ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHẠM VĂN QUỐC Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số công thức cần nhớ 1.2 Ví dụ mở đầu 5 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu 2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 2.2 Phương pháp 2: Nhân liên hợp 2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình theo ẩn phụ 2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích, phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba 2.3.3 "Ẩn phụ khơng hồn toàn" 2.3.4 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình 2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa 2.4 Phương pháp : Sử dụng tính đơn điệu hàm số 2.5 Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức 2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa 2.5.2 Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc so sánh vế phương trình 11 11 13 20 21 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu 3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương 3.2 Xây dựng từ nghiệm chọn sẵn phương pháp nhân liên hợp 3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai 3.4 Xây dựng từ phương trình tích, đẳng thức 3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích 3.4.2 Xây dựng từ đẳng thức 3.5 Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ khơng hồn tồn" 3.6 Xây dựng từ hệ phương trình 3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác phương trình lượng giác 3.8 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu 3.8.1 Dựa theo tính chất hàm đơn điệu 59 59 60 62 64 64 64 66 67 69 71 71 28 32 37 43 46 51 51 55 MỤC LỤC 3.8.2 Dựa vào ước lượng hàm đơn điệu 72 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 Mở đầu Phương trình chứa ẩn dấu lớp tốn có vị trí đặc biệt quan trọng chương trình tốn học bậc phổ thơng Nó xuất nhiều đề thi học sinh giỏi kỳ thi tuyển sinh vào đại học Học sinh phải đối mặt với nhều dạng toán phương trình chứa ẩn dấu mà phương pháp giải chúng lại chưa liệt kê sách giáo khoa Đó dạng tốn phương trình chứa ẩn dấu giải phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn, dạng ẩn phụ lượng giác hóa, Việc tìm phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu niềm say mê khơng người, đặc biệt người trực tiếp dạy tốn Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập, tác giả chọn đề tài "Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu căn" Đề tài nhằm phần đáp ứng nhu cầu mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy nhà trường phổ thông Luận văn hoản thành hướng dẫn trực tiếp TS Phạm Văn Quốc.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến người thầy mình, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo mong muốn học hỏi thầy nhiều Tác giả xin chân thành cảm ơn q thầy Ban giám hiệu, Phịng đào tạo Đại học sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, quý thầy tham gia giảng dạy khóa học, tồn thể học viên khóa 2013-1015 tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để tác giả hồn thành khóa học hoàn thành luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu MỤC LỤC Mặc dù cố gắng nhiều nghiêm túc trình nghiên cứu, thời gian trình độ cịn hạn chế nên kết đạt luận văn khiêm tốn khơng tránh khỏi thiếu xót Vì tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp, bảo quý báu quý thầy cô, bạn học viên để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Học viên thực Mai Thị Thu Nhàn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số công thức cần nhớ Căn bậc hai bậc ba tích √ ab = |a| |b| với a, b ∈ R, ab ≥ √ √ √ ab = a b với a, b ∈ R Căn bậc hai bậc ba thương a = b a = b |a| |b| √ a √ b với a, b ∈ R, ab ≥ 0, b = với a, b ∈ R, b = Căn lũy thừa √ √ m m n am = a n = ( n a) , với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ , n ≥ Căn nhiều lớp n √ m a= m √ n a= √ nm a với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ Đưa thừa số dấu bậc hai √ √ a2 b = |a| b, với a ∈ R, b ∈ R+ Đưa thừa số vào dấu bậc hai √ √ a b = a2 b a, b ≥ 0; a, b ∈ R √ √ a b = − a2 b a ≤ 0, b ≥ 0; a, b ∈ R Tích hai √ √ √ √ m+n 1 1 m+n mn m a n a = a m a n = a m + n = a mn = am+n = ( mn a) với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ Thương hai √ m √ √ n−m a am mn − n1 = a n−m m mn = √ = = a an−m = ( mn a) n a an Chương Một số kiến thức chuẩn bị với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ 10 11 12 √ √ A=B⇔ A= √ √ A= √ B⇔ √ B≥0 A = B2 A≥0 A = B B ⇔ A = B A = B ⇔ A = B3 13 Phương trình tương đương Hai phương trình (cùng ẩn) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Nếu phương trình f1 (x) = g1 (x) tương đương với phương trình f2 (x) = g2 (x) ta viết f1 (x) = g1 (x) ⇔ f2 (x) = g2 (x) Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có tập xác định D (hay có điều kiện xác định mà ta kí hiệu D) tương đương với nhau, ta nói - Hai phương trình tương đương với D, - Với điều kiện D, hai phương trình tương đương với Chẳng hạn với x > 0, hai phương trình x2 = x = tương đương với Trong phép biến đổi phương trình, đáng ý phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình Ta gọi chúng phép biến đổi tương đương Như vậy, phép biến đổi tương đương biến phương trình thành phương trình tương đương với nó.Chẳng hạn, việc thực phép biến đổi đồng vế phương trình khơng thay đổi tập xác định phép biến đổi tương đương 14 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) khoảng (a,b) với ∀x1, x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) khoảng (a,b) với ∀x1, x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số y = f (x) đồng biến nghịch biến (a,b), ta nói hàm số y = f (x) đơn điệu (a,b) Định lý Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm (a,b) Khi : Chương Một số kiến thức chuẩn bị - Hàm số y = f (x) đồng biến (a,b) ⇔ f , (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) f , (x) = xảy số hữu hãn điểm (a,b) - Hàm số y = f (x) đồng biến (a,b) ⇔ f , (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) f , (x) = xảy số hữu hãn điểm (a,b) - Nếu f , (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) f liên tục [a, b] y = f (x) đồng biến [a, b] - Nếu f , (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) f liên tục [a, b] y = f (x) nghịch biến [a, b] 15 Hệ phương trình đối xứng loại I f (x, y) = (I) với f (x, y) = f (y, x) g(x, y) = g(y, x) g(x, y) = Phương pháp giải Biến đổi tổng, tích đặt S =x+y đưa hệ phương trình với ẩn P = xy S,P Giải hệ phương trình tìm S, P điều kiện có nghiệm (x, y) S ≥ 4P Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình X − SX + P = nhẩm nghiệm với S, P đơn giản 16 Hệ phương trình đối xứng loại II f (x, y) = f (y, x) = (1) (2) Phương pháp giải Trừ (1) (2) vế cho vế ta hệ phương trình f (x, y) − f (y, x) = f (x, y) = (3) (1) Biến đổi (3) phương trình tích (x − y).g(x, y) = ⇔ Khi giải hai trường hợp f (x, y) = ∨ x=y x=y g(x, y) = f (x, y) = g(x, y) = Giải hệ ta tìm nghiệm hệ cho 17 Một số công thức lượng giác hay dùng cos 2x = cos2 x − sin2 x = cos2 x − = − sin2 x sin 2x = sin x cos x Chương Một số kiến thức chuẩn bị cos 3x = cos3 x − cos x sin 3x = sin x − sin3 x + cos 2x cos2 x = − cos 2x sin x = 1.2 Ví dụ mở đầu Ví dụ 1.1 Giải phương trình 1+ x − x2 = √ x+ √ − x Nhận xét Trước hết có điều kiện ≤ x ≤ Để giải phương trình rõ ràng ta tìm cách làm thức Có nhiều cách để làm thức Cách Đầu tiên ta nghĩ tới lũy thừa hai vế Vì hai vế phương trình cho ln khơng âm với điều kiện xác định nên ta bình phương hai vế để thu phương trình tương đương sau √ √ 2√ x − x2 = x + − x √ √ 2√ ⇔ 1+ x − x2 = x+ 1−x √ 4√ ⇔1+ x − x2 + x − x2 = + x − x2 √4 ⇔ 27(x − x2 ) − x − x2 = √ √ ⇔ x − x2 27 x − x2 − = √ x√− x2 = ⇔ 27 x − x2 − =  x = (thỏa mãn)  x = (thỏa mãn) √ ⇔ 27 ± 473 x= (thỏa mãn) 54 √ 27 ± 473 Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1, x = 54 √ √ √ Cách Ta thấy x + − x2 = + x − x2 √ √ √ y2 − Do đặt y = x + − x2 Suy ra, ta tính x − x2 = Phương trình cho trở thành phương trình bậc hai ẩn y 1+ 1+ y2 − = y ⇔ y − 3y + = ⇔ y=1 y = Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Bây muốn tạo phương trình vơ tỷ ta thay A, B, C, a, b, c số "hoặc biểu thức" theo ý muốn ta dạng phương trình vơ tỷ giải theo phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai Ví dụ 3.6 (Cho dạng 2) Cho A = 1, B = 2, C = 4, a = ta tốn sau Giải phương trình √ 1−x+ √ 1+x+2 − x2 = Hướng dẫn Điều kiện −1 ≤ x ≤ √ √ √ Đặt − x + + x = t, t ≥ 0, suy t2 = + − x2 Ta thu phương trình t2 + t − = 0, suy t = √ √ Thay trở lại ta có − x + + x = 2, suy x = Ví dụ 3.7 Với x = 3, ta có t = Mặt khác t2 = x + + √ √ x + 1+ 2x + = Với t = 5, ta có 2t2 −3t = 35 2x2 + 5x + + 2x + = 3x + + 2x2 + 5x + Thay vào 2t2 − 3t = 35 ta √ √ √ 6x + + 2x2 + 5x + − x + + 2x + = 35 √ √ √ ⇔ x + + 2x + = 6x − 27 + 2x2 + 5x + Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình √ x+1+ √ 2x + = 6x − 27 + Hướng dẫn Điều kiện x ≥ −1 Đặt t = Khi t2 = x + + √ x+1+ 2x2 + 5x + √ 2x + 3, t ≥ 2x2 + 5x + + 2x + = 3x + + 2x2 + 5x + √ Suy 6x + 2x2 + 5x + = 2t2 − Thay vào phương trình cho ta 3t = 2t2 − − 27 ⇔ 2t2 − 3t − 35 = ⇔ Với t = 5, trả lại ẩn x ta x = 63 t = (thỏa mãn) −7 t= (loại) Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu 3.4 3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích, đẳng thức Xây dựng từ phương trình tích Phương trình dạng au + bv = ab + uv hay (u − b)(v − a) = suy u = b, v = a Chọn u, v biểu thức chứa a, b số thực cho trước ta xây dựng phương trình vơ tỷ Ví dụ 3.8 Chọn a = 1, b = 5, u = trình √ x−1+5 √ x − 1, v = √ x2 + Ta thu phương x2 + − x3 − x2 + x − = x2 + − x3 − x2 + x − = Vậy ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình √ x−1+5 Hướng dẫn Nghiệm phương trình nghiệm hai phương √ √ trình x2 + = x − = Ta xây dựng từ phương trình chứa nhiều tích gán cho u, v biểu thức chứa Gán cho a, b số biểu thức chứa Biến đổi chút ta có phương trình đẹp hay khơng phụ thuộc vào việc ta chọn có khéo khơng 3.4.2 Xây dựng từ đẳng thức Xuất phát từ đẳng thức đó, sáng tác lên phương trình chứa ẩn dấu thức Chẳng hạn từ đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) ta có (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = Bằng cách chọn a, b, c cho (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ta tạo phương trình vơ tỷ chứa bậc ba Sau ta xây dựng số phương trình từ đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) a3 + b3 − ab(a + b) = (a + b)(a − b)2 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a4 + = (a2 − 2a + 2)(a2 + 2a + 2) Ví dụ 3.9 Từ đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) √ √ √ chọn a = 1990x + 1999, b = 25x + 8, c = − x ta có 64 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu a3 + b3 + c3 = 2014x + 2015 Ta tốn sau Bài tốn Giải phương trình √ 1990x + 1999 + √ √ √ 25x + + − x − 2014x + 2015 = Hướng dẫn Điều kiện x ∈ R √ √ √ Đặt a = 1990x + 1999, b = 25x + 8, c = − x Khi a3 + b3 + c3 = 2014x + 2015 Thay vào phương trình cho ta a+b+c− √ a3 + b3 + c3 = ⇔ (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 Mặt khác, ta có đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) a = −b Suy ra, (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔ b = −c  c = −a 2007 x=− 2015 1990x + 1999 = −25x −   Vậy 25x + = x −  x=−  − x = −1990x − 1999 x=− 2007 1989 Ví dụ 3.10 Từ đẳng thức a3 + b3 − ab(a + b) = (a + b)(a − b)2 Chọn a = √ √ x + 1, b = − x + 2, √ √ x2 + 3x + x + − x + √ √ x2 + 3x + x + − x + a3 + b3 − ab(a + b) = x + − x − + = −1 + 3 Bằng cách cho a3 + b3 − ab(a + b) = ta toán sau Bài tốn Giải phương trình x2 + 3x + √ √ x + − x + = Hướng dẫn Phương trình cho tương đương (x + 1) − (x + 2) + Đặt a = x2 + 3x + √ √ x+1− 3x+2 √ √ x + 1, b = − x + 2, thay vào phương trình ta a3 + b3 − ab(a + b) = 65 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Vậy a=b a = −b ⇔ (a + b)(a − b)2 = ⇔ √ √ 3 x+1=− x+2 √ √ ⇔x=− 3 x+1= x+2 Ví dụ 3.11 Ta sáng tác phương trình dựa đẳng thức a4 + = (a2 − 2a + 2)(a2 + 2a + 2) Xét đẳng thức x4 + = x2 + 2x + x2 − 2x + √ √ √ Đặt u = x2 + 2x + 2, v = x2 − 2x + Khi uv = x4 + Nếu muốn sáng tác phương trình giải cách đưa phương trình au2 − buv +cv = 0, ta cần tính biểu thức au2 +cv theo x, sau cho buv = au2 +cv , ta phương trình ẩn x Xét (u − 2v) (3u − v) = ⇔ 3u2 + 2v = 7uv Mà 3u2 + 2v = 5x2 + 2x + 10 nên ta toán sau Bài tốn Giải phương trình 5x2 + 2x + 10 = x4 + √ √ Hướng dẫn Đặt u = x2 + 2x + 2, v = x2 − 2x + với u > 0, v > Khi u2 = x2 + 2x + 2, v = x2 − 2x + u2 v = x4 + 4, 3u2 + 2v = 5x2 + 2x + 10 Thay vào phương trình cho, ta 3u2 + 2v = 7uv ⇔ (u − 2v) (3u − v) = ⇔ u = 2v v = 3u Khi u = 2v , ta x2 + 2x + = √ ± x2 − 2x + ⇔ x = Khi v = 3u, ta x2 − 2x + = 3.5 x2 + 2x + ⇔ 8x2 + 20x + 16 = (vô nghiệm) Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hồn tồn" Ta xét tốn xây dựng phương trình dạng At2 + Bt + C = 0, t biểu thức chứa x, A, B, C biểu thức hữu tỷ chứa x, cho ∆ = B − 4AC luôn biểu thức phương Thường để thuận tiện tính tốn ta chọn t = f (x) t = g(x) 66 −B C = f (x)+g(x) = f (x)g(x), A A Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu √ Ví dụ 3.12 Ta chọn t = x2 + 2, f (x) = 3, g(x) = x − Ta có tốn giải phương trình vơ tỷ sau Bài tốn Giải phương trình x2 + − x2 + x = + x2 + Hướng dẫn Để giải trước hết biến đổi phương trình dạng (x2 + 2) − (2 + x) Sau đặt t = √ x2 + − + 3x = x2 + 2, phương trình cho trở thành t2 − (2 + x)t − + 3x = Có thể nhẩm nghiệm tính ∆, nghiệm t = 3, t = x − Sau tìm x với giá trị t vừa tìm Như ta sáng tạo nhiều tốn dựa cách xây dựng 3.6 Xây dựng từ hệ phương trình • Xét hệ phương trình tổng qt dạng bậc hai (αx + β)2 = ay + b (αy + β)2 = ax + b Ta xây dựng lên phương trình √ Từ phương trình thứ hai hệ ta có αy + β = ax + b, thay vào phương trình hệ ta có phương trình (αx + β)2 = a√ βa ax + b + b − α α Vậy để có phương trình vơ tỷ cách đưa hệ đối xứng loại II, ta cần chọn α, β, a, b phù hợp với mức độ khó dễ tốn Ví dụ 3.13 Ta xét phương trình đối xứng loại II sau (x + 1)2 = y + (y + 1)2 = x + Việc giải hệ phương trình đơn giản Bây ta biến hệ thành phương trình cách đặt y = f (x) √ cho phương trình thứ hai hệ ln Vậy y = x + − 1, thay vào phương trình đầu hệ phương trình ta có phương trình √ √ (x + 1)2 = ( x + − 1) x2 + 2x = x + 67 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Từ ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình x2 + 2x = √ x + Ví dụ 3.14 Ta xây dựng toán sau Chọn α = 2, β = −3, a = 4, b = Ta có phương trình √ √ (2x − 3)2 = 4x + + 11 hay 2x2 − 6x − = 4x + Khi ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình 2x2 − 6x − = √ 4x + Hướng dẫn Biến đổi phương trình dạng √ (2x − 3)2 = 4x + + 11 Sau đặt 2y − = √ 4x + để hệ phương trình (2x − 3)2 = 4y + (2y − 3)2 = 4x + Suy (x − y)(x + y − 1) = √ √ Với x = y 2x − = 4x + 5, suy x = + √ Với x + y − = y = 1, suy x = − Ví dụ 3.15 Ta sử dụng phương pháp lặp để sáng tác √ phương trình từ 4x = √ 30 + u hệ phương trình đối xứng loại II Xuất phát từ 4u = sử dụng phép ta phương trình 4x = 30 + x + 30 1√ x + 30 Từ phương trình ta lại thu hệ phương trình đối xứng loại II   1√   4u = 30 + x + 30   4x = 1√ 30 + u + 30 Từ hệ này, tiếp tục sử dụng phép ta thu phương trình 4x = 30 + 30 + 30 + 1√ x + 30 Ta có tốn sau Bài toán (Đề dự bị Olympic 30/4 Chuyên Hùng Vương) 68 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Giải phương trình 4x = 30 + 30 + 30 + 1√ x + 30 Bài toán giải ví dụ chương • Nếu xét hệ (αx + β)3 = ay + b (αy + β)3 = ax + b Từ phương trình ta √ αy + β = ax + b ⇔ y = √ ax + b β − α α Thay vào phương trình hệ, ta √ a ax + b aβ − + b (αx + β) = α α Ví dụ 3.16 Chọn α = 1, β = 1, a = 3, b = ta √ (x + 1)3 = 3 3x + + Ta có toán sau Bài toán (Đề nghị Olympic 30/04/2009) Giải phương trình √ x3 + 3x2 − 3 3x + = − 3x Hướng dẫn Phương trình cho tương đương √ (x + 1)3 = 3 3x + + Đặt y + = √ 3x + Ta có hệ (x + 1)3 = 3y + (y + 1)3 = 3x + (1) (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế ta (x + 1)3 − (y + 1)3 = −3(x − y) ⇔ x = y Thay vào (1) giải tìm x = 1, x = −2 nghiệm 3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác phương trình lượng giác Từ phương trình lượng giác đơn giản đó, kết hợp với phép biến đổi lượng giác tạp phương trình chứa ẩn dấu hay 69 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Như từ cơng thức lượng giác cos 3t = sin t, ta tạo ta phương trình vơ tỷ Từ cos 3t = 4cos3 t − cos t ta có phương trình vơ tỷ 4x3 − 3x = − x2 (3.1) x Ta thay x phương trình (3.1) biểu thức ví dụ (x−1), , ta có phương trình khó Tương tự từ cơng thức sin 3x, sin 4x ta xây dựng phương trình vơ tỷ theo kiểu lượng giác t Ta thấy phương trình tương đương với cos3 t − cos t = Ví dụ 3.17 Từ phương trình lượng giác cos 3t = cos , với t ∈ [0; π] 2(1 + cos t) Đặt x = cos t ta toán sau Bài tốn (Đề nghị Olympic 30/04/2006) Giả phương trình x3 − 3x = √ x + Hướng dẫn Điều kiện x ≥ −2 Nếu x > x3 − 3x = x + x(x2 − 4) > x > √ 2x = √ x+x> √ x + Vậy x > khơng thỏa mãn, để giải phương trình cho cần xét −2 ≤ x ≤ Khi đặt x = cos t, t ∈ [0; π] Thay vào phương trình cho, ta cos3 t − cos t = 2(1 + cos t) t ⇔ cos3 t − cos t = cos  k4π t t= ⇔ cos 3t = cos  (k ∈ Z) t = k4π 4π 4π Kết hợp t ∈ [0; π], lấy t = 0, t = , t = √ 1 Ví dụ 3.18 Từ phương trình lượng giác + = 2 công thức cos t sin t √ sin2 t + cos2 t = 1, suy sin t = − cos2 t √ 1 Thay cos t = x, ta có phương trình sau + √ = 2 x − x2 Khi đó, ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình √ 1 +√ = 2 x − x2 70 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Hướng dẫn Phương trình giải theo phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác Ví dụ 3.19 Từ phương trình + sin t = cos6 t + sin6 t thay cos t x, ta phương trình 5+3 − x2 = x6 + − x2 − x2 = x6 + − x2 Nên ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình 5+3 Hướng dẫn Từ điều kiện −1 ≤ x ≤ 1, ta đặt x = cos t, t ∈ [0; π] ta thu phương trình + sin t = sin6 t + cos6 t ⇔ + sin t = 8(1 − sin2 t cos2 t) ⇔ sin t = − 24 sin2 t cos2 t ⇔ sin t = − sin2 t cos2 t π − t = cos 4t ⇔ cos Đây phương trình lượng giác bản, ta tìm t, sau suy x 3.8 3.8.1 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu Dựa theo tính chất hàm đơn điệu Dựa vào tính chất "Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f (x) = a khơng vó nhiều nghiệm ∀u, v ∈ D : f (u) = f (v) ⇔ u = v " Ta xây dựng phương trình chứa ẩn dấu thức Ví dụ 3.20 Xét hàm số f (t) = t3 + 2t đồng biến R Cho f −x3 + 9x2 − 19x + 11 = f (x − 1) Ta √ −x3 + 9x2 − 19x + 11 + −x3 + 9x2 − 19x + 11 = (x − 1)3 + 2(x − 1) Khai triền rút gọn ta toán sau Bài toán (Đề nghị Olympic 30/04/2009) Giải phương trình x3 − 6x2 + 12x − = −x3 + 9x2 − 19x + 11 71 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Hướng dẫn Đặt y = √ −x3 + 9x2 − 19x + 11 Ta có hệ y = −x3 + 9x2 − 19x + 11 2y = 2x3 − 12x2 + 21x − 14 y = −x3 + 9x2 − 19x + 11 ⇔ y = x3 − 6x2 + 12x − Cộng vế với vế hai phương ta y + 2y = x3 − 3x2 + 5x − ⇔ y + 2y = (x − 1)3 + 2(x − 1) Xét hàm đặc trưng f (t) = t3 + 2t, chứng minh hàm đồng biến R sau dùng phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải Ví dụ 3.21 Từ hàm đơn điệu y = f (x) = 2x3 + x2 + với x ≥ 0, ta xây dựng phương trình f (x) = f √ 3x − hay 2x3 + x2 + = √ 3x − + (3x − 1)2 + Rút gọn ta phương trình √ 2x3 + x2 − 3x + = 2(3x − 1) 3x − Nên ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình √ 2x3 + x2 − 3x + = 2(3x − 1) 3x − Ví dụ 3.22 Từ hàm số đồng biến R, f (t) = t3 + t từ phương trình √ f 7x2 + 9x − = f (x + 1) Ta xây dựng tốn sau Bài tốn Giải phương trình x3 − 42 − 5x + = 7x2 + 9x − Hướng dẫn Bài toán giải theo phương pháp sử dụng phương pháp hàm số Giải phương trình ta có nghiệm phương trình nghiệm phương trình x+1= √ −1 ± Suy x = x = 3.8.2 7x2 + 9x − Dựa vào ước lượng hàm đơn điệu Để dễ sử dụng kết hợp nhiều ước lượng xây dựng số ước lượng như: 72 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu √ √ √ √ √ √ −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm đơn điệu tăng [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm tăng [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm tăng liên tục [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ x+3 √ ≤ 2+ 1−x √ x+3 √ Hàm số f (x) = hàm tăng [−3; 1] 2+ 1−x Nên ta có = f (−3) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ x + 15 √ ≤ ≤ 2+ 41−x √ x + 15 √ Hàm số f (x) = hàm tăng [−15; 1] 2+ 41−x Nên ta có = f (−15) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ √ + x − + − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = + x − + − x hàm tăng [0; 1] ≤ Nên ta có f (x) ≤ f (1) = √ x+3− √ − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x + − + − x hàm tăng [−3; 1] 1+ Nên ta có f (x) ≤ f (1) = √ √ − x ≤ √ √ Ta có x ≤ x, − x ≤ − x √ √ Suy x + − x ≤ x + − x = x+ Dấu đẳng thức đạt x = 0, x = Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta nhận √ 2x − ≤ x √ 2x − 2x − + Vì ≤ = x 2x Dấu đẳng thức xảy x = 73 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu √ 4x − ≤ x √ 4x − 4x − + + + ≤ = Vì x 4x Dấu đẳng thức xảy x = √ 6x − 11 ≤ x √ 6x − + + + + + 6x − Vì ≤ = x 4x Dấu đẳng thức xảy x = 10 12 √ x + − x ≤ √ √ Vì x + − x ≤ √ x+2−x = 2 Dấu đẳng thức xảy x = √ x + − x ≤ √ √ x+2−x = Vì x + − x ≤ Dấu đẳng thức xảy x = √ 14 x + − x2 ≤ 13 √ Vì x+ √ − x2 ≤ |x| + √ √ √ − x2 = x2 + − x2 ≤ x2 + − x2 = 2 Dấu đẳng thức xảy x = √ 15 x + − x4 ≤ Vì 4 √ √ x + − x 4 4 ≤ |x| + = x + 2−x ≤2 x+ = 2 Dấu đẳng thức xảy x = √ 16 x + − x6 ≤ √ − x4 √ − x4 Vì 6 √ √ x + − x x + − x6 ≤ = 2 Dấu đẳng thức xảy x = x+ √ − x6 ≤ |x| + √ − x6 = Ta gọi ước lượng Có thể tạo nhiều ước lượng theo cách Ta xây dựng phương trình chứa ẩn dấu sau Cách Cộng hai hay nhiều ước lượng 74 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Ví dụ 3.23 Giải phương trình √ √ √ √ √ √ x + x + x = + − x + − x + − x Giải Điều kiện ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương √ √ √ √ √ √ x − − x + x − − x + x − − x = Sử dụng ước lượng ta thu vế trái ≤ 3, dấu đẳng thức xảy x = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3.24 Giải phương trình √ 2x − + √ 4x − + √ 6x − = 3x Giải Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương √ 2x − + x √ 4x − + x √ 6x − = x Sử dụng ước lượng ta thu vế trái ≤ 3, dấu xảy x = Vậy phương trình có nghiệm x = Cách Nhân ước lượng dương ta thu phương trình chứa Ví dụ 3.25 Giải phương trình √ √ √ 2x − 4x − 6x − = x3 √ √ √ 2x − 4x − 6x − = (vì x3 = 0) x x x Hướng dẫn Điều kiện x ≤ Phương trình cho tương đương Vế trái nhỏ Dấu xảy x = 75 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Kết luận Luận văn "Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu căn" giải vấn đề sau : - Hệ thống số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu - Đưa số cách xây dựng, sáng tạo phương trình chứa ẩn dấu Kết luận văn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thông giai đoạn 76 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Vũ Lương, 2008„ Hệ phương trình phương trình chứa thức, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Tuấn Anh, 2014, Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ,NXB Giáo Dục [5] Tạp chí tốn học tuổi trẻ [6] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình mạng Internet [7] Tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Đại Học Sư Phạm 77