ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Hồng Quyền CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2013 Mục lục Mở đầu Kiến thức tích phân 1.1 Định nghĩa tính chất nguyên hàm 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất nguyên hàm 1.2 Định nghĩa tính chất liên quan tích 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các tính chất tích phân 1.2.3 Công thức Newton-Leibniz 1.3 Các lớp hàm khả tích 1.4 Các định lý giá trị trung bình phân Các phương pháp tính tích phân 2.1 Phương pháp đổi biến tích phân phần 2.2 Một số phương pháp tính tích phân dạng hiển 2.2.1 Tích phân hàm hữu tỉ 2.2.2 Tích phân hàm vô tỉ 2.2.3 Tích phân hàm lượng giác 2.3 Một số phương pháp tính tích phân đặc biệt 2.3.1 Tích phân hàm chẵn lẻ 2.3.2 Tích phân hàm đặc trưng đặc biệt 2.3.3 Tích phân hàm tuần hồn 2.3.4 Sử dụng hệ thức truy hồi Một số ứng dụng tích phân 3.1 Một số ứng dụng tích phân đại số giải tích 3.1.1 Ứng dụng tích phân vào chứng minh đẳng thức 3.1.2 Ứng dụng tích phân vào chứng minh bất đẳng thức 3.1.3 Ứng dụng tích phân tốn cực trị 3.1.4 Ứng dụng tích phân vào phương trình, bất phương trình 3.1.5 Ứng dụng tích phân tính giới hạn dãy số 3.1.6 Ứng dụng tích phân xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số 3.2 Một số ứng dụng tích phân hình học 3.2.1 Tính độ dài cung 3.2.2 Tính diện tích hình phẳng 6 7 10 11 13 13 15 15 22 27 35 35 40 44 48 53 53 53 56 60 63 70 71 74 74 77 3.3 3.2.3 Tính thể tích vật thể Một số ứng dụng tích phân đời 3.3.1 Tính cơng nhiệt lương 3.3.2 Tính mơ men quay khối tâm Kết luận sống 82 90 90 93 99 Tài liệu tham khảo 100 MỞ ĐẦU Phép tính tích phân phần quan trọng giải tích tốn học Các học sinh năm cuối bậc trung học phổ thông sinh viên năm thứ bậc đại học thường gặp số khó khăn việc học ứng dụng chuyên đề Những người làm quen với tích phân thường chưa hiểu cặn kẽ tư tưởng phương pháp tiếp cận lý thuyết đặc biệt khâu vận dụng kiến thức vào giải tốn thực tế Ngồi kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán sinh viên tồn quốc tốn liên quan đến tích phân hay đề cập đến xem dạng khó Chính mà tích phân có vị trí đặc biệt tốn học Để em học sinh, sinh viên bạn đọc giải tốn tích phân khơng phải lúng túng đưa phương pháp giải tơi chọn cho luận văn với đề tài "các phương pháp tính tích phân ứng dụng" nhằm phần giúp đỡ người học định hình cách giải số toán cách nhanh Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm chương đề cập đến vấn đề sau: Chương I Kiến thức tích phân Trong chương này, số kiến thức nhắc lại Luận văn nhắc lại định nghĩa nguyên hàm, tích phân, số định lý đặc biệt khai thác số tính chất lớp hàm cần tính tích phân, cơng thức Newton-Leibniz, lớp hàm khả tích, định lý giá trị trung bình Chương II Các phương pháp tính tích phân Ở chương luận văn đề cập đến phương pháp tính tích phân, từ phương pháp vận dụng vào giải số ví dụ minh họa Ngồi chương khai thác triệt để lớp hàm đặc biệt để đưa tích phân tính tốn phức tạp, cồng kềnh tích phân tính tốn đơn giản Chương III Ứng dụng tích phân Chương chia thành ba phần: ứng dụng tích phân đại số giải tích, ứng dụng tích phân hình học, ứng dụng tích phân đời sống Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình tơi thực đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ phương pháp tốn sơ cấp; Ban chủ nhiệm khoa Tốn-tin; Phịng sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thái Học, thành phố Vĩnh Yên, tỉnh Vĩnh Phúc tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình ln động viên tơi suốt q trình học tập làm luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả luận văn Phạm Thị Hồng Quyền Chương Kiến thức tích phân 1.1 1.1.1 Định nghĩa tính chất nguyên hàm Định nghĩa Định nghĩa 1.1 (xem [5]) Cho hàm f xác định khoảng U (một đoạn, môt khoảng hay nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn tập số thực) Hàm khả vi F U gọi nguyên hàm f khoảng F (x) = f (x) với x ∈ U Định lý 1.1 (xem [5]) Nếu khoảng U hàm f có nguyên hàm có vơ số ngun hàm ngun hàm f U xác định sai khác số cộng Chứng minh Giả sử F nguyên hàm f U C số tùy ý Khi (F (x) + C) = f (x) F + C nguyên hàm f Nếu F G hai nguyên hàm hàm f U đặt H = F − G, H (x) = F (x) − G (x) = f (x) − f (x) = với x ∈ U , ta suy H số C hay F = G + C Định nghĩa 1.2 (xem [5]) Tập hợp tất nguyên hàm hàm f khoảng U gọi tích phân khơng xác định hàm f U ký hiệu f (x)dx Giả sử F nguyên hàm hàm f U theo định lý (1.1), ta có f (x)dx = F (x) + C, C số tùy ý 1.1.2 Các tính chất nguyên hàm Từ định nghĩa nguyên hàm ta trực tiếp suy tính chất sau f (x)dx = f (x)dx Tính chất 1.1 d Tính chất 1.2 df (x) = f (x) + C, C số tùy ý Tính chất 1.3 Với α, β hai số thực bất kỳ, αf (x) + βg(x) dx = α Tính chất 1.4 Nếu f (x)dx + β g(x)dx f (t)dt = F (t) + C f (ax + b)dx = F (ax + b) + C với a = a 1.2 1.2.1 Định nghĩa tính chất liên quan tích phân Định nghĩa Định nghĩa 1.3 (xem [5]) Giả sử hàm y = f (x) xác định đoạn [a, b] Ta chia đoạn [a, b] thành n phần điểm chia xo = a < x1 < x2 < · · · < xn = b Ta gọi phép phân hoạch P Trên đoạn [xi , xi+1 ]; i = 0, 1, 2, , n − ta lấy điểm ξi tùy ý Ta nói phép chọn điểm ξi nói phép chọn C Kí hiệu ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, n − lập tổng n Sn = ∆xi f (ξi ) (1.1) n=1 n Khi ấy, tồn lim max ∆xi →0 n=1 ∆xi f (ξi ) không phụ thuộc vào phép phân hoạch P phép chọn C giá trị giới hạn gọi tích b phân xác định hàm số f (x) [a, b] kí hiệu f (x)dx a Hàm số f (x) gọi khả tích [a, b] theo Riemann Xuất phát trực tiếp từ định nghĩa tích phân xác định, dễ dàng suy số tính chất 1.2.2 Các tính chất tích phân Ta xét các đẳng thức sinh tích phân Tính chất 1.5 Giả sử hàm f (x) khả tích đoạn [a, b] số b b cf (x)dx = c c ta có a f (x)dx a Tính chất 1.6 Giả sử hàm f (x) khả tích đoạn [a, b] ta có a b f (x)dx = − a f (x)dx b Tính chất 1.7 Giả sử hàm f (x) khả tích đoạn [a, b] ta có a f (x)dx = a Tính chất 1.8 Giả sử f (x) g(x) khả tích đoạn [a, b], với ∀α, β ∈ R ta có b b [α.f (x) + β.g(x)]dx = α a b f (x)dx + β a f (x)dx a Tính chất 1.9 Giả sử hàm f (x) khả tích đoạn [a, b] ∀c ∈ [a, b] ta có b c f (x)dx = a b f (x)dx + a f (x)dx c Nhận xét 1.1 Với giả thiết f (x) khả tích [a, b] ta có b b f (x)dx = a f (t)dt a Tiếp theo, ta xét số dạng bất đẳng thức tích phân Tính chất 1.10 Giả sử hàmf (x) khả tích đoạn [a, b] b Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] f (x)dx ≥ a b Hơn f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b] a < b f (x)dx > a Tính chất 1.11 Nếu f (x) g(x) hàm khả tích [a, b] b f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] (a ≤ b) b f (x)dx ≤ a g(x)dx a b Hơn f (x) < g(x) ∀x ∈ [a, b] (a < b) b f (x)dx < a g(x)dx a Tính chất 1.12 Nếu f (x) hàm khả tích đoạn [a, b] (a ≤ b) b |f (x)| khả tích đoạn b |f (x)|dx f (x)dx ≤ a a Việc nghiên cứu tích phân hàm số đoạn trước tiên ta cần kiểm tra điều kiện khả tích 1.2.3 Cơng thức Newton-Leibniz Việc tính tích phân xác định theo định nghĩa gặp khó khăn nhiều khơng vượt tích phân hàm số cồng kềnh không dễ biến đổi để đưa dạng thuận tiện cho việc tìm giới hạn Cống hiến vĩ đại Newton - Leibniz vấn đề đề phương pháp tính tích phân hàm số dựa vào nguyên hàm Định lý 1.2 (Định lý Newton-Leibniz- xem [5]) Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] Giả sử F (x) ngun hàm b f (x)dx = F (b) − F (a) (1.2) a Chứng minh Ta chia đoạn [a, b] thành n phần nhỏ điểm a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b Trên đoạn [xi−1 , xi ] với i = 1, 2, n theo định lý Lagrange tồn ξi cho F (xi ) − F (xi−1 ) = F (ξi )(xi − xi−1 ) = ∆xi F (ξi ) = ∆xi f (ξi ) 2 Lời giải Từ y = (a − x )3 ta tính vật thể trịn xoay a a y (x)dx = π V =π −a (a − x )3 dx = 32 πa 105 −a Lưu ý : Để tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng xung quanh trục hồnh, ta làm sau: • Tìm tọa độ giao điểm đường cho đề để suy cận tích phân • Viết phương trình f (x, y) = (nếu có) thành hàm số y theo x • Sử dụng cơng thức để tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Hình phẳng quay xung quanh trục tung Ví dụ 3.41 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình trịn (x − 2)2 + y ≤ vịng xung quanh trục tung Lời giải Phương trình đường trịn đề có dạng x2 − 4x + y + = (2) Gọi V1 , V2 thể tích khối trịn xoay hình phẳng ABCDE ABCFE quay xung quanh trục tung tạo thành ( hình 9) Thế V = V1 − V2 Để tính V1 , V2 ta viết (2) dạng hàm x theo y Hình Với −1 ≤ y ≤ ta có (2) =⇒ x = − 86 − y (phương trình cung EFC) x = + − y (phương trình cung EDC) Do V =π [(2 + − y )2 − (2 − − y )2 ]dy = 8π −1 − y dy −1 π cos2 tdt = 4π (đvtt) Đặt y = sin t, ta tính V = 8π − π2 Lưu ý Để tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng xung quanh trục tung làm tương tự giống Lưu ý 3, chuyển phương trình f (x, y) = thành hàm số x theo y, x = g(y), cận tích phân tập xác định hàm số Như biết, để tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường x = g(y), trục tung, y = c y = d (trong hàm g(y) liên tục không âm đoạn [c, d]) quay quanh trục tung, ta sử dụng công thức d g (y)dy V =π c Tuy nhiên, thực tế hình phẳng thường cho giới hạn đường: y = f (x), trục hoành, x = a x = b Do để vận dụng cơng thức ta phải chuyển phương trình đồ thị hàm số y = f (x) sang phương trình đồ thị x = g(y), tức phải giải phương trình f (x) = y để nghiệm x = g(y) Trong nhiều trường hợp việc giải phương trình khơng đơn giản Vì phần nêu thêm cơng thức để tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay xung quanh trục tung Ta xét định lí sau: Định lý 3.6 Nếu hình phẳng giới hạn đường y = f (x), trục hoành, x = a x = b (trong ≤ a < b, hàm số f (x) liên tục không âm đoạn [a, b]) thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay xung quanh trục tung cho công thức b Voy = 2π xf (x)dx (3.11) a Chứng minh Nhận xét ta chia đoạn [a,b] thành đoạn cho hàm số y = f (x) đơn điệu đoạn Do ta 87 cần chứng minh định lí với giả thiết hàm số y = f (x) đơn điệu, chẳng hạn hàm số y = f (x) đồng biến đoạn [a, b] xem hình 10 (trường hợp hàm số y = f (x) nghịch biến đoạn [a, b] chứng minh tương tự) Ta tích cần tính Voy = VODCE − VOABF − VBCEF (1) Trong Hình 10 •VODCE thể tích khối trịn xoay sinh hình chữ nhật ODCE quay xung quanh trục Oy, thể tích khối trụ trịn xoay có chiều cao f (b), bán kính đáy b nên VODCE = πb2 f (b) (2) •VOABF thể tích khối trịn xoay sinh hình chữ nhật OABF quay xung quanh trục Oy Tương tự ta có VOABF = πa2 f (a) (3) •VBCEF thể tích khối trịn xoay sinh hình thang cong BCEF quay xung quanh trục Oy Vì hàm y = f (x) liên tục đồng biến [a, b] nên phương trình f (x) = y có nghiệm x = g(y) Từ f (b) VBCEF = π g (y)dy f (a) Để tính tích phân ta đặt x = g(y) ⇔ y = f (x) Khi y = f (a) x = a, y = f (b) x = b 88 Do b b b x2 d(f (x)) = π(x2 f (x) − VBCEF = π f (x)d(x2 ) a a a b = πb2 f (b) − πa2 f (a) − 2π xf (x)dx (4) a Thay (2), (3), (4) vào (1) ta thu công thức (3.11) Điều phải chứng minh Sau số ví dụ minh họa , x (3x + 1)(2x + 1)3 trục hoành, x = x = Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay xung quanh trục tung Lời giải Hàm số y = f (x) liên tục nhận giá trị dương đoạn [1, 2], nên áp dụng định lí ta có Ví dụ 3.42 Cho hình phẳng giới hạn đường y = VOy = 2π = 2π d xdx = 2π x (3x + 1)(2x + 1)3 3x + 2x + = 4π 3x + 2x + 3x + 2x + dx (2x + 1)2 3x + 2x + √ √ 4π(3 35 − 10 3) = (đvtt) 15 x Ví dụ 3.43 Cho hình phẳng giới hạn đường y = , (x sin x + cos x)2 π trục hồnh, trục tung x = Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay xung quanh trục tung π Lời giải Hàm số y = f (x) liên tục không âm đoạn [0, ], từ định π π lí ta có VOy = 2π x2 dx = 2π (x sin x + cos x)2 0 x cos x Đặt x cos xdx d(x sin x + cos x)  = dv = (x sin x + cos x)2 (x sin x + cos x)2   u = 89 x2 cos xdx cos x(x sin x + cos x)2  x sin x + cos x  du = dx cos2 x ⇒  v = − x sin x + cos x Áp dụng cơng thức tính tích phân phần tính VOy = 2π(4 − π) 4+π Ví dụ 3.44 Cho hình phẳng giới hạn đường y = f (x) = x3 −5x2 +6x trục hồnh Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay xung quanh trục tung Lời giải Đồ thị hàm số y = f (x) biểu diễn hình 11 Hình đối Hình 11 xứng đồ thị hàm số y = f (x)( đoạn [2, 3]) qua trục Ox có phương trình y = −x3 + 5x2 − 6x Từ áp dụng định lí ta suy x(x3 − 5x2 + 6x)dx + VOy = 2π 3.3 3.3.1 x(−x3 + 5x2 − 6x)dx = 69π 10 Một số ứng dụng tích phân đời sống Tính cơng nhiệt lương Bằng kinh nghiệm thông thường, ta nhận để thay đổi vị trí vật cần phải có lực tác động lên Chẳng hạn như, ta nâng đá nặng, có cảm giác tiêu phí lực thực cơng Trước đưa định nghĩa khái niệm vật lý công tin rằng, để nâng đá nặng 40 kg đến điểm với khoảng cách cho trước, ta phải thực công lớn gấp đôi so với việc thực nâng đá nặng 20 kg đến điểm có khoảng cách Cũng 90 cơng để mang hịn đá xa m lớn gấp ba lần cơng để mang hịn đá xa m Từ nhận xét sơ đẳng đó, ta có định nghĩa sau Nếu lực không đổi F tác động vào vật dọc theo khoảng cách d, cơng sinh q trình dịch chuyển tích lực F độ dài khoảng cách mà tác động: A = F.d (3.12) Trong F lực tác động dọc theo hướng chuyển động, d khoảng cách vật chuyển động Chúng ta biết rằng, trọng lượng vật lực tác động lên vật nhờ sức hút trái đất Đối với vật chuyển động gần mặt đất, lực chủ yếu không thay đổi độ lớn hướng tâm trái đất Do đó, vật nặng 10 kg, nâng lên 2m từ mặt đất đặt lên bàn, Định nghĩa (3.12) cho ta biết phải thực công 20 m-kg Nhưng vật đưa sang phịng khác ln đặt lên giá ( không thực việc nâng cao hạ thấp nó), hoạt động khơng thực cơng nào, vật chuyển động với khoảng cách dọc theo hướng lực Như vậy, máy kéo đá 15 cm nhờ lực không đổi kg lúc máy kéo thực cơng 30 cm-kg Định nghĩa lực F không đổi Tuy nhiên, có nhiều lực khơng giữ ngun giá trị suốt q trình thực cơng Trong tình vậy, người ta thường chia trình thành nhiều phần nhỏ tính cơng tồn phần nhờ lấy tổng công tương ứng với phần nhỏ phân chia Vấn đề minh họa phép kéo căng lò xo sau đây: Trong ví dụ sau, sử dụng đến định luật vật lí: Định Hình 12 luật Hooke: Khi lò xo bị kéo căng thêm x ( đơn vị độ dài ) so với độ dài tự nhiên lị xo lị xo trì lại ( chống lại ) với lực f (x) = k.x 91 Trong k hệ số đàn hồi ( độ cứng ) lị xo Ví dụ 3.45 Một lực 40N cần thiết để căng lò xo độ dài tự nhiên 10 cm đến 15 cm Hãy tìm cơng sinh kéo lị xo từ độ dài 15 cm đến độ dài 18 cm Lời giải Theo định luật Hooke, lò xo bị kéo căng thêm x m so với độ Hình 13 dài tự nhiên lị xo trì lại với lực f (x) = kx Khi kéo căng lò xo từ 10 cm đến 15 cm, bị kéo căng thêm cm = 0.05 m.Bằng 40 cách ta f (0.05) = 40 Do 0.05k = 40 ⇒ k = = 800 0.05 Do f (x) = 800x cơng tồn sinh q trình kéo căng lị xo từ 15 cm đến 18 cm 0,08 A= 800xdx = 800 x2 0,08 = 1.56 J 0,05 0,05 Tương tự, ta xem cơng sinh lực biến đổi tác động theo hướng cho trước điểm tác động chuyển động theo hướng Nếu ta đặt đường di lực tác động tương ứng với trục tọa độ Ox điểm tác động lực thay đổi từ x = a đến x = b, dA = F (x)dx phần tử công b A= F (x)dx (3.13) a cho ta cơng tồn phần sinh q trình Cơng thức coi vừa định nghĩa khác, vừa phương pháp tự nhiên để tính cơng phù hợp với cách mơ tả ví dụ 92 Ví dụ 3.46 Lực đẩy hai điện tích e1 , e2 dấu đặt cách e1 e2 khoảng r cho công thức F = Giả sử điện tích e1 đặt r cố định điểm gốc có hồnh độ x = Hãy tính cơng sinh làm cho điện tích e2 dịch chuyển điểm M1 có hồnh độ r1 đến điểm M2 có hồnh độ r2 Lời giải Áp dụng cơng thức ta có r2 A= r1 e1 e2 e1 e2 (r2 − r1 ) dr = r2 r1 r2 Như biết dòng điện có tác dụng nhiệt, tức chạy qua vật dẫn vật dẫn bị nóng lên Đối với dịng điện khơng đổi nhiệt lượng tỏa vật dẫn điện trở R Q = RI t Đối với dòng điện xoay chiều, xét khoảng thời gian nhỏ dt τ Ri2 dt dQ = Ri2 dt, nhiệt lượng tỏa Q = 2π t + ϕ) chạy T qua đoạn mạch có điện trở R Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa đoạn mạch thời gian chu kì T Lời giải Thật Ví dụ 3.47 Giả sử dịng điện xoay chiều i = I0 sin( T T Ri2 dt = Q= T RI02 sin2 ( 2π t + ϕ)dt = RI02 T 0 T 2π RI02 = t− sin 2( t + ϕ) 4π T 3.3.2 2π t + ϕ) T dt − cos 2( T RI02 = T Tính mơ men quay khối tâm Mục tiêu tìm điểm P bìa phẳng mỏng có hình dạng cân đối theo phương nằm ngang hình vẽ Điểm gọi tâm khối (hoặc trọng tâm) bìa Trước tiên, ta xét hình minh họa đơn giản hình vẽ 15, hai chất điểm m1 m2 gắn vào hai đầu đồng chất, gọi d1 d2 khoảng cách từ trục quay đến m1 m2 93 Hình 14 Hình 15 Thanh nằm cân m1 d1 = m2 d2 (3.14) Đây thí nghiệm phát minh Archimedes gọi Định luật đòn bẩy (hễ thiệt quãng đường lợi lực) Bây giờ, giả sử đồng chất nằm dài trục Ox với m1 có tọa độ x1 m2 có tọa độ x2 khối tâm có tọa độ x Nếu đối chiếu hình 15 hình 16 ta thấy d1 = x − x1 d2 = x2 − x từ phương trình (3.14) ta có m1 (x − x1 ) = m2 (x2 − x) ⇔ x = m1 x1 + m2 x2 m1 + m2 (3.15) Các số m1 x1 m2 x2 gọi moomen chất điểm m1 m2 , phương trình (3.15) cho thấy khối tâm x thu tổng moomen chất điểm chia cho tổng khối lượng hai chất điểm m = m1 + m2 Nói chung, ta có hệ n chất điểm m1 , m2 , , mn đặt điểm x1 , x2 , , xn trục Ox, biểu diễn tương tự khối tâm hệ đặt n n mi xi x= i=1 n mi xi = mi i=1 94 i=1 m (3.16) Hình 16 n mi tổng khối lượng hệ, tổng mômen Ở m = i=1 riêng lẻ n M= mi xi i=1 gọi mômen hệ chất điểm Khi phương trình (3.16) viết lại mx = M, ta nói tồn chất điểm xét nằm khối tâm x, mơmen gọi mơmen hệ chất điểm Bây giờ, ta xét hệ gồm n chất điểm m1 , m2 , mn đặt điểm (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), , (xn ; yn ) mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn hình vẽ Làm tương tự trường hợp chất điểm nằm Hình 17 trục, ta định nghĩa moomen hệ chất điểm trục Oy n My = mi xi i=1 95 (3.17) mômen hệ chất điểm trục Ox n Mx = mi yi (3.18) i=1 Giá trị My tính cách chuyển hệ trục Oy giá trị Mx tính cách chuyển hệ trục Ox Cũng chất điểm nằm trục, tọa độ khối tâm (x; y) xác định mômen hệ công thức My Mx , y= (3.19) x= m m Ở m = mi tổng khối lượng chất điểm Từ mx = My my = Mx tâm khối (x; y) tâm hệ mômen Ví dụ 3.48 Tìm mơmen khối tâm hệ chất điểm cho trước 3, đặt điểm tương ứng (−1; 1), (2; −1) (3; 2) Lời giải Dựa vào phương trình để tính mơmen My = 3(−1) + 4(2) + 8(3) = 29 Mx = 3(1) + 4(−1) + 8(2) = 15 My 29 Mx 15 Từ m = + + = 15 ta thu x = = , y= = =1 m 15 m 15 Hình 18 Vậy tọa độ khối tâm 14 ; (hình vẽ) 15 96 Trong trường hợp đơn giản, khối tâm kim loại mỏng phẳng điểm (x; y), với b x= A b xf (x)dx, y = A a [f (x)]2 dx (3.20) a Ví dụ 3.49 Tìm khối tâm hình bán nguyệt có bán kính r Lời giải Để sử dụng công thức (3.20) ta đặt hình bán nguyệt √ hình vẽ cho f (x) = r2 − x2 a = −r, b = r Ở ta không cần sử dụng cơng thức tính x Bởi vì, ngun tắc khối tâm phải nằm trục Oy nên x = Diện tích bán nguyệt A = πr2 , Hình 19 r y= A −r r 1 [f (x)]2 dx = ( r2 − x2 )2 dx 2 πr −r r = πr 2 x3 r 4r (r − x )dx = (r x − ) = πr 3π 2 Khối tâm điểm (0; 4r ) 3π Ví dụ 3.50 Tìm tâm hình phẳng giới hạn đường π y = cos x, y = 0, x = x = 97 Hình 20 π Lời giải Diện tích hình phẳng A = cos xdx = sin x π = ta 0 có π b x= A x cos xdx = x sin x xf (x)dx = π b 1 [f (x)]2 dx 2 a π − sin xdx = a y= A π π cos xdx = Vậy tọa độ tâm ( π − 1 (1+cos 2x)dx = (x+ sin 2x) π π − 1; ) (hình vẽ 20) 98 π = π Kết luận Luận văn trình bày nội dung sau Hệ thống kiến thức nguyên hàm, tích phân xác định Luận văn đưa số phương pháp tính tích phân dạng hiển số phương pháp tính tích phân đặc biệt Ngồi luận văn cịn nêu số ứng dụng tích phân sau: ứng dụng tích phân đại số giải tích; ứng dụng tích phân hình học; ứng dụng tích phân đời sống Điểm bật luận văn số ứng dụng tích phân, đặc biệt ứng dụng tích phân đời sống phần đề cập giáo trình giải tích 99 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc (2004), Phương pháp giải tốn tích phân, NXB Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh (2002), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2003), Một số ứng dụng phép tính tích phân, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2005), Bất đẳng thức, Định lý áp dụng, NXB Giáo dục [5] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2010), Giáo trình giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [6] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2010), Bài tập giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [7] Lê Hồ Quý (2011), "Cách tính tích phân số hàm số vơ tỉ", Tạp chí Tốn học tuổi trẻ (số 403), trang − [8] Tủ sách toán học tuổi trẻ (2012), Tuyển chọn theo chuyên đề (tập 1), NXB Giáo dục Việt Nam 100 ... Một số ứng dụng tích phân 3.1 Một số ứng dụng tích phân đại số giải tích 3.1.1 Ứng dụng tích phân vào chứng minh đẳng thức 3.1.2 Ứng dụng tích phân vào chứng minh bất đẳng... 3.1.3 Ứng dụng tích phân tốn cực trị 3.1.4 Ứng dụng tích phân vào phương trình, bất phương trình 3.1.5 Ứng dụng tích phân tính giới hạn dãy số 3.1.6 Ứng dụng tích phân xét hội tụ, phân. .. tích phân tính tốn phức tạp, cồng kềnh tích phân tính tốn đơn giản Chương III Ứng dụng tích phân Chương chia thành ba phần: ứng dụng tích phân đại số giải tích, ứng dụng tích phân hình học, ứng