ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN BÁ NHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN BÁ NHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên, 2020 i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Không gian vectơ 1.1.1 Khái niệm không gian vectơ 1.1.2 Không gian hệ sinh 1.1.3 Cơ sở không gian hữu hạn chiều Ma trận 1.2.1 Khái niệm ma trận phép toán 1.2.2 Định thức Giá trị riêng 1.3.1 Khái niệm giá trị riêng vectơ riêng ma trận Khái niệm số tính chất ma phương 11 2.1 Khái niệm ma phương 11 2.2 Cấu trúc không gian vectơ tập ma phương 14 2.2.1 Một số tính chất ma phương 14 2.2.2 Cấu trúc không gian vectơ 16 2.3 Tích vô hướng 20 2.4 Giá trị riêng ma phương 23 Một số phương pháp xây dựng ma phương 26 3.1 Phương pháp Hindu 26 3.2 Phương pháp Bachet de Méziriac 28 3.3 Phương pháp Phillipe de la Hire 28 3.4 Phương pháp bước đồng 29 ii Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii Lời cảm ơn Trong trình làm luận văn, em nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Ngơ Văn Định - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Em xin cảm ơn thầy cô Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, truyền thụ đến cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THCS Đơng Phương, Kiến Thụy, Hải Phịng tạo điều kiện thuận lợi để em học tập nghiên cứu Lời cuối cùng, em muốn dành để tri ân đến bố mẹ gia đình chia sẻ khó khăn để thân tơi hồn thành cơng việc học tập Mở đầu Trong tốn học, ma phương (cịn gọi ma trận kỳ ảo hình vng ma thuật) bậc n cách xếp n2 số thành hình vuông gồm n hàng, n cột cho tổng số hàng, cột hai đường chéo số Hằng số gọi số ma phương Khái niệm ma phương xuất lần lịch sử Trung Hoa cổ đại Truyền thuyết kể trận lụt lớn thời Trung Hoa cổ đại (thời gian cụ thể chưa rõ ràng, có tài liệu ghi khoảng năm 650 trước cơng ngun, có tài liệu ghi khoảng năm 2200 trước công nguyên ), người ta thấy mai rùa có bảng số hình vng hàng, cột:     3 7 Điều đặc biệt bảng số tổng số hàng, cột đường chéo 15 Thông thường người ta xét ma phương cấp n với n2 phần tử số tự nhiên từ đến n Ma phương thông thường tồn với n ≥ trừ trường hợp n = (trường hợp n = trường hợp tầm thường) Tuy nhiên, có số khái niệm ma phương khác định nghĩa dựa số tính chất bảng số Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số khái niệm tính chất ma phương Tập ma phương bậc n rõ ràng tập tập ma trận vuông cấp n Hơn nữa, dễ dàng thấy tập ma phương cấp n đóng kín với phép tốn cộng ma trận nhân ma trận với số Điều kéo theo tập ma phương cấp n kế thừa cấu trúc không gian vectơ không gian vectơ ma trận vuông cấp n Mục tiêu luận văn làm rõ cấu trúc không gian vectơ tập ma phương, xác định số chiều không gian Ngồi ra, trình bày số tính chất hàng, cột ma phương Mục tiêu thứ hai luận văn trình bày số phương pháp xây dựng ma phương Chưa có phương pháp cụ thể xây dựng tất ma phương Mỗi phương pháp có đặc điểm riêng Trong luận văn này, dừng lại việc giới thiệu vài phương pháp thông thường để xây dựng số ma phương Nội dung luận văn chia thành ba chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Ở đây, chúng tơi trình bày sơ lược lại số kiến thức ma trận, không gian vectơ để phục vụ cho việc làm rõ cấu trúc không gian vectơ tập ma phương Chương tập trung làm rõ cấu trúc không gian vectơ, chứng minh tập ma phương cấp n không gian vectơ, khơng gian có khơng gian vectơ tập ma phương cấp n có số ma phương (gọi ma phương không); xác định số chiều hai không gian vectơ Phần cuối chương trình bày số tính chất tích vơ hướng hàng, cột giá trị riêng ma phương Chương giới thiệu bốn phương pháp xây dựng ma phương: phương pháp Hindu; phương pháp Bachet de Méziriac; phương pháp Phillipe de la Hire; phương pháp bước đồng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ Trong chương này, nhắc lại cách sơ lược số kiến thức chuẩn bị không gian vectơ, ma trận, hệ phương trình tuyến tính Nội dung chương tham khảo tài liệu [1] 1.1.1 Khái niệm không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Xét tập V khác rỗng mà phần tử ta quy ước gọi vectơ trường số thực R Giả sử V ta định nghĩa hai phép toán: phép cộng hai vectơ phép nhân vectơ với số thực Phép cộng hai vectơ luật hợp thành V cho phép tạo từ cặp vectơ x, y ∈ V vectơ gọi tổng chúng, kí hiệu x + y Phép nhân vectơ với số, gọi phép nhân với vô hướng, luật hợp thành trên V cho phép tạo từ vectơ x ∈ V số thực k ∈ R vectơ gọi tích chúng, kí hiệu kx Nếu 10 điều kiện sau thảo mãn với x, y, z ∈ V k, i ∈ R tập V gọi không gian vectơ trường R: (1) Nếu x y ∈ V x + y ∈ V; (2) x + y = y + x, ∀x, y ∈ V; (3) x + (y + z) = (x + y) = z, ∀x, y, z ∈ V; (4) Tồn vectơ θ ∈ V cho θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V; (5) Với x ∈ V tồn vectơ −x ∈ V cho x + (−x) = (−x) + x = θ; (6) Nếu k ∈ R x ∈ V kx ∈ V; (7) k(x + y) = kx + ky ; (8) (k + l)x = kx + lx; (9) k(lx) = (kl)x; (10) 1.x = x Ví dụ 1.1.2 Xét Rn tập mà phần tử n số thực có thứ tự (x1 , x2 , , xn ), gọi vectơ n thành phần Xét x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) Phép cộng vectơ phép nhân với vô hướng định nghĩa sau x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ), kx = (kx1 , kx2 , , kxn ), k ∈ R Ngoài x = y xi = yi , ∀i Với phép toán trên, dễ dàng kiểm tra Rn không gian vectơ (thực) Dưới số tính chất đơn giản không gian vectơ: Mệnh đề 1.1.3 (a) Phần tử trung hòa θ nhất, gọi vectơ không (b) Phần tử đối xứng −x vectơ x thuộc V (c) ∀x ∈ V ta có 0x = θ (d) ∀x ∈ V ta có −x = (−1)x (e) ∀k ∈ R ta có kθ = θ (f ) Với x ∈ V, k ∈ R ta có: kx = θ k = x = θ 1.1.2 Không gian hệ sinh Định nghĩa 1.1.4 Cho V không gian vectơ, W tâp V Nếu với hai phép toán V, W khơng gian vectơ W gọi không gian V Như muốn chứng tỏ W ⊂ V không gian V ta phải chứng minh thân W với hai phép toán cộng vectơ nhân vectơ với số định nghĩa V, thỏa mãn 10 tiên đề không gian vectơ Định lý sau giúp cho việc chứng W ⊂ V khơng gian V đơn giản Định lý 1.1.5 Cho V không gian vectơ, W ⊂ V, W = ∅ Để W không gian V điều kiện cần đủ hai tính chất sau thỏa mãn: (a) Nếu u v ∈ W u + v ∈ W (tức W đóng kín phép cộng vectơ) (b) Nếu k ∈ R, u ∈ W ku ∈ W (tức W đóng kín phép nhân vectơ với số thực) Định nghĩa 1.1.6 Cho V không gian vectơ, S họ vectơ {x1 , x2 , , xn } V Biểu thức c1 x1 + c2 x2 + + cn xn , với ci ∈ R, vectơ thuộc V gọi tổ hợp tuyến tính vectơ họ S, hay nói gọn tổ hợp tuyến tính họ S Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính S gọi bao tuyến tính S, ký hiệu span(S) Định lý 1.1.7 W = span(S) không gian V Định nghĩa 1.1.8 Cho V không gian vectơ, S ⊂ V Nếu span(S) = V, tức x ∈ V có biểu diễn x = c1 x1 + + cn xn ta nói S hệ sinh V 23 Chẳng hạn với ma phương pandiagonal cấp 4, người ta chứng minh R1 · R2 = R3 · R4 C1 · C2 = C3 · C4 , nhiên, đẳng thức R1 · R3 = R2 · R4 C1 · C3 = C2 · C4 nói chung khơng 2.4 Giá trị riêng ma phương Trong mục này, quan tâm đến giá trị riêng ma phương Trước tiên ta xét vài ví dụ Ví dụ đầu tiên, ta xét ma phương thông thường cấp sau đây:       Phương trình đặc trưng ma trận 8−λ 5−λ 2−λ =0 hay (8 − λ) (5 − λ) (2 − λ) + 162 + 28 − 24 (5 − λ) − (2 − λ) − 63 (8 − λ) = Thực phép biến đổi tương đương ta được: 40 − 13λ + λ2 (2 − λ) + 162 + 28 − 120 + 24λ − 504 + 63λ − + 3λ = 0, 80 − 26λ + 2λ2 − 40λ + 13λ2 − λ3 + 70 + 24λ − 504 + 63λ − + 3λ = 0, −λ3 + 15λ2 + 24λ − 360 = 0, −λ2 (λ − 15) + 24 (λ − 15) = 0, −λ2 + 24 (λ − 15) = 0, λ2 = 24, λ = 15 √ √ Vậy giá trị riêng ma phương λ = 15, −2 Ta thấy λ = 15 số ma phương σ (M ) Đặc biệt hơn, giá trị riêng λ = 15 giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn nhất, gọi giá trị riêng 24 Bằng tính tốn người ta thấy với ma phương thơng thường khác có tính chất tương tự Lưu ý cấp ma phương lớn, ta cần trợ giúp phần mềm tính tốn Ví dụ, ma phương cấp 13 sau đây:   93                          108 123 138 153 168 16 31 46 61 76 107 122 137 152 167 13 15 30 45 60 75 90 89 91 92   104 106   121 136 1551 166 12 14 29 44 59 74 135 150 165 11 26 28 43 58 73 88 149 164 10 25 27 42 57 72 87 163 24 39 41 56 71 86 101 116 118 133 148  23 38 40 55 70 85 100 115 130 132 147 162 22 37 52 54 69 84 99 114 129 131 146 161 36 51 53 68 83 98 113 128 143 145 160 50 65 67 82 97 112 127 142 144 159 64 66 81 96 111 126 141 156 158 78 80 95 110 125 140 155 157 79 94 109 124 139 154 169  103 105 120    102 117 119 134  21 20 35 19 34 49 18 33 48 63 17 32 47 62 77   ,             sử dụng phần mềm MatLab, ta tìm giá riêng xấp xỉ 1105.0, ±353.1, ±181.8, ±127.4, ±102.7, ±90.4 ±85.1 Sử dụng công thức tìm tổng ma phương ma phương thơng thường, có σ (M ) = 13 13 (170) = 1105, 132 + = 2 giá trị riêng ma phương Đối với ma phương ma phương thông thường người ta thấy chúng có tính chất tương tự Ví dụ, ma phương ma phương cấp với phần tử số nguyến tố:  167 89 193  229 53 107 67    137 73 223 23 83 163 37      173 Hằng số ma phương giá trị riêng ma phương 456 Trường hợp ngoại lệ tìm thấy ma phương khơng Hằng số ma phương chúng 0, giá trị riêng chúng lại Tuy nhiên, giá trị riêng chúng Từ đây, người ta đặt giả thuyết sau: 25 Giả thuyết 2.4.1 Giá trị riêng ma phương bao gồm phần tử dương số ma phương Nếu ma phương có phần tử âm số ma phương giá trị riêng Theo chúng tơi biết giả thuyết chưa có câu trả lời đầy đủ cho khẳng định thứ Với khẳng định thứ hai ta dễ dàng thấy giả thuyết số ma phương ln giá trị riêng ma phương ứng với vectơ riêng (1, 1, , 1) 26 Chương Một số phương pháp xây dựng ma phương Trong chương này, trình bày số phương pháp xây dựng ma phương Nội dung mục trình bày dựa theo Schubert [8] [9] 3.1 Phương pháp Hindu Phương pháp Hindu xây dựng ma phương thông thường cấp lẻ n bắt đầu với số vị trí hàng (nghĩa a1(n+1)/2 ) Đặt hàng cột bên phải, sau tiếp tục đặt số lên theo đường chéo (về phía “đơng bắc”) đến cột ngồi phía bên tay phải Sau đó, đặt số vào ngồi bên trái hàng phía trên, tiếp tục đặt số lên theo đường chéo n, đến vị trí số Số tiếp theo, n + 1, đặt vị trí số n Tiếp tục đặt số lên theo đường chéo Nếu đạt đến hàng cùng, số đặt ô vuông cột Quá trình thực tất ô ma phương lấp đầy Dưới ví dụ ma phương cấp 27 xây dựng phương pháp Hindu:  47 58 69 80  57  67  77   6  16  26   36  12 23 34 45 68 79 11 22 33 44 46 78 10 21 32 43 54 18 20 31 42 53 55 17 19 30 41 52 63 65 27 29 40 51 62 64 75 28 39 50 61 72 74 38 49 60 71 73 14 37 48 59 70 81   56  66   76  5  15   25 13 24 35 Trong phương pháp Hindu không thiết sử dụng số tự nhiên từ đến n2 , tức không xây dựng ma phương thông thường Ta sử dụng cấp số cộng tạo thành ma phương Trên thực tế, nhiều dãy số khác sử dụng phương pháp Hindu để tạo thành ma phương Chẳng hạn, sử dụng số từ mảng này:    6           10 11 12 13   16 17 18 19 20       23 24 25 26 27      30 31 32 33 34  Chúng ta bắt đầu với số vị trí hàng làm theo phương pháp thông thường mô tả trên, sử dụng thứ tự 2, 3, , đọc mảng từ trái sang phải, hàng xuống hàng cùng, để tạo ma phương A bên Chúng ta theo thứ tự mảng từ xuống dưới, từ cột đến cột cuối (sử dụng thứ tự 2, 9, 16, 23, 30, 3, 10, ) tạo ma phương B bên Cả hai có số ma phương (2 + 34) = 90  24 33  11 20  12 27  17 32     32 10 19 23 20 30 10 25       ; B = 23 18 33 13 A= 18 27 31     13 17 26 30  31 11 26 16     16 25 34 12 19 34 24 28 3.2 Phương pháp Bachet de Méziriac Phương pháp thực gần giống phương pháp Hindu, khác sau đường chéo n số, thay di chuyển xuống ô, số đặt sang bên phải hai (nếu hết hàng “cuốn vịng” quay lại đầu hàng), nữa, phương pháp này, không thiết bắt đầu vị trí hàng Dưới ví dụ ma phương cấp xây dựng theo phương pháp Bachet de Méziriac với số đặt vị trí thuộc hàng 4, cột 5:  35   10  41  16   47 22 3.3  29 12 37 20 45 28 11 36 19 44 27 3   34  9   40  15 42 18 43 26 17 49 25 33 48 24 32 23 31 14 39 30 13 38 21 46 Phương pháp Phillipe de la Hire Phương pháp xây dựng ma phương cách lấy tổng hai hình vng latin Nhắc lại hình vng latin cấp n ma trận vuông cấp n n phần tử phân biệt, đó, hàng, cột, đường chéo đường chéo phụ phần tử xuất lần Hai hình vng latin cấp n phần tử gọi trực giao “chồng lên nhau” ô giá trị ma phương ô giá trị ma phương trùng khớp lần Chẳng hạn, hai hình vng latin ví dụ chương trước trực giao với nhau:    3   1 4   1 4        2 3 Để xây dựng ma phương thông thường bậc n phương pháp Phiilipe de la Hire, trước tiên ta xây dựng hai hình vng latin bậc n trực giao nhau, đó, hình vng latin bao gồm số từ đến n 29 hàng cột, phần tử hình vng latin thứ hai (n − 1) bội số n Chẳng hạn, ma phương bậc 5, hình vng latin thứ hai chứa 0, 5, 10, 15 20 hàng cột Tổng hai hình vng latin cho ta bán ma phương thông thường (tức bao gồm phần tử số tự nhiên từ đến n2 có tổng phần tử hàng cột số) Phương pháp tạo số ma phương thơng thường Chẳng hạn, với n = 3, ta có ví dụ sau      3        3 1 + 0 6 = 3 7 ; với n = 4, ta có ví dụ sau    4  12 4 1  12     + 2 3 12 4  11 16 4  12 15  =  14 12  5  ; 3 13 10 với n = 5, ta có ví dụ sau    15 20 10   18 24 12      20 10 15 22 15 16 2 1         =  13 19 25 10 15 20  +    1 5   10 15 20  10 11 17 23      3.4 10 15 20 14 20 21 Phương pháp bước đồng Phương pháp bước đồng (tiếng Anh: “uniform step method”) phương pháp mô tả Lehmer [7] để xây dựng ma phương thông thường cấp lẻ n Để tránh phức tạp phép tính ta xây dựng ma phương với phần tử số nguyên từ đến n2 − thay từ đến n2 Để mô tả phương pháp này, cần tọa độ hóa lại vị trí ma trận vng cấp n Ơ nằm cột thứ p tính từ trái sang phải nằm hàng thứ q tính từ lên ký hiệu (p, q) Ký hiệu (xj , yj ) tọa độ chứa giá trị j Ví dụ, Hình 3.1, chứa có tọa độ (4, 3) chứa có tọa độ (2,5) (x0 , y0 ) = (4, 3), (x7 , y7 ) = (2, 5) 30 Phương pháp bước đồng mơ tả sau: Trước tiên đặt số vào có tọa độ (a, b) Mỗi số nguyên liên tiếp sau đặt sang phải c cột lên d hàng Đến phần tử n vị trị quay vị trí số 0, ta đặt số n vào vị trí tính từ vị trí số sang phải e cột lên f hàng Sau ta lại tiếp tục q trình ta đặt hết số nguyên từ đến n2 − vào ô Nếu c, d, e f số nguyên âm, nên thay từ “sang phải” “đi lên” từ “sang trái” “đi xuống” vị trí thích hợp (ví dụ: c = −1 tương ứng với sang trái ơ) Trong Hình 3.1 ma phương cấp xây dựng theo phương pháp Tuy nhiên, lúc phương pháp cho ma phương mà cần có điều kiện giàng định giá trị a, b, c, d, e, f, n ta thu ma phương Đôi phương pháp không hồn tồn lấp đầy hình vng mà n2 số đặt n2 Hình 3.1: Ma phương xây dựng phương pháp bước đồng với n = 5, a = 4, b = 3, c = 1, d = 2, e = f = Tiếp theo đây, tìm hiểu điều kiện để phương pháp bước đồng cho ta kết ma phương Trước tiên ta nhắc lại khái niệm hàm phần nguyên số thực Định nghĩa 3.4.1 Nếu α số thực phần nguyên α, ký hiệu [α], số nguyên lớn nhỏ α Nói cách khác, [α] = a, a số nguyên thỏa mãn bất đẳng thức a ≤ α < a + Với khái niệm hàm phần nguyên, ta định nghĩa phương pháp bước đồng dạng cơng thức tốn học sau 31 Định nghĩa 3.4.2 Cho a, b, c, d, e, f số nguyên n số nguyên dương Phương pháp bước đồng cho hình vng kích thước n × n đặt n2 số j = 0, 1, 2, n2 − vào ô có tọa độ (xj , yj ), xj ≡ a + cj + e j (mod n) , n yj ≡ b + dj + f j (mod n) n (3.1) Định nghĩa 3.4.3 Phương pháp bước đồng gọi lấp đầy hình vng kích thước n × n n2 hình vng có số Nhận xét phương pháp bước đồng lấp đầy khơng lấp đầy hình vng n × n Nếu lấp đầy chưa hình vng ma phương Chẳng hạn, hình vng cấp lấp đầy phương pháp bước đồng với a = 2, b = 1, c = 1, d = 1, e = −1 f = −2, nhiên khơng phải ma phương  11 13   10 12       15  14 Bổ đề 3.4.4 Cho j số nguyên thỏa mãn ≤ j ≤ n2 − Khi đó, tồn cặp số nguyên u v cho ≤ u ≤ n − 1, 0≤v ≤n−1 (3.2) j = + u Hơn nữa, số nguyên hoàn toàn xác định (3.2) điều kiện j ≡ u( mod n), j = v n Chứng minh Rõ ràng, tồn số nguyên u thỏa mãn ≤ u ≤ n − j ≡ u( mod n) Do đó, tồn số nguyên v cho j = u + nv Vì ≤ j ≤ n2 − ≤ u ≤ n − nên ta có −1 < − (n − 1) j−u (n2 − 1) − ≤ ≤ < n n n n 32 Suy −1 < v < n hay ≤ v ≤ n − Khẳng định thứ bổ đề chứng minh Bây giả sử j = + u, u v thỏa mãn (3.2) Khi j ≡ u( mod n) bất đẳng thức ≤ u ≤ n − hoàn toàn xác định u Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức này, ta có v= Suy v = j j + (n − u) j−u ≤ < = v + n n n j v hoàn toàn xác định Bổ đề hoàn toàn n chứng minh Sử dụng dạng biểu diễn j Bổ đề 3.4.4, ta viết lại công thức phương pháp bước đồng sau xj ≡ a + cu + ev( mod n), yj ≡ b + du + f v( mod n) (3.3) Định lý 3.4.5 Phương pháp bước đồng lấp đầy hình vng n × n (cf − de, n) = 1, tức cf − de n nguyên tố Chứng minh Phương pháp bước đồng đặt n2 phần tử vào n2 Vì khả mà hình vng khơng lấp đầy tồn đặt vào phần tử Như ta cần chứng minh khơng có có phần tử Ta chứng minh phản chứng, giả sử j1 j2 (j1 = j2 ) đặt vào ô, tức xj1 = xj2 yj1 = yj2 Theo Bổ đề 3.4.4, ta viết j1 j2 dạng j1 = v1 n + u1 , j2 = v2 n + u2 , u1 , v1 , u2 , v2 số ngun khơng âm nhỏ n Khi đó, sử dụng (3.3), ta có a + cu1 + ev1 ≡ a + cu2 + ev2 ( mod n), b + du1 + f v1 ≡ b + du2 + f v2 ( mod n) hay cu1 + ev1 ≡ cu2 + ev2 ( mod n), du1 + f v1 ≡ du2 + f v2 ( mod n) (3.4) 33 Xem (3.4) hệ phương trình đồng dư hai ẩn u1 v1 Ma trận hệ số có định thức cf − de nguyên tố với n nên hệ có nghiệm ( mod n) Rõ ràng u1 ≡ u2 ( mod n), v1 ≡ v2 ( mod n) nghiệm hệ nên nghiệm Do u1 , v1 , u2 , v2 số không âm nhỏ n nên suy u1 = u2 , v1 = v2 hay j1 = j2 Suy mâu thuẫn Định lý 3.4.5 cho ta điều kiện để phương pháp bước đồng lấp đầy hình vng Ta thấy điều kiện thỏa mãn ví dụ phía Bây ta tìm hiểu điều kiện phương pháp cho ta ma phương Bổ đề 3.4.6 Cho q, r, s ba số nguyên thỏa mãn (q, n) = (r, n) = Khi đó, tồn n số nguyên số số nguyên không âm nhỏ n2 thỏa mãn qj + r j ≡ s( n mod n) n(n2 − 1) tổng n số nguyên Chứng minh Theo Bổ đề 3.4.4, số nguyên j khoảng từ đến n2 − xác định u v khoảng từ đến n − cho j = + u ngược lại Sử dụng biểu diễn này, đồng dư thức bổ đề viết thành qu + rv ≡ s( mod n) (3.5) Điều cần có n cặp u, v thỏa mãn (3.2) (3.5) Do (r, n) = nên với u cho trước v nghiệm phương trình rv = s − qu( mod n) Có n giá trị u khoảng từ đến n − mà giá trị xác định giá trị v khoảng cho u, v thỏa mãn (3.5) Do có n giá trị j khoảng từ đến n2 − thỏa mãn qj + r j ≡ s( n mod n) Lưu ý u có n giá trị từ đến n − giá trị tương ứng với giá trị v khoảng Đổi vai trò u v ta 34 thấy v có n giá trị giá trị v tương ứng với giá trị u Vì vậy, ta có n giá trị j khoảng từ đến n2 − thỏa mãn đồng dư thức cho Ngồi ta có n−1 n−1 jk = k=0 n−1 (nvk + uk ) = n k=0 n−1 vk + k=0 uk k=0 n−1 k k+ =n n−1 k=0 k=0 n−1 k = (n + 1) = (n + 1) k=0 n(n − 1) n(n2 − 1) = 2 Định lý 3.4.7 Giả sử số 0, 1, , n2 − đặt vào hình vng cỡ n × n theo phương pháp bước đồng xác định (3.1) Khi i) Nếu (c, n) = (e, n) = tổng phần tử nằm cột số; ii) Nếu (d, n) = (f, n) = tổng phần tử nằm hàng số Chứng minh Giả sử (c, n) = (e, n) = Số j đặt vào cột thứ k xj = k Vì xj ≡ a + cj + e j ( n mod n) nên j đặt cột thứ k cj + e j ≡ k − a( n mod n) Theo Bổ đề 3.4.6, tổng phần tử j phần tử nằm cột n(n2 − 1) Suy tổng n(n2 − 1) Khẳng định thứ định lý chứng minh Khẳng định thứ hai định lý chứng minh hoàn toàn tương tự Như điều kiện hai định lý 3.4.5 3.4.7 thỏa mãn phương pháp bước đồng cho kết bán ma phương 35 Kết luận Dựa theo tài liệu tham khảo, luận văn trình bày số vấn đề sau: Sơ lược số kiến thức không gian vectơ, ma trận, giá trị riêng; Khái niệm ma phương, cấu trúc không gian vectơ tập ma phương, số chiều khơng gian ma phương cấp, tính chất tích vơ hướng hàng, cột giá trị riêng ma phương Bốn phương pháp xây dựng ma phương: phương pháp Hindu; phương pháp Bachet de Méziriac; phương pháp Phillipe de la Hire; phương pháp bước đồng 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2008), Toán học cao cấp, tập 1, NXB Giáo dục Tiếng nước [2] M.P Cohen, J Bernard (1982), “From Magic Squares to Vector Space”, Mathematics Teacher, 75, pp 76–77 [3] J Dénes, A.D Keedwell (1974), Latin square and their applications, Academic Press, New York [4] J.R Hendricks (1986), “A Pandiagonal Fourth-Order Magic Square”, Journal of Recreational Mathematics, 18, p 299 [5] F.E Hruska (1991), “Magic Squares, Matrices, Planes and Angles”, Journal of Recreational Mathematics 23, pp 183–189 [6] D King (1984), Magic square puzzles, Dorset Press, Great Britain [7] D.N Lehmer (1929), “On the congruences connected with certain magic square”, Transactions of the American Mathematical Society, 31, pp 529– 551 [8] H Schubert (1899), Mathematical essays and recreations, Open Court Publishing Company, Chicago 37 [9] H.M Stark (1998), An introduction to number theory: Chapter 4, The MIT press, England [10] J.E Ward III (1980), “Vector spaces of magic squares”, Mathematics Magazine, 53, No 2, pp 108–111 ... 12 42 Một ma phương khơng ma phương có số ma phương Tập hợp tất ma phương khơng cấp n kí hiệu 0MS(n) Rõ ràng, ma phương không ma phương thơng thường phải chứa giá trị âm Dưới ví dụ ma phương. .. phải tất loại ma phương nhiên ma phương liệt kê hay nhắc đến phổ biến Thông thường, phần tử ma phương số tự nhiên 1, 2, , n2 , số xuất lần Một ma phương gọi ma phương thông thường ma phương cổ điển... chéo phụ, số, gọi số ma phương (hoặc tổng ma phương) , kí hiệu σ(M ) Tập hợp tất ma phương cấp n kí hiệu MS(n) Tập hợp tất ma phương cấp n có số ma thuật m kí hiệu mMS(n) Một hàng ma phương kí