ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN VĂN NHƯNG ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN VĂN NHƯNG ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN DƯƠNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên - Năm 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài "ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN DƯƠNG" hồn thành nhận thức tơi, khơng trùng lặp với luận văn, luận án cơng trình công bố Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết Luận văn Nguyễn Văn Nhưng Xác nhận Xác nhận Trưởng khoa chuyên môn Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Vũ Ngọc Phát i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho nhận xét quý báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Văn Nhưng ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Một số ký hiệu viết tắt Cơ sở tốn học 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ 1.3 Bài toán ổn định Lyapunov 1.4 Hệ phương trình tuyến tính suy biến dương 1.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương 1.4.2 Hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương 11 Các bổ đề bổ trợ 18 1.5 iii Tính dương hệ suy biến có trễ 19 2.1 Hệ vi phân tuyến tính suy biến 19 2.2 Hệ rời rạc tuyến tính suy biến 22 Tính ổn định mũ hệ suy biến 26 3.1 Hệ vi phân tuyến tính suy biến 26 3.2 Hệ rời rạc tuyến tính suy biến 31 Tài liệu tham khảo 40 iv Mở đầu Trong lý thuyết định tính hệ động lực, tốn ổn định ổn định hóa có vai trị quan trọng Sự nghiên cứu toán ổn định hệ thống trở thành hướng nghiên cứu khơng thể thiếu lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ thống ứng dụng Một lớp hệ suy biến quan tâm nghiên cứu hệ suy biến dương có trễ, mà tốn ổn định cho hệ phức tạp hệ thông thường Hệ dương hệ xuất phát từ điều kiện ban đầu dương có nghiệm ln dương Đối với hệ dương, đặc biệt hệ suy biến dương, đòi hỏi kỹ thuật đặc biệt mà hệ thông thường áp dụng Bài tốn ổn định cho hệ dương khơng có trễ nghiên cứu nhiều tác giả nước, nhiên cịn kết ổn định cho hệ suy biến dương có trễ Trong luận văn nghiên cứu tốn ổn định hệ tuyến tính suy biến dương có trễ Trước tiên, chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ để hệ phương trình tuyến tính suy biến dương Sau sử dụng phương pháp phân tích phổ, trình bày điều kiện đủ để hệ ổn định mũ, điều kiện trình bày thơng qua nghiệm bất đẳng thức ma trận tuyến tính Chương trình bày sở tốn học hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân suy biến, hệ suy biến dương Bài toán ổn định Lyapunov, phương pháp hàm Lyapunov Chương trình bày kết tính dương hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ vi phân tuyến tính suy biến, hệ rời rạc tuyến tính suy biến Chương trình bày tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ rời rạc tuyến tính suy biến dương Một số ký hiệu viết tắt Rn0,+ Không gian véctơ không âm Rn Rm×n Tập ma trận cấp thực ( m × n.) N Tập số ngun khơng âm C([−h, 0], Rn ) Không gian hàm liên tục xác định [−h, 0] In x Là ma trận đơn vị cấp n B ∈ Rn×n Ký hiệu véctơ không âm Được gọi ma trận Matzler phần tử đường chéo không âm B Ma trận không âm ||A|| Ký hiệu chuẩn ma trận A |x| Ký hiệu module véctơ x, |x| = (|x1 | , |x2 | , , |xn |) Q Kí hiệu ma trận đơn thức dương hàng, cột ma trận có phần tử dương cịn lại khơng Chương Cơ sở tốn học Chương trình bày số kiến thức sở tốn học hệ phương trình vi phân điều khiển, phương pháp hàm Lyapunov, toán ổn định hóa bổ đề bổ trợ Nội dung chương trình bày từ tài liệu [1-3] 1.1 Hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân sau:    x˙ = f (t, x), t ∈ I = [t0 − b, t0 + b],   x(t0 ) = x0 , (1.1) n x ∈ R , t0 ≥ 0, I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : x − x0 ≥ a} Nghiệm x(t) hệ phương trình vi phân hàm số khả vi liên tục thỏa mãn: i) (t, x(t)) ∈ I × D, Chương Tính ổn định mũ hệ suy biến Trong phần ta trình bày điều kiện đủ để hệ tuyến tính vi phân, rời rạc suy biến ổn định mũ Nội dung chương trình bày từ tài liệu [4, 5] 3.1 Hệ vi phân tuyến tính suy biến Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương (1.5) ma trận E ∈ Rn×n suy biến cho rankE = r ≤ n, h số trễ Hàm điều kiện ban đầu ϕ(t) : [−h, 0] → C([−h, 0], Rn ),       A01  A11 A12  Ir     E= , A = , A =      −1 −1 0 −A−1 A −I −A A −A A n−r 04 03 04 13 04 14 Định lý 3.1.1 Cho α > giả sử (E, A0 ) quy xung tự ma trận A01 , A11 , A12 , A03 , A04 , A13 , A14 xác định bổ đề (1.5.1) thỏa mãn điều kiện ||A−1 04 A14 || < Khi hệ (1.5) α− ổn định tồn véctơ λ ∈ Rn cho λT [αE + A0 + A1 eαh ] ≤ 26 Chứng minh Theo giả thiết hệ (1.5) viết lại sau:   ˙  Ey(t) = A0 y(t) + A1 (t − h), t ≥ 0, (3.1)   y(t) = ϕ(t) = [ϕ1 (t), ϕ2 (t)] t ∈ [−h, 0] Theo bổ đề (1.5.1) hệ (3.1) dương theo định lý (2.1.1) ma trận A1 Xét hàm số không âm sau: t eα(s+h) λT A1 y(s)ds V (t, yt ) = eαt λT Ey(t) + (3.2) t−h Lấy đạo hàm theo nghiệm hệ ta có; V˙ (t, yt ) = αλT eαt Ey(t) + λT eαt E y(t) ˙ + λT A1 eα(s+h) y(t) − λT A1 eαt y(t − h) = αλT eαt Ey(t) + λT eαt y(t)A0 y(t) + λT eα(s+h) A1 y(t) = λT eαt [αE + A0 A1 eαh ]y(t) Theo giả thiết định lý có V˙ (t, yt ) ≤ 0, ∀t ≥ Lấy tích phân bất đẳng thức từ đến t ta V (t, yt ) ≤ V (0, y0 ) = λT Ey0 + eα(t+h) λT A1 y(s)ds ≤ γ ψ (3.3) −h Trong γ = η λ + ηheαh A−T λ Mặt khác ta có V (t, yt ) ≥ λT eαt Ey(t) ≥ βeαt y1 (t) , (3.4) β = mini=1,2,3, ,n λi Kết hợp với (3.3),(3.4) ta y1 (t) ≤ γ −αt e ψ := υeαh ψ e−αt , β 27 ∀t ≥ (3.5) Tiếp theo ta chứng minh thành phần thứ y2 (t) hệ ổn định mũ với −1 giống tỉ lệ α Ta kí hiệu p(t) = −A−1 04 A03 y1 (t) − A04 A13 y1 (t − h) Ta thấy t > h y1 (t − h) ≤ γ γ −α(t−h) e ψ ≤ eαh ψ e−αt = υeαh ψ e−αt , β β ∀t ≥ (3.6) với t ∈ [0, h] ta có y1 (t − h) = ψ1 ≤ ψ ≤ ψ e−α(t−h) ≤ eαh ψ e−αt ta có y1 (t − h) ≤ υeαh ψ e−αt , ∀t ∈ [0, h] (3.7) ∀t ≥ (3.8) Từ (3.6) (3.7), ta có y1 (t − h) ≤ υeαh ψ e−αt , Theo kí hiệu hàm véctơ p(t) từ (3.5) (3.8) ta p(t) A−1 04 A03 −1 y1 (t) + A04 A13 υ1 = υeαh ( A−1 04 A03 y1 (t − h) ≤ υ1 ψ e−αt , ≤ ∀t ≥ Trong y1 (t) + A−1 04 A13 ) Hơn từ phương trình thứ (3.1) ta có −1 −1 y2 (t) = −A−1 04 A14 y2 (t − h) − A04 A03 y1 (t) − A04 A13 y1 (t − h) = −A−1 14 A14 y2 (t − h) + p(t) Do ta có −1 y2 (t) ≤ A04 A14 + y2 (t − h) + p(t) , ∀t ≥ (3.9) −1 αh Đặt σ := max(υeαh ( A−1 04 A03 + A04 A13 ); e ) Nếu t ∈ [0, h] t − h ∈ [−h, 0] Từ (3.9) ta có y2 (t) ≤ A−1 04 A14 −αt ψ + p(t) ≤ ( A−1 04 A14 σ + σ) ψ e 28 (3.10) Nếu t ∈ [h, 2h] t − h ∈ [0, h] Từ (3.9) (3.10) ta có −1 −αt y2 (t) ≤ ( A−1 04 A14 σ + A04 A14 σ + σ) ψ e Giả sử ∀t ∈ [(k − 1)h, kh], −1 k −αt y2 (t) ≤ (σ + σ A−1 04 A14 + + σ( A04 A14 ) ) ψ e Do đó, t ∈ [kh, (k + 1)h], t − h ∈ [(k − 1)h, kh], theo giả thiết quy nạp từ (3.9) (3.10) ta −1 k −αt ≤ (σ + σ A−1 + p(t) 04 A14 + + σ( A04 A14 ) ) ψ e y2 (t) −1 k+1 ≤ (σ + σ A−1 ) ψ e−αt 04 A14 + + σ( A04 A14 ) Nếu A−1 04 A14 < 1, theo giả thiết ta có y2 (t) ≤ ≤ −1 k ψ e−αt (σ + σ A−1 04 A14 + + σ( A04 A14 ) + ) σ ψ e−αt − A−1 04 A14 (3.11) Từ (3.5) đến (3.11) ta kết luận y(t) < N |ψ e−αt , t ≥ Ta có điều phải chứng minh Ví dụ Xét hệ (1.5)   0 − −2 0 0   −2 −2       1 1      E = 0  , A0 =   −34 , A1 =   10  2      −26 10 0 −     29       0 − −2 0 0   −2 −2       1 1      E = 0  , A0 =   −34 , A1 =   10  2      −26 10 0 − Tính tốn trực tiếp ta chứng tỏ det((sE − A0 )) = −2s2 − 160s − 2388 = với s ∈ R det((sE − A0 )) = hạng(E) = hệ quy xung  0  P = 0 1 cho E, A0 , A1  1  P EQ =  0  0 tự do.Hơn có   1 1   0 , Q 0 =     0 ma trận không suy biến  0 1  2  phân chia phù hợp      0 1 − 10  −26 5            0 , P A0 Q =  −68 9 , P A1 Q =    10     1 −1 −1 − 10 tính tốn ta       −21  1  5  A01 =   , A11 =   , A12 =   −59 10 A−1 04 A03 = (−1 A−1 04 A14 = − 10 A−1 04 A13 = (0 − 1), , − 1)   0 −21   , A0 =  −59     1 −1 30    1 0 5    0 0 , E = 1       0 10 Do theo định lý (2.1.1) hệ dương Hơn với λ = (64, 49, 827),    A1 =  0 10  α = 0.1, h = 0.6 ta kiểm tra lại thấy A−1 04 A14 = < 1, λT (αE + A0 + A1 eαh ) ≤ 10 Theo định lí (2.1.1) ta chứng minh hệ 0.1− ổn định mũ 3.2 Hệ rời rạc tuyến tính suy biến Xét hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương (1.7) x(k) ∈ Rn , k ∈ N véctơ trạng thái A0 , A1 ∈ Rn×n , ma trận E ∈ Rn×n suy biến rank E = r < n; h(k) hàm trễ thỏa mãn điều kiện: < h(k) ≤ τ, k ∈ N, hàm ban đầu ϕ(·) : {−τ, · · · , 0} → Rn với chuẩn ϕ = max k∈{−τ,−(τ −1), ,0} ϕ(k) Ta có định lý sau Định lý 3.2.1 Giả sử cặp (E, A0 ) quy xung tự Cho A01 , A1 , A2 , P1 xác định hệ (1.7) Khi đó, mệnh đề sau tương đương (i) Hệ (1.7) dương ổn định mũ 31 (ii) A2 0, tồn ma trận H1 0, H2 0, véctơ p số δ ∈ (0, 1) cho A01 = H1 P1 , A1 = H1 A¯2 + H2 H1 + H2 + A¯2 p (3.12) (3.13) δ p Chứng minh (i) ⇒ (ii): Giả sử hệ (1.7) dương ổn định mũ Sử dụng định lý (3.1.1) ta có A2 tồn ma trận H1 0, H2 thỏa mãn điều kiện (3.12) Khi hệ (1.7) ổn định mũ có trễ < h(k) ≤ τ hệ    Ex(k + 1) = A x(k) + A x(k − τ ), k ∈ N,   x(k) = ϕ(k), (3.14) k ∈ {−τ, −(τ − 1), , 0} Là ổn định mũ từ bổ đề (1.5.2) thấy rằng: x(k + 1) =A01 x(k) + A¯1 x(k − τ ) + A¯2 x(k − (τ − 1)), k ∈ N, x(k) =ϕ(k), k ∈ {−τ, −(τ − 1), , 0}, x(k + 1) = H1 P1 x(k) + H1 A¯2 + H2 x(k − τ ) + A¯2 x(k − (τ − 1)) Sử dụng tính chất bổ đề (1.5.1) ta x(k + 1) = H1 P1 x(k) + H1 A¯2 + H2 x(k − τ ) + A¯2 x(k − (τ − 1)) = H1 x(k) − A¯2 x(k − τ ) + H1 A¯2 + H2 x(k − τ ) + A¯2 x(k − (τ − 1)) = H1 x(k) + H2 x(k − τ ) + A¯2 x(k − (τ − 1)) 32 Khi x(k) − x(0) = (x(k) − x(k − 1)) + (x(k − 1) − x(k − 2)) + + (x(1) − x(0)) = (H1 − In )x(k − 1) + H2 x(k − − τ ) + A¯2 x(k − − (τ − 1)) + + (H1 − In )x(0) + H2 x(−τ ) + A¯2 x(−(τ − 1)) k−1 = (H1 − In ) k−1 x(i) + H2 i=0 k−1 x(i − τ ) + A¯2 i=0 x(i − (τ − 1)) i=0 (3.15) Áp dụng tính x(i − τ ) = x(i) + x(i − τ ) − x(i) x(i − (τ − 1)) = x(i)+x(i − (τ − 1)) − x(i) từ (3.4) kéo theo k−1 x(k) − x(0) =(H1 − In ) k−1 x(i) + x(i − τ ) − x(i) x(i) + H2 i=0 i=0 k−1 + A¯2 x(i) + x(i − (τ − 1)) − x(i) i=0 k−1 = H1 + H2 + A¯2 − In k−1 x(i − τ ) − x(i) x(i) + H2 i=0 i=0 k−1 + A¯2 x(i − (τ − 1)) − x(i) i=0 Hệ (4.3) ổn định mũ ta có x(k) → k → ∞ từ x(k) ∞ ta có x(k) → cho k → ∞ Theo cách khác ∞ x(i) ≤ i=0 ∞ 0, ∀k ∈ N, N αk < ∞, α ∈ i=0 x(i) ≺ ∞ Do (0, 1), ta có i=0 ∞ −x(0) = H1 + H2 + A¯2 − In ∞ x(i − τ ) − x(i) x(i) + H2 i=0 33 i=0 ∞ + A¯2 x(i − (τ − 1)) − x(i) i=0 ∞ = H1 + H2 + A¯2 − In −1 x(i) + H2 i=0 −1 x(i) + A¯2 i=−τ x(i), i=1−τ cho ∞ H1 + H2 + A¯2 − In −1 −1 x(i) − A¯2 x(i) = −x(0) − H2 i=0 i=−τ x(i) ≺ i=1−τ (3.16) 0, ∀k ∈ {−τ, −(τ − 1), , 0} Từ hệ Từ điều kiện ban đầu x(k) = ϕ(k) 0, ∀k ∈ N theo cách khác ta có x(0) = ϕ(0) (1.7) dương ta có x(k) −1 0, ∞ −1 x(i) = i=−τ x(i) −1 ϕ(i) 0, i=−τ −1 x(i) = i=1−τ ϕ(i) Ta chứng minh i=1−τ ∞ Thật vậy, giả sử tồn số j, j ∈ {1, 2, , n} cho i=0 ∞ từ x(k) 0, ∀k ∈ N, ta có xj (i) = i=0 xj (i) = xj (i) = 0, ∀i ∈ N, i=0 xj (0) = điều mâu thuẫn với thực tế x(0) ∞ xác định p := x(i) = (p1 , p2 , , pn ) Do đó, ta q := (H1 + H2 + A¯2 )p = i=0 (q1 , q2 , , qn ) qi = 0, ∀i = 1, 2, , n, (3.13) với δ ∈ (0, 1) q = 0, ta xét tập δ := max i=1,2, ,n qi pi bất đẳng thức (3.5) kéo theo q ≺ p qi < pi , ∀i = 1, 2, , n,) kéo theo δ := max qi pi nữa, từ qi δp, điều thỏa i=1,2, ,n δpi , với i = 1, 2, , n, ta thu q ∈ (0, 1) Hơn mãn điều kiện (3.13) (ii) ⇒ (i): Cho điều kiện (3.1), (3.2) thỏa mãn Theo định lý (3.1.1), hệ (1.7) dương Xét nghiệm x(k; ϕ) hệ (1.7) với điều kiện ban đầu 34 ϕ ∈ S1 := {ϕ : ϕ = 1} ta thấy x(k, ϕ) ≤ M αk , ∀k ∈ N, ∀ϕ ∈ S1 , Từ p (3.17) 0, có số dương K > cho Kp |ϕ(j)|, ∀j ∈ {−τ, −(τ − 1), , 0}, ∀ϕ ∈ S1 Xác định u(k) := Kαk p, k ∈ Z, với α := √ τ +1 δ Để có (3.6), với M = K p , Ta chứng minh u(k) |x(k)|, k ∈ Z (3.18) Từ x(k) = ϕ(k), k ∈ {−τ, −(τ − 1), , 0} rõ thấy u(k) |x(k)|, k ∈ {−τ, −(τ − 1), , 0} Hệ (1.5)là dương theo định lý (3.1.1) tồn ma trận H1 0, H2 thỏa mãn A01 = H1 P1 , A¯1 = H1 A¯2 + H2 với k = 1, ta có |x(1)| = A01 x(0) + A¯1 x(−h(0)) + A¯2 x(1 − h(1)) = H1 P1 x(0) + (H1 A¯2 + H2 )x(−h(0)) + A¯2 x(1 − h(1)) Lấy tính chất bổ đề (1.5.1) bài, ta có |x(1)| = H1 x(0) − A¯2 x(−h(0)) + (H1 A¯2 + H2 )x(−h(0)) + A¯2 x(1 − h(1)) = H1 x(0) − H1 A¯2 x(−h(0)) + (H1 A¯2 + H2 )x(−h(0)) + A¯2 x(1 − h(1)) = H1 x(0) + H2 x(−h(0)) + A¯2 x(1 − h(1)) H1 |x(0)| + H2 |x(−h(0))| + A¯2 |x(1 − h(1))| 35 H1 Kp + H2 Kp α−h(0) + A¯2 Kp α1−h(1) H1 Kp + H2 Kp α−τ + A¯2 Kp α−τ H1 + H2 + A¯2 Kp α−τ Kp δ α−τ Kα p = u(1), thỏa mãn điều kiện (3.18) với k = Giả sử (3.18) với l ≤ k : u(l) |x(l)|, ∀l ≤ k Từ bổ đề (1.5.1) (1.5.2) làm |x(k + 1)| = A01 x(k) + A¯1 x(k − h(k)) + A¯2 x(k + − h(k + 1)) = H1 P1 x(k) + (H1 A¯2 + H2 )x(k − h(k)) + A¯2 x(k + − h(k + 1)) = H1 x(k) − A¯2 x(k − h(k)) + (H1 A¯2 + H2 )x(k − h(k)) + A¯2 x(k + − h(k + 1)) = H1 x(k) + H2 x(k − h(k)) + A¯2 x(k + − h(k + 1)) H1 |x(k)| + H2 |x(k − h(k))| + A¯2 |x(k + − h(k + 1))| Theo giả thiết quy nạp ta có |x(k + 1)| H1 u(k) + H2 u(k − h(k)) + A¯2 u(k + − h(k + 1)) = H1 Kαk p + H2 Kαk−h(k) p + A¯2 Kαk+1−h(k+1) p Kαk H1 + H2 α−τ + A¯2 α−τ p Kα−τ αk H1 + H2 + A¯2 p Kα−τ αk δ p = Kαk+1 p = u(k + 1), thỏa mãn (3.18) với k + Do đó, từ giả thiết ta đưa x(k; ϕ) ≤ K p αk = M αk , 36 ∀k ∈ N, ∀ϕ ∈ S1 Bây ta chứng minh ổn định mũ hệ (1.5) Cho x(k, ϕ) nghiệm (1.5) với điều kiện ban đầu ϕ(·) Từ bổ đề (1.5.3) ta thấy ϕ x(k; ϕ) = x k; ϕ ϕ ≤ M αk , ∀k ∈ N x(k; ϕ) ≤ M ϕ αk , ∀k ∈ N, điều phải chứng minh định lý Ví dụ Xét  1  E= 0  hệ (1.7) với tham số sau      0 0 0.25 0.3 0.25            , A = , A = 0  0.2 0.55   0.1       0 0 −1 0.2 0.2 Từ tính toán trực tiếp cho thấy det(sE − A0 ) = s2 − 0.8s − 0.1375 = với s ∈ R deg(det(sE − A0 )) = rank(E) = Khi hệ quy xung tự Hơn có hai ma trận khơng suy biến:     1 0 1 0       , Q = 0  , P =         0 0 −1 cho E, A0 , A1 phân chia phù hợp       0.25 0 0.3 0.25 1 0        , P A0 Q =  0.2 0.55 0 , P A1 Q =  0.1 , P EQ =  0             0 0 0.2 −0.2  37  A01 0.25  =  0.2 0.55  0  0  A¯2 =  0  0.2    0 0.3 0.25 0    ¯    , A = 0  0.1 0 ,    0 0    0 1 0    0 0 , P = 0       0.2 0 , Các biến không xác định p, δ, H1 , H2 xác định p = ( 10 δ = 0.9 <     0.25 0 0.3 0.25 0      , H2 =  0.1 0 H1 =  0.2 0.55         0 0 0 Theo định lý (3.1.1) hệ dương ổn định mũ 38 1 10 , 10 ) 0, Kết luận Trong luận văn trình bày chi tiết toán ổn định cho hệ phương trình suy biến dương có trễ, tính dương tính ổn định mũ hệ tuyến tính suy biến dương có trễ Sau đó, trình bày phương pháp phân tích phổ kỳ dị cho hệ suy biến dương đưa tiêu chuẩn để hệ dương ổn định Các điều kiện biểu diễn dạng bất đẳng thức ma trận 39 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Anh [1] Dai (1989), "Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences," SpringerVerlag Berlin [2] Farina L, Rinaldi V (2000), "Positive Linear Systems", Wiley, New York [3] Hale J K, Verduuyn Lunel S M (1993), "Introduction to Functional Differential Equations," Springer Verlag, New York [4] Phat V N, Sau N H (2014), "On exponential stability of singular positive delayed systems," Applied Mathematics Letters 38, 67-72 [5] Sau N H, Niamsup P, Phat V N (2016), "Positivity and stability analysis for linear implicit difference delay equations," Linear Algebra and Its Applications, 510, 25-41 40 ... tiệm cận Nếu a>0 hệ không ổn định 1.4 Hệ phương trình tuyến tính suy biến dương 1.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dạng   ... hệ ổn định mũ, điều kiện trình bày thơng qua nghiệm bất đẳng thức ma trận tuyến tính Chương trình bày sở tốn học hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân suy biến, hệ suy biến. .. ≥ Q > 1.4.2 Hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương Tương tự hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương (1.5) ta xét hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương sau: 