TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN  LƯƠNG THỊ KIM NGÂN CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên Nghành: TOÁN ỨNG DỤNG Hướng Dẫn Khoa Học: TS TRẦN NGỌC LIÊN Cần Thơ 6-2010 LỜI CẢM ƠN - Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Cô Trần Ngọc Liên, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, động viên suốt thời gian thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Cơ mơn Tốn khoa Khoa Học Tự Nhiên trang bị cho kiến thức bản, kỹ cần thiết để làm luận văn Xin cám ơn bạn bè giúp đỡ q trình học tập, sưu tầm, tìm tịi tài liệu để tơi hồn thành luận văn Xin bày ỏt lòng biết ơn đặc biệt đến Cha, Mẹ người thân dạy dỗ, khuyến khích, động viên tạo điều kiện tốt cho tơi suốt q trình học tập Dù cố gắng với tận tâm Cô hướng dẫn song trình độ cịn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận thơng cảm góp ý Thầy Cơ bạn Cần Thơ, tháng năm 2010 Sinh viên Lương Thị Kim Ngân DANH MỤC CÁC BẢNG STT TÊN BẢNG NỘI DUNG Bảng 1.1 Các bước thực phương pháp Gauss-Jordan 10 Bảng 1.2 Bài giải áp dụng công thức Gauss-Jordan 12 Bảng 1.3 Các bước lặp giải hệ phương pháp lặp đơn Bảng 1.4 Các bước lặp giải hệ phương pháp lặp Seidel TRANG 21 24 Bảng 2.1 Số liệu toán ứng dụng 25 Bảng 2.2 Các bước lặp giải toán ứng dụng 32 Bảng 2.3 Số liệu toán ứng dụng 34 Bảng 2.4 Các bước lặp phương pháp lặp đơn giải toán ứng dụng Bảng 2.5 39 Các bước lặp phương pháp Seidel giải toán ứng dụng 41 10 Bảng 2.6 Số liệu toán ứng dụng 11 Bảng 2.7 Bảng kết phương pháp Gauss- Jordan giải toán ứng dụng 44 43 12 Bảng 2.8 Số liệu toán ứng dụng 50 13 Bảng 2.9 Các bước lặp đơn giải toán ứng dụng 56 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHUƠNG PHÁP SỐ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I KHÁI QT VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính 1.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính 1.3 Hệ phương trình tuyến tính Ma Trận 2.1 Định nghĩa 2.2 Ma trận tam giác 2.3 Phép nhân hai ma trận 2.4 Hạng ma trận 2.5 Ma trận đơn vị 2.6 Ma trận nghịch đảo Điều kiện có nghiệm hệ phương trình 3.1 Trường hợp tổng quát 3.2 Các trường hợp đặc biệt II CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Một số phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính 1.1 Phương pháp Gauss 1.1.1 Nội dung phương pháp 1.1.2 Phương pháp Gauss với phương án trục 1.1.3 Sơ đồ Gauss Compact 1.2 Phương pháp nhân tử LU 12 1.2.1 L có đường chéo 1(phương pháp Doolittle) 14 1.2.2 U có đường chéo (Phương pháp Crout) 15 1.2.3 Phương pháp Choleski 16 Một số phương pháp gián tiếp giải hệ phương trình tuyến tính 17 2.1.Phương pháp lặp đơn 17 2.1.1 Chuẩn ma trận 17 2.1.2 Nội dung phương pháp 17 2.1.3 Sự hội tụ 19 2.1.4 Sai số 19 2.2.Phương pháp lặp Seidel 21 2.2.1 Nội dung phương pháp 21 2.2.2 Điều kiện hội tụ sai số 22 Chương VÍ DỤ ỨNG DỤNG 25 2.1 Bài toán ứng dụng … 25 2.2 Bài toán ứng dụng 34 2.3 Bài toán ứng dụng 43 2.4 Bài toán ứng dụng 50 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 PHẦN MỞ ĐẦU Từ xa xưa toán học bắt nguồn từ việc giải vấn đề cụ thể đời sống người đặt như: tính diện tích miếng da thú, nhà cửa, đất đai; tính đường xuyên rừng hay đường tàu biển… Do đó, phương pháp tính nghành khoa học hình thành từ xa xưa nói giai đoạn đầu toán học, toán học đồng nghĩa với phương pháp tính Tốn học ngày phát triển theo yêu cầu nghành khoa học khác như: vật lý, hóa học, sinh học, y học, kinh tế học, xã hội học… phát triển theo yêu cầu tốn học Trong phát triển nhanh chóng toán học, đặc biệt từ cuối kỷ XIX phương pháp tính khơng ngừng phát triển Lượng kiến thức toán học ngày thật đồ sộ nên người ta chia toán học làm nghành: Toán Lý Thuyết (Toán học túy) Toán Ứng Dụng Mơn phương pháp tính xem b ộ phận quan trọng toán ứng dụng Theo tự điển Bách Khoa Toàn Thư Về Khoa Học Kỹ Thuật (NXB Mc.Graw Hill 1992) Phương Pháp Tính (Computational mathematisc) hay ải Gi Tích Số (Numerical Analysis) hay Phương Pháp Số (Numerical Methods) khoa học nghiên cứu cách giải tìm nghiệm số gần phương trình, tốn xấp xỉ hàm số, toán tối ưu… Trong luận văn này, chúng tơi trình bày tổng quan số phương pháp số tìm nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính, đồng thời trình bày số tốn ứng dụng giải lập trình Matlab Matlab phần mềm tiếng công ty Math Works, ngơn ngữ hiệu cao cho tính tốn kỹ thuật Nó tích hợp tính tốn, hiển thị lập trình mơi trường dễ sử dụng Các ứng dụng cụ thể Matlab bao gồm: Hỗ trợ tốn học tính tốn; phát triển thuật tốn, mơ hình, mơ phỏng, phân tích, khảo sát hiển thị số liệu; đồ họa khoa học kỹ thuật; phát triển ứng dụng với giao diện đồ họa đẹp Trên giới Matlab áp dụng rộng rãi việc giảng dạy trường đại học Ở Việt Nam, có số khoa, trường đưa Matlab vào giảng dạy mức độ phổ biến chưa cao Nội dung luận văn gồm hai chương Chương trình bày kiến thức tổng quan hệ phương trình đại số tuyến tính số phương pháp số tìm nghiệm hệ Một số tốn ứng dụng thực tế mà chúng tơi giải lập trình Matlab thể chương Đó nội dung luận văn Chúng hi vọng đề tài nhân tố thúc đẩy việc nghiên cứu phổ biến rộng rãi việc sử dụng Matlab toán có yêu cầu giải phương pháp số PHẦN NỘI DUNG Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I KHÁI QT VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Ta gọi hệ phương trình tuyến tính tổng qt hệ gồm m phương trình n ẩn dạng: a11x1 +a12 x + +a1n x n =b1 a x +a x + +a x =b  21 22 2n n (1)   a m1x1 +a m2 x + +a mn x n =b n a ij , b i (i=1,m,j=1,n) số cho x j (j=1,n) ẩn số cần tìm Các số a ij (i=1,m,j=1,n) gọi hệ số (chứa ẩn) số bi (i=1,m) đươc gọi hệ số tự Trong phần chúng tơi xét hệ phương trình tuyến tính với hệ số số thực 1.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Nghiệm hệ (1) gồm n số (c1 ;c ; ;c n ) mà tương ứng vào ẩn x1 ,x , ,x n tất phương trình hệ (1) trở thành đẳng thức 1.3 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính có hệ số tự gọi hệ phương trình tuyến tính có dạng: a11x1 +a12 x + +a1n x n =0 a x +a x + +a x =0  21 22 2n n   a m1x1 +a m2 x + +a mn x n =0 Ma trận 2.1 Định nghĩa Cho số tự nhiên m, n Ta gọi ma trận cỡ m×n bảng gồm m× n phần tử, xếp thành m hàng n cột, dạng:  a11 a12 … a1n  a a 22 … a 2n  21  A=         a m1 a m2 … a mn  Các phần tử a ij gọi phần tử ma trận; số i, j cho biết phần tử a ij đứng hàng thứ i cột thứ j Để tiện lợi, ma trận A viết gọn A= a ij  m×n , hay đơn giản A= a ij  không cần quan tâm tới cỡ ma trận, A m×n khơng cần rõ phần tử thuộc ma trận Trong phần này, xét ma trận có phần tử a ij số thực Nếu m=n ta nói A ma trận vuông cấp n Định Nghĩa: Ma trận vuông A gọi đối xứng A T =A Có thể nói ma trận A đối xứng phần tử đối xứng với qua đường chéo chính, nghĩa a ij =a ji ;∀i, j=1,n Định Nghĩa: Ma trận A gọi xác định dương với vectơ x ≠ ta ln có x T Ax >0 Định Nghĩa: Trong ma trận A: - Hàng có phần tử khác gọi hàng khác 0, hàng chứa tất phần tử đều gọi hàng - Phần tử khác (tính từ trái qua phải) hàng, gọi phần tử hàng Định Nghĩa: a) Ma trận A gọi có dạng bậc thang (hay ma trận bậc thang) A thỏa tính chất sau: - Hàng (nếu có) nằm phía hàng khác - Phần tử hàng dưới, ln đứng cột phía phải so với cột chứa phần tử hàng phía b) Ma trận bậc thang có thêm hai tính chất sau gọi ma trận dạng bậc thang rút gọn hay gọi đơn giản ma trận rút gon: 10 - Mọi phần tử - Trong cột có chứa phần tử (bằng 1) phần tử khác cột 2.2 Ma trận tam giác Trong ma trận vuông A= a ij  cấp n, phần tử a ii , i = 1…n, gọi phần tử đường chéo, hay đơn giản đường chéo Ma trận vuông cấp n gọi ma trận có dạng tam giác (hay ma trận tam giác) tất phần tử nằm phía (hay phía dưới) đường chéo - Nếu ma trận A= a ij  n×n có a ij =0 với i>j A gọi ma trận tam giác - Nếu ma trận B= a ij  n×n có bij =0 với iMax Max=abs(A(i,index)); MaxIndex=i; end end temp=A(index,:); A(index,:)=A(MaxIndex,:); A(MaxIndex,:)=temp; M=A; end end >> A=[5 1 100;0,3 0,5 0,1 0,2 23;0,1 0,15 0,625 0,4 26,5;0,1 0,2 0,3 0,6 32,5] A= 5,0000 1,0000 1,0000 1,0000 100,0000 0,3000 0,5000 0,1000 0,2000 23,0000 0,1000 0,1500 0,6250 0,4000 26,5000 0,1000 0,2000 0,3000 0,6000 32,5000 >> LinSolve_GaussJordan(A) ans = 5,0000 25,0000 10,0000 40,0000 - Dùng phương pháp crout giải hệ Từ hệ phương trình (3.3) ta có ma trận hệ số A sau: 1  5 0,3 0,5 0,1 0,2   A=  0,1 0,15 0,625 0,4    0,3 0,6   0,1 0,2 Ta có phân tích ma trận hệ số A theo phương pháp Crout sau: 52 0  1 0,2 0,2 0,2  5  1   0,3 0,44 0     0,3 0,5 0,1 0,2   11 22   A=  = 0,1 0,13 261 =LU   0,1 0,15 0,625 0,4   149  440  0     261  0,1 0,2 0,3 0,6 29 67      0,1 0,18   110 180  0 0 0  1 0,2 0,2 0,2  5 0,3 0,44 0     x1   100       11 22   x   23   Ax=LUx=  0,1 0,13 261 =  149   x   26,5 440   0   261   x  32,5  67    0,1 0,18 29  110 180  0  Đặt y=Ux ta có Ly=b 0  5 0,3 0,44 0   y1   100    y   23    261  LUx=Ly=  0,1 0,13    =    y 26,5 440   3   67   y  32,5   0,1 0,18 29  110 180   Như y=  20  425 11 8570 261 T  40  cuối từ hệ phương trình  0  5  20  0,3 0,44  0   x1   425   x     11  261 Ux=  0,1 0,13    =  x 8570  440   3   29 67   x   216    0,1 0,18 110 180   40  Ta thu nghiệm x= [5 25 10 40] T Vậy 100kg hỗn hợp cần 5kg TAHH, 25kg ngơ, 10kg cám và40kg bột mì Giá thành 1kgỗnh hợp 0,05×7500+0,25×4500+0,1×3000+0,4×4500=3600 (đồng/kg) Giải theo phương pháp Crout cách lập trình Matlab % Giai he phuong trinh tuyen tinh bang phuong phap nhan tu LU % Do minh hoa rat sat thuat toan nen code kha dai % Ham nhan hai doi so, A: ma tran day du, name: ten cua phuong phap can % phan tich voi 'C' la phuong phap Crout va 'D' la phuong phap Doolittle function LU=LinSolve_Lu(A,name) 53 n=length(A(1,:))-1; rowlength=length(A(:,1)); b=A(:,n+1); if (name=='C') % Truong hop 1: Giai nghiem voi phan tich Crout [U,L]=Crout(A); elseif (name=='D') % Truong hop 2: Giai nghiem voi phan tich Doolittle [U,L]=Doolittle(A); end Ly=[L b]; y=Solution(Ly,0)'; Ux=[U y]; LU=Solution(Ux,1)'; % -function M = Solution(A,de) c=n+1; S=zeros(1,c-1); S(c-1)=A(rowlength,c)/A(rowlength,rowlength); Copy=A(:,1:c-1); B=A(:,c); if (de==1) S(c-1)=A(rowlength,c)/A(rowlength,rowlength); for row=rowlength-1:-1:1 C=-Copy(row,:); C(row)=0; S(row)=(B(row)+sum(S.*C))/A(row,row); end else S(1)=A(1,c)/A(1,1); for row=2:rowlength C=-Copy(row,:); C(row)=0; S(row)=(B(row)+sum(S.*C))/A(row,row); end end M=S; end % U co cac phan tu tren duong cheo chinh la (phuong phap Crout) function [U,L]=Crout(A) U=eye(n); 54 L=zeros(n); L(:,1)=A(:,1); U(1,2:n)=A(1,2:n)./L(1,1); for i=1:n for j=2:n if (i>=j) SL=0; for k=1:j-1 SL=SL+L(i,k)*U(k,j); end L(i,j)=A(i,j)-SL; elseif (i> A=[5 1 100;0,3 0,5 0,1 0,2 23;0,1 0,15 0,625 0,4 26,5;0,1 0,2 0,3 0,6 32,5] A= 5,0000 1,0000 1,0000 1,0000 100,0000 0,3000 0,5000 0,1000 0,2000 23,0000 0,1000 0,1500 0,6250 0,4000 26,5000 0,1000 0,2000 0,3000 0,6000 32,5000 >> LinSolve_Lu(A,'C') ans = 5,0000 25,0000 10,0000 40,0000 Kết Luận: Đối với hệ phương trình nhiều ẩn phương pháp Crout tốt phương pháp Gauss số lượng bước tính 2.4 Bài tốn ứng dụng Một cơng ty sản xuất loại sản phẩm nước giải khát là: Nước ngọt, trà xanh, sữa đậu nành, nước khoáng sữa tươi Mỗi sản phẩm chế tạo qua công đoạn I, II, III, IV, V Trong công đoạn, thời gian (giờ) để sản xuất sản phẩm cho bảng sau: Bảng I II III IV V Nước giờ giờ Trà xanh giờ giờ Sữa đậu nành giờ giờ Nước khoáng giờ giờ Sữa tươi giờ giờ Mỗi tuần thời gian công ty thực công đoạn I, II III, IV, V 380 giờ, 330 giờ, 220 giờ, 400 280 56 - Yêu cầu: Tính số lượng (chai) Nước ngọt, Trà xanh, Sữa đậu nành, Nước khoáng, Sữa tươi sản xuất tuần Giải Gọi x , x , x , x , x số lượng Nước ngọt, Trà xanh, Sữa đậu nành, Nước khoáng, Sữa tươi sản xuất tuần Theo đề ta có hệ phương trình: 6x1 +x +x +x +x =380   x1 +6x +x +x +x =330  x1 +x +6x +x +x =220  x +x +x +6x +x =400   x1 +x +x +x +6x =280 (3.4) - Dùng phương pháp Gauss với phương án trục giải hệ phương trình: + Bước 1: chia phương trình đầu cho a11 =6 (vì a11 =6 lớn nhất) ta hệ 1 1 190   x1 + x + x + x x =   x1 +6x +x +x +x =330  phương trình  x1 +x +6x +x +x =220  x +x +x +6x +x = 400   x1 +x +x +x +6x = 280  + Bước 2: nhân phương trình đầu cho -1 ầl n lượt cộng vào phương trình 2, phương trình 3, phương trình 4, phương trình ta hệ phương trình sau: 1 1 190  x + x + x + x + x =  6 6   35 x + x + x + x = 800  6 6  35 5 470  x + x3 + x + x5 =  6  35 1010   x + x3 + x + x5 =   x + x + x + 35 x = 650  6 6 (3.4’) + Bước 3: tiếp tục khử x2 cách nhân phương trình thứ ( 3.4’) với a 22 = -1 (vì 35 lớn nhất)và cộng vào phương trình 3, phương trình 4, phương trình hệ Ta được: 57 1 190   x1 + x + x + x =   x + x + x + x = 800  6  40 5 830  x3 + x + x5 =  7 7  40 2090  x3 + x + x5 =  7 7  5 40 1250  x3 + x + x5 =  7 7 (3.4’’) + Bước 4: tiếp tục khử x cách nhân phương trình thứ ( 3.4’’) với -1 (vì a 33 = 40 lớn nhất)và cộng vào phương trình 4, phương trình hệ Ta được:   x1   x           1 190 + x + x5 = 6 5 800 + x + x5 = 6 5 830 x3 + x + x5 = 7 45 1135 x + x5 = 8 45 655 x + x5 = 8 (3.4’’’) + Bước 5: tiếp tục khử x cách nhân phương trình thứ ( 3.4’’’) với (vì a 44 = 45 lớn nhất) cộng vào phương trình hệ Ta được: 1 1 190   x1 + x + x + x + x =   35 x + x + x + x = 800  6 6  40 5 830  x3 + x + x5 =  7 7  45 1135  x + x5 =  8  50 1190  x5 =  9 Từ suy nghiệm hệ: -1 58 1190   x = × 50 =23.8   x =47.8   x =11.8  x = 33.8   x1 = 43.8  Vậy tuần sản xuất 44 chai nước ngọt, 34 chai trà xanh, 12 chai sữa đậu nành, 48 chai nước khoáng 24 chai sữa tươi Giải theo phương pháp Gauss với phương án trục cách lập trình Matlab %Ham giai he phuong trinh bac nhat bang phuong phap Phan tu chinh function S=LinSolve_MainElement(A) c= length(A(1,:)); rowlength=length(A(:,1)); for column=1:c-1 A = wrapMax(A,column); A = GetRidOf(A,column); end S = Solution(A); % -function M = Solution(A) S=zeros(1,c-1); S(c-1)=A(rowlength,c)/A(rowlength,rowlength); Copy=A(:,1:c-1); B=A(:,c); for row=rowlength-1:-1:1 C=-Copy(row,:); C(row)=0; S(row)=(B(row)+sum(S.*C))/A(row,row); end M=S; end function M = GetRidOf(A,index) for k=index+1:rowlength A(k,:)=A(index,:)*(-A(k,index)/A(index,index))+A(k,:); end M=A; end function M=wrapMax(A,index) MaxIndex =index; 59 Max=abs(A(index,index)); for i=index:rowlength if abs(A(i,index))>Max Max=abs(A(i,index)); MaxIndex=i; end end temp=A(index,:); A(index,:)=A(MaxIndex,:); A(MaxIndex,:)=temp; M=A; end end >> A=[6 1 1 380;1 1 330;1 1 220;1 1 400;1 1 280] A= 1 1 380 1 330 1 1 220 1 400 1 1 280 >> LinSolve_MainElement(A) ans = 43,8000 33,8000 11,8000 47,8000 23,8000 - Dùng phương pháp lặp đơn xác đến ×10−2 giải hệ 6x1 +x +x +x +x =380  x +6x +x +x +x =330  6x1 +x +6x +x +x =220 6x +x +x +6x +x =400  6x1 +x +x +x +6x =280 + Bước 1: Chia phương trình thứ cho a 11 =6, phương trình thứ cho a 22 =6, phương trình thứ cho a 33 =6, phương trình thứ cho a 44 =6, phương trình thứ cho a 55 =6 ta được: 60 1 1 190   x1 + x + x + x + x =   x +x + x + x + x =5 6 6  1 110 1  x1 + x +x + x + x = 6 6 1 200 1  x1 + x + x +x + x =   x + x + x + x +x = 140  6 6  190       55   110  ⇒ β=   , α=  200       140    190 1 1   x1 = - x - x - x - x   x =5 51 x x - x - x  6 6  110 1 1  ⇔ x3 = - x1 - x - x - x 6 6  200 1 1   x = - x1 - x - x - x   x = 140 - x - x - x - x  6 6 -1 -1 -1 -1   0 6 6    -1 -1 -1 -1  6 6 6    -1 -1 -1 -1  , α = error Xp=X; X=beta+(alpha*X); err=max(abs(X-Xp)); end end end >> A=[6 1 1 380;1 1 330;1 1 220;1 1 400;1 1 280] A= 1 1 380 1 330 1 1 220 1 400 1 1 280 >> Single_Loop(A,5*10^-2) ans = 63 43,8145 33,8145 11,8145 47,8145 23,8145 Kết Luận: Giải toán hệ phương trình phương pháp Gauss cho ta kết gần phương pháp lặp đơn ta thực phép tính tốn Khi dùng phương pháp lặp đơn giải hệ, với độ xác khơng thiết tốn ẩn vịng lặp 64 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn chúng tơi trình bày hầu hết phương pháp giải số hệ phương trình tuyến tính Các phương pháp trực tiếp nhằm mục đích tìm lời giải xác sau số hữu hạn bước Tuy nhiên thực hành, việc qui tròn số tính tốn nên phương pháp có khơng cho lời giải xác Các phương pháp gián tiếp hay phương pháp lặp dựa vào việc chọn giá trị ban đầu gần dùng thuật tốn thích hợp để d ẫn tới dãy giá trị xấp xỉ mà sau tiến dần đến lời giải Tuy nhiên, phương pháp liên quan đến hội tụ trình lặp Khơng phải lúc q trình lặp hội tụ hội tụ chậm Lợi điểm phương pháp đơn giản, việc tính tốn thực theo cơng thức truy hồi nên thích hợp cho máy tính Với ý nghĩa này, chúng tơi trình bày số chương trình Matlab xây dựng dựa thuật toán phương pháp giới thiệu luận văn Các ch ương trình cịnđơn giản chúng tơi hy vọng luận văn gợi ý khuyến khích người có quan tâm tiếp tục nghiên cứu, sử dụng Matlab để giải nhiều vấn đề khác Toán học như: giải phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, tính đạo hàm tích phân Đồng thời góp phần phổ biến rộng rãi cơng cụ tiện ích tính tốn, ảng gi dạy nghiên cứu khoa học trường vùng ĐBSCL 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO - A Tiếng Việt [1] Trần Anh Bảo - Nguyễn Văn Khải – Phạm Văn Kiều Ngơ Xn Sơn, Giải tích số, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Văn Lâm, Giải số MATLAB, Luận văn thạc sĩ Cần Thơ, 2010 [3] Nguyễn Chí Long, Phương pháp tính, NXB Đại học Quốc gia TP HCM, 2002 [4] Hồ Hữu Lộc, Bài giảng Đại số tuyến tính, NXB Đại học Cần Thơ [5] Lê Thái Thanh – Lê Ngọc Lăng Nguyễn Quốc Lân, Giải tích phương pháp tính, NXB Đại học Quốc gia TP HCM, 2003 [6] Lê Trọng Vinh, Giải tích số, NXB khoa học kỹ thuật Hà Nội, 2000 [7] Dương Thủy Vỹ, Giáo trình phương pháp tính, NXB khoa học kỹ thuật Hà Nội, 2005 B Tiếng Anh [1] John H.Mathews, Methods for mathematics science and engineering, Prentice Hall upper saddle River Page(172,173,174) ... dụng Matlab tốn có u cầu giải phương pháp số 8 PHẦN NỘI DUNG Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I KHÁI QT VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH... HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính 1.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính 1.3 Hệ phương trình tuyến tính ... ứng dụng 56 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHUƠNG PHÁP SỐ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I KHÁI QT VỀ HỆ PHƯƠNG