Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán Thời gian: 180 phút Câu1: (6 điểm) Cho hàm số y= x3 + 4x2 + 4x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Cho M(x0;y0) đồ thị Một đờng thẳng d thay đổi qua M cắt đồ thị M1 M2 khác M Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn M1M2 c) Tìm a cho tồn tiếp tuyến hệ số góc a đồ thị hàm số, gọi tiếp điểm M M4 Viết phơng trìng đờng thẳng chứa M3 M4 Câu 2: ( điểm) Giải phơng trình sau: a) tgxsin2x - 2sin2x = (Cos2x + sinxcosx) (1) 2 x b) X = (2x – x +1)2 (2) Câu 3: ( điểm) Tính tích phân sau: I=  sin sin x dx x cos x Câu 4: ( điểm) Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O Tìm điểm M không gian cho träng t©m cđa tø diƯn MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách điểm O http://dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn: Toán Câu 1: ( điểm) a) ( điểm) TXĐ: D =R (0,25đ) Chiều biến thiên: y = 3x2 + 8x + y’ = x = -2; x= - Hàm số đồng biến (- ; -2)  ( 2 ;) , nghÞch biÕn ( 2; ) 3 (0.25) Cực đại, cực tiểu: Cực đại :) xCĐ = -2; yCĐ = Cùc tiĨu t¹i: xCT = - ; yCT = 27 Giíi h¹n lim y  ; lim y  x   x   (0.25®) Tính lồi lõm điểm uốn: y = 6x + = x= 4 Hàm sô lồi từ (- ; ), lõm (- ; +  ) 3 11 §iĨm n: I(- ; ) 27 (0.25đ) x Bảng biến thiên: (0,5®) - -2 - - +  y’ + y - - + + 11 27 - 5 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Đồ thị (0,5 đ) A -5 -2 -4 -6 b) ( 2®iĨm) Gäi d qua M cã hệ sô gọc k : d: y=k(x-x0) + y0 (0,25đ) Hoành độ giao điểm đồ thị với đờng thẳng d nghiệm phơng trình: x3 + 4x2 + 4x +1 = k(x-x0) + x03 + 4x02 + 4x0 +1 x=x0 (0, ®) x2 + ( + x0)x + x02 + 4x0 + – k = (1) Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình (1) => x1, x2 lần lợt hoành độ cña M1, M2 => x 4 xI = - (0,75 ®) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3x0  ) x 4 I x= Giíi h¹n: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt   f(x0) 0 yI = y0 + k( k> x  x0 (0,5) k  x x0 b) ( 2đ) Để tháa m·n YCBT: y’ = 3x2 + 8x + = a có nghiệm phân biệt (0,25đ) a> (0,25®) x 8x  NhËn xÐt: x3 + 4x2 + 4x + = (3x2 + 8x +4)(  )(0,5®) 9 Gäi M3(x3; y3), M4(x4; y4) x 8x  y3 = a(  )  (0,5®) 9 x 8x  y4 = a(  )- 9 Vậy phơng trình đờng thẳng ®i qua M3; M4 lµ: x 8x  y= a( ) + (0,5đ) 9 Câu 2: (4 đ) Đ/K : x k (k  z ) Chia vÕ cđa ph¬ng tr×nh cho cos2x (1) tg3x -2tg2x = 3(1-tg2x+tgx) tgx=-1 (0,25®) (1®) x=-   k (k  z ) (0,5®) tgx=  VËy nghiƯm cđa phơng trình : x=- k (k z )  x=   k (k  z )  x=   k (k  z ) (0,5®) (0,25®) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a) (2) 2 x (0.5®) x 2 x  x 1 Đặt 2x2 x = t (t ) (0.25đ) Phơng trình trở thành: t t  t  t  Khảo sát f(t) = t t  (0.25®) f’(t) = 2tln2 – =0 2t = t f’(t) f(t) = ln  - + Quan sát bíên thiên nhận thấy phơng trình có tối đa nghiệm t (1đ ) Mặt khác f(0) = f(1) = Phơng trình cã nghiƯm t = 0; t= (0.25®)  x= ; x=  ; x=1 (0.25® ) Câu 3: (4 đ) Xét J= sin cos x dx x  cos x (0.25đ) Ta CM đợc I = J (đặt x= t ) (0.75®) I+J =   dx = sin x  sin x cos x  cos x  tg dtgx  x  tgx     cot g d cot gx x  cot gx  (0.75đ) Đặt tgx(cotgx) = t http://dethithpt.com Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1 d (t  ) dt  I + J = 2 =2  t  t 1 (t  ) Đặt t - = tgy 2 4 => I + J = 3 2 => I= 3 C©u 4: ( điểm) (0.75đ) (0.75đ) (0.75) Đặt x OM 4OG (0.5đ) Gọi A, B, C, D lần lợt trọng tâm cđa c¸c tø diƯn MBCD; MCDA; MDAB; MABC Ta cã 4OA' OM  OB  OC  OD OM  4OG  OA  x  OA (1®) OB ' = x  OB 4OC '  x  OC 4OD'  x  OD (1®) Ta cã: OA’ =OB’= OC’ = OD’ 2  16OA' 16OB' 16OC ' 16OD'  ( x  OA) ( x  OB) ( x  OC ) ( x  OD)  xOA  xOB  xOC  xOD => x 0 (1.5®) => OM  4OM O => GM 5GO (0.5®) VËy cã ®iĨm M tho¶ m·n ®iỊu kiƯn ®Ị (0.5®) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word