ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG TRỌNG LỢI MÔĐUN BẤT BIẾN QUA TỰ ĐẲNG CẤU CỦA BAO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS LÊ VĂN THUYẾT Thừa Thiên Huế, năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình hướng dẫn trực tiếp GS.TS Lê Văn Thuyết, số liệu kết nghiên cứu trình bày luận văn trung thực Trong trình nghiên cứu thực luận văn tơi có kế thừa sử dụng kết khoa học nhà Toán học nhà Khoa học với trân trọng biết ơn Tác giả Hoàng Trọng Lợi ii LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu hồn thành Luận văn, tơi nhận định hướng, giúp đỡ, ý kiến đóng góp quý báu lời động viên thầy cô giáo, bạn học viên gia đình Trước hết, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS.TS Lê Văn Thuyết trực tiếp giảng dạy, định hướng tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn Cho phép tơi chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn, Đại học Sư phạm Huế quý thầy giáo giáo thỉnh giảng nhiệt tình giảng dạy, góp ý để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn khoa Tốn - Đại học Sư phạm - Đại học Huế tạo điều kiện để tơi học tập nghiên cứu hồn thành luận văn Cuối tơi xin tỏ lòng cảm ơn tới anh chị học viên cao học khoa Toán - Đại học Sư Phạm - Đại học Huế - khóa K26 , gia đình, bạn bè động viên, chia sẻ, ủng hộ giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tác giả Hồng Trọng Lợi iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa 1.2 Môđun cốt yếu, đồng cấu cốt yếu 1.3 Môđun nội xạ 1.4 Mơđun khơng phương, mơđun nội xạ tinh 10 1.5 Các lũy đẳng nâng môđulô I(R) 11 1.6 Tính chất trao đổi vành trao đổi 12 1.7 Vành quy Von Neumann 13 1.8 Vành clean, môđun clean 14 1.9 Tính chất vành quy 14 Môđun bất biến qua tự đẳng cấu bao 18 2.1 Bao nội xạ 18 2.2 Môđun tự đẳng cấu - bất biến 21 2.3 Bao tổng quát 22 2.4 Môđun X -tự đồng cấu - bất biến 25 2.5 Môđun X -tự đẳng cấu - bất biến 25 2.6 Một số tính chất 28 2.7 Tính chất môđun X - tự đẳng cấu - bất biến 29 2.8 Định lí cấu trúc mơđun X -tự đẳng cấu - bất biến 31 2.9 Định lí mơđun X - tự đẳng cấu - bất biến thỏa tính chất trao đổi tồn phần 35 2.10 Tính chất clean mơđun X - tự đẳng cấu - bất biến 35 2.11 Ứng dụng môđun bất biến qua tự đẳng cấu bao 37 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT N, Z, Q, R, C Tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức A≤B A môđun B A n Chứng minh Giả sử End(M ) khơng có ảnh đẳng cấu đến Z2 End(M )/J(End(M )) khơng có ảnh đến Z2 ta suy rằng: End(M )/J(End(M )) = End(X)/J(End(X)) (theo tính chất 1.9.3) Chứng minh tính chất 1.9.3 End(M )/J(End(M )) khơng có ảnh đẳng cấu đến Z2 phần tử 36 End(M )/J(End(M )) tổng hai phần tử khả nghịch Áp dụng bổ đề 2.8.2 suy M X -tự đồng cấu bất biến Cuối cùng, char(End(M )) = n > n End(M ) khơng có ảnh đẳng cấu đến Z2 với lí tương tự hệ 1.9.4 Ta kết thúc chương số kết ứng dụng để mở rộng số lớp mơđun chứa nhiều tính chất đáng ý việc nghiên cứu vành môđun 2.11 Ứng dụng môđun bất biến qua tự đẳng cấu bao Ứng dụng 2.9.1 Lấy X lớp môđun nội xạ M môđun X -tự đẳng cấu - bất biến Lấy E bao nội xạ M Khi S = End(M ) thỏa S/J(S) vành quy tự nội xạ phải lũy đẳng nâng lên mơđulơ J(S) Do đó: (a) Theo định lí 2.7.1, ta suy End(M )/J(End(M ) vành quy lũy đẳng nâng mơđulơ J(End(M )) Đây mở rộng kết với mơđun tựa nội xạ (b) Theo định lí 2.8.3, M = N L với N mơđun khơng phương L môđun tựa nội xạ (c) Do mơđun tựa nội xạ thỏa tính chất trao đổi tồn phần [6], từ định lí 2.9.1 ta suy M thỏa tính chất trao đổi tồn phần (d) Từ định lí 2.10.1 ta suy M mơđun clean (e) Theo định lí 2.10.2, End(M ) khơng có ảnh đơn cấu đẳng cấu đến Z2 , M mơđun tựa nội xạ 37 Ứng dụng 2.9.2 Lấy X lớp môđun nội xạ tinh M môđun X -tự đẳng cấu - bất biến Lấy E bao nội xạ tinh M Khi S = End(M ) thỏa S/J(S) vành quy tự nội xạ phải lũy đẳng nâng mơđulơ J(S) Do đó: (a) Theo định lí 2.7.1, ta suy End(M )/J(End(M ) vành quy lũy đẳng nâng mơđulơ J(End(M )) Đây đặc trưng vành tự đồng cấu môđun nội xạ tinh (b) Theo định lí 2.8.3, M = N L với N mơđun khơng phương L bất biến tự đồng cấu bao nội xạ tinh Thực tế, L bất biến mạnh bao nội xạ tinh (c) Do mơđun bất biến tự đồng cấu bao nội xạ tinh thỏa tính chất trao đổi tồn phần [21, Theorem 11] Do đó, ta suy từ định lí 2.9.1 M thỏa tính chất trao đổi tồn phần (d) Từ định lí 2.10.1 ta suy M mơđun clean 38 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu, học tập nghiên cứu lý thuyết vành mơđun, tơi tập trung tìm hiểu nghiên cứu môđun tự đẳng cấu bất biến qua tự đẳng cấu bao Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu tơi hồn thành luận văn đạt số kết cụ thể sau: Tổng quan hệ thống khái niệm liên quan đến bao, môđun nội xạ, môđun nội xạ tinh, mơđun cân bằng, vành quy, Trình bày cách chi tiết khái niệm, tính chất kết liên quan đến môđun tự đẳng cấu bất biến qua tự đẳng cấu bao, cụ thể như: - Định nghĩa X -bao (tiền bao),môđun đẳng cấu - bất biến, môđun X -tự đồng cấu - bất biến, môđun X -tự đẳng cấu - bất biến, - Các định lý, tính chất cấu trúc mơđun X -tự đồng cấu - bất biến, môđun X -tự đồng cấu - bất biến thỏa tính chất trao đổi, mơđun X -tự đồng cấu - bất biến với tính chất clean, Đưa số ứng dụng môđun bất biến qua tự đẳng cấu bao để áp dụng vào việc mở rộng kết lớp môđun khác Từ vấn đề đạt từ luận văn dự định tiếp tục nghiên cứu số tính chất mà luận văn chưa đạt được, hy vọng tìm kết có ứng dụng tốt việc nghiên cứu lí thuyết vành mơđun 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trương Công Quỳnh - Lê Văn Thuyết, Lý thuyết vành môđun, ĐHH 2013 [2] Lê Văn Thuyết - Lê Đức Thoang, Vành với điều kiện hữu hạn, ĐHH 2017 Tiếng Anh [3] F.W Aderson, K R Fuller, Rings and Catogories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, 13 Springer-Verlag, New York, 1992 [4] P.Crawley, B Jonnson, Refinements for infinite direct decompositions of algebraic systems, Pacific J Math 14, (1964) [5] N Er, S Singh, A K Srivastava, Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, J Algebra 379 (2013), 223-229 [6] K R Goodearl, von Neumann Regular Rings, Krieger Publishing Company, Malabar, Florida, 1991 [7] P A Guil Asensio, I Herzog, Left cotorsion rings, Bull London Math Soc 36 (2004), 303-309 40 [8] P A.Guil Asensio, Derya Keskin Tutuncu, and Ashish K.Srivastava, Modules invariant under automorphisms of their covers and envelopes, Israel journal of mathematics 206 (2015), 457 -482 [9] P A Guil Asensio, A K Srivastara, Additive unit representations in endomorphism rings and an extension of a result of Dickson and and Fuller, Ring Theory and Its Applications, Contemporary Mathematics, Amer Math Soc 609 (2014), 117-121 [10] P A Guil Asensio, A K Srivastara, Automorphism-invariant modules satisfy the exchange property, J Algebra 388 (2013), 101-106 [11] R E Johnson, E T Wong, Quasi-injective modules and irreducible rings, J London Math Soc 36 (1961), 260-268 [12] D Khurana and A K Srivastava, Right self-injective rings in which each element is sum of two units, J Algebra Appl 6, (2007), 281286 [13] T.K.Lee and Y.Zhou (2013), Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls, J Algebra Appl 12(2) [14] W K Nicholson, Lifting idempotents and excharge rings, Trans Amer Math Soc 229, (1997), 269-278 [15] P P Nielsen, Square-free modules with the exchange property, J Algebra 323, (2101), 1993-2001 [16] Le Van Thuyet, Phan Dan and Truong Cong Quynh, Modules which are invariant under idempotents of their envelops, Colloquium mathematicum, No , Vol 143 (2016) 41 [17] J Xu, Flat covers of modules, Lecture Notes in Mathematics, 1634 Springer-Verlag, Berlin, 1996 [18] B Huisgen-Zimmermann, W Zimmermann, Algebraically compact rings and modules, Math Z 161 (1978), 81-93 [19] B Huisgen-Zimmermann, W Zimmermann, Classes of modules with the exchange property, J Algebra 88 (1984), no 2, 416-434 42 XÁC NHẬN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG BẢO VỆ LUẬN VĂN Chủ tịch hội đồng 43 ... biến qua tự đẳng cấu bao, cụ thể như: - Định nghĩa X -bao (tiền bao) ,môđun đẳng cấu - bất biến, môđun X -tự đồng cấu - bất biến, môđun X -tự đẳng cấu - bất biến, - Các định lý, tính chất cấu trúc... 2.2 Môđun tự đẳng cấu - bất biến Định nghĩa 2.2.1 Cho M môđun Môđun N M gọi tự đẳng cấu - bất biến môđun f (N ) ≤ N với tự đẳng cấu f M Định nghĩa 2.2.2 Một môđun gọi tự đẳng cấu - bất biến. .. văn bao gồm: Định nghĩa tổng quát bao, định nghĩa môđun tự đẳng cấu - bất biến, môđun X -tự đồng cấu - bất biến, môđun X -tự đồng cấu - bất biến, Các tính chất môđun X -tự đồng cấu - bất biến,