ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC GIAO THỨC TRỤC GIAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐN PHỔ THƠNG PHẠM VĂN CHINH THÁI NGUYÊN 2015 Mục lục Kết luận đề nghị 34 Tài liệu tham khảo 35 Lời cảm ơn Trong suốt trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ TS.Nguyễn Văn Minh Thầy giành nhiều thời gian bảo tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin cảm ơn q thầy, Khoa Tốn-Tin phịng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun, viện Tốn học, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 - 2015, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ mang đến cho nhiều kiến thức bổ ích khơng khoa học mà cịn sống Tôi xin chân thành cảm ơn bạn học viên lớp Cao học toán K7Q bạn bè đồng mơn giúp đỡ tác giả q trình học tập trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun q trình hồn thiện luận văn thạc sĩ Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình Nhờ có gia đình chỗ dựa vững vật chất tinh thần cho suốt trình học cao học làm luận văn Thạc sĩ Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Học viên Pham Văn Chinh Lời cam đoan Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Minh Tơi xin cam đoan kết trình bày luận văn tự làm, không chép luận văn công bố trước Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Học viên Pham Văn Chinh TÓM TẮT NỘI DUNG ứng dụng Toán Cao cấp để nghiên cứu Toán sơ cấp vấn đề người ta làm Vì Tốn cao cấp mức độ khái quát cao nhiều so với Toán sơ cấp Đề tài theo tư tưởng nói trên, phạm vi hẹp Trong đề tài xét lớp hàm tương đối đạc biệt, Đa Thức Trực Giao Ngồi đa thức theo nghĩa thơng thường, luận văn xét đa thức lượng giác, đa thức lượng giác hệ hàm trực giao đầy đủ Đa thức trực giao đa thức có tính chất trực giao Đa thức trực giao hệ đầy đủ, theo nghĩa hàm liên tục khai triển thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao, gọi khai triển Fourier mở rộng Đa thức trực giao tính chất chung đa thức, cịn có số tính chất riêng, có tính chất sơ cấp Luận văn cố gắng khai thác tính sơ cấp hệ đa thức trực giao Trình bày giải số tốn sơ cấp có liên quan tới đa thực trực giao Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: (u, v i Tích vơ hướng hai vector u v 11-11 Chuẩn vector C [a; Tập hợp hàm liên tục đoạn [a,b] Đa thức có bậc n, biến x b] Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Khơng gian tuyến tính định chuẩn, khơng gian có tích vơ hướng Ta nói khơng gian V xác định cấu trúc chuẩn, với vector x V, luôn xác định số ||x||, gọi chuẩn x, thỏa mãn tính chất sau: ||x|1 >0 11 x| | =0 o x = ỡ | | tx | | ||x = | t| • | | x | | + y | | < 11 x | | + 11 y | | Trong không gian có nhiều chuẩn khác nhau, ta có khái niệm hai chuẩn tương đương sau: Định nghĩa 1.1 Hai chuẩn | | x 11 11 x 11 gọi tương đương, tồn hai số dương c ; c cho C1 11 x 11 < 11 x 11 < C2 11 x 11 Trong không gian hữu hạn chiều chuẩn tương đương Chuẩn R xác định: n | | x 11 p= (X| xi | '") 1/p ; i=1 Gán p số khác nhau, ta chuẩn Ba chuẩn thường dùng là: Với p=1, ta có chuẩn ||x|| X |xi| i=i Với p=2, ta có chuẩn ||x|| = y/x! + x2 + + xn Với p = +1, ta có chuẩn ||x||1 = max (|x |, |x |, , |xn|) 2 Trong chương trình hình học ta biết tích vơ hướng hai vector; ta suy rộng khái niệm cho vector tổng quát: Định nghĩa 1.2 Cho V không gian vector, x,y hai vector V Tích vơ hướng hai vector số thực, ký hiệu (x,y), thỏa mãn tính chất sau, gọi tiên đề tích vô hướng: y = {y,x); hx, i (x, xi > 0,Vx V, (x, xi =0 o x = 0; hax + by, z)i = hax, zi + hby, zi, 8x, y V; 8a, b R Khơng gian vector có trang bị tích vơ hướng gọi khơng gian có tích vơ hướng Khơng gian V hữu hạn chiều có tích vơ hướng gọi không gian Euclid, ký hiệu R Không gian V vơ hạn chiều có tích n vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert, không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert, ký hiệu H Mọi khơng gian có tích vơ hướng khơng gian định chuẩn, với chuẩn ||x|| = y/hx, xi Không gian có tích vơ hướng có bất đẳng thức quan trọng, bất đẳng thức Cauchy- Bunyakovsky: |(x,y)|< ||x||.||y|| |(x,y)| = ||x||.||y|| o 9t R cho x = ty y = tx Hai vector x,y trực giao, tích vơ hướng chúng 0: x y () hx,yi = Ví dụ 1.1 Trong không gian R , với x = (x ,x , ,x ), y = (y ,y , ,y ) n Khi biểu thức sau tích vơ hướng: n n Ta nhận +1 00 +1 J an = [ e~ e~ Qn(x)dx = í e~ d(^e x)dx n! J dxn x ax ax 11 1/ _ í e~axu n!\ dn~1(xne~x) +TO xe ) +a n dx ~ 0J f dn~1(xne~x) \ xe e~axu ) dx] n dx ~ / ( ( í í Tiếp tục tính tích phân phần, ta nhận được: 11 an _ a Ị x e- dx n! J n (2.19) (1+a)x Tích phân phần vế phải (2.19) n lần, ta nhận I1 an nn - — f /■ X (1+a)x an _ , —— e~ dx _ ——— (1 + a) J (2.20) vJ (1 + a) ; n _ 0; 2; 3, n+1 n Cuối cùng, ta nhận khai triển a ~ a+ĩ X ã+aỹn n e ax _ n=0 Q (x) n Bài tập 2.13 ([6]) Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f (x) _ x n theo hệ đa thức Lagerr Lời giải a 2.13 J x e dx n x a n [ xn d (x e k! J k k x) dx dx k d ~ (x e~n)x dxk~ n -1 /x k k!\ k x n(n k +1 dk 1(xke x) _n I' xn-1 -1)(n - 2) (n - k + 1) f J (2.21) dx k1 11 k! k! (—1)k n(n — 1) (n — k + 1), với < k < n k! n Với k > n, a = Tóm lại k " , (n!) () x = =D- ) k! /k!Q x f (x) n k k—0 mite, hàm số f(x) = x -1, 1.6 Bài tập 2.14 ([6]) Khai triển thành chuỗi Fourier theo họ hàm HerVới a0 = a k f (x) e = x2 =2Hk(x)dx akHk (x) k—0 Lời giải 2.14 = -p= í f (x)e~x2= Hk(x)dx ự'2x J (2.22) —1 I1 +—í f (x)e~ ‘ = H (x)dx,k = 1,2, v2% J x 2 k Thay hàm f (x) cho (2.14) vào (2.22), ta có +-^ k! e“ Hk (x)dx = 1, 2, x2/2 \f2x Thay biểu thức hàmk!H (x) vào đổi biến x —x tích 2v n (2.23) phân thứ nhất, ta a + (- 1) k+1 +1 dk (e"* / ) k = -— V2% + (-1) ■pĩ dx k J Để tính giá trị biểu thức (e J22 ' ) k+1 , x /,-^-1) v7 ta xét hàm u = e k 1) 2= x Ta thấy hàm u thỏa mãn phương trình u + xu = Ssử dụng công thức Leibnitz đạo hàm cấp cao, ta nhận u +X ơn _ x u - - =0 (n) k (k) n k k=0 thay x = vào biểu thức này, ta nhận công thức truy hồi u( )(0) = -(n - 1)u k- (0);k = 2;3; Vì u(0) = 1;u (0) = 0, ta nhận được: k ( u (2k+1) 2) (0) = 0,u (0) = (- 1) (2l - 1)!!;l = 1; 2; 2k Vì vậy, ta nhận hệ số Fourier Ũ21 = < a=-ựặ «21+1 = — ( — 1) qi (2l - 1)!!;l = 1; 2; Vậy, khai triển nhận 1+ ! f (x)= XX 'l, H2l+1(x) M; k=0 2'\2/,'.l! 21+1 v J Bài tập 2.15 ([6]) Khai triển thành chuỗi Fourier theo họ hàm Her- mite, hàm số f (x) = |x| Lời giải 2.15 Tương tự 2.14, ta thu ak + ( —1) p2% k (2.24) + ( suy ra: ~1) / -x /2\Từ (“) k k 2 e p k 2„; ’ a ( - _; 1)l(21 -21;1 = 1;2; - (l - 1)!pi l a 2l 0; l = 1; 2, a 2l—1 Bài tập 2.16 ([6]) Khai triển thành chuỗi Fourier theo họ hàm Her- mite, hàm số f (x) = e~ax Lời giải 2.16 11 11 ak = -U í e~ Hk (x)dx = -U í {e- e~ } ' dx; k = 0,1,2, v2% J \/2x d ax ax x2/2 (k } —1 —1 Tích phân phần +1 ak = -U (e- e- ) + a í (e- e“ ) dx; k = 1,2, ax Ự2n x2/2 (k-1) ax x/2 (k-1) J — 00 Hay a = aak_1; k = 1, 2, k + a = -3= R e~ V2^ ax dx = -3= R e ~x /2 —1 + \'2'- l-+)2 + Vdx —1 = pể e dt = ex + ự2” t2/2 2/2 —1 Ta nhận a = e a ,k = 0,1, 2, Cuối cùng, khai triển cần tìm k a /2 k e~ax = eỉ X a Hk(x) k k=0 2.2 Giải số b ài toán sơ cấp Bài tập 2.17 ([3]-241) Cho tổng cos3x + +— cos nx n = cos x + - cos 2x + S (x) Chứng minh S (x) không bé —1 n n Lời giải 2.17 Giả sử có cos3x+ +— cosnx,n = 0,1, ;0 < x < % Sn(x) = cos x+-cos2x+Đạo hàm vế theo x, ta x — - r cos—S — cos (n +sin i)xl Ix = L v sin2 2 (x) ^3 1=1 Vì vậy: cos nx —S' (x) _ S' (x) = (x) n n = tan x S > S (x) Từ suy x ! %, hàm —S f n — _ (x) n — 2,0 < x < % ’ — Sfn(x) tăng, từ suy -Sn-1(x) - Sn(x) < -Sn-1(%) - Sn(%) = X (_y -+ 1=1 Giả sử n = 2k, k — Khi dí\dí\ d -S2k-1 (x) - S'2k(x) = -2S (x) + 2k / \ cos kx ' 2k oe ,M 2S (x) cos 2kx 2 \ 1\ 1-1 I l - 2k = - 2k-i < 2t , k - 2k Từ đó: ,X + cos2kx _ , -2S2k(x) < 2tk X < 2tk 2k -2S2k-1(x) < 2tk cos 2kx -^2T- < tk -1 ( 1) r - n Vì t = 1, với k > 1, tất tk thỏa mãn điều kiện tk < 1, Sn(x) > -tk > -1,n > Dễ thấy rằng, dấu đẳng thức xảy n = 1,x = K Ngoài ra, n ! 1, đại lượng tk giảm In Như với n hữu hạn, ta có Sn(x) > — ln2 > —1 Đ.p.c.m Bài tập 2.18 Tính Giá trị L (0), L (x) đa thức Legendre n n Lời giải 2.18 Theo công thức truy hồi nLn(x) - (2n - 1)xLn-i(x) + (n - 1)Ln-2(x) = gán cho x = 0, ta nLn(0) + (n - 1)Ln—2(0) = 0, suy Ln(0) = - n Ln-2(0) Giả sử n số chẵn, ta có (n i) Ln(0) = - Ln-2(0) = (n ~ 1) Ln—2(0) n - (n ~ 3) Ln—4(0) n2 L “-4 ( )= - L “-6 (0) (2.25) L4 (0) = - (I) L2(0) L2 (0) = - (!) Lo(0) Nhân vế với vế đẳng thức trên, ta / -.xn 1.|.5 (n — 1) , Ln(0) = (-1) —n " 2.4.6 n _ — với n chẵn Do tính lẻ đa thức Legendre, ta có Ln(0) = với n lẻ Bài tập 2.19 Cho đa thức lượng giác P(x) = a cos 1.x + a cos2.x + + a cos9x Biết P(0) = P0(0) = P"(0) = P( 16)(0) =0 Chứng minha = a = = a = Lời giải 2.19 Lấy đạo hàm 16 lần (bản thân P(x) hiểu đạo hàm cấp 0) P (x) = a1 cos 1.x + a cos 2.x + + a cos9x (0) P0(x) = — a sin 1.x — 2.a sin 2.x — — 9.a sin9x P"(x) = — a1 cos 1.x — a cos 2.x — — a cos9x 2 P (x) = a1 sin 1.x + a sin 2.x + + a sin9x (3) 3 (2.26) P (x) = a sin 1.x + a sin2.x + + a sin9x (15) 15 15 P (x) = a cos 1.x + a cos 2.x + + a cos9x (16) 16 16 Thay x = vào vế phải hàm (2.26) quan tâm đến đạo hàm bậc chẵn, ta hệ phương trình với ẩn a , a , a a1 + a2 + + a9 = a + a + + a = 2 (2.27) a1 +2 + + a9 = 16 Biến 16 đổi hệ (2.27) a1 + a2 + + a + 4a + + < a9 81a = = a + + + 81 a = 8 Hệ phương trình (2.28) hệ phương trình đại số tuyến tính nhất, có định thức vế phải định thức Vandermonde khác khơng, hệ có nghiệm tầm thường a = a = = a = Bài tập 2.20 Cho đa thức lượng giác P(x) = a cos 1.x + a cos2.x + + a cos9x Biết P(x) = với Vx R Chứng minh a = a = = a = 9 0 (2.28) Lời giải 2.20 Cách Nhân vế đẳng thức a cos 1.x + a cos 2.x + + a cos 9x = (2.29) với cos x sau lấy tích phân hai vế từ % đến %, ta +w +w +w +w / a cos xdx^Ị a cos2.x cos xdx+ +Ị a cos9x cos xdx = Ị 0.dx 2 —K —K —K —K + Từ tính chất trực giao hệ lượng giác, ta có: J a cos xdx = 0, ^ I^ f cos xdx > 0, suy a = ^ Tương tự trên, ta nhân hai vế (2.29) với cos2x, lấy tích phân từ 2% đến 2%, ta a = Cứ tiếp tục ta có đ.p.c.m Cách Lấy đạo hàm liên tiếp đa thức lượng giác cho 16 lần (bản thân hàm P(x) coi đạo hàm cấp không), ta ' P (x) = a1 cos 1.x + a cos 2.x + + a cos9x P (x) = — 1.a sin 1.x — 2.a sin2.x — — 9.a sin9x P (x) = —1.a cos 1.x — a cos2.x — — a cos9x P (x) = 1.a sin 1.x + a sin2.x + + a sin9x P (x) = 1.a cos 1.x + a cos2.x + + a cos9x P (x) = 1.a sin 1.x + a sin 2.x + + a sin9x P (x) = a cos 1.x + a cos2.x + + a cos9x (0) (1) (2) 2 (3) (4) (15) (16) 15 1 16 2 15 16 9 9 (2.30) Từ tính chất: hàm số đồng khơng, đạo hàm cấp đồng khơng Ta gán x = vào tất đạo hàm P (0) P (0) < P(4)(0) = O + a + + O = = 1.O + 22 + + 92 = = 1.01 + 24.02 + + 94.09 = (0) (2) (2.31) 7’ (0) =1.01 +2 O2 + + = (16) 16 16 Hệ phương trình (2.31) có nghiệm = = = = Nhận xét Đây tính chất chung hệ vector độc lập tuyến tính, với học sinh phổ thơng ta phải dùng thuật ngữ tốn phổ thơng Bài tập 2.21 Cho hàm số f (x) = 32x — 48x4 + 18x2 — Tìm giá trị lớn nhỏ f (x) đoạn [—1,1] Lời giải 2.21 Thay x = cơst,t [—%; %], ta nhận f (t) = 32 cos — 48 cos41 + 18 cos — f (t) = 32 cos4 t(cos t — 1) — 16 cos41 + 16 cos + cos t — 2 = —32 cos4t sin + 16 cos 1(1 — cos t) + cos — 2 2 = —8 cos t(2 sin t cos t) + 16 cos (1 — cos t) + cos t — = —8 cos sin 2t + 16 cos sin + + cos — 2t =8 ■7 + sin2 2t + cos 2t 22 = —2(1 — cos 4t + cos 2t — cos 2t cos 4t) + 4-—cos^ + cos 2t = — cos 2t + cos 2t cos 4t cos 6t + cos 2t = — cos 2t + 2 2 2 z 2 = cos 6t (2.32) Ta thấy, t [—%; %], —1 < cos6t < Bài tập 2.22 Giả sử x ,x , x nghiệm đa thức T (x) n n Hãy tính: n1 A = 1=11 -xn Lời giải 2.22 Xét hàm g(x) = 22 i=i Quy đồng mẫu số vế phải g(x) g(x) = x—x + x—x + —— = x—x n h (2.33) (x — x )(x — x ) (x — xn) (x — x )(x — x ) (x — xn) 2 + (x — x )(x — x ) (x — xn) + (x — x )(x — x ) (x — xn) + (x — x )(x — x )(x — x ) (x — x _ )(x — xi ) (x — xn) i +1 + (x — x )(x — x )(x — x ) (x — x _ ) n L + (x — x )(x — x ) (x — x _ )(x — xn) n (x) n Ln(x) Viết lại: ) thức (cos L (xđa Bài tập Tn(x).(n arccos x))0 n nghiệm _ (x) 2.23 Giả sử x1,x2, x n g tính: = x — x x — x x — xB = itAA Hãy n cos (n arccos x) L n-(x) xi sin (n arccos x).n.? v1— x g(x) = ỵ2— = n - tan (n arccos x) cos (n arccos x) V1 — x /\ v 2 A = g(1) = lim = n x!1 V1 — x tan (n arccos x) = n 2 Lời giải 2.23 X Xi C7 n —Xi i=1 n X — Xi — X i=1 - Xi n n1 XX— Xi V V ĩh ] • -1- x i i=1 “■/ _ Xi i=1 i=1 Ar ] - Xi J Cho X dần tới 1, từ kết (2.22), ta Kết luận đề nghị Luận văn Da thức trực giao ứng dụng tốn phổ thơng làm việc sau: Trình bày có hệ thống kiến thức đại số giải tích có liên quan đến đa thức trực Đã hệ thống loại đa thức trực giao, trình bày tính chất đa thức trực giao như: tính trực giao, tính có đủ nghiệm thực, tính chất xen kẽ nghiệm Sưu tầm chứng minh tính chất đa thức trực giao Sưu tầm số thí dụ, tập đa thức trực giao, có nội dung sơ cấp Đa thức trực giao lớp hàm đạc biệt Tốn học, hệ sở đầy đủ không gian hàm liên tục (đúng tập bình phương khả tích), ứng dụng giải tích số dùng để xấp xỉ hàm số cho trước đa thức Trong luận văn chưa thể tính ứng dụng đa thức giao Với số lượng thí dụ mà luận văn trình bày chưa phải nhiều, với mục tiêu giảng dạy cho tốn phổ thơng, số lượng tạm đủ Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Thị Túy (2009), Da thức trực giao ứng dụng, Luận văn Thạc sĩ, Trường ĐHSP Hà Nội Tiếng Anh [3] Dunkel O (1957), Memorial Problem Book, New York [4] Rivlin T.J (1969), An Introduction to the Approximation of Functions, Masachussetts Toronto London Tiếng Nga [5] HnmKo.H.H, (1977), BonpqyK.A.K, MateMaTHKHCKHH anaiH3 B H r, npHMcpax H,r.n i 3adaqax, GoioBaK TOM 1, H3A- Bnina mKoia [6] HnmKo.H.H, BonpqyK.A.K, Ga (1977), MaTeMaTMKHCKMM anaiH3 B H3A- Bnina iiiKoaia H r, npHMepax i H,r.n GoioBaK 3adaqax , TOM 2, ... biệt, Đa Thức Trực Giao Ngồi đa thức theo nghĩa thông thường, luận văn xét đa thức lượng giác, đa thức lượng giác hệ hàm trực giao đầy đủ Đa thức trực giao đa thức có tính chất trực giao Đa thức. .. thức trực giao ứng dụng tốn phổ thơng làm việc sau: Trình bày có hệ thống kiến thức đại số giải tích có liên quan đến đa thức trực Đã hệ thống loại đa thức trực giao, trình bày tính chất đa thức. .. đa thức trực giao khác Người ta chứng minh tính chất chung đa thức trực giao đoạn [a, b] với trọng số p(x) n n Mỗi đa thức trực giao bậc n có n nghiệm thực đoạn [a,b] Nghiệm đa thức trực giao