ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU HẰNG ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1,1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON LẺ Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số : 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Thừa Thiên Huế, năm 2018 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU HẰNG ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1,1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON LẺ Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số : 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Thừa Thiên Huế, năm 2018 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác Huế, tháng 10 năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thu Hằng ii LỜI CẢM ƠN Hồn thành luận văn tốt nghiệp này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình thực Qua đây, xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo khoa Vật Lý phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế; bạn học viên Cao học khóa 25 gia đình, bạn bè động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi q trình học tập thực luận văn Huế, tháng 10 năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thu Hằng iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh sách hình vẽ MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Trạng thái kết hợp 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Các tính chất trạng thái kết hợp 11 1.1.3 Trạng thái kết hợp chẵn lẻ 15 1.2 Tính chất toán tử dịch chuyển 19 1.3 Các tiêu chuẩn đan rối 21 1.3.1 Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy 21 1.3.2 Tiêu chuẩn Độ đồng quy 22 1.4 Mơ hình viễn tải lượng tử với nguồn rối hai mode 23 1.5 Trạng thái Bell với trình viễn tải lượng tử 25 Chương KHẢO SÁT TÍNH CHẤT ĐAN RỐI 29 2.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ 29 2.1.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) 29 2.1.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ 34 2.2 Khảo sát tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ 38 2.3 Định lượng độ rối theo tiêu chuẩn Độ đồng quy 46 Chương KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ 52 3.1 Quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ 52 3.2 Độ trung thực trung bình trình viễn tải lượng tử 57 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 PHỤ LỤC P.1 DANH SÁCH HÌNH VẼ Đồ thị 2.1 Sự phụ thuộc tham số đan rối R1 vào r với giá trị q = 1, q = 2, q = k thuộc khoảng giá trị (0;2) 44 Đồ thị 2.2 Sự phụ thuộc tham số đan rối R1 vào r với giá trị q = 6, q = 7, q = k thuộc khoảng giá trị (0;3) 45 Đồ thị 2.3 Sự phụ thuộc Độ đồng quy C vào r 50 Đồ thị 2.4 Sự phụ thuộc Độ đồng quy C vào r 51 Đồ thị 3.1 Khảo sát độ trung thực trung bình Fav theo r 63 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Ngày nay, nước phát triển giới có chạy đua sôi động lĩnh vực thông tin lượng tử Các chuyên gia hàng đầu giới nhận định: nước sớm chiếm lĩnh lĩnh vực thông tin lượng tử nước chiếm thượng phong quốc gia Sự đời ngành khoa học thông tin lượng tử vừa thời cơ, vừa thách thức hiểm họa phát triển số quốc gia phát triển Cụ thể thông tin lượng tử truyền với tốc độ cực nhanh đồng thời đảm bảo tính chất tính bảo mật thông tin cách tuyệt đối Với lĩnh vực tính tốn, áp dụng lý thuyết thơng tin lượng tử cho đời hệ máy tính có tốc độ xử lý nhanh máy tính cổ điển nào, việc bảo mật thơng tin trở nên an tồn tuyệt đối Vì thế, việc xử lý thông tin lượng tử vấn đề mới, rộng lớn có tính bao qt Việc truyền tải thơng tin thơng qua việc sử dụng tính chất đan rối gọi viễn tải lượng tử Đó q trình dịch chuyển thơng tin vật chất tức thời, mà dịch chuyển qua không gian, thực cách giải mã vật thời điểm gửi thông tin phân tử tới điểm khác, nơi vật tái tạo lại cấu trúc ban đầu Viễn tải lượng tử khai thác để làm cho máy tính lượng tử, mạng lưới viễn thông trở nên nhanh mạnh Do đó, nhà khoa học tập trung vào khai thác rối lượng tử để nghiên cứu viễn tải lượng tử, sau tìm nguồn rối có độ trung thực trung bình cao hướng nghiên cứu đầy tiển vọng ngành vật lý lý thuyết nói riêng, vật lý nói chung ngành khoa học máy tính Năm 1963, Glauber Shudarshan đưa khái niệm trạng thái kết hợp [17],[23], trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ suy từ hệ thức bất định Heisenberg Trạng thái SU(1,1) Perelomov tìm vào năm 1972 [22] Khi q = trạng thái trở thành trạng thái nén chân không hai mode [15] Đối với nước Việt Nam chúng ta, vấn đề thơng tin lượng tử nói chung quan tâm Từ năm 2011, học viên Lê Thị Thu khảo sát tính đan rối chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai mode thêm photon [6]; năm 2013, học viên Lê Thị Thủy khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU(1,1) [7]; năm 2014, học viên Nguyễn Thị Kim Thanh khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích [5]; năm 2015, học viên Trần Thị Thanh Tâm khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon chẵn [4]; năm 2016, học viên Lê Thị Mai Phương nghiên cứu tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [3]; năm 2017, học viên Nguyễn Thị Phương Ni nghiên cứu định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn [2]; năm 2017 có nghiên cứu sinh Đặng Hữu Định với khảo sát tính chất phi cổ điển vận dụng trạng thái phi cổ điển vào thông tin lượng tử luận án tiến sĩ vật lý [1] Như vậy, vấn đề rối lượng tử vấn đề thú vị thu hút ý nhiều điều chưa khám phá ứng dụng to lớn Việc khảo sát trạng thái đan rối viễn tải lượng tử số tác giả nghiên cứu [11], [24], [25], [26] chưa có đề tài nghiên cứu định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ Được hướng dẫn Thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức, định chọn đề tài “Định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ” làm đề tài luận văn cho II Mục tiêu đề tài Mục tiêu đề tài khảo sát tính chất đan rối định lượng độ rối trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ tiêu chuẩn đan rối Tiếp theo, sử dụng trạng thái làm nguồn rối để thực trình viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp đánh giá mức độ thành cơng q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình III Phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, sử dụng tiêu chuẩn Độ đồng quy để định lượng độ rối, tiêu chuẩn đan rối Hillerry- Zubairy để nghiên cứu tính đan rối viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp [1], [12], [25] Sau đó, sử dụng mơ hình viễn tải biến liên tục để thực trình viễn tải với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ IV Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung vào nội dung sau: - Nghiên cứu lý thuyết, phân tích tổng hợp kiến thức liên quan như: trạng thái kết hợp, tiêu chuẩn đan rối, mơ hình viễn tải lượng tử với nguồn rối hai mode, trạng thái Bell với trình viễn tải lượng tử ˆ B ˆ =0 theo giả thuyết A, ˆ B ˆ ξ + const ϕ (ξ) = A, ˆ ϕ (0) = const = B Suy ˆ B ˆ ξ+B ˆ ϕ (ξ) = A, (c) Đặt (c) vào (b), ta có ∂f ˆ B ˆ ξ+B ˆ f (ξ) = Aˆ + A, ∂ξ ˆ ˆ ˆ ˆ f (0) = const, f (ξ) = const.eξ (A+B )+ [A,B ]ξ (d) Từ (d) (a) ta có f (0) = const = Suy ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f (ξ) = eξ (A+B )+ [A,B ]ξ = eξ A eξ B Với ξ = 1, ta có ˆ ˆ eA+B = e− [A,B ] eA eB ˆ ˆ ˆ ˆ (đpcm) Phụ lục Chứng minh cơng thức (1.28): Ta có ˆ a+ (α) = exp α∗ a ˆ a (−α) D ˆ − αˆ a+ = exp −αˆ a+ − (−α∗ a ˆ) = D Mặt khác ˆ a−1 (α) = D ˆ a (α) D = exp (αˆ a+ − α∗ a ˆ) ˆ a+ (α) = exp −αˆ a+ + α ∗ a ˆ =D ˆ a+ (α) = D ˆ a (−α) = D ˆ a−1 (α) (đpcm) Vậy D P.2 Phụ lục Chứng minh công thức (1.30): Biến đổi vế trái ta ˆ exp αAˆ exp −αAˆ B  −αAˆ −αAˆ  = 1 + + 1! 2! ˆ+ =B ˆ αAˆ B ˆ αAˆ B   αAˆ αAˆ  ˆ +  B 1 + + 1! 2! −αAˆ + + 1! 2! 1! 2 ˆ αAˆ −αAˆ B −αAˆ ˆ + + B 1! 2! 2! 2 ˆ αAˆ ˆ −αAˆ B −αAˆ B + + 2! 1! 2!  ˆ αAˆ B −αAˆ ˆ + ˆ =B + B 1! 1!  ˆ ˆ αAˆ −α A −αAˆ B  ˆ+ + B 2! 1! 1! −αAˆ ˆ αAˆ B −αAˆ + 1! 2! ˆ − α A, ˆ B ˆ + α A, ˆ A, ˆ B ˆ =B 2! (đpcm) + 1! ˆ αAˆ B + 2! + Phụ lục P.3  +  + ˆ αAˆ B Chứng minh công thức (1.31): 1! 2! 2!  ˆ αAˆ −αAˆ B ˆ+ B αAˆ 2! 2    ˆ αAˆ −αAˆ B + 1! 2! + Ta có: ˆ a (α) = exp − |α|2 exp αˆ D a+ exp (−α∗ a ˆ) ˆ a−1 (α) = D ˆ a (−α) từ (1.18) ta Mà D ˆ a−1 (α) = exp |α|2 exp (α∗ a ˆ) exp −αˆ a+ D Vì ˆ −1 (α) a ˆ a (α) = exp (α∗ a D ˆD ˆ) exp (−αˆ a+ ) a ˆ exp (αˆ a+ ) exp (−α∗ a ˆ)(*) ˆ Sử dụng cơng thức (1.21), ta có với tốn tử Aˆ B α2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ exp −αA B exp αA = B − α A, B + A, A, B 2! ˆ=a Nếu Aˆ = a ˆ+ B ˆ,ta có + exp (−αˆ a+ ) a ˆ exp (αˆ a+ ) = a ˆ − α [ˆ a+ , a ˆ] = a ˆ + α(**) Thay (**) vào (*), ta có ˆ −1 (α) a ˆ (α) = exp (α∗ a D ˆD ˆ) (ˆ a + α) exp (−α∗ a ˆ) = exp (α∗ a ˆ) a ˆ exp (−α∗ a ˆ) + α exp (α∗ a ˆ) exp (−α∗ a ˆ) =ˆ a + α∗ [ˆ a, a ˆ] + α =ˆ a+α (đpcm) Phụ lục Chứng minh công thức (1.33): Ta đặt ˆ (α) = exp αˆ D a+ − α ∗ a ˆ = exp Aˆ ˆ (β) = exp βˆ ˆ D a+ − β ∗ a ˆ = exp B, ˆ (α) D ˆ (β) = exp Aˆ exp B ˆ exp − A, ˆ B ˆ D P.4 exp ˆ ˆ A, B , ˆ = exp αˆ exp Aˆ + B a+ − α ∗ a ˆ + βˆ a+ − β ∗ a ˆ = exp (α + β) a ˆ+ − (α∗ + β ∗ ) a ˆ ˆ (α + β) =D Nên ˆ B ˆ ˆ (α) D ˆ (β) = D ˆ (α + β) exp A, D Do ta có αβ ∗ − α∗ β ˆ ˆ ˆ D (α) D (β) = D (α + β) exp Phụ lục Chứng minh công thức (2.2): Ta có Jˆ+ , Jˆ− = Jˆ+ Jˆ− − Jˆ− Jˆ+ =a ˆ+ˆbˆ aˆb+ − a ˆˆb+ a ˆ+ˆb = a ˆ+ a ˆˆbˆb+ − a ˆa ˆ+ˆb+ˆb =a ˆ+ a ˆ + ˆb+ˆb − a ˆ+ a ˆ + ˆb+ˆb = a ˆ+ a ˆ+a ˆ+ a ˆˆb+ˆb − ˆb+ˆb =a ˆ+ a ˆ − ˆb+ˆb = 2Jˆ3 (đpcm) Vậy Jˆ+ , Jˆ− = 2Jˆ3 Jˆ3 , Jˆ+ = Jˆ3 Jˆ+ − Jˆ+ Jˆ3 + +ˆ + a ˆ a ˆ − ˆb+ˆb a ˆ+ˆb − a ˆ b a ˆ a ˆ − ˆb+ˆb 2 + +ˆ ˆ+ˆ +ˆ = a ˆ a ˆa ˆ b − b bˆ a b−a ˆ+ˆbˆ a+ a ˆ+a ˆ+ˆbˆb+ˆb + +ˆ = a ˆ a ˆa ˆ b−a ˆ+ˆb+ˆbˆb − a ˆ+ a ˆ+ a ˆˆb + a ˆ+ˆbˆb+ˆb = P.5 + + ˆ+ a ˆ+ a ˆˆb + a ˆ+ + ˆb+ˆb ˆb a ˆ a ˆ a ˆ + ˆb − a ˆ+ˆb+ˆbˆb − a + + ˆ = a ˆ a ˆ a ˆb + a ˆ+ˆb − a ˆ+ˆb+ˆbˆb − a ˆ+ a ˆ+ a ˆˆb + a ˆ+ˆb+ˆbˆb + a ˆ+ˆb +ˆ a ˆ b+a ˆ+ˆb = a ˆ+ˆb = Jˆ+ = = Tương tự Jˆ3 , Jˆ− = −Jˆ− Vậy Jˆ3 , Jˆ± = ±Jˆ± (đpcm) Phụ lục Chứng minh công thức (2.24): Ở 2 A =|N | − |ξ| ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ (m + q)! m!q! m=0 1/2 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n l × ba m, m + q a ˆ a ˆ† (ˆ a)l a ˆ† n + q, n 2 =|N | − |ξ| ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ (m + q)! m!q! m=0 1/2 l ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n × ba m, m + q a ˆ a ˆ† (ˆ a)l =|N |2 − |ξ|2 ab 1/2 ∞ m=0 1/2 n + q + n + q + 1, n ab (m + q)! m!q! 1/2 [1 − (−1)n ] ξ n P.6 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m √ × ba m, m + q (n + q + 1) =|N |2 − |ξ|2 ∞ × n=0 ∞ 1+q (n + q)! n!q! m=0 1/2 √ n! (n − l)! (m + q)! m!q! n! (n − l)! n + q, n ab 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n (P.1) l × (n + q + 1) (n + q − j + 2)ba m, m + q |n + q, n j=1 2 =|N | − |ξ| ∞ 1+q n=0 (n + q)! [1 − (−1)n ] |ξ|2n n!q! l (n + q − j + 2) × (n + q + 1) j=1 2 B =|N | − |ξ| ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ m=0 1/2 (m + q)! m!q! 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n l ˆ a ˆ† (ˆ a)lˆb n + q, n × ba m, m + q a =|N |2 − |ξ|2 ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ m=0 1/2 (m + q)! m!q! ab 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n √ l × ba m, m + q a ˆ a ˆ† (ˆ a)l n n + q, n − =|N |2 − |ξ|2 ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ m=0 1/2 (m + q)! m!q! [1 − (−1)n ] ξ n P.7 ab 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m ab √ ˆ n × ba m, m + q a =|N |2 − |ξ|2 ∞ 1+q (n + q)! n!q! × n=0 ∞ × ba m, m + q (n + q)! (n + q)! (n + q − l)! (n + q − l)! (m + q)! m!q! m=0 1/2 n + q, n − ab 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n √ n (n + q)! √ n + q n + q − 1, n − (n + q − l)! = ab (P.2) 2 C =|N | − |ξ| 1+q ∞ m=0 (m + q)! m!q! ∞ 1/2 m ∗ m [1 − (−1) ](ξ ) n=0 (n + q)! n!q! l × [1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q ˆb† (ˆ a)l ˆb a ˆ† n + q, n = ab 1+q 2 D =|N | − |ξ| ∞ × n=0 (n + q)! n!q! ∞ m=0 1/2 (m + q)! m!q! 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n l × ba m, m + q ˆb† a ˆ† (ˆ a)lˆb n + q, n 1+q =|N |2 − |ξ|2 ∞ × n=0 (n + q)! n!q! ∞ m=0 1/2 (m + q)! m!q! ab 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n √ l × ba m, m + q ˆb† a ˆ† (ˆ a)l n n + q, n − =|N | 2 − |ξ| 1+q ∞ n=0 (n + q)! [1 − (−1)n ] |ξ|2n n!q! l ×n ab (n + q − j + 1) j=1 P.8 1/2 1+q E =|N | − |ξ| ∞ × n=0 (n + q)! n!q! ∞ (m + q)! m!q! m=0 1/2 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n l × ba m, m + q a ˆ ˆb† l ˆb a ˆ† n + q, n ab 1+q =|N |2 − |ξ|2 ∞ × n=0 (n + q)! n!q! ∞ (m + q)! m!q! m=0 1/2 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n l ˆ ˆb† × ba m, m + q a ˆb l n + q + n + q + 1, n ab 1+q =|N |2 − |ξ|2 ∞ × n=0 (n + q)! n!q! ∞ m=0 1/2 (m + q)! m!q! 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n l × (n + q + 1) (n + − j)δm,n j=1 =|N | ∞ 1+q − |ξ| n=0 (n + q)! [1 − (−1)n ] |ξ|2n n!q! l × (n + q + 1) (n + − j) j=1 2 F =|N | − |ξ| ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ m=0 1/2 (m + q)! m!q! 1/2 [1 − (−1)n ] ξ n P.9 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m l × ba m, m + q a ˆ ˆb† l ˆb ˆb n + q, n ab =|N |2 − |ξ|2 ∞ × n=0 ∞ 1+q (n + q)! n!q! (m + q)! m!q! m=0 1/2 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m (P.3) [1 − (−1)n ] ξ n l ˆ ˆb† × ba m, m + q a l√ ˆb n n + q + 1, n − = ab 2 G =|N | − |ξ| ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ (m + q)! m!q! m=0 1/2 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n × ba m, m + q ˆb† ˆb† l l ˆb a ˆ† n + q, n ab =|N |2 − |ξ|2 ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ (m + q)! m!q! m=0 1/2 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n × ba m, m + q ˆb† ˆb† l ˆb l n + q + n + q + 1, n = ab 2 H =|N | − |ξ| ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ (m + q)! m!q! m=0 1/2 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n × ba m, m + q ˆb† ˆb† l l ˆb ˆb n + q, n ab =|N |2 − |ξ|2 1+q ∞ m=0 (m + q)! m!q! P.10 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m ∞ (n + q)! n!q! × n=0 1/2 [1 − (−1)n ] ξ n l ˆ† (ˆ a)l ˆb† m, m + q ˆb† a × ba l l√ ˆb n n + q, n − ab =|N |2 − |ξ|2 ∞ 1+q (n + q)! n!q! × n=0 ∞ (m + q)! m!q! m=0 1/2 l√ n ∞ 1+q =|N |2 |N |2 − |ξ|2 m=0 ∞ (n + q)! n!q! × n=0 (n − 1)! (n − − l)! n + q, n − − l 1/2 (m + q)! m!q! [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m l 1/2 n n [1 − (−1) ] ξ n (n − j)δm,n j=1 1+q − |ξ|2 =|N |2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n m, m + q ˆb† ˆb† × ba 1/2 ∞ n=0 (n + q)! [1 − (−1)n ] |ξ|2n n!q! l ×n (n − j) j=1 Phụ lục Chứng minh cơng thức (2.25): Tính O 2 O =|N | − |ξ| ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ m=0 1/2 (m + q)! m!q! 1/2 [1 − (−1)n ] ξ n P.11 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m ab l × ba m, m + q a ˆ(ˆ a)l ˆb a ˆ† n + q, n ab 1+q =|N | − |ξ| ∞ × n=0 (n + q)! n!q! ∞ 1/2 (m + q)! m!q! m=0 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n ˆ(ˆ a)l ˆb × ba m, m + q a l n + q + n + q + 1, n ab 1+q 2 =|N | − |ξ| ∞ × n=0 (n + q)! n!q! ∞ 1/2 (m + q)! m!q! m=0 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n l × n+q+1 l n+q+1−l (n − j + 1) (n + q − j + 2)δm,n−l j=1 j=1 Tính tốn tương tự với P, Q, R ta thu 2 P =|N | − |ξ| ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ m=0 1/2 (m + q)! m!q! 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n l × ba m, m + q a ˆ(ˆ a)l ˆb ˆb n + q, n = ab 2 Q =|N | − |ξ| ∞ × n=0 1+q (n + q)! n!q! ∞ m=0 1/2 (m + q)! m!q! 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n l × ba m, m + q ˆb† (ˆ a)l ˆb a ˆ† n + q, n = ab P.12 2 R =|N | − |ξ| ∞ × n=0 1+q ∞ (m + q)! m!q! m=0 1/2 (n + q)! n!q! 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n l a)l ˆb ˆb n + q, n × ba m, m + q ˆb† (ˆ ab 2 =|N | − |ξ| ∞ × n=0 1+q ∞ (m + q)! m!q! m=0 1/2 (n + q)! n!q! 1/2 [1 − (−1)m ](ξ ∗ )m [1 − (−1)n ] ξ n l × l (n + − l) (n + 1) (n − j + 2) j=1 (n + q − j + 1)δm,n−l j=1 Phụ lục 10 Chứng minh công thức (3.22): Tính L L = |N |2 − |ξ|2 π 1+q ∞ ∞ −|γ| e m=0 n=0 (m + q)! m!q! 1/2 (n + q)! n!q! 1/2 γ m (γ ∗ )n √ × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ (m + q + 1) (n + q + 1) m! n!   ∗ m+q+1 n+q+1 |γ − 2A|  −|γ−2A|2  |γ − 2A| d (γ − 2A) ×  e (m + q + 1)! (n + q + 1)! m = |N |2 − |ξ|2 π n 1+q ∞ ∗ m n ∞ −|γ| e m=0 n=0 (m + q)! m!q! 1/2 (n + q)! n!q! γ m (γ ∗ )n √ × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ m! n! m × n ∗ m n e−|γ−2A| |γ − 2A|n+q+1 |γ − 2A|m+q+1 P.13 1/2 (m + q)! (n + q)! ∗ d2 (γ − 2A) = |N |2 − |ξ|2 π ∞ 1+q −|γ| e ∞ (m + q)! m!q! m=0 n=0 1/2 γ m (γ ∗ )n √ × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ m! n! m n 1/2 (n + q)! n!q! ∗ m n (m + q)! (n + q)! π (n + q + 1)! (m + q + 1)! δn+q+1,m+q+1 1n+q+2 ∞ 1+q (n + q)! 2 −|γ| e = |N | − |ξ| [1 − (−1)n ] |ξ|2n π n!q! n=0 × |γ|2n π (n + q + 1)! × n! (n + q)! 2 = 8|N | − |ξ| ∞ 1+q e −|γ| n=0 (n + q)! [1 − (−1)n ] |ξ|2n n!q! 2n |γ| (n + q + 1) n! Tính M × M = |N |2 − |ξ|2 π 1+q ∞ ∞ (m + q)! m!q! −|γ| e m=0 n=0 1/2 (n + q)! n!q! 1/2 γ m (γ ∗ )n √ × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ (m + q + 1) n m! n!   ∗ n+q m+q+1 |γ − 2A|   |γ − 2A| 2 ×   exp −|γ − 2A| d (γ − 2A) (m + q + 1)! (n + q)! m = |N |2 − |ξ|2 π n 1+q ∗ m n ∞ ∞ (m + q)! m!q! −|γ| e m=0 n=0 1/2 γ m (γ ∗ )n √ × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ m! n! m × n n+q exp −|γ − 2A| = |N |2 − |ξ|2 π 1+q ∗ m n |γ − 2A| ∞ ∞ −|γ| e m=0 n=0 P.14 1/2 (m + q)! (n + q)! m+q+1 |γ − 2A| (m + q)! m!q! (n + q)! n!q! √ n 1/2 ∗ d2 (γ − 2A) (n + q)! n!q! 1/2 γ m (γ ∗ )n √ × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ m! n! m n (n + q)! (m + q + 1)! δn+q,m+q+1 1n+q+1 ∞ ∞ 1+q (m + q)! 2 −|γ| e = |N | − |ξ| π m!q! m=0 n=0 × √ ∗ m n n (m + q)! (n + q)! π m × [1 − (−1) ] − (−1) √ × (m + q + 1)! (m + 1)!q! 1/2 γ m (γ ∗ )m+1 |ξ| ξ √ m! (m + 1)! m+1 2m π m+1 1/2 (m + q + 1)! (m + q + 1)! = (m + q)! (m + q + 1)! Tính S S = |N |2 − |ξ|2 π 1+q ∞ ∞ exp −|γ| m=0 n=0 m ∗ m n γ (m + q)! m!q! 1/2 (n + q)! n!q! 1/2 (γ ∗ )n √ m (n + q + 1) × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ m! n! ∗ |γ − 2A|m+q |γ − 2A|n+q+1 × exp −|γ − 2A|2 d2 (γ − 2A) (m + q)! (n + q + 1)! m = |N |2 − |ξ|2 π n 1+q ∞ ∞ exp −|γ| m=0 n=0 m ∗ m n γ (m + q)! m!q! (γ ∗ )n √ × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ m! n! m × n 1/2 (n + q)! n!q! √ m 1/2 (m + q)! (n + q)! ∗ exp −|γ − 2A|2 |γ − 2A|n+q+1 |γ − 2A|m+q d2 (γ − 2A) = |N |2 − |ξ|2 π 1+q ∞ ∞ exp −|γ| m=0 n=0 m ∗ m n γ (m + q)! m!q! 1/2 (n + q)! n!q! (γ ∗ )n √ × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ m! n! √ π (m + q)! (n + q + 1)! m × δm+q,n+q+1 1n+q+2 (m + q)! (n + q)! m n P.15 1/2 = |N |2 − |ξ|2 π 1+q n+1 × ∞ exp −|γ| m=0 n=0 n+1 2n γ n [1 − (−1) ] |ξ| ξ √ × − (−1) √ ∞ π n+1 (n + q + 1)! (n + 1)!q! n! 1/2 (n + q)! n!q! 1/2 (γ ∗ )n (n + 1)! (n + q + 1)! (n + q + 1)! = (n + q + 1)! (n + q)! Tính T T = |N |2 − |ξ|2 π 1+q ∞ ∞ exp −|γ| m=0 n=0 m ∗ m n γ (m + q)! m!q! 1/2 (n + q)! n!q! 1/2 (γ ∗ )n √ √ × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ mn m! n! ∗ |γ − 2A|m+q |γ − 2A|n+q exp −|γ − 2A|2 d2 (γ − 2A) × (m + q)! (n + q)! m = |N |2 − |ξ|2 π n 1+q ∞ ∞ exp −|γ| m=0 n=0 m ∗ m n γ (m + q)! m!q! (γ ∗ )n √ × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ m! n! m n 1/2 (n + q)! n!q! √ mn 1/2 (m + q)! (n + q)! ∗ exp −|γ − 2A|2 |γ − 2A|n+q |γ − 2A|m+q d2 (γ − 2A) × = |N |2 − |ξ|2 π 1+q ∞ ∞ exp −|γ| m=0 n=0 m ∗ m n γ (m + q)! m!q! 1/2 (n + q)! n!q! 1/2 (γ ∗ )n √ × [1 − (−1) ] [1 − (−1) ] (ξ ) ξ √ m! n! √ π (m + q)! (n + q)! mn × δm+q,n+q 1n+q+1 (m + q)! (n + q)! m = |N |2 − |ξ|2 π n 1+q ∞ exp −|γ| n=0 (n + q)! n!q! 2n × [1 − (−1)n ] |ξ|2n 2 =8|N | − |ξ| 1+q |γ| n π (n + q)! n! (n + q)! ∞ exp −|γ| n=0 P.16 2n (n + q)! n 2n n|γ| [1 − (−1) ] |ξ| n!q! n! ... tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ Chương 3: Trình bày trình viễn tải lượng tử với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ Phần kết luận... đan rối định lượng độ rối trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ tiêu chuẩn đan rối Tiếp theo, sử dụng trạng thái làm nguồn rối để thực trình viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp. .. RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1,1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON LẺ Độ đan rối trạng thái ảnh hưởng đến độ thành cơng q trình viễn tải lượng tử, nên trước sử dụng trạng thái làm nguồn rối