ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH HỒNG UN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Phương pháp giải phương trình vơ tỷ 1.1 Phương pháp hữu tỷ hóa 1.2 Phương pháp ứng dụng tính chất hàm số 24 1.3 Phương pháp đưa hệ đối xứng 26 1.4 Phương trình giải phương pháp so sánh 32 Chương Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chứa tham số 40 2.1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 40 2.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 41 2.3 Sử dụng định lí Lagrange 42 2.4 Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ 43 2.5 Sử dụng phương pháp hàm số 44 Chương Một số cách xây dựng phương trình vơ tỷ 48 3.1 Xây dựng phương trình vơ tỷ từ phương trình biết cách giải 48 3.2 Xây dựng phương trình vơ tỷ từ hệ phương trình 52 3.3 Dùng đẳng thức để xây dựng phương trình vơ tỷ 53 3.4 Xây dựng phương trình vơ tỷ dựa theo hàm đơn điệu 55 3.5 Xây dựng phương trình vơ tỷ dựa vào hàm số lượng giác phương trình lượng giác 58 3.6 Xây dựng phương trình vơ tỷ từ phép "đặt ẩn phụ khơng tồn phần" 60 3.7 Xây dựng phương trình vơ tỷ dựa vào tính chất vectơ 60 3.8 Xây dựng phương trình vơ tỷ dựa vào bất đẳng thức 61 3.9 Xây dựng phương trình vơ tỷ phương pháp hình học 65 Kết luận 68 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 69 Mở đầu Phương trình vơ tỷ lớp tốn có vị trí đặc biệt quan trọng chương trình tốn học bậc phổ thơng Nó xuất nhiều kì thi học sinh giỏi kì thi tuyển sinh vào đại học Học sinh phải đối mặt với nhiều dạng tốn phương trình vơ tỷ mà phương pháp giải chúng lại chưa liệt kê sách giáo khoa Đó dạng tốn phương trình vơ tỷ giải phương pháp đưa hệ (đối xứng không đối xứng), dùng phương pháp đặt ẩn phụ khơng tồn phần, dạng ẩn phụ lượng giác, Việc tìm phương pháp giải phương trình vơ tỷ việc xây dựng phương trình vơ tỷ niềm say mê khơng người, đặc biệt người trực tiếp dạy tốn Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập, tác giả chọn đề tài "Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ" làm đề tài nghiên cứu luận văn Đề tài nhằm phần đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy nhà trường phổ thơng Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp NGND GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc người thầy mình, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo mong muốn học hỏi thầy nhiều Tác giả xin chân thành cảm ơn q thầy Ban giám hiệu, Phịng đào tạo Đại học sau Đại học Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để tác giả hồn thành khóa học hoàn thành luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương trình bày hệ thống phương pháp giải lớp phương trình vơ tỷ Chương trình bày phương pháp giải biện luận phương trình vơ tỷ có chứa tham số Chương trình bày số cách xây dựng phương trình vơ tỷ Mặc dù cố gắng nhiều nghiêm túc trình nghiên cứu, thời gian trình độ hạn chế nên kết đạt luận văn cịn khiêm tốn khơng tránh khỏi thiếu xót Vì tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp, bảo quý báu quý thầy cô, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên 2011 Trịnh Hồng Uyên 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phương pháp giải phương trình vơ tỷ 1.1 Phương pháp hữu tỷ hóa Nhìn chung để giải phương trình vơ tỷ ta thường quy phương trình hữu tỷ để giải Ta thường dùng phương pháp sau để đưa phương trình vơ tỷ phương trình hữu tỷ mà ta gọi phương pháp "hữu tỷ hoá" 1.1.1 Sử dụng phép biến đổi tương đương Nội dung phương pháp luỹ thừa hai vế với số mũ phù hợp Một số phép biến đổi tương đương thường gặp  f (x) = g(x) 2n 2n f (x) ≥ [1] f (x) = g(x) ⇔  g(x) ≥ [2] 2n [3] 2n+1 f (x) = g(x) f (x) = g 2n (x) g(x) ≥ f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g 2n+1 (x) Ví dụ 1.1 Giải phương trình √ 2x + = 3x + 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Ta có 3x + ≥ 2x + = (3x + 1)2 x≥− ⇔ 9x2 + 4x =   x ≥ − ⇔  x = 0, x = − ⇔ x = 0, x = − (loại) Vậy nghiệm phương trình x = (1.1) ⇔ Nhận xét 1.1 Phương trình có dạng tổng qt gặp dạng phương trình này, ta sử dụng biến đổi sau f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) Khi g(x) ≥ f (x) = g (x) Ví dụ 1.2 Giải phương trình √ √ 1+ x − x2 = x + − x (1.2)  x − x2 ≥ Giải Điều kiện x ≥ ⇔ ≤ x ≤  1−x≥0 Để giải phương trình này, ta thường nghĩ đến việc bình phương hai vế khơng âm phương trình để phương trình tương đương (1.2) ⇔ 2(x − x2 ) − x − x2 = ⇔ ⇔ ⇔ x − x2 (2 x − x2 − 3) = √ √x − x = x − x2 = x − x2 = 4x2 − 4x + = (vô nghiệm) Suy x = x = Kết hợp với điều kiện ra, ta có x = 0; x = nghiệm phương trình 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.2 Dạng tổng quát phương trình f (x) + g(x) = h(x) Khi gặp dạng phương trình ta biến đổi tương đương sau  f (x) ≥ f (x) + g(x) = h(x) ⇔ g(x) ≥  f (x) + g(x) + f (x)g(x) = h(x) Ví dụ 1.3 (Hoc sinh giỏi quốc gia năm 2000) Giải phương trình √ − 10 − 3x = x − (1.3) Giải Ta có (1.3) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x ≥ 2√ − 10 − 3x = x2 − 4x + x≥2 √ 4x − x2 = 10 − 3x 2≤x≤4 x4 − 8x3 + 16x2 + 27x − 90 = 2≤x≤4 (x − 3)(x3 − 5x2 + x + 30) = 2≤x≤4 (x − 3)(x + 2)(x2 − 7x + 15) = x = Vậy x = nghiệm phương trình 1.1.2 Thực phép nhân liên hợp để đơn giản việc tính tốn Ta biết x = x0 nghiệm phương trình f (x) = điều x0 ∈ Df có nghĩa f (x0 ) = Nếu x = a nghiệm đa thức P (x) P (x) = (x − a)P1 (x), P1 (x) đa thức với deg P1 = deg P − Nếu x0 nghiệm phương trình f (x) = ta đưa phương trình f (x) = dạng (x − x0 )f1 (x) = việc giải phương trình f (x) = quy phương trình f1 (x) = 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.4 Giải phương trình √ √ 3(2 + x − 2) = 2x + x + (1.4) x−2≥0 ⇔ x ≥ x+6≥0 Ta thấy x = nghiệm phương trình cho Nhận xét x = x − 4x + số phương Do ta tìm cách đưa phương trình cho dạng (x − 3)f1 (x) = √ √ Biến đổi phương trình dạng sau 2(x − 3) + ( x + − x − 2) = √ √ Vấn đề lại phải phân tích x + − x − = để có thừa số (x − 3) Ta có (x + 6) − 9(x − 2) = −8(x − 3), điều giúp ta liên tưởng đến đẳng thức a2 − b2 = (a + b)(a − b) Ta biến đổi √ √ √ √ √ √ ( x + − x − 2)( x + + x − 2) √ √ x+6−3 x−2 = x+6+3 x−2 −8(x − 3) √ =√ x+6+3 x−3 Giải Điều kiện Suy phương trình cho tương đương với phương trình (x − 3) − √ √ = x+6+3 x−2 Đến ta cần giải phương trình 2− √ hay √ =0 x+6+3 x−2 √ √ x + + x − = √ √ 11 + 11 − ,x = Phương trình có nghiệm x = √ √ 11 − 11 + Vậy phương trình có nghiệm x = x = ,x = · 2 Nhận xét 1.3 Qua ví dụ ta thấy để khử thức ta sử dụng đẳng thức an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta gọi hai biểu thức a − b an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 biểu thức liên hợp Nên phương pháp thường gọi tắt phương pháp nhân liên hợp Ví dụ 1.5 (Đề thi đề nghị Olympic 30-4 THPT Thái Phiên, Đà Nẵng) Giải phương trình √ 1+3 x √ − = (1.5) 4x + + x  x ≥ ≥0 ⇔ x ≥ Giải Điều kiện + x√  4x + + x = Ta có √ √ (1.5) ⇔ + x − 4x − + x = √ √ ⇔ x − + x = 4x − √ √ √ √ √ √ ⇔ (3 x − + x)(3 x + + x) = (4x − 1)(3 x + + x) √ √ ⇔ 8x − = (4x − 1)(3 x + + x) √ √ ⇔ (4x − 1)(3 x + + x − 2) = 4x √0 √− = ⇔ x+ 2+x=2 x = ⇔ 16x2 − 28x + = Giải hệ tuyển hai phương trình trên, √ √ ta 7−3 7+3 x = ,x = ,x = nghiệm cần tìm 8 1.1.3 Đặt ẩn phụ Nội dung phương pháp đặt biểu thức chứa thức biểu thức theo ẩn mà ta gọi ẩn phụ, chuyển phương trình cho phương trình với ẩn phụ vừa đặt Giải phương trình theo ẩn phụ để tìm nghiệm thay vào biểu thức vừa đặt để tìm nghiệm theo ẩn ban đầu Với phương pháp ta tiến hành theo bước sau 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Như A3 + B + C = 2011 Từ ta có tốn giải phương trình sau Bài tốn 3.9 Giải phương trình √ √ 3 7x + 2010 − x2 + 2011 + x2 − 7x + 2012 = √ 2011 Hướng dẫn 3.8 Bài tóa thỏa mãn (A + B + C)3 = A3 + B + C Nên A = −B nghiệm phương trình nghiệm hệ tuyển B = −C Trong A = −C A,B,C biểu thức chọn Tương tự ta xây dựng nhiều toán theo cách này! 3.4 Xây dựng phương trình vơ tỷ dựa theo hàm đơn điệu 3.4.1 Xây dựng phương trình vơ tỷ dựa theo tính chất hàm đơn điệu Dựa vào kết "nếu hàm y = f (x) đơn điệu f (x) = f (t) ⇔ x = t" ta xây dựng phương trình vơ tỷ Ví dụ 3.6 Xuất phát từ hàm đơn điệu y = f (x) = 2x3 + x2 + x ≥ ta xây dựng phương trình √ √ f (x) = f ( 3x − 1) hay 2x3 + x2 + = 2( 3x − 1)3 + (3x − 1)2 + √ Rút gọn ta phương trình 2x3 + x2 − 3x + = 2(3x − 1) 3x − Ta có tốn sau Bài tốn 3.10 Giải phương trình √ 2x3 + x2 − 3x + = 2(3x − 1) 3x − Hướng dẫn 3.9 Bài toán giải theo phương pháp hàm số Ví dụ 3.7 Từ hàm số đồng biến R, f (t) = t3 + t từ phương √ trình f ( 7x2 + 9x − 4) = f (x + 1) Ta xây dựng tốn sau 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Bài toán 3.11 Giải phương trình x3 − 4x2 − 5x + = 7x2 + 9x − Hướng dẫn 3.10 Bài toán giải theo phương pháp sử dụng phương pháp hàm số Giải phương trình ta có nghiệm phương trình nghiệm phương trình √ √ −1 ± (x + 1) = 7x2 + 9x − suy x = x = · 3.4.2 Xây dựng phương trình vơ tỷ dựa vào ước lượng hàm đơn điệu Để dễ sử dụng kết hợp nhiều ước lượng ta xây dụng số ước lượng sau cách sử dụng tính đơn điệu hàm số ta nhận √ √ [1] −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm đơn điệu tăng [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ √ [2] −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x ≤ hàm tăng [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ √ [3] −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm tăng [0; 1] Nên ta có √ −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = x+3 √ [4] ≤ ≤1 + − x√ x+3 √ Hàm số f (x) = hàm tăng [−3; 1] 2+ 1−x Nên ta có√0 = f (−3) ≤ f (x) ≤ f (1) = x + 15 √ [4] ≤ ≤1 + −√ x x + 15 √ Hàm số f (x) = hàm tăng [−15; 1] 2+ 41−x Nên ta có = f (−15) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ √ [6] + x − + − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = + x − + − x hàm tăng đoạn [0; 1] 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Suy f (x) ≤ f (1) = √ √ [7] x + − + − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x + − + − x hàm tăng [−3; 1] suy f (x) ≤ f (1) = Sử dụng tính chất nghịch biến hàm số mũ y = ax với số ≤ a ≤ ta nhận √ √ [8] x + − x ≤ √ √ Ta có x ≤ x − x ≤ − x √ √ suy x + − x ≤ x + (1 − x) = Dấu đẳng thức đạt x = x = Cộng hai hay nhiều ước lượng thu phương trình chứa sau Bài tốn 3.12 Giải phương trình √ √ √ √ √ √ x + x + x = + − x + − x + − x Hướng dẫn 3.11 Điều kiện ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với √ √ √ √ √ √ ( x − − x) + ( x − − x) + ( x − − x) = Sử dụng ước lượng ta thu vế trái nhỏ 3, dấu đẳng thức xảy x = Đáp số x = Bài toán 3.13 Giải phương trình √ √ √ √ x + x + x + − x = Hướng dẫn 3.12 Điều kiện ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với √ √ √ √ √ √ ( x + − x) + ( x + − x) + ( x + − x) Vế trái lớn Dấu đẳng thức xảy x = Đáp số x = Bài tốn 3.14 Giải phương trình √ √ x+3 3x + √ √ + 2+ 1−x 2+ 41−x 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Hướng dẫn 3.13 Điều kiện − ≤ x ≤ Vế trái nhỏ Dấu xảy x = Đáp số x = Nhân ước lượng dương ta thu phương trình chứa sau Bài tốn 3.15 Giải phương trình √ √ √ 2x − 4x − 6x − = x3 Hướng dẫn 3.14 Điều kiện x ≤ · Chia hai vế cho x = ta thu √ √ √ 2x − 4x − 6x − =1 x x x Vế trái nhỏ Dấu đẳng thức xảy x = Đáp số x = 3.5 Xây dựng phương trình vơ tỷ dựa vào hàm số lượng giác phương trình lượng giác Từ cơng thức lượng giác đơn giản cos 3t = sin t, ta tạo phương trình vơ tỷ Từ cos 3t = cos3 t − cos t ta có phương trình vơ tỷ 4x3 − 3x = √ x2 x2 − (1) Nếu thay x phương trình (1) ta có phương trình vơ tỷ x √ khó − 3x2 = x2 x2 − (2) Nếu thay x phương trình (1) x − ta có phương trình vơ √ tỷ khó 4x3 − 12x2 + 9x − = 2x − x2 (3) Tương tự từ công thức sin 3x, sin 4x ta xây dựng phương trình vơ tỷ theo kiểu lượng giác! √ 1 Ví dụ 3.8 Từ phương trình lượng giác + = 2 từ đẳng cos t √sin t thức lượng giác sin2 t + cos2 t = suy sin t = − cos2 t thay cos t √ 1 = 2 x, ta có phương trình vơ tỷ sau + √ x − x2 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Vậy ta có tốn giải phương trình vơ tỷ giải theo phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác sau Bài tốn 3.16 Giải phương trình √ 1 +√ =2 x x2 + Hướng dẫn 3.15 Khi phương trình giải theo phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác √ Ví dụ 3.9 Từ phương trình cos3 t + sin3 t = cos t sin t thay cos t x ta phương trình vơ tỷ x3 + (1 − x2 )3 = x 2(1 − x2 ) Và ta có tốn giải phương trình vơ tỷ Bài tốn 3.17 Giải phương trình x3 + (1 − x2 )3 = x 2(1 − x2 ) Hướng dẫn 3.16 Phương trình giải theo phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác Ví dụ 3.10 Từ phương trình + sin t = 8(cos6 t + sin6 t) thay cos t √ x, ta đươc phương trình vô tỷ + − x2 = 8[x6 + (1 − x2 )3 ] Và ta có tốn √ Bài tốn 3.18 Giải phương trình + − x2 = 8[x6 + (1 − x2 )3 ] Hướng dẫn 3.17 Từ điều kiện |x| ≤ ta đặt x = cos t; t ∈ [0; π] ta thu + sin t = 8(sin6 t + cos6 t) ⇔ sin t = 8(1 − sin2 t cos2 t) ⇔ sin t = − 24 sin2 t cos2 t ⇔ sin t = − sin2 t cos2 t = − sin2 2t = cos 4t π −t ⇔ cos 4t = cos Từ phương trình ta tìm t, sau suy x 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 3.6 Xây dựng phương trình vơ tỷ từ phép "đặt ẩn phụ khơng tồn phần" Ta xét tốn xây dựng lớp phương trình dạng At2 + Bt + C = 0, t biểu thức chứa x, A, B, C biểu thức hữu tỷ chứa x, cho ∆ = B − 4AC ln ln biểu thức phương B C Thường tiện ta chọn − = f (x) + g(x) cịn = f (x)g(x) A A t = g(x) t = f (x) √ Ví dụ 3.11 Ta chọn t = x2 + 2, f (x) = 3, g(x) = x − Ta có tốn giải phương trình vơ tỷ sau Bài tốn 3.19 Giải phương trình √ √ x2 + (3 − x2 + 2)x = + x2 + Hướng dẫn 3.18 Để giải học sinh phải biết biến đổi dạng √ (x2 + 2) − (2 + x) x2 + − + 3x = sau đặt t = x2 + phương trình cho trở thành phương trình ẩn t t2 − (2 + x)t − + 3x = giải phương trình Có thể nhẩm nghiệm tính ∆, nghiệm t = 3, t = x − √ √ Với t = x2 + = suy x = ± Với t = x − 1(x ≥ 1) vô nghiệm Như với cách xây dựng ta có nhiều tốn Giải phương trình vơ tỷ phương pháp ẩn phụ khơng tồn phần 3.7 Xây dựng phương trình vơ tỷ dựa vào tính chất vectơ Tính chất |a + b| ≤ |a| + |b| dấu "=" xảy a, b hướng Ta xây dựng sau a = (f (x); A) Đặt suy a + b = (f (x) + g(x); A + B) b = (g(x); B) Khi ta có phương trình f (x) + A2 + g (x) + B = 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (f (x) + g(x))2 + (A + B)2 http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 √ √ a = (4 − x; 20 2) √ Ví dụ 3.12 chọn suy a + b = (9; 31 2) b = (5 + x; 10 2) √ √ Vậy |a| = x2 − 8x + 816, |b| = x2 + 10x + 267 |a + b| = 2003 Ta xây dựng phương trình sau √ √ |a + b| = |a| + |b| ⇔ x2 − 8x + 816 + x2 + 10x + 267 = 2003 Bài toán 3.20 (Thi olympic 30-4 năm 2003) Giải phương trình √ x − 8x + 816 + x2 + 10x + 267 = 2003 3.8 Xây dựng phương trình vơ tỷ dựa vào bất đẳng thức 3.8.1 Bất đẳng thức "tam thức bậc α (xem [2], trang 25) Với α > ta có xα + α − ≥ αx với x ≥ Dấu đẳng thức xảy x = √ √ Chọn α =2010 ta có phương trình x2010 + 2009 = 2010x ta có tốn Bài tốn 3.21 Giải phương trình √ √ x2010 + 2009 = 2010x Hướng dẫn 3.19 Sử dụng bất đẳng thức "tam thức bậc α" ta có x = nghiệm Ví dụ 3.13 Có thể tạo tốn khó cách thay x phương trình biểu thức chứa x Ví dụ thay x (x2 − 1)2 α = ta có phương trình √ (x2 − 1)3 + = 3(x2 + 1) hay x6 − 3x4 + 3x2 + = 3(x2 − 1) Ta có tốn sau √ Bài tốn 3.22 Giải phương trình x6 − 3x4 + 3x2 + = 3(x2 − 1) Hướng dẫn 3.20 Gặp toán học sinh cần biết biến đổi đưa phương trình ban đầu xây dựng để áp dụng bất đẳng thức tốn 62Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 trở nên dễ dàng Áp dụng bất đẳng thức tìm nghiệm phương √ trình dấu đẳng thức xảy x2 − = suy x = ± Như thay x biểu thức khác x ta phương trình khó hay dễ tuỳ thuộc vào ta chọn biểu thức thay cho x 3.8.2 Xây dựng phương trình vơ tỷ dựa vào bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta nhận √ 2x − ≤1 [1] √ x 2x − 2x − + Vì ≤ =1 x 2x √ 4x − [2] ≤1 x √ 4x − + + + 4x − Vì ≤ = dấu đẳng thức xảy x = x 4x √ 6x − 6x − + + + + + [3] ≤ = dấu đẳng thức xảy x 6x x = √ √ [4] x + − x ≤ √ √ x+2−x Vì x + − x ≤ = dấu đẳng thức xảy x = √ [5] x + − x ≤ √ √ x+2−x Vì x + − x ≤ = dấu đẳng thức xảy x = √ [6] x + − x2 ≤ √ √ √ √ x2 + − x2 x + − x2 ≤ |x| + − x2 = x2 + − x2 ≤ =2 dấu đẳng thức xảy x = √ [7] x + − x4 ≤ √ √ √ √ x + − x4 ≤ |x| + − x4 = x2 + − x4 4 √ √ x + − x =1 = x4 + − x4 ≤ 2 dấu đẳng thức xảy x = √ [8] x + − x6 ≤ 63Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 √ x+ − x6 √ ≤ |x| + − x6 ≤ √ x6 + √ 2− x6 ≤2 x6 + − x6 =1 dấu đẳng thức xảy x = Ta gọi ước lượng Có thể tạo nhiều ước lượng theo cách Ta xây dựng phương trình vơ tỷ sau Cách Cộng hai hay nhiều ước lượng Bài tốn 3.23 Giải phương trình √ √ √ 2x − + 4x − + 6x − = 3x Hướng dẫn 3.21 Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với √ √ √ 2x − 4x − 6x − + + =3 x x x Vế trái nhỏ thua Dấu đẳng thức xảy x = Bài toán 3.24 Cộng ước lương sau √ √ √ √ ( x + − x) + ( x4 + − x) + ( x + − x) = √ √ √ √ Viết lại x + x + x + − x = Khi ta có tốn sau √ √ √ √ Bài toán 3.25 x+ 4x+ 6x+341−x=3 √ √ Hướng dẫn 3.22 Vế trái phương trình lớn Dấu đẳng thức xảy x = Vậy x = nghiệm phương trình Cách Nhân ước lượng ta phương trình chứa Ví dụ nhân ước luợng ta có tốn giải phương trình √ √ √ 2x − 4x − 6x − = x3 64Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 Hướng dẫn 3.23 Với điều kiện x ≥ · Sau chia hai vế cho x ta thu √ √ √ 2x − 4x − 6x − =1 x x x Vế trái nhỏ thua Dấu đẳng thức xảy x = Nhân ước lương ta có tốn Bài tốn 3.26 Giải phương trình √ 2x − √ √ x( x + − x) =1 √ 2x − ≤ suy vế trái x x+ 1−x nhỏ băng Dấu đẳng thức xảy x = Đáp số x = nghiệm phương trình Hướng dẫn 3.24 Vì √ √ ≤ 1; 3.8.3 Xây dựng phương trình dựa theo bất đẳng thức Cauchy Từ bất đẳng thức (AB + CD)2 ≤ (A2 + C )(B + D2 ) dấu đẳng thức xảy "AD = BC " √ √ Ví dụ 3.14 Ta chọn cặp số A = 2, B = x + 1, C = √ , x + √ x D= x+1 Ta xây dựng phương trình√ √ √ 1 x x (2 √ + x + 1√ ) ≤ (8 + x + 1) + x+1 x+1 x+ x+1 √1 √ 2 suy √ ≤ 9+x x+1 Từ ta xây dựng tốn giải phương trình vơ tỷ sau Bài tốn 3.27 Giải phương trình √ √ √ 2 x+ √ = 9+x x+1 65Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 Hướng dẫn 3.25 Như học sinh biến đổi phương trình để áp dụng bất đẳng thức Cauchy √ cho hai cặp số A, √C B, D để rút 2 x √ dấu xảy √ =√ x+1 x+1 x+1 suy x = · Vậy x = nghiệm phương trình √ √ √ x Ví dụ 3.15 Từ cặp số A = 2, B = 2x + 1, C = √ , 2x + √ x+1 D=√ 2x + Tương tự ta xây dựng tốn giải phương trình vơ tỷ sau Bài tốn 3.28 Giải phương trình √ √ √ 2x √ + x + = 19 + 2x 2x + Hướng dẫn 3.26 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy căp số A,C B,D ta có dấu đẳng √ thức xảy√ra hay nghiệm phương trình nghiệm x = √ điều kiện x ≥ Bình phương hai phương trình √ 2x + x+1 √ 17 + 433 vế giải phương trình ta x = nghiệm 3.9 Xây dựng phương trình vơ tỷ phương pháp hình học Cho tam giác ABC có đường AD đường phân giác góc A, MB AB Aˆ = 2α, m ∈ AD, đặt AM = x M ∈ BC = · MC AC Ví dụ 3.16 Xét tam giác vng ABC vng A có AB = 4, AC = Gọi AD phân giác Aˆ Trên AD lấy điểm M, Đặt AM = x √ Trong tam giác AMC có CM = x2 − 2x + √ Trong tam giác AMB có BM = x2 − 2x Ta xây dụng tốn sau 66Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 Bài toán 3.29 (Dự bị Olympic 30-4 THPT Chuyên Tiền Giang năm 2007) Giải phương trình √ x2 − 3x + + √ x2 − 4x + 16 = Hướng dẫn 3.27 Khi với x < √ x2 − 3x + > √ x2 − 2x + 16 > phương trình vơ nghiệm Với x > ta có √ √ CM + BM = x2 − 3x + + x2 − 4x + 16 ≥ BC = Dấu xảy M √ trùng với D hay M chia BC theo tỉ số 12 k = ⇔ x = AD = · Ví dụ 3.17 Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, Aˆ = 120o , AD đường phân giác góc A Lấy M ∈ AD, đặt AM = x √ √ Khi ta có BM = x2 − 3x + 9, CM = x2 − 4x + 16, = 37 BC = + 16 − 2.3.4 − √2 √ √ Ta xây dựng phương trình x2 − 3x + + x2 − 4x + 16 = 37 Ta có tốn Bài tốn 3.30 Giải phương trình x2 − 3x + + x2 − 4x + 16 = √ 37 Hướng dẫn 3.28 Lập luận tương tự hai tốn ta có x < phương trình vơ nghiệm Với x > ta có √ √ √ BM + CM = x2 − 3x + + x2 − 4x + 16 ≥ BC = 37 Dấu xảy √ M trùng với D hay M chia BC theo tỉ số MB AB x2 − 3x + 12 = = ⇔√ = ⇔x= · MC AC x2 − 4x + 16 Ví dụ 3.18 Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 4, Aˆ = 60o , AD đường phân giác góc A Lấy M ∈ AD, đặt AM = x √ √ Khi ta có BM = x2 − 3x + 25, CM = x2 − 3x + 16, 67Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 √ 25 + 16 − 2.4.5 = 21 Ta xây dựng phương trình √ √ √ x2 − 3x + 25 + x2 − 3x + 16 = 21 Ta có tốn BC = Bài tốn 3.31 Giải phương trình √ x2 − 3x + 25 + √ √ x2 − 3x + 16 = 21 Hướng dẫn 3.29 Với x < ta có √ x2 − 3x + 25 > √ x2 − 3x + 16 > phương trình vơ nghiệm Xét x > dấu phương trình xảy √ √ MB = hay x2 − 3x + 25 = x2 − 3x + 16 MC √ 20 · Bình phương hai vế giải ta nghiệm phương trình x = 68Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 Kết luận Luận văn Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ giải vấn đề sau: - Hệ thống phương pháp giải phương trình vơ tỷ - Trình bày phương pháp giải biện luận phương trình vơ tỷ có chứa tham số - Đưa phương pháp xây dựng phương trình vơ tỷ Kết luận văn góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán trường phổ thơng giai đoạn 69Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 69 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2004, Bất đẳng thức, Định lý áp dụng, NXB Giáo Dục [3] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình bất phương trình mạng Internet [4] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục [5] Tạp chí tốn học tuổi trẻ [6] Các tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Đại Học Sư Phạm [7] Nguyễn Vũ Lương, 2008, Hệ phương trình phương trình chứa căn, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 70Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn