩa 1.7.3 Miền Ω ⊂ Cn gọi giả lồi chặt p ∈ ∂Ω Ω giả lồi p tồn hàm xác định biên ρ, tức Ω ∩ U = {ρ < 0} với U lân cận p, cho n Lρ (p)(w) = i,j=1 ∂ ρ(p) wi wj > ∂zi ∂z j với w ∈ Cn \{0} thỏa mãn n j=1 ∂ρ(p) wj = ∂zj Ví dụ 1.7.4 Cho Bn = {z ∈ Cn : |z1 |2 + |z2 |2 + · · · + |zn |2 < 1} Khi đó, Bn miền giả lồi chặt 21 Chương Dáng điệu biên metric Bergman Chương giành để trình bày kết [4] dáng điệu biên metric Bergman với kết số ước lượng L2 cho toán tử ∂ 2.1 Dáng điệu biên metric Bergman Định lý 2.1.1 ([4]) Cho Ω miền giả lồi bị chặn Cn cho w0 ∈ ∂Ω Giả sử tồn hàm peak đa điều hòa ρ Ω w0 liên tục Holder w0 , nghĩa là, tồn số c, γ > cho ρ(z) ≥ −c|z − w0 |γ với z ∈ Ω Khi đó, ta có inf 0=X∈T 1,0 (Cn ) BΩ (z; X)/|X| → ∞ (2.1) z → w0 Ω ◦ Hệ 2.1.2 ([4]) Cho Ω miền bị chặn C với Ω = Ω Khi đó, metric Bergman khơng thể mở rộng ngồi Ω Nhân Bergman metric Bergman Ω\A mở rộng thông qua A A đa tạp giải tích phức có số chiều ≤ n − Đối với bất ◦ kỳ miền giả lồi Ω bị chặn Cn với Ω = Ω, P Flug chứng minh nhân Bergman mở rộng qua điểm biên Tuy nhiên, tượng không xảy metric Bergman trường hợp n ≥ Ví dụ, tam giác Hartogs Ω = {(z1 , z2 ) ∈ C : |z1 | < |z2 | < 1} thỏa mãn ◦ Ω = Ω; nhiên, người ta biết metric Bergman thác triển 22 qua gốc tọa độ Thật thú vị để tìm đủ điều kiện cho metric Bergman không mở rộng qua biên Khi hàm peak đa điều hòa Định lý 2.1.1 đáp ứng điều kiện độ đo đó, người ta chí ước lượng metric Bergman Định lý 2.1.3 ([4]) Cho Ω miền giả lồi bị chặn Cn Giả sử tồn số dương c, α, γ cho với p ∈ ∂Ω, tồn hàm peak đa điều hòa ρp Ω p thỏa mãn |z − p|α ≤ −ρp (z) ≤ c|z − p|γ với z ∈ Ω Khi đó, tồn số τ > số C > cho τ BΩ (z; X) ≥ C|X|/δΩ (z), τ (z) khoảng cách từ z đến biên ∂Ω δΩ Chú ý (i) Các giả thiết thỏa mãn miền giả lồi với biên giải tích thực tổng quát miền giả lồi thuộc kiểu hữu hạn Cn Trong hai trường hợp, đánh tìm Diederich cộng McNeal; (ii) Chúng ta không xác định xác số mũ τ Các miền Định lý 2.1.1 2.1.3 chung chung Trong phần cuối cùng, chúng tơi trình bày số ví dụ miền giả lồi khơng trơn mà giả thiết Định lý 2.1.1 2.1.3 thỏa mãn Phương trình xác định |z1 |2/α1 + |z2 |2/α2 + + |zn |2/αn + ϕ(z) < αj > 0, j = 1, 2, , n ϕ hàm Holder đa điều hòa liên tục Cn Trong chứng minh tính đầy đủ theo metric Bergman miền siêu lồi, dáng điệu biên hàm Green đa cực đóng vai trị quan trọng Được thúc đẩy thực tế này, chứng minh (2.1) giả thiết đặc trưng hàm Green đa cực Coman giới thiệu kết sau đây: 23 Định nghĩa 2.1.4 Chúng ta nói Ω có tính chất (P ) w0 ∈ ∂Ω với tập compact K ⊂ Ω\{w0 } ta có gΩ (z, w) → w → w0 , hội tụ theo z ∈ K ∩ Ω Chen [4] chứng minh Định lý 2.1.5 ([4]) Cho Ω miền giả lồi bị chặn Cn cho w0 ∈ ∂Ω Giả sử Ω có tính chất (P ) w0 Khi đó, (2.1) Lớp miền bao gồm trường hợp sau: (1) w0 điểm peak yếu địa phương Ω, tức tồn lân cận U w0 ánh xạ chỉnh hình h : Ω∩U → ∆, ∆ đơn vị đĩa mặt phẳng phức, cho limz→w0 |h(z)| = lim supz→q |h(z)| < 1, với q ∈ ∂Ω, q = w0 ; (2) gΩ đối xứng, nghĩa gΩ (z, w) = gΩ (w, z) với z, w ∈ Ω (trường hợp liên quan đến tất miền bị chặn C, miền lồi miền Cn [8] ), tồn hàm peak đa điều hòa ρ Ω w0 ; (3) Tồn hàm peak đa điều hòa ρ Ω w0 cho (i) ρ Holder liên tục w0 ; (ii) Nρ (r) : = max log |ρ(z)| : z ∈ Ω, r ≤ |z − w0 | ≤ 1/2 log |z − w0 | = O(log log (1/r)) r → Các chứng minh định lý dựa ước lượng L2 toán tử ∂ giới thiệu lần Donnelly-Fefferman sau tổng quát hóa Diederich-Ohsawa Berndtsson Chứng minh định lý lấy cảm hứng từ báo Diederich-Ohsawa 2.2 Một số ước lượng L2 cho toán tử ∂ Trong phần này, nhớ lại số công cụ ước lượng L2 mạnh cho ∂-phương trình Kết tuyệt vời sau Donnelly-Fefferman: 24 Mệnh đề 2.2.1 Cho Ω miền giả lồi bị chặn Cn cho ϕ đa điều hòa Ω Cho ψ đa điều hòa giả sử ∂∂ψ ≥ ∂ψ∂ψ theo nghĩa phân phối (một cách tương đương, hàm e−ψ đa điều hòa trên) Khi đó, với (0, 1)-dạng g ∂-đóng Ω tồn nghiệm phương trình ∂u = g cho |u|2 e−ϕ dVn ≤ C Ω Ω |g|2∂∂ψ e−ϕ dVn Ở đây, C > số dVn ký hiệu độ đo Lebesgue Cn Mở rộng quan trọng kết thực Diederich Ohsawa Berndtsson B.-Y Chen sử dụng phiên Berndtsson: Mệnh đề 2.2.2 Cho Ω miền giả lồi bị chặn Cn cho ϕ, ψ Mệnh đề 2.2.1 Cho < ν < Khi đó, với (0,1)-dạng g ∂-đóng khoảng Ω tồn nghiệm u để phương trình ∂u = g cho |u|2 e−ϕ+νψ dVn ≤ Ω 2.3 ν(1 − ν)2 Ω |g|2∂∂ψ e−ϕ+νψ dVn Chứng minh Định lý 2.1.5 Chúng ta bắt đầu với số khái niệm Cho Ω miền giả lồi bị chặn Cn cho ϕ hàm đa điều hòa Ω Ký hiệu L2 (Ω) tập tất hàm bình phương khả tích Ω Chuẩn L2 ký hiệu · Ω Ký hiệu H (Ω) khơng gian hàm chỉnh hình L2 (Ω) Với hàm đo Ω, ta định nghĩa f Ω,ϕ |f |2 e−ϕ dVn := Ω Chúng ta nói f ∈ L2 (Ω, ϕ) f Ω,ϕ < ∞ Bây chứng minh Định lý 2.1.5 Chứng minh Định lý 2.1.5 Khơng tính tổng qt, ta giả sử w0 = Ω ⊂ {|z| < 1} Theo giả thiết định lý, với < < tồn số < δ −1/2 Ω đường kính Ω ≤ e−1 Điều kéo theo φ > log Ω Chọn hàm cắt cụt trơn lớp C ∞ (chúng ta ký hiệu χ cho đơn giản) cho χ|(−∞,0) ≡ 1, χ|(1,∞) ≡ 0, sup |χ | ≤ sup |χ | ≤ Cho 0< số cố định tùy ý Chúng ta xác định hàm Ω sau: gk,w (z) = χ (− log φ(z) + log(− log )) + log |z − w| log k với k > w ∈ Ω Bổ đề 2.4.1 Tồn số k0 > (chỉ phụ thuộc vào n, γ) cho với w ∈ Ω thỏa mãn |w − w0 | < k0 /γ kết sau (i) gk0 ,w ∼ log |z − w| gần w (ii) gk0 ,w (z) + (φ(z) 8(n+1) − log(− log |z − w|)) hàm đa điều hòa Ω Chứng minh Giả sử |w − w0 | < k0 /γ k xác định sau Khi đó, ta có ρ(w) ≥ −|w − w0 |γ > − 2γ k 27 Vì {z ∈ Ω : gk,w (z) = log |z − w|} ⊃ {z ∈ Ω : ρ(z) > − k } nên ta có gk,w ∼ log |z − w| gần w Bằng tính tốn đơn giản, có phương trình sau theo nghĩa phân phối log |z − w| ∂φ∂φ ∂φ∂φ χ (·) + χ (·) + χ (·)∂∂φ φ log k φ log k φ ∂∂gk,w = − χ (·) log |z − w| ∂ log |z − w| ∂ log |z − w| ∂φ + ∂φ φ log k log |z − w| log |z − w| + χ(·)∂∂ log |z − w| Quan sát thấy supp χ (·) ⊂ {z ∈ Ω : ρ(z) ≤ − k } ⊂ {z ∈ Ω : |z − w0 | ≥ k/γ } Từ đó, ta suy |z − w| ≥ |z − w0 | − |w − w0 | ≥ |z − w0 | supp χ (·) |w − w0 | < k0 /γ Vì thế, |φ(z)| = | log(−ρ(z))| ≥ γ| log |z − w0 || ≥ γ| log(2|z − w|)| Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức sau theo nghĩa phân phối ±2 Re ∂φ∂ log |z − w| ≥ −∂φ∂φ − ∂ log(− log |z − w|)∂ log(− log |z − w|) log |z − w| Bằng cách bỏ qua số hạng nửa dương χ(·)∂∂ log |z − w|, tồn số C > (chỉ phụ thuộc vào γ) cho ∂∂gk,w (z) ≥ − C (∂∂φ + ∂∂(− log(− log |z − w|))) log k miễn k ≥ e, ϕ > log2 Ω, ∂∂ϕ ≥ ∂ϕ∂ϕ ∂∂(− log(− log |z − w|)) ≥ ∂ log(− log |z − w|)∂ log(− log |z − w|) Để hoàn thành chứng minh cần lấy k0 đủ lớn cho 8(n+1) C log k0 ≤ 28 w ∈ Ω với gk0 ,w Để Chứng minh Định lý 2.1.1 Cho < cho đơn giản, ký hiệu gw = gk0 ,w Cho δ = δ( ) := |z − w0 | sup z∈Ω,ρ(z)≥− Khi đó, δ > δ → → ρ hàm peak đa điều hịa Gọi κ : R → [0, 1] hàm trơn lớp C ∞ cho κ|(−∞,1−log 2) = κ|(1,∞) = Chúng ta đặt ηw = κ(− log(− log |z − w|) + log(− log δ 1/2 ) + 1) ψw = (φ − log(− log |z − w|)) 1 ϕw = 2(n + 1)gw − log(− log |z − w|) + ψw Theo Bổ đề 2.4.1, ϕw đa điều hòa Ω Bằng tính tốn đơn giản, ta có ∂∂ψw ≥ ∂ψw ∂ψw ∂∂ψw ≥ 12 ∂ log(− log |z − w0 |)∂ log(− log |z − w0 |) Điều nghĩa |∂ηw |∂∂ψw ≤ √ sup |κ | Chú ý rằng, supp gw ⊂ {z ∈ Ω : ρ(z) ≥ − } ⊂ {z ∈ Ω : ηw (z) = 1} Do đó, ta có ηw (w) = Cho X = |X| ∂ Chúng ta áp dụng Mệnh đề 2.2.2 ∂z1 với ν = , ϕ = ϕw , ψ = ψw để giải ∂-phương trình ∂uw = (z1 − w1 ) KΩ (z, w) 1/2 KΩ (w) ∂ηΩ Ω với đánh giá |uw |2 e−2(n+1)gw + log(− log |z−w|) dVn Ω |z1 − w1 |2 ≤ 32 Ωt KΩ (z, w) 1/2 KΩ (w) |∂ηΩ |2∂∂ψ e−2(n+1)gw + log(− log |z−w|) dVn w |z − w|2 (− log |z − w|)1/4 ≤ C1 Ω∩{|z−w0 | số phụ thuộc vào sup |κ | Vì 2(n + 1)gw − log(− log |z − w|) < Ω log(− log |z − w|) < 2(n + 1) log |z − w| KΩ (z, w) − uw chỉnh hình Ω thỏa gần w, nên hàm fw = (z1 − w1 )ηw 1/2 KΩ (w) mãn 2(n + 1)gw − 1/2 fw (w) = uw (w) = 0, Xfw (w) = |X|KΩ (w) fw Ω ≤ (z1 − w1 )ηw KΩ (·, w) 1/2 KΩ (w) ≤ C3 δ 1/2 + uw Ω uw Ω Ω,2(n+1)gw − 41 log(− log |z−w|) ≤ C4 δ 1/4 Điều có nghĩa BΩ (w; X) ≥ C4−1 δ −1/4 |X| với w ∈ Ω với |z − w0 | < k0 /γ Chứng minh định lý hoàn thành Chứng minh Định lý 2.1.3 Chỉ cần sửa đổi chứng minh Định lý 2.1.1 chút Tạm thời cố định w ∈ Ω Chọn điểm biên w cho |w−w | = δΩ (w) Chúng ta lấy = (3δΩ (w))γ/k0 Chúng ta thay w0 w , ρ ρw lặp lại lập luận chứng minh Định lý 2.1.1 Rõ ràng, ta có |w − w | < k0 /γ δ= sup γ αk0 |z − w| ≤ c δΩ (w) z∈Ω,ρw (z)≥− −ρw (z) ≥ |z − w |α Cuối cùng, ta thu kết sau − γ BΩ (w; X) ≥ CδΩ 4αk0 (w)|X| với số C > phù hợp Để hoàn thành chứng minh, cần lấy γ τ= 4αk0 30 Chứng minh Hệ 2.1.2 Cho w0 ∈ ∂Ω điểm tùy ý Khi đó, tồn dãy điểm wk ∈ C\Ω, k = 1, 2, mà hội tụ tới w0 k → ∞ Cho wk ∈ ∂Ω điểm gần wk với k Ta suy Ω ⊂ C\∆(wk , rk ) rk = |wk − wk | ∆(x, r) ký hiệu đĩa có tâm x với bán kính r Vì ∂∆(wk , rk ) C ∞ , Ω có hàm peak đa điều hòa liên tục Holder wk với k Theo Định lý 2.1.1, metric Bergman dần đến vô wk Điều kéo theo metric Bergman thác triển liên tục qua w0 2.5 Ví dụ nhận xét Ví dụ 2.5.1 Cho ϕ hàm đa điều hòa liên tục Holder Cn Xét miền sau Ω = {z ∈ Cn : r(z) = |z1 |2/α1 + |z2 |2/α2 + + |zn |2/αn + ϕ(z) < 0} αj > 0, j = 1, 2, , n Nếu ϕ ≡ −1 Ω miền Reinhardt mà nhiều tác giả nghiên cứu Bây cho p điểm biên Khơng tính tổng qt, ta giả sử pj = ≤ j ≤ l pj = j > l với số nguyên dương l Chúng ta lấy lân cận mở U p cho zj không triệt tiêu với ≤ j ≤ l Với z ∈ Ω ∩ U ta có 1/αj −r(z) + |zj |2/αj > |zj | 1/αj = |zj 1/αj 1/αj − pj | + Re pj 1/αj (zj 1/αj − pj ) + |pj |2/αj với ≤ j ≤ l Đặt 1/αj ρj (z) = r(z) − |zj |2/αj Re pj r( z) − |zj 1/αj (zj 1/αj − pj ) + |pj |2/αj |2/αj ≤ j ≤ l j > l Chú ý rằng, r(z) − |zj |2/αj = |z1 |2/α1 + + |zj−1 |2/αj−1 + |zj+1 |2/αj+1 + + |zn |2/αn + ϕ(z) Từ đó, ta suy ρj đa điều hòa Ω ∩ U với j thỏa mãn 1/αj ρj (z) ≤ −|zj 1/αj | − pj −|zj |2/αj ≤ j ≤ l j > l 31 Cho ρ = n j=1 ρj Thì ρ hàm peak đa điều hịa Ω ∩ U p rõ ràng, liên tục Holder U Để có hàm peak đa điều hịa tồn cục, ta lấy ρ˜ = max{ρ, −δ} với số cố định phù hợp δ > 0, mở rộng ρ thành số −δ nơi khơng định nghĩa Như Định lý 2.1.1 áp dụng Ví dụ 2.5.2 Cho Ω định nghĩa Hơn nữa, giả sử < αj ≤ với ≤ j ≤ n Cho p điểm biên Lưu ý với z ∈ Ω, ta có (−r(z) + |zj |2/αj )αj > |zj |2 = |zj − pj |2 + Re pj (zj − pj ) + |pj |2 , ≤ j ≤ n Đặt ρj,p = |pj |2 + Re pj (zj − pj ) − (−r(z) + |zj |2/αj )αj Rõ ràng hàm ρj,p đa điều hịa < αj ≤ 1, bất đẳng thức n j=1 ρj,p −ρj,p (z) > |zj − pj |2 trên Ω Vậy hàm ρp := hàm peak đa điều hòa thỏa mãn giả thiết Định lý 2.1.3 r liên tục Holder Cn Định lý 2.1.3 áp dụng Nhận xét 2.5.3 Nếu cho ϕ ≡ −1 ví dụ Ω lồi hàm xác định ∗ r˜(z) = sup (ρp (z) + |z − p| ) p∈∂Ω (trong * thể phép quy hóa nửa liên tục trên) hàm đa điều hòa Ω với điều sau α (z) ≤ r (i) −CδΩ ˜(z) < α = min{α1 , α2 , , αn }; r ≥ ∂∂|z|2 theo nghĩa phân phối (ii) ∂∂˜ Dựa vào kết Sibony, chặn metric Kobayashi α/2 C|X|/δΩ (z) Kết hợp kết tiếng metric Caratheodory trùng với metric Kobayashi miền lồi với thực tế metric Bergman luôn nhỏ metric Caratheodory, ta thu ước lượng chặt cho metric Bergman α/2 BΩ (z; X) ≥ C|X|/δΩ (z) 32 Ví dụ 2.5.4 Diederich-Ohsawa thu ước lượng định lượng khoảng cách Bergman cho miền giả lồi bị chặn Cn , có tồn hàm lớp C ∞ bị chặn, vét cạn (exhaustion), đa điều hòa ρ Ω cho 1/c2 c2 δΩ (z) ≤ −ρ(z) ≤ c1 δΩ (z) c1 với số thích hợp c1 , c2 > Với phương pháp sử dụng để chứng minh Định lý 2.1.1, điều kiện bị làm yếu thành giả sử tồn hàm đa điều hòa dưới, vét cạn, bị chặn mà liên tục Holder Ω 33 Kết luận Luận văn “Về ước lượng metric Bergman” giải vấn đề sau: Chương trình bày khái niệm giải tích phức bao gồm định nghĩa số ví dụ hàm chỉnh hình, hàm song chỉnh hình, hàm điều hòa, hàm đa điều hòa, nhân Bergman, metric Bergman, tính chất metric Bergman, hàm peak chỉnh hình, hàm peak đa điều hòa dưới, miền giả lồi, miền lồi chặt Chương giành để trình bày kết dáng điệu biên metric Bergman với kết số ước lượng L2 cho toán tử ∂ 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Marek Jarnicki and Perter Pflug (1993), Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis, Walter de Gruyter [3] Piotr Jakóbczak and Marek Jarnicki (2016), Lecture on holomorphic functions of several complex variables, Jagiellonian University [4] B.-Y Chen (2002), “Boundary behavior of the Bergman metric”, Nagoya Math J., Vol 168, pp 27–40 [5] Z Blocki (2010), The Bergman kernel and metric, PHD course, Jagiellonian University ... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TỐNG VĂN QUÁN VỀ ƯỚC LƯỢNG METRIC BERGMAN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Ninh Văn Thu Hà Nội - Năm 2017 Mục... metric Kobayashi α/2 C|X|/δΩ (z) Kết hợp kết tiếng metric Caratheodory trùng với metric Kobayashi miền lồi với thực tế metric Bergman luôn nhỏ metric Caratheodory, ta thu ước lượng chặt cho metric. .. 21 Chương Dáng điệu biên metric Bergman Chương giành để trình bày kết [4] dáng điệu biên metric Bergman với kết số ước lượng L2 cho toán tử ∂ 2.1 Dáng điệu biên metric Bergman Định lý 2.1.1 ([4])