ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TỐN TỬ HỒN TỒN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết nêu luận án hoàn toàn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác NCS Phạm Thế Anh Mục lục Lời cam đoan Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Kiến thức chuẩn bị tổng quan 1.1 Các khái niệm 1.2 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên 13 1.3 Điểm trùng toán tử ngẫu nhiên 18 Điểm bất động điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 21 2.1 Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 21 2.2 Điểm bất động toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 27 2.3 Điểm trùng tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên 47 Ứng dụng vào phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 60 3.1 Ứng dụng định lý điểm trùng 60 3.2 Ứng dụng định lý điểm bất động 66 Kết luận kiến nghị 73 Các kết luận án 73 Hướng nghiên cứu 73 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 74 Tài liệu tham khảo 75 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực dương C[a; b] Không gian hàm số liên tục [a; b] L(X) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X LX (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X-giá trị LX p (Ω) Khơng gian biến ngẫu nhiên X-giá trị khả tích cấp p A, F σ-đại số B(X) σ-đại số Borel X F σ-đại số tích σ-đại số A F 2X Họ tập hợp khác rỗng X C(X) Họ tập hợp đóng khác rỗng X H(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai tập hợp đóng A, B Graph(T) Đồ thị toán tử ngẫu nhiên T P Độ đo xác suất p-lim Giới hạn hội tụ theo xác suất h.c.c Hầu chắn [x] Phần nguyên số thực x Chuẩn MỞ ĐẦU Trong toán học, điểm bất động (đơi cịn gọi điểm cố định, hay điểm bất biến) ánh xạ, điểm mà ánh xạ biến điểm thành Từ năm đầu thể kỉ 20, nguyên lý điểm bất động đời đáng nói đến là: nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach [7] (1922) định lý điểm bất động Schauder [51] (1930) Các kết mở rộng lớp ánh xạ khác nhau, không gian khác ứng dụng nhiều lĩnh vực tốn học Ta thấy ứng dụng nguyên lý điểm bất động việc giải vấn đề tồn lời giải phương trình (tốn tử, vi phân, tích phân, ), tốn xấp xỉ nghiệm, Tiếp theo kết trường hợp không ngẫu nhiên, nhiều kết toán điểm bất động ngẫu nhiên nghiên cứu Vào thập niên 1950, O Hans A Spacek trường Đại học Tổng hợp Prague khởi xướng nghiên cứu điểm bất động toán tử ngẫu nhiên vấn đề liên quan (xem [28, 53]) Các tác giả đưa điều kiện đủ ban đầu để toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên Sau cơng trình O Hans A Spacek, số dạng tương tự định lý điểm bất động tất định tiếng khác cho trường hợp ngẫu nhiên chứng minh Cùng với việc nghiên cứu vấn đề điểm bất động ngẫu nhiên, vấn đề phương trình tốn tử ngẫu nhiên quan tâm đến Các nghiên cứu phương trình tốn tử ngẫu nhiên mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phương trình tốn tử tất định Tuy nhiên, phần lớn kết đạt lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên tập trung vào việc đưa toán điểm bất động ngẫu nhiên để tồn nghiệm ngẫu nhiên Lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên điểm bất động ngẫu nhiên thực quan tâm nghiên cứu sau đời sách Random integral equations (1972) báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) A T Bharucha-Reid (xem [15, 16]) Trong báo mình, A T Bharucha-Reid chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, dạng ngẫu nhiên nguyên lý ánh xạ co Banach định lý điểm bất động Schauder dạng ngẫu nhiên Từ đó, nhiều tác giả thành công việc mở rộng kết điểm bất động ngẫu nhiên có chứng minh dạng ngẫu nhiên định lý điểm bất động cho toán tử tất định (xem [11, 21, 32, 37, 60]) Vào năm 1990, số tác H K Xu, K K Tan, X Z Yuan, chứng minh định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, tác giả với số điều kiện định, quỹ đạo toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (xem [14, 54, 60]) Gần đây, số tác N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal đưa số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng kết tác giả trước sở dạng ngẫu nhiên nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định chứng minh (xem [47, 50]) Đặc biệt, báo [57] tác giả D H Thang T N Anh chứng minh kết tổng quát tương đương tồn nghiệm phương trình tất định với phương trình ngẫu nhiên, tồn điểm bất động toán tử tất định toán tử ngẫu nhiên Tiếp theo toán điểm bất động ngẫu nhiên, toán điểm bất động ngẫu nhiên chung nhiều toán tử ngẫu nhiên nghiên cứu cách kỹ lưỡng Tuy nhiên, điều kiện để nhiều tốn tử có điểm bất động chung thường phức tạp, tốn điểm trùng ngẫu nhiên quan tâm nghiên cứu Bài toán điểm trùng ngẫu nhiên nghiên cứu nhiều toán tử đa trị, cặp toán tử đơn trị toán tử đa trị (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52]) Một cách tổng quát, xem toán tử ngẫu nhiên ánh xạ biến phần tử không gian metric thành biến ngẫu nhiên Bên cạnh đó, ta coi phần tử không gian metric biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị phần tử với xác suất Với cách quan niệm vậy, ta đồng không gian metric X tập (gồm biến ngẫu nhiên suy biến) không gian LX (Ω) biến ngẫu nhiên X-giá trị Từ đó, với tốn tử ngẫu nhiên liên tục f từ X vào Y Y ta xây dựng ánh xạ Φ từ LX (Ω) vào L0 (Ω) mà hạn chế Φ X trùng với f Ngoài mối liên hệ tồn điểm bất động ngẫu nhiên f Φ thiết lập Với mục đích mở rộng miền xác định toán tử ngẫu nhiên, [1, 5, 58] tác giả đưa khái niệm toán tử hồn tồn ngẫu nhiên, ánh xạ biến biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric thành biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric Sử dụng tính tốn túy xác suất, tác giả chứng minh số kết ban đầu tương tự O Hadzic E Pap điểm bất động tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên Nội dung luận án bao gồm định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, sở để xét đến toán điểm bất động, điểm trùng tốn phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Ngồi luận án đề cập đến kết nghiên cứu điểm bất động, điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, từ áp dụng định lý điểm bất động định lý điểm trùng để tìm nghiệm phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Luận án gồm chương Chương trình bày tổng quan khái niệm kết biết tác giả khác liên quan đến định lý điểm bất động điểm trùng ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên Các kết chương trích dẫn bỏ qua chứng minh chi tiết Chương trình bày khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, định lý thác triển tốn tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, tính liên tục theo xác suất tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Tiếp theo, chương trình bày kết nghiên cứu điểm bất động số dạng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Cuối cùng, số kết điểm trùng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên đề cập đến Nội dung chương định lý tồn điểm bất động điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Chương trình bày kết nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động, điểm trùng toán tử hồn tồn ngẫu nhiên Các ứng dụng chứng minh tồn nghiệm phương trình tốn tử hoàn toàn ngẫu nhiên sử dụng định lý điểm trùng ngẫu nhiên để chứng minh tồn điểm bất động ngẫu nhiên Nội dung chương định lý tồn nghiệm phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Các kết luận án trình bày Seminar Bộ mơn q t Khi q Từ (3.19) ta nhận |λ|f (t) ≥ f g (|λ|f (t)) ≥ Vì t ≥ q t q (3.21) q qt t ≥ Bằng tính toán trực tiếp ta thấy q qt P ( Ψu − Ψv > f (t)) P ( u − v > f (t/q )) , điều suy Ψ (f, q )-co theo xác suất Theo Định lý 2.2.13, Ψ có điểm bất động ξ Từ phương trình (3.16) có nghiệm ξ Ta thấy Định lý 3.2.1 mở rộng định lý [1, Định lý 3.3.17] mà ta xét đến hệ sau X Hệ 3.2.2 ([1, Định lý 3.3.17]) Cho Φ : LX (Ω) → L0 (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên q-Lipschitz theo xác suất Xét phương trình ngẫu nhiên Φu − λu = η (3.22) với λ số thực thỏa mãn |λ| > q η biến ngẫu nhiên thuộc LX p (Ω), p > Khi phương trình ngẫu nhiên (3.22) có nghiệm tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) cho E Φu0 − λu0 p < +∞ (3.23) Sau ta xét ví dụ tồn nghiệm phương trình (3.22) X Ví dụ 3.2.3 Cho tốn tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : LX (Ω) → L0 (Ω) xác định công thức Φu = α(u − ξ), u ∈ LX (Ω) 68 (3.24) α biến ngẫu nhiên nhận giá trị với xác suất p, giá trị q với xác suất − p, < p, q < ξ biến ngẫu nhiên Khi ta có P ( Φu − Φv > t) = P (α u − v > t) P (q u − v > t) Φ tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên q-Lipschitz theo xác suất Chọn λ = 2q > |q|, phương trình Φu − λu = η (3.25) tương đương với α(ω)(u − ξ) − 2qu = η Phương trình (3.25) có nghiệm u = η + αξ α − 2q Định lý 3.2.4 Giả sử f : [0, +∞) → [0, +∞) hàm số thỏa mãn X điều kiện (A) Φ, Ψ : LX (Ω) → L0 (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện sau X (a) Ψ(LX (Ω)) tập đóng L0 (Ω); X (b) Φ(LX (Ω)) ⊂ Ψ(L0 (Ω)); (c) Ψ liên tục theo xác suất; (d) với u, v ∈ LX (Ω) t > P ( Φu − Φv > t) P ( Ψu − Ψv − f ( Ψu − Ψv ) > t) (3.26) Khi phương trình Φu = Ψu 69 (3.27) có nghiệm tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) p > cho E Φu0 − Ψu0 p < +∞ (3.28) Chứng minh Nếu (3.27) có nghiệm ξ (3.28) với u0 = ξ p > Ngược lại, giả sử (3.28) Từ (b) tồn biến ngẫu nhiên X-giá trị u1 cho Ψu1 = Φu0 Bằng phương pháp quy nạp, tồn dãy biến ngẫu nhiên X-giá trị (un ) cho Ψun = Φun−1 , n ≥ Đặt ξn = Ψun , n = 1, 2, , ta chứng minh dãy (ξn ) dãy Cauchy theo xác suất Đặt g(t) = − f (t) , t > t Ta có f (t) = (1 − g(t)) t g(t) ∈ (0; 1), ∀t > Với u, v ∈ LX (Ω) P ( Φu − Φv > t) P ( Ψu − Ψv − f ( Ψu − Ψv ) > t) Một cách tương đương ta nhận P ( Φu − Φv > t) P (g ( Ψu − Ψv ) Ψu − Ψv > t) Cố định t > 0, với s ≥ t g(s) = − f (s) s − h(t) = q(t) Vì g(t) < ta nhận {g( Ψu − Ψv ) Ψu − Ψv > t} ⊂ { Ψu − Ψv > t} 70 (3.29) Vì P ( Φu − Φv > t) ≤ P (g( Ψu − Ψv ) Ψu − Ψv > t) = P (g( Ψu − Ψv ) Ψu − Ψv > t, Ψu − Ψv > t) P (q(t) Ψu − Ψv > t, Ψu − Ψv > t) P (q(t) Ψu − Ψv > t) = P ( Ψu − Ψv > t/q(t)) Chú ý q(t) < h(t) > nên ta nhận P ( ξn+1 − ξn > t) = P ( Φun − Φun−1 > t) P ( Ψun − Ψvn−1 > t/q(t)) = P ( ξn − ξn−1 ) > t/q(t)) P ( ξn−1 − ξn−2 ) > t/q(t) ) q(t/q(t)) P ( ξn−1 − ξn−2 ) > t/q (t)) q(t/q(t)) < q(t) Bằng lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.9, ta suy dãy (ξn ) dãy Cauchy theo xác suất Vì tồn ∗ X ξ ∈ LX (Ω) cho p-lim ξn = ξ Từ giả thiết (a), tồn u ∈ L0 (Ω) cho Ψu∗ = ξ Do P ( Ψun+1 − Φu∗ > t) = P ( Φun − Φu∗ > t) P ( Ψun − Ψu∗ − f ( Ψun − Ψu∗ ) > t) P ( ξn − ξ > t) Cho n → ∞ ta nhận P ( ξ − Φu∗ > t) = 0, điều suy Φu∗ = ξ h.c.c Vì u∗ nghiệm phương trình ngẫu nhiên (3.27) Nhận xét 3.2.5 Ví dụ sau phương trình ngẫu nhiên (3.27) khơng thiết có nghiệm 71 R Ví dụ 3.2.6 Xét hai tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ, Ψ : LR (Ω) → L0 (Ω) xác định Φu = k|u| + η, Ψu = |u| với η biến ngẫu nhiên dương, k ∈ (0; 1) Dễ dàng kiểm tra Φ, Ψ thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2.4 với f (t) = k t, k ∈ (0; − k) phương trình (3.27) có hai nghiệm 1 ξ1 = η, ξ2 = − η 1−k 1−k Kết luận: Trong chương này, xét đến ứng dụng định lý điểm bất động điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Chúng tơi từ định lý điểm bất động điểm trùng nhau, chứng minh tồn nghiệm số dạng phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Bên cạnh đó, dựa kết điểm trùng toán tử hồn tồn ngẫu nhiên, ta nhận lại kết điểm bất động 72 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận án • Chứng minh định lý thác triển tốn tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, đưa tiêu chuẩn liên tục theo xác suất tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên • Chứng minh định lý điều kiện đủ, điều kiện cần đủ để tồn điểm bất động ngẫu nhiên, điểm trùng ngẫu nhiên dạng toán tử hồn tồn ngẫu nhiên • Chỉ điều kiện đủ tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Hướng nghiên cứu • Nghiên cứu tốn thác triển tốn tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, xét đến trường hợp tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên từ tập khơng gian biến ngẫu nhiên X-giá trị vào • Do khơng thể xét quỹ đạo mẫu nên phải tìm phương pháp khác để tồn điểm bất động ngẫu nhiên, điểm trùng ngẫu nhiên phương pháp lặp có • Đưa điều kiện đảm bảo tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên, điều kiện đảm bảo tồn điểm trùng ngẫu nhiên toán tử hồn tồn ngẫu nhiên, điều kiện để phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên có nghiệm ngẫu nhiên 73 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Dang Hung Thang, Pham The Anh (2013), "Random fixed points of completely random operators", Random Oper Stoch Equ 21 (1), pp 1–20 [2] Dang Hung Thang, Pham The Anh (2014), "Some results on random fixed points of completely random operators", Vietnam J Math 42, pp 133–140 [3] Dang Hung Thang, Pham The Anh (2014), "Some results on random coincidence points of completely random operators", Acta Mathematica Vietnamica 39, pp 163–184 74 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Tạ Ngọc Ánh (2012), Một số vấn đề phương trình tốn tử ngẫu nhiên, Luận án Tiến sĩ, ĐHKHTN, ĐHQGHN [2] Đặng Hùng Thắng (2006), Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [4] Abbas M (2005), Solution of random operator equations and inclusions, Ph.D thesis, National College of Business Administration and Economics, Parkistan [5] Anh T N (2010), Random fixed points of probabilistic contractions and applications to random equations, Vietnam J Math 38, pp 227–235 [6] Aubin J P., Frankowska H (1990), Set-valued analysis, Birkhăauser Boston 75 [7] Banach S., (1922) Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations itegrales, Fundamenta Mathematicae 3, pp 133–181 [8] Beg I., Azam A (1992), Fixed points of asymptotically regular multivalued mappings, Austral Math Soc (Ser A) 53, pp 313–326 [9] Beg I., Shahzad N (1993), Random fixed points of random multivalued operators on Polish spaces, Nonlinear Anal 20(7), pp 835–847 [10] Beg I., Shahzad N (1993), Random fixed points and approximations in random convex metric spaces, J Appl Math Stochastic Anal 6(3), pp 237-246 [11] Beg I., Shahzad N (1994), Random fixed point theorems for nonexpansive and contractive-type random operators on Banach spaces, J Appl Math Stoc Anal 7(4), pp 569–580 [12] Beg I., Abbas M (2006), Iterative procedures for solutions of random operator equations in Banach spaces, J Math Anal Appl 315 (1), pp 181–201 [13] Beg I., Abbas M (2008), Random fixed points of asymptotically nonexpansive random operators on unbounded domains, Math Slovaca 58 (6), pp 755–762 [14] Benavides T D., Acedo G L., Xu H K (1996), Random fixed points of set-valued operators, Proc Amer Math Soc 124 (3), pp 831–838 [15] Bharucha-Reid A T (1972), Random integral equations, Academic Press, New York 76 [16] Bharucha-Reid A T (1976), Fixed point theorems in probabilistic analysis, Bull Amer Math Soc 82(5), pp 641–657 [17] Chandra M., Mishra S N., Singh S L., Rhoades B E (1995), Coincidence and fixed points of nonexpansive type multi-valued and single-valued maps, Indian J Pure Appl Math 26 (5), pp 393–401 [18] Choudhury B S (1995), Convergence of a random iteration scheme to a random fixed point, J Appl Math Stochastic Anal (2), pp 139–142 [19] Choudhury B S (2003), Random Mann iteration scheme, J Appl Math Stochastic Anal 16 (1), pp 93–96 [20] Chouhury B.S., Metiya N (2010), The point of coincidence and common fixed point for a pair mappings in cone metric spaces, Comput Math Appl., 60, pp 1686-1695 [21] Ciric L B (1993), On some nonexpansive type mappings and fixed points, Indian J Pure Appl Math 24 (3), pp 145–149 [22] Ciric L B., Ume J S., Jesic S N (2006), On random coincidence and fixed points for a pair of multivalued and single-valued mappings, J Inequal Appl (Hindawi Publ Corp.) Article ID 81045, 2006, pp 1–12 [23] Deimling K (1985), Nonlinear functional analysis, Springer-Verlag, Berlin 77 [24] Engl H W (1978), Some random fixed point theorems for strict contractions and nonexpansive mappings, Nonlinear Anal (5), pp 619–626 [25] Fierro R., Martínez C., Morales C H (2011), Random coincidence theorems and applications, J Math Anal Appl.378(1), pp 213-219 [26] Hadzic O., Pap E (2001), Fixed point theory in probabilistic metric spaces, Kluwer Academic Publishers [27] Hadzic O., Pap E., Budincevic M (2005), A generalization of Tardiff’s fixed point theorem in probabilistic metric spaces and applications to random equations, Fuzzy Sets and Systems 156, pp 124–134 [28] Hans O (1957), Random fixed point theorems, Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Function, and Random process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad Sci., Prague, pp 105–125 [29] Himmelberg C J (1975), Measurable relations, Fund Math 87, pp 53–72 [30] Itoh S (1977), A random fixed point theorem for a multivalued contraction mapping, Pacific J Math 68(1), pp 85–90 [31] Itoh S (1979), Random fixed-point theorems with an application to random differential equations in Banach spacess, J Math Anal Appl 67(2), pp 261–273 78 [32] Joshi M (1980), Nonlinear random equations with P -compact operators in Banach spaces, Indian J Pure Appl Math 11 (6), pp 791–799 [33] Khan A R., Hussain N (2004), Random coincidence point theorem in Frechet spaces with applications, Stoch Anal Appl 22 (1), pp 155–167 [34] Khan A R., Akbar F., Sultana N., Hussain N (2006), Coincidence and invariant approximation theorems for generalized f nonexpansive multivalued mappings, Internat J Math Math Sci., Hindawi Publ Corp., Article ID17637, 2006, pp 1–18 [35] Khan A R., Domlo A A., Hussain N (2007), Coincidences of Lipschitz-type hybrid maps and invariant approximation, Numer Funct Anal Optim 28 (9-10), pp 1165–1177 [36] Latif A., Al-Mezel S A (2008), Coincidence and fixed point results for non-commuting maps, Tamkang J Math 39 (2), pp 105–110 [37] Lin T C (1988), Random approximations and random fixed point theorems for non-self-maps, Proc Amer Math Soc 103 (4), pp 1129–1135 [38] Mann W R (1953), Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc 4, pp 506–510 [39] Matkowski J (1977), Fixed point theorems for mappings with a contractive iterate at a point, Proc Amer Math Soc 62 (3), pp 344–348 79 [40] Mustafa G (2003), Some random coincidence point theorems, J Math Res Exposition 23(3), pp 413–421 [41] Mustafa G., Noshi N A., Rashid A (2005), Some random coincidence and random fixed point theorems for hybrid contractions, Lobachevskii J Math 18, pp 139–149 [42] Nashine H K (2010), Random coincidence points, invariant approximation theorems, nonstarshaped domain and q-normed spaces, Random Oper Stoch Equ 18, pp 165–183 ´ c[43] Saha M., Anamika G (2012), Random fixed point theorem on a Ciri´ type contractive mapping and its consequence, Fixed Point Theory Appl 2012:209 [44] Shahzad N (1995), Random fixed points and approximations, Ph.D thesis, Quaid-I-Azam University, Islamabad Parkistan [45] Shahzad N., Latif A (2000), A random coincidence point theorem, J Math Anal Appl 245, pp 633–638 [46] Shahzad N (2000), Random approximations and random coincidence points of multivalued random maps with stochastic domain, New Zealand J Math.,29(1), pp 91–96 [47] Shahzad N (2004), Some general random coincidence point theorems, New Zealand J Math 33(1), pp 95–103 [48] Shahzad N (2005), On random coincidence point theorems, Topol Methods Nonlinear Anal.,25(2), pp 391-400 80 [49] Shahzad N., Hussain N (2006), Deterministic and random coincidence point results for f-nonexpansive maps, J Math Anal Appl., 323, pp 1038–1046 [50] Shahzad N (2008), Random fixed point results for continuous pseudo-contractive random maps, Indian J Math 50 (2), pp 263– 271 [51] Schauder J.(1930), Der Fixpunktsatz in Funktionalrăaumen, Studia Math., 2, pp 171180 [52] Singh S L., Ha K S., Cho Y J (1989), Coincidence and Fixed points of nonlinear hybrid contractions, Internat J Math Math Sci 12 (2), pp 247–256 [53] Spacek A (1955), Zufallige Gleichungen (Random equations), Czechoslovak Math J (4), pp 462–466 [54] Tan K K., and Yuan X Z (1993), On deterministic and random fixed points, Proc Amer Math Soc 119(3), pp 849–856 [55] Thang D H., Thinh N (2004), Random bounded operators and their extension, Kyushu J Math 58, pp 257–276 [56] Thang D H., Cuong T M (2009), Some procedures for extending random operators, Random Oper Stoch Equ 17(4), pp 359–380 [57] Thang D H., Anh T N (2010), On random equations and applications to random fixed point theorems, Random Oper Stoch Equ 18(3), pp 199–212 81 [58] Thang D H., Anh T N (2010), Some results on random equations, Vietnam J Math 38 (1), pp 35–44 [59] Tsokos C P., Padgett W J (1971), Random integral equations with applications to stochastic sytems Lecture Notes in Mathematics, Vol 233, Springer-Verlag, Berlin-New York [60] Xu H K (1990), Some random fixed point theorems for condensing and nonexpansive operators, Proc Amer Math Soc 110 (2), pp 395–400 [61] Xu H K (1993), A random fixed point theorem for multivalued nonexpansive operators in uniformly convex Banach spaces, Proc Amer Math Soc 117 (4), pp 1089–1092 [62] Xu H K., Beg I (1998), Measurability of fixed point sets of multivalued random operators, J Math Anal Appl 225 (1), pp 62–72 82