MỤC LỤC Phần mở đầu Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị 1.1 Nguồn gốc lý thuyết phổ 1.2 Phổ toán tử 1.3 Đại số Banach 1.4 Nhóm tuyến tính tổng qt A 10 1.5 Định lí Hahn-Banach 12 1.6 Định lí Liouvelle 15 1.7 Định lí Banach-Steinhauss 16 Chương 2: Phổ phần tử đại số Banach 18 Chương 3: Bán kính phổ 22 Phần kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 LỜI CẢM ƠN Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học Tiến sĩ TẠ NGỌC TRÍ thầy tận tình giúp đỡ nghiêm khắc hướng dẫn em để em hồn thành khóa luận Trong trình học tập, trưởng thành đặc biệt giai đoạn thực khóa luận,em nhận dậy dỗ ân cần, lời động viên bảo thầy cô Qua cho phép em bầy tỏ biết ơn chân thành đến thầy, giáo tổ giải tích, khoa toán trường ĐHSP Hà Nội Xin cảm ơn bạn nhóm chun đề “Giải tích lồi” người san sẻ kiến thức, hun đúc tâm cơng tác hiệu q trình thực khóa luận Em xin chân thành cám ơn! Hà Nội Ngày 01 tháng 05 năm 2012 SV thực LƯƠNG THẾ TỒN LỜI CAM ĐOAN Khóa luận nghiên cứu em hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy TẠ NGỌC TRÍ bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội Vì em xin cam đoan nội dung đề tài “ Phổ phần tử đại số Banach”khơng có trùng lặp với đề tài khác sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội Ngày 01 tháng 05 năm 2012 SV thực LƯƠNG THẾ TOÀN PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sau năm học đại học, mơn giải tích thực hút em môn dễ dàng tiếp cận, đối tượng giải tích đối tượng có tính chặt chẽ mang tính trừu tượng hóa cao Lý thuyết hàm giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt toán học toán học ứng dụng, nội dung phong phù đa dạng Do kiến thức lớp với lượng thời gian nên khó sâu nghiên cứu vấn đề giải tích hàm, với mong muốn tìm hiểu sâu mơn góc độ sinh viên sư phạm tốn pham vi khóa luận tốt nghiệp, với giúp đỡ thầy giáo tiến sĩ Tạ Ngọc Trí em xin mạnh dạn nêu lên hiểu biết đề tài “Phổ phần tử đại số Banach” Mục đích nghiên cứu Quá trình thực đề tài, giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu sắc mơn giải tích hàm, đặc biệt tìm hiểu sâu “Phổ phần tử đại số Banach” Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phổ phần tử đại số Banach bán kính phổ phần tử Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật phổ phần tử đại số Banach Các phương pháp nghiên cứu Phương pháp suy luận logic Phương pháp phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm chương Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phổ phần tử đại số Banach Chương 3: Bán kính phổ Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nguồn gốc lý thuyết phổ Mục đích phổ toán tử phát triển nhằn để hiểu cụ thể vấn đề đại số tuyến tính có liên quan tới cách giải phương trình tuyến tính khái niệm vô hạn chiều Vấn đề đại số tuyến tính trường số phức cách giải hệ phương trình tuyến tính Một cho (a) n x n ma trận (aij) số phức (b) n_chiều g = (g1, g2, , gn) số phức Và cách giải hệ phương trình tuyến tính a11 f1 + a12 f2 + + a1n fn = g1 (1.1) … an1 f1 + an2 f2 + + ann fn = gn Với f  ( f1 , f2 , , fn )  n Chính xác người ta muốn xác định (1.1) có cách giải tìm thấy cách giải chúng tồn Khoa học đại số tuyến tính nhấn mạnh vế trái (1.1) định nghĩa tốn tử tuyến tính f  Af không gian vectơ n_chiều £ n tồn cách giải (1.1) với g Sự tồn (1.1) nhất, lời giải (1.1) cho tất lựa chọn g tốn tử tuyến tính A khả nghịch điều liên quan tới việc tìm cách giải hệ (1.1) trường hợp hữu hạn chiều toán tử A khả nghịch hay xác phần tử định ma trận (aij) khác khơng Cịn trường hợp vơ hạn chiều găp nhiều khó khăn tốn tử khơng gian Banach vơ hạn chiều khơng có khái niệm phần tử định Việc giải (1.1) liên quan đến khái niệm giá trị riêng trường hợp hữu hạn chiều Lý thuyết phổ làm giảm lý thuyết giá trị riêng, xác giá trị riêng giá trị vectơ toán tử A xuất cặp (l , f ) với Af = l f f vectơ khác không £ n l số phức Nếu thay số phức l xét cách thiết lập V   n tất vectơ f Af = l f thấy Vl khơng gian tuyến tính £ n với cách chọn l khơng gian tầm thường {0}, Vl khơng tầm thường tốn tử A- l có phần tử khơng tầm thường hay toán tử A- l không khả nghịch Phổ s ( A) A định nghĩa tập hợp tất số   tập số thực số phức không chứa n phần tử Chý ý 1.1.1 Chúng ta phổ toán tử £ n số thực chứng minh quen thuộc việc liên quan đến hàm f (l ) = det( A- l 1) f đa thức với hệ số phức có số khơng điểm s ( A) sau thu hút định lý đại số Ví dụ1.1.2 Ví dụ cho Niels Henrik Abel (1823) Chọn số a khoảng mở đơn vị g hàm nhẵn khoảng (0,1) thỏa mãn g(a ) = Abel tìm kiếm hàm f mà x  ( x  y) f ( y)dy  g ( x) Trên khoảng a < x < ông viết cách giải sau f ( y)  sin   y g '( x )  ( y  x)2 dx 1.2 Phổ tốn tử Ký hiệu E khơng gian Banach phức, với toán tử E làm biến đổi giới hạn tuyến tính T : E ® E, B(E) ký hiệu tất khơng gian tốn tử E , lấy tốn tử A, B Ỵ B(E) để có kết tốn tử AB Ỵ B( E) ta định nghĩa phép nhân thỏa mãn luật kết hợp phân phối Và A(B + C) = AB + AC (A+ B)C = AC + BC Chúng ta viết để nhận dạng toán tử Định lý1.2.1 Với A Ỵ B(E) điều kiện sau tương đương y Ỵ E có x Ỵ E thỏa mãn Ax = y (1) Với (2) Có tốn tử B Ỵ B(E) thỏa mãn AB = BA = Chứng minh (1)  (2) Giả sử vectơ A khả nghịch biến đổi tuyến tính khơng gian E ta xét nghịch đảo B : E ® E tập hợp E Å E đồ thị có liên quan đến đồ thị A sau G(B) = {(x, Bx): x Ỵ E}= {(Ay, y): y Ỵ E) Khơng gian bên phải đóng E Å E A liên tục Do đồ thị B đóng theo nguyên lý đồ thị đóng B Ỵ B(E) Định nghĩa1.2.2 Cho A Ỵ B(E) A khả nghịch có tốn tử B Ỵ B(E) thỏa (1) mãn AB = BA = (2) Phổ s ( A) A tập hợp tất số phức l mà A- l không khả nghịch (3) Lập tập hợp r ( A) A phần bù r (A) = £ \ s (A) Ví dụ 1.1.2 phần trước, trình bầy với tốn tử khẳng định khác phổ Đối với ví dụ để xác định xem toán tử khả nghịch, người ta xác định vấn đề có hay khơng Ỵ s ( A) Các phổ quan trọng chúng bất biến gắn liền với toán tử Chú ý 1.2.3 Nhận xét phổ toán tử Chúng ta xác định phổ tốn tử T Ỵ B(E) bắt đầu, để có thơng tin xác điểm khác s (T ) Xét ví dụ 1.2.4 Giả sử có vectơ khác khơng x Ỵ E mà Tx = l x với số phức l trường hợp l gọi giá trị riêng (liên hệ với vetơ riêng x ) rõ ràng T - l khơng khả nghịch Do l Î s (T ) tập hợp tất giá trị riêng T tập hợp s (T ) gọi điểm phổ T (và viết s r (T ) ) Khi E hữu hạn chiều s (T) = (s r (T) nói chung khơng phải vậy.Thật có nhiều tốn tử khác phân tích khơng có điểm phổ Một loại điểm phổ xẩy T - l 1-1 khơng điều xẩy theo cách Hoặc phạm vi T - l khơng đóng E đóng khơng tất E Ví dụ 1.2.5 Xét thay đổi toán tử V xác định C [0,1] sau: x Vf (x)   f ( x )dx 0£ x £ Tốn tủ khơng khả nghịch thực tế ta thấy phổ xác {0} mặt khác ta dễ dàng kiểm tra V 1-1 nghĩa phạm vi khơng phải đóng phạm vi đóng khơng gian hàm giá trị thực C [0,1] 1.3 Đại số Banach Định nghĩa1.3.1 (Bao đại số) Bởi đại số vectơ nói đến bao đóng khơng gian A liên tục với tốn t nh phõn khng nh x, y ẻ A đ xy Ỵ A thỏa mãn Với a , b Ỵ £ x, y, z Ỵ A ta có (1) (a x+ b y)z = a.xz + b.yz x(a y + b z)z = a.xy + b.xz x ( yz ) = ( xy ) z (2) Với A bao đóng khơng gian vectơ, phép nhân A xác định xy = với x, y Khi đại số nhận diện yếu tố định Định nghĩa1.3.2 (đại số Banach,chuẩn đại số ) 10 Chứng minh định lí 1.5.2 Theo bổ đề tồn f1 : E ® ¡ tuyến tính thực cho f ( x) = f1 ( x) - if1 (ix), x Ỵ F Do f1  x   f1  x   f  x  nên f1 ( x ) £ p ( x ) với x Ỵ F theo ^ định lí 1.5.1 tồn phiến hàm tuyến tính thực f1 : E ® ¡ cho: ^ f1 |F = f1 | f1 ( x ) |£ p ( x ), " x Ỵ E ^ ^ ^ ^ Đặt f (x) = f 1(x) - i f 1(ix) f tuyến tính phức ^ ^ ^ f (x) = f 1(x) - i f 1(ix) = f (x), " x Ỵ F ^ ^ ^ iq Cho x Ỵ E với f ( x ) ¹ viết f ( x) = | f ( x) | e θ argument ^ f ( x ) Suy ^ - iq | f (x)|= e ^ ^ ^ - iq - iq ^ f (x) = f (e x) = f1(e x) - i f 1(ie- iq x) Do ^ ^ | f (x) |= f1(e- iq x) £ p(e- iq x) = p(x) ^ Vậy | f ( x ) |£ p ( x ) với x Ỵ E Hệ 1.5.4 Giả sử F không gian không gian định chuẩn (thực phức) f phiếm hàm tuyến tính liên tục F Khi tồn ^ phiến hàm tuyến tính liên tục f E cho 17 Ù ^ | f | F = f || f ||= || f || Chứng minh p( x) = || f || || x ||, x Ỵ E Đặt Khi p nửa chuẩn E thỏa mãn | f ( x) |£ p( x), " x Ỵ F ^ Theo định lí 1.5.2 tồn phiến hàm tuyến tính f Ù E cho Ù f |F = f || f ||£ p( x), " x Ỵ E Ù Suy || f ||£ || f || Ù Mặt khác ta có || f ||³ || f || Ù Do || f ||= || f || Hệ 1.5.5 Giả sử F khơng gian đóng khơng gian định chuẩn E n Ỵ E \ F tồn f Ỵ E ' để f | F = 0, || f ||= 1v f ( v ) = inf{|| v - y ||: y Ỵ F } Hệ 1.5.6 Giả sử tồn f Ỵ E ' E khơng gian định chuẩn x Ỵ E , x ¹ để f ( x ) = || x || || f ||= Nhận xét: Theo định nghĩa chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục Ta có || f ||= sup{| f ( x) |:|| x ||£ 1} Mặt khác Do hệ 1.5.6 ta lại có || x ||£ sup{| f ( x) |:|| f ||£ 1} sup{| f ( x ) |:|| f ||£ 1} £ sup{|| f || || x ||:|| f ||£ 1} £ || x || 18 Do ta có kết sau || x ||= sup{| f ( x ) |:|| f ||£ 1} 1.6 Định lí Liouville Định nghĩa 1.6.1 (hàm giải tích giá trị Banach) Giả sử D tập mở K f : D  E hàm D với giá trị không gian Banach E Ta nói (i) f giải tích 0  D n  f      an    0  ,    0    0 , D  , n0 an  E , n  (ii) f giải tích D giải tích taị   D Khi K  từ giải tích thay chỉnh hình Định lí 1.6.2 Giả sử f :£ ® E hàm chỉnh hình bị chặn M = sup{|| f (z) ||: z Ỵ £ } < + ¥ Khi f hàm Chứng minh Nếu f khơng phải hàm tồn ti z1 , z2 ẻ Ê f (z1) f (z2) Do hệ 1.5.6 tồn u Ỵ E ' để u( f (z1)) ¹ u( f (z2 )) u o f chỉnh hình Vì | ( u o f )( z ) |= | u ( f ( z )) |£ || u || || f ( z ) ||, " z Ỵ £ Nên sup{| ( f ( z ) |: z Î £ } £ || u || sup{|| f ( z ) ||: z ẻ Ê } < + Ơ Do u o f bị chặn Theo định lí Liouville hàm chỉnh hình vơ hướng u o f hàm hằng, nhiên u( f (z1)) ¹ u( f (z2 )) 19 Vậy f 1.7 Định lí Banach-Steinhauss E F hai không gian định chuẩn Họ Định nghĩa 1.7.1 Cho {fa }a Ỵ J Ì L(E, F ) gọi C(x) = sup{|| fa (x)||: a ẻ J}< +Ơ , " x Ỵ E (i) Bị chặn điểm (ii) Bị chặn sup{|| fa ||: a Ỵ J } < + ¥ Định lí 1.7.2 Giả sử E không gian Bannach F không gian định chuẩn Khi họ Hệ 1.7.3 Nếu Bannach L(E, F) bị chặn điểm bị chặn { f n } n ³ dãy ánh xạ tuyến tính từ khơng gian E vào khơng gian Bannach F hội tụ điểm tới ánh xạ tuyến tính f :E® F f ( x) = lim fn ( x), x ẻ E nđ Ơ Thỡ f liờn tục || f n || Hơn || f ||£ nlim đƠ Chng minh Vỡ vi mi x ẻ E dãy { f n ( x )} hội tụ nên {fn} Ì L(E,F) bị chặn điểm Do E Banach theo định lí ta có M = sup || f n ||< + ¥ n³ Suy || f ( x ) ||= lim || f n ( x ) ||£ || x || lim || f n ||Ê M || x ||, " x ẻ E nđ ¥ n® ¥ || f n || Vậy f l liờn tc v || f ||Ê nlim đƠ 20 Chương PHỔ CỦA MỘT PHẦN TỬ TRONG ĐẠI SỐ BANACH Trong phần A ký hiệu đại số Banach với đơn vị ||1||=1 Tập hợp lý thuyết tốn tử A đại số B ( E ) giới hạn tốn tử khơng gian Banach phức E , với phần tử x Î A số phức l sử dụng ký hiệu cách viết x - l thay x - l Định nghĩa 2.1 Với phần tử x Î A phổ  ( x )  {  tập x định nghĩa : x    A 1 } Chúng ta phát triển thuộc tính phổ tập Compact Định đề 2.2 Với x Î A , s ( A) tập đóng {Z  :| Z | || x ||} Chứng minh Bổ sung phổ cho bởi; 21 \  (x)  {  : x    A1} - Khi A mở f  Af liên tục, bổ sung s ( A) phải mở, để chứng minh khẳng định thấy khơng có số phức l với | l |> || x || thuộc s ( A) Thật với l công thức x - l = (- l )(1- l - 1x) Mà thực tế || l - x ||< Tức x - l khả nghịch nh lý 2.3 s (x) ặ vi mi x Î A Chứng minh Ý tưởng thấy s ( x) = Ỉ, A _giá trị hàm f (l ) = ( x - l )- hàm hồn tồn có giới hạn, tin ti khụng l đ Ơ Mt yờu cầu kết định lý Liouville mong muốn có kết luận chi tiết sau: - Với 0  ( x) , ( x - l ) định nghĩa tất l đủ gần l s ( x ) đóng thấy (2.1) [( x   )1  ( x  0 )1 ]  ( x  0 )2  0    lim Trong chuẩn tôpô A Thật Chúng ta viết (x - l )- - (l - l )- = (x - l )- [(x - l ) - (x - l )](x - l )- = ( x - l )( x - l )- ( x - l )- 22 Chia hai vế cho l - l -1 -1 sử dung kết (x- l ) ® (x- l ) l ® l để có kết Ngược lại Giả sử s ( A) rỗng chọn tùy ý gới hạn hàm tuyến tính r A vơ hướng có giá trị hàm f (l ) = r (( x - l )- 1) Được định nghĩa hầu khắp nơi dễ hiểu (2.1) f có phát sinh phức tạp hầu khắp nơi thỏa mãn f '(l ) = r (( x - l )- ) f tồn hàm Chú ý có giới hạn để biết điều cần phải cho || (x - l )- || l lớn Thật | l |> || x || Ta có || (x  )1 || || || (1 1x)1 || Áp dụng định lý 1.4 Ta có || ( x   )  || 1  |  | (1  || x || | |) |  |  || x || Và rõ ràng vế phải tiến tới khơng | l |® ¥ Do hàm l a || ( x - l ) - || không tồn vơ cực Ta có f tồn hàm có giới hạn mà theo định lý Liouville phải liên tục Giá trị số f không tồn vô cực Chúng ta kết luận r ((x - l -1 ) )= với   với giới hạn hàm tuyến tính r Định lý Hahn – Banach cho biết (x - l 23 -1 ) =0 với   Nhưng điều vô lý (x - l - ) nghịch (và ¹ A) Định nghĩa 2.4 Một đại số phận A (trên £ ) đại số phức tạp mặt kết hợp với đơn vị mà phần tử khác không A có khả nghịch Định nghĩa 2.5 Một đẳng cấu đại số Banach A B đẳng cấu q : A ® B cấu trúc đại số bản, đẳng cấu Tôpô có số dương a , b cho a || x ||£ || q ( x ) ||£ b || x || Với phần tử x Ỵ A Hệ 2.6 Bất kỳ phận đại số Banach đẳng cấu chiều với đại số Chứng minh Xác định  :  A q (l ) = l , θ rõ ràng đẳng cấu vào bao gồm tất tích vơ hướng cho thấy θ vào A , Tuy nhiên với phần tử x Ỵ A theo định lý Gelfand có số phức l Ỵ s ( x) x - l không khả nghịch,từ A đại số phận nên x - l phải x = q (l ) Có nhiều đại số phận toán học đặc biệt giao hoán Ví dụ 2.7 Có đại số tất hàm hợp r ( z ) = p( z) q( z ) biến phức Trong p , q đa thức với q ¹ đại số tất tổng    an z n Trong a n chuỗi vô hạn với an = n đủ lớn 24 Chương BÁN KÍNH PHỔ Trong phần A có nghĩa đại số Banach với đơn vị ||1|| =1 Chúng giới thiệu khái niệm bán kính phổ chứng minh tiệm cận hữu ích cơng thức Gelfand, Mazur Beurling Định nghĩa 3.1 Đối với x Ỵ A bán kính phổ x định nghĩa bởi: r( x) = sup{| l |: l Ỵ s ( x)} Chú ý 3.2 Khi phổ x xác định vị trí trung tâm bán kính ||x|| sau r ( x ) £ || x || tức   có r (l ( x )) = | l | r ( x)) Chúng ta yêu cầu hình thức sau ánh xa phổ Orem Nếu phần tử A f đa thức Sau (3.1) f (s ( x)) Í s ( f ( x)) 25 x Để xem điều thay l Ỵ s ( x) , từ z a f ( z ) - f (l ) đa thức có giá trị thức khơng z = l có g đa thức mà f ( z ) - f (l ) = ( z - l ) g ( z ) Vì f (x)- f (l )1= (x- l )g(x) = g(x)(x- l ) Là không khả nghịch Một nghịch đảo phải (tương ứng trái) f (x) - f (l )1 cho tăng lên bên phải (tương ứng trái) nghịch đảo x - l f (l ) Ỵ s ( f (x)) Do kết cuối Chúng ta ý với x Ỵ A ta có r ( x)  inf || x n || n (3.2) n1 Thật Với l Ỵ s (x) (3.1) bao gồm l n Ỵ s ( x n ) Do | l |n = | l n |£ r ( x n ) £ || x n || Và (3.2) kéo theo sau nghiệm thứ n Công thức sau Gelfand Mazur thiết lập trường hợp đặc biệt phát độc lập Beurling Định lý 3.3 Với x Ỵ A có lim || x n || n  r  x  n  Sự khẳng định tồn giới hạn r(x) giá trị Chứng minh n Từ (3.2) có r  x   liminf n || x || 26 n đủ chứng tỏ limsup || xn || n  r  x  (3.3) n  Chúng ta cần xét trường hợp x ¹ chọn   thỏa mãn | l |< r ( x) (khi Để r( x) = 0, l chứng minh (3.3) chọn tùy ý) ta cho thứ tự {(l x)n : n = 1, 2, } bao bọc Do Banach – steinhaus định nghĩa để với hàm đường bao tuyến tính r A , có | r ( x n )l n |= | r ((l x) n ) |£ M r < ¥ , n = 1, 2, Ở M r phụ thuộc vào r Cuối phụ thuộc vào hàm giá trị phức f định nghĩa dựa (có thể vơ hạn) tập {z  :| z | r ( x) } f ( z) = r ((1- zx)- ) Chú ý f tập giải tích,do dó với | z |< || x || khai triển (1 - zx ) chuỗi hội tụ + zx + (zx)2 + … Để đạt chuỗi lũy thừa biểu diễn cho f ¥ (3.4) f ( z) = å r ( xn ) z n n= Trên phương diện khác,xét vùng rộng R = {z : < | z |< r( x)} Chúng ta viết f ( z)   (( z 11  x) 1 ) z 27 Và từ hàm (2.1) rõ ràng f tập giải tích R, thêm với (3.4) có {z :| z |< r ( x)} nghĩa f xác định miền miền nhỏ {z :| z |< ||x||}, (3.4) khai triển chuỗi hội tụ cho f , từ f {z :| z |< r ( x)} tập giải tích miền lớn Do dó chuỗi (3.4) phải hội tụ tới f ( z ) với tất | z |< r( x) ,do đặt z = l (3.4) kết luận cuối chuỗi hội tụ Nó kéo theo r ( x n )l n dãy bao có giới hạn Chứng minh Bây chọn số phức thỏa mãn < | l |< r ( x ) ,với n n n yêu cầu có số M = Ml | l | || x || = || l x || £ M với n=1,2,… sau có nghiệm thứ n tìm M n lim sup || x ||  lim sup  n n  | | | | n Bằng cách chấp nhận | l n | tăng dần tới r ( x ) (1.13) Định nghĩa 3.4 Một phần tử x đại số Banach A (có hay khơng có đơn vị) gọi Quasinilpotent lim || x n || n  n Nghĩa Quasinilpotence đặc trưng đơn giản trạng thái phổ Hệ 3.5 Một phần tử x đại số Banach Quasinilpotent s ( x) = {0} Chứng minh 28 x Quasinilpotent r(x) = Û s (x) = {0} PHẦN KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận “phổ phần tử đại số Banach” nội dung khóa luận đề cập đến Cho biết phổ phần tử đại số Banach Tìm hiểu bán kính phổ Qua khóa luận thân em không lĩnh hội thêm tri thức giải tích hàm mà cịn hiểu biết định nghiên cứu khoa học, việc nghiên cứu sâu “phổ phần tử đại số Banach” góp phần bổ sung thêm vào kết quan trọng mơn giải tích hàm, mơn có tầm quan trọng đặc biệt tốn học toán học ứng dụng Do thời gian nghiên cứu có hạn khả thân cịn hạn chế nên đề tài em không tránh khỏi sai sót định, em mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên khoa tốn để đề tài hoàn thiện 29 Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phụ Hy (2006) Giải tích hàm NXB khoa học kỹ thuật Hà Nội Nguyễn Phụ Hy, Hoàng Ngọc Tuấn, Nguyễn Văn Tuyên (2007) Bài tập giải tích hàm NXB khoa học kỹ thuật Eberhard Zeidler (1988) Applind Functional Analysis Applications to Mathematical Phisics NXB Springer Verlag Germany Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm Tập II Nhà xuất giáo dục 2001 H.Schaefor Topological Vector Spaces.Spinger-Verlag 1971 A Short Course On Spectral Theory, William Arveson, Springer 30 31 ... Chương PHỔ CỦA MỘT PHẦN TỬ TRONG ĐẠI SỐ BANACH Trong phần A ký hiệu đại số Banach với đơn vị ||1||=1 Tập hợp lý thuyết tốn tử A đại số B ( E ) giới hạn tốn tử khơng gian Banach phức E , với phần tử. .. ? ?Phổ phần tử đại số Banach? ?? Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phổ phần tử đại số Banach bán kính phổ phần tử Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật phổ phần tử. .. s (x) = {0} PHẦN KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận ? ?phổ phần tử đại số Banach? ?? nội dung khóa luận đề cập đến Cho biết phổ phần tử đại số Banach Tìm hiểu bán kính phổ Qua khóa luận thân em