LỜI CẢM ƠN   Tơi xin trân trọng cám ơn ban chủ nhiệm khoa vật lý, các thầy giáo, cơ  giáo trong khoa và tổ vật lý lí thuyết – Trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã  tạo điều kiện giúp tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp này.  Đặc biệt, tơi xin trân trọng cám ơn thầy giáo Th.s: Hà Thanh Hùng đã  quan tâm và hướng dẫn tận tình cho tơi trong q trình hồn thành khóa luận.  Mặc dù đã cố gắng song khơng khỏi thiếu sót. Kính mong sự đóng góp  q báu từ phía các thầy cơ và các bạn trong khoa để khóa luận của tơi được  hồn chỉnh hơn.  Tơi xin trân trọng cám ơn!  Sinh viên        Nguyễn Phương Hiền                  LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan:    Khóa luận là kết quả của sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn của  thầy giáo hướng dẫn Th.s: Hà Thanh Hùng.   Nội dung khóa luận khơng trùng lặp với các cơng trình nghiên cứu  của các tác giả trước đã cơng bố.    Sinh viên  Nguyễn Phương Hiền                         MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG ĐỐI XỨNG TRONG VẬT LÝ 1.1. Sự đối xứng 1.2. Sự đối xứng trong lý thuyết trường 1.3 Sự đối xứng trong vật rắn 4  1.4 Đối xứng SU(3) 1.5 Đối xứng SU(2) 1.6. Đối xứng U(1) 1.7. Đối xứng SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y CHƯƠNG ĐỊNH LÝ CPT 2.1. Phép biến đổi C, P, T 10 2.1.1. Liên hợp điện tích ( Charge Conjugation – C ) 10 2.1.2. Nghịch đảo khơng gian ( Parity – P ) 10 2.1.3. Nghịch đảo thời gian ( Time Reversal – T ) 11  2.1.4. Bảng tóm tắt các luật biến đổi 12  2.2. Định lý CPT 13  2.3. Mơ hình chuẩn 13 CHƯƠNG ĐỊNH LÝ CPT TRONG MƠ HÌNH CHUẨN 33 3.1. Phép liên hợp điện tích 33 3.2. Phép nghịch đảo không gian 36 3.3. Phép nghịch đảo thời gian 37 3.4. Định lý CPT 42 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU   Lý chọn đề tài  Trong vật lý, lý thuyết trường lượng tử nghiên cứu rất nhiều về những  biến  đổi  đối  xứng.  Đối  xứng  có  vai  trị  cực  kỳ  quan  trọng  trong  tiến  hành  khám phá vật lý, bước đầu trong điện từ và sau đó lan rộng sang nhiều ngành  như khoa học vật liệu, vật lý chất đơng đặc ngưng tụ, vũ trụ hạt, vũ trụ thiên  văn kèm theo  những  ứng dụng  kỳ  diệu trong cơng nghệ liên đới đến  những  nghành này. Tính chất đối xứng là một đặc tính của hệ vật lý mà các đặc tính  đó bất biến dưới các phép biến đổi cụ thể, nó phản ánh các định luật bảo tồn  của hệ chẳng hạn như sự tồn tại của các trạng thái của hệ hay những quy tắc  lọc lựa cho các chuyển dời trong hệ. Tính đối xứng của một hệ vật lý có thể là  các đặc tính vật lý hay tốn học của hệ đó mà khơng bị thay đổi dưới các phép  biến đổi trong hệ tọa độ khơng gian vật lý hay trừu tượng.  Trong vật lý hạt, có 3 sự đối xứng cơ bản thể hiện tính chất của trường  lượng tử: tính chẵn lẻ, liên hợp điện tích và nghịch đảo thời gian. Ba đối xứng  này  đóng  vai  trị  hết  sức  quan  trọng  trong  lý  thuyết  trường  hiện  đại.  Các  lý  thuyết vật lý hiện đại đều dựa trên giả thiết rằng mọi hệ vật lý đều bảo tồn dưới  sự tác dụng kết hợp của cả 3 tốn tử đó, và nó được gọi là sự đối xứng CPT.  Định lý CPT này đã trở thành một trong những định lý cơ bản của nền  vật lý hiện đại, là cơ sở để hình thành nên các mơ hình lý thuyết hạt cơ bản.  Các  nghiên  cứu  về  sự  đối  xứng  CPT  luôn  là  một  trong  những  xu  hướng  nghiên cứu trọng tâm của các nhà vật lý cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm.  Xuất  phát  từ  tầm  quan  trọng  trong  việc  nghiên  cứu  vấn  đề này,  đồng  thời với khả năng và sở thích của bản thân, cũng với sự chỉ đạo tận tình của  thầy  giáo  Hà  Thanh  Hùng  nên  em  chọn  đề  tài“  Định  lý  CPT”  để  làm  khóa  luận tốt nghiệp.  1  Mục đích nghiên cứu Tìm  hiểu  về  mơ  hình  chuẩn,  các  tương  các  trong  mơ  hình  chuẩn  và  định lý CPT trong mơ hình chuẩn.  Nhiệm vụ nghiên cứu Nắm được sự biến đổi C, P, T trong các mơ hình chuẩn :   Phép nghịch đảo khơng gian   Liên hợp điện tích   Nghịch đảo thời gian   Đưa ra định lý CPT    Củng  cố và bồi  dưỡng  việc sử dụng phương tiện toán  học, các  phép  biến đổi, các toán tử… để giải quyết các vấn đề trong từng phần của đề tài.  Đối tượng phạm vi nghiên cứu Để  đạt  được  mục  đích  và  nhiệm  vụ  nêu  ra  ta  cần  xác  định  được  đối  tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu của nó:   Hạt và các phản hạt của nó   Biến đổi C, P, T trong các mơ hình chuẩn   Các bài tốn, ứng dụng cơ bản trong đề tài  Phương pháp nghiên cứu  Điều tra, tra cứu tài liệu  Tổng hợp, xử lý, khái quát, phân tích tài liệu thu được  Tổng hợp bài tập, giải bài tập và ứng dụng         2  NỘI DUNG CHƯƠNG ĐỐI XỨNG TRONG VẬT LÝ 1.1 Sự đối xứng Trong vật lý, tính chất  đối xứng là  một đặc tính của hệ vật lý mà các  đặc tính đó bất biến dưới các phép biến đổi cụ thể, nó phản ánh các định luật  bảo tồn của hệ chẳng  hạn  như  sự  tồn  tại  của  các trạng  thái  của  hệ  hay các  quy tắc  lọc  lựa cho các chuyển  dời trong  hệ. Tính đối xứng của  một hệ vật  lý  có  thể  là  các  đặc  tính  vật  lý hay  tốn  học  của  hệ  đó  (biểu  hiện  ra  bên  ngồi hay  nội  tại)  mà  khơng  bị  thay đổi dưới các phép biến đổi trong hệ tọa  độ khơng gian vật lý hay trừu tượng.  Trong lý thuyết lượng tử, các đặc tính của một hệ vật lý thường được  diễn  tả dưới  dạng  các  toán  tử.  Để  biết  được  một  toán  tử  A  có  phải  là  đối  xứng (bảo tồn) hay khơng, định lý Noether’s chỉ ra rằng tốn tử đó phải thoả  mãn hai điều kiện:  (a) AH = HA    (1.1.1)  (b) ∂A/∂t = 0    (1.1.2)  Trong đó H là tốn tử Hamilton, t là thời gian. Trong trường hợp tốn  tử A thoả mãn cùng  lúc  hai điều  kiện  trên  (giao  hốn  với  tốn  tử  Hamilton  và  không  phụ  thuộc tường  minh  vào  thời  gian),  đại  lượng  quan  sát  được  a  (trị riêng của tốn tử A) sẽ là một đại lượng bảo tồn hay hằng số.  Trong trường  hợp  hai  tốn  tử  A  và  B  không  phụ  thuộc  tường  minh  vào  thời  gian,  thoả  mãn  các  điều  kiện  AH  =  HA  và  BH  =  HB  thì  các  đại  lượng quan sát được tương  ứng  với  cả  A  và  B  đều  được  bảo  toàn  một  cách  đồng  thời.  Tuy  nhiên,  các điều  kiện  này  chỉ  là  điều  kiện  cần  nhưng  chưa  phải  là  điều  kiện  đủ  cho  việc  cùng tồn tại các đại lượng bảo toàn một cách  đồng thời.  3  1.2 Sự đối xứng lý thuyết trường Trong bối cảnh của cơ học cổ điển và lý thuyết trường liên tục biến đổi  đối xứng kết hợp với sự bảo tồn khối lượng. Những đối xứng liên tục cũng  được phân tích trong lý thuyết trường lượng tử. Trái với định lý CPT là những  biến  đổi  đối  xứng  rời  rạc.  Nó  có  thể  chỉ  ra  rằng  trong  vài  giả  thuyết  một  lý  thuyết trường lượng tử là đối xứng với sự kết hợp của phép nghịch đảo khơng  gian (P), phép liên hợp điện tích (C) và nghịch đảo thời gian (T). Trước khi đưa  ra định lý này ta đi tìm hiểu những đối xứng trong lý thuyết trường lượng tử.  Trong lý thuyết trường lượng tử,  một  phép biến đổi đối xứng  là phép  ánh xạ một – một của các trạng thái:  |  >     |  ' > = U(  )  (1.2.1)  và thỏa mãn 2 điều kiện:   Đầu tiên là xác suất chuyển đổi giữa 2 trạng thái  |  > và  |  > phải  được bảo toàn:  |  |  |  =  |  ' |  ' |         (1.2.2)  Theo định lý Wigner thì ánh xạ U phải là đơn nhất hoặc phản đơn nhất.   Thứ hai,  phương  trình  biến  đổi  của  các  trạng  thái  cũng  sẽ  biến  đổi  như sau:  |  | e iH ( t  t ) |  |  =  |  ' | e iH ( t t  ) |  ' |           (1.2.3)  Vì vậy nó được viết rằng ánh xạ U giao hốn với tốn tử Hamiltanian:  [U, H] = 0   (1.2.4)  1.3 Sự đối xứng vật rắn Trong vật rắn,  mạng tinh thể bao giờ  cũng  mang tính đối xứng, nó  là  một trong những đặc điểm quan trọng, thể hiện cả ở hình dáng bên ngồi, cấu  trúc bên trong cũng như thể hiện ra các tính chất. Tính đối xứng là tính chất  ứng với một biến đổi hình học, các điểm, đường, mặt tự trùng lặp lại, gồm có:  - Tâm đối xứng: bằng phép nghịch đảo qua tâm chúng trùng lại nhau  4  - Trục đối xứng: các điểm có thể trùng lặp nhau bằng cách quay quanh  trục một góc α, số ngun n = 2π/ α được gọi là bậc của trục đối xứng, chỉ tồn  tại các n = 1, 2, 3, 4, 6;  - Mặt đối xứng: bằng phép phản chiếu gương qua một mặt phẳng, các  mặt sẽ trùng lặp lại.  1.4 Đối xứng SU(3) Nhóm đối xứng SU(3) gồm các phần tử dạng:  U    e i a M a a 1    (1.4.1)  Trong đó  a là các thơng sơ thực, Ma các vi tử,  M a  M a , tn theo các  hệ thức giao hốn:  M a , M b   if abc M c    (1.4.2)  f abc  là hằng số cấu trúc của nhóm SU(3), hồn tồn phản xứng theo các chỉ  số:  f abc   f bac   f cba   f acb   Dưới tác dụng của phép biến đổi SU(3) các toán tử trường biến đổi theo  quy tắc tổng quát:    x    ' x   e  Chọn Ma =  a i  a M a a 1   xe i  a M a a 1   ,  a  là các ma trận Gell-Mann   0 0 1   0    0 0    i  2   i 0     0 0   1 0 3   1    0 0   0 1 4   0  1 0     0 i  5   0    i 0    0 0 6   0    0 0   0 0   7   0  i    0 i    1 0   8      3   0 2  5   (1.4.3)  và nó có các tính chất  a  a ;  Tra  ;  Tra b  2 ab ;  [a , b ]  2if abc c ; {a , b }  2d abc c   ab   Trong đó Tr(Trace) là ký hiệu lấy vết ma trận, dabc là hằng số cấu trúc  của nhóm SU(3) đối xứng theo các chỉ số, fabc là hằng số cấu trúc của nhóm  SU(3) phản đối xứng theo a,b,c.  Đạo hàm hiệp biến có dạng:         D   x       x   ig S Ga  M a  x    , Ma = a    (1.4.4)  Tám trường chuẩn  G a  x  , (a=1,2…8) là các gluon.  1.5 Đối xứng SU(2) Đối  xứng  SU(2)  được  mơ  tả  bằng  ngơn  ngữ  tốn  học  bởi  nhóm  biểu  diễn SU(2), với các phần tử có dạng:  U    e i  a I a a 1            (1.5.1)   Trong  đó  a là  các  thông  số  nhận  các  giá  trị  thực,  các  vi  tử  Ia  được  đồng nhất với toán tử spin đồng vị, hecmitic  I a  I a  và tuân theo các hệ thức  giao hoán  I a , I b   i abc I c        (1.5.2)  abc  là hằng số cấu trúc của nhóm SU(2), thường chọn Ia là 3 ma trận Pauli:   1 0  i 1  ,   b   ,   c            1  i    1 a   I1  I1 ,    I a  a (a  1,3)                   (1.5.3)    (1.5.4)   Dưới tác dụng của phép biến đổi đó thì các tốn tử trường biến đổi theo  quy tắc tổng qt:    x    ' x   e 6  i  a I a a 1   xe i  a I a a 1   (1.5.5)   1.6 Đối xứng U(1)   Trường vật chất là trường spinor    x  '  S  x  ,  '  x    S  ,  S  e iq  x        (1.6.1)  Dưới tác dụng của phép biến đổi đó thì các tốn tử trường biến đổi theo  quy tắc tổng qt:    x i   '  x   e iq  x   x      (1.6.2)  Trong đó q là điện tích của trường   Đạo hàm hiệp biến:  D  x      x   iqA  x     (1.6.3)  Lagrangian tự do của trường Dirac có dạng:  LD0  i  x       x   m  x   x      (1.6.4)    Trường vật chất là trường vơ hướng   Chỉ có trường vơ hướng phức mới tương tác với photon   '  x   e  iq  x   x      (1.6.5)  Trong đó q là điện tích của trường    Đạo hàm hiệp biến  D  x      x   iqA  x   x         (1.6.6)  1.7 Đối xứng SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y Dưới  tác  dụng  của  phép  biến  đổi  đối  xứng  đó  thì  các  tốn  tử  trường  biến đổi theo cơng thức tổng qt:  i  x    '  x   e  ig  M a a a 1            (1.7.1)   Trong  đó  a   là  các  tham  số  thực.  Với  Ma  €  (T(SU(3)C),  T(SU(2)L),  T(U(1)Y))  Đạo hàm hiệp biến có dạng:    D A    A  ig 5V a  a        A (1.7.2)  C  a C   a  D  AB      AB  ig 5V a   CB     AC                  (1.7.3)   B   A  7  CHƯƠNG ĐỊNH LÝ CPT TRONG MƠ HÌNH CHUẨN 3.1 Phép liên hợp điện tích Phép liên hợp điện tích C là đổi dấu điện tích. Do vậy C biến thế vector  Aµ(x) thành trừ nó  1 U  C  A  x U  C    A  x                               (3.1.1)  Đối với trường Dirac, C biến hạt thành phản hạt. Toán tử này chủ yếu  liên hợp Hermitic  1 U  C   x U  C   cC   x     (3.1.2)  Trong đó  c  là thừa số pha với độ lớn đơn vị và có thể đặt  c  1. Từ  địi hỏi phương trình Dirac bất biến theo C, ta có:    C * C 1               (3.1.3)  Dạng cụ thể của C suy ra từ dạng của các ma trận    Trong biểu diễn  Majorana.  Khi  mà     là  thuần  ảo  (  Majorana:   *    )  thì  C=1.  Cịn  trong  0  i  1  i biểu  diễn  Dirac  (Dirac:      ),  thì  C=    Sử  dụng  ,    i 0  1    (3.1.2),  ta  thu  được  tính  chất  của  song tuyến  fermion-  phản  fermion  theo  C  1 1 U  C   x   x U  C   U  C    x       x U  C        x        x      x      x      x    0T    x      (3.1.4)      x   x  Dấu bằng ở cuối dịng đầu do lấy C=1 cho biểu diễn Majorana. Dịng  thứ  hai  do  phản  giao  hốn  của  các  trường  fermion.  Dấu  bằng  cuối  cùng  do  trong biểu diễn Majorana    là ma trận phản xứng (  0T   ). Tương tự cho  các trường hợp khác:  33  1 U  C   x   x U  C     x   x     (vô hướng)  1 U  C   x  i 5  x U  C     x  i 5  x  (giả vô hướng)  1 U  C   x     x U  C     x     x  (vector)  1 U  C   x     5  x U  C     x    5  x  (giả vector)        (3.1.5)  Từ các kết quả trên, ta rút ra hệ quả sau: tương tác điện từ bất biến C.   Từ (3.1.1) và (3.1.5) suy ra  C Wintem   d xeA  x   x     x   Wintem                    (3.1.6)  do cả Aµ và dịng điện từ    đều đổi dấu theo C  Tương tác mạnh cũng bất biến dưới C. Ta xét biến đổi của dịng tương  tác mạnh SU(3)C  U  C  q  a T qU  C  1     q  a  q            2  (3.1.7)  Vì  1 , 3 , 4 , 6  và  8  đối xứng, còn  2 , 5  và  7  là phản xứng, cho nên  J a    a  J a    (3.1.8)  Trong đó                       1 a=1,3,4,6,và8       a  2,5 vaø   a   (3.1.9)  Để có bất biến, ta cần  Wint   d xg A J      1 Ta đặt                  U  C  Aa  x U  C      Aa  x     (3.1.10)  (3.1.11)  Đây chính là điều ta cần. Ta sẽ đi kiểm tra số hạng thuần túy chuẩn liên  quan tới cường độ trường gluon                                         G a   Aa   Aa  gf abc Ab Ac                     Với SU(3), các hằng số cấu trúc fabc  fabc ≠ 0 với abc = {123,147,156,246,257,345,367,458,678}  34  (3.1.12)  Ta thấy rằng fabc khác 0 chỉ khi nó là lẻ theo các chỉ số lẻ ( nghĩa là các  chỉ số: 2, 5 và 7). Điều này cho thấy  Ga  biến đổi y như  Aa  dưới C:  1 U  C  Ga  x U  C     a  Ga  x                        (3.1.13)  Điều này dẫn đến: QCD bất biến C     C  W QCD   d x  q    D  mq  q  Ga Ga   W QCD      i  Nhưng nó sẽ khác cho tương tác yếu vì chúng có cả dịng vertor và trục.   Ta xét dịng SU(2) cho lepton J i  e e  L    i  e   e      e e   1    i       e  e  (3.1.14)   Các dòng này biến đổi khác nhau:  U  C  J1,3 U (C ) 1     e e    1    1,3  e  e    U  C  J 2U (C ) 1   e e    1     e  e     (3.1.15)   Dựa trên sự biến đổi trên ta có sự biến đổi của  Wi   theo C  U  C Wi U (C ) 1    i Wi   x          1 với                       i    1 khi i  1,3 khi a    (3.1.16)   (3.1.17)  Các biến đổi này đảm bảo  Fi   và  Wi   có cùng một tính chất dưới C.  Như vậy:  W  C  W     W1  iW2   (3.1.18)   Như vậy ta có sự biến đổi dưới C của tương tác  J W      Tuy nhiên, thực nghiệm cho thấy có sự vi phạm  C Wweak int eractions  Wweak int eractions            35   (3.1.19)  3.2 Phép nghịch đảo không gian (Parity) Với phép biến đổi  p   p , lực Lorentz  F dp  q  E  vB    dt sẽ bị đổi dấu. Vì  p   p  và  r   r  và vận tốc cũng  v  v  Do đó E là lẻ  và  B là chẵn dưới Parity:  P P E  x, t     E   x, t    ;   B  x, t    B   x, t                   (3.2.1)  Dưới  toán  tử  unita  U(P),  tốn  tử  này  biến  thế  vector  Aµ (x,t)  sang  Aµ (-x,t).  Từ (3.2.1), ta có  1 U  P  A   x , t U  P       A    x , t    (3.2.2)   Trong đó      là viết tắt  1 khi µ       1 khi µ        (3.2.3)  Trường spin-zero vô hướng, S(x,t) và giả vô hướng P(x,t) tương ứng là  chẵn và là lẻ dưới Parity  1 U  P  S  x , t U  P   S   x , t  1 U  P  P  x, t U  P    P   x, t      (3.2.4)  Bằng địi hỏi phương trình Dirac bất biến theo Parity, ta có  1 U  P   x, t U  P    P 0   x, t           (3.2.5)   Trong đó   P  là thừa số pha cỡ   P   Vì ta chỉ quan tâm đến thừa  số fermion- phản fermion nên thừa số pha   P  khơng có ý nghĩa vật lý và có  thể cho bằng đơn vị  ( P  1)  mà khơng làm mất tính tổng qt.    0 0   ;  0 i   i ;  0 5                               Vì Nên:  1 U  P   x, t   x, t U  P      x, t    x, t    (vô hướng)  36  (3.2.6)  1 U  P   x, t  i 5  x, t U  P      x, t  i 5   x, t    (giả vô hướng)  1 U  P   x, t     x, t U  P         x, t      x, t    (vector)   (3.2.7)  1 U  P   x, t     5  x, t U  P         x, t     5   x, t    (giả vector)     Như vậy tương tác điện từ bất biến Parity:  P Wintem   d xeA  x   x     x   Wintem                    (3.2.8)  Nếu các trường spinor tách theo phân cực chirality:  P P  L  x, t     0 R   x, t   ;     R  x, t     0 L   x, t      (3.2.9)  Khi đó tương tác  yếu bất đối xứng chiral  sẽ  vi phạm  Parity.  Như  vậy  mơ hình chuẩn vi phạm Parity. Tuy nhiên dưới phép biến đổi Parity thì tương  tác mạnh là bất biến vì các quark trái và phải là tam tuyến của nhóm chuẩn  SU(3):  qL   ;        qR                                  (3.2.10)  Do trong mơ hình chuẩn GWS   L   ;       R                                    (3.2.11)  Đây chính là nguyên nhân của sự vi phạm Parity trong tương tác yếu.  3.3 Phép nghịch đảo thời gian Bất biến nghịch đảo thời gian (T) tức là tương ứng với chuyển động từ  A tới B cho phép chuyển động ngược lại theo thời gian từ B tới A. Khi đó, tất  cả xung lượng là nghịch cịn tọa độ khơng đổi. Như vậy, dưới phép biến đổi T  T p   p ;          F  dp T  F   dt  (3.3.1)  Theo cơ học lượng tử, sự thay trạng thái đầu và trạng thái cuối bởi toán  tử U(T), ứng với nghịch đảo thời gian là tốn tử unita với  U(T) = V(T)K    (3.3.2)  Trong đó V(T) là tốn tử unita và K lấy liên hợp phức tất cả số c. Để  hiểu rõ điều này ta xét phương trình Schrodinger. Từ  37  i    x, t   H  x, t     t (3.3.3)  Ta có  *  x,t   thỏa mãn phương trình  i  *   x, t   H * *  x, t      t (3.3.4)  Do  vậy,  nếu  Hamintonian  là  thực  (H*=H)  khi  đó   *  x,t    cũng  là  nghiệm của phương trình Schrodinger.  Như vậy  trong cơ học lượng tử, tính  chất thực của Hamintonian liên quan tới sự nghịch đảo thời gian. Ta có  U T  | U T    |      (3.3.5)  Như  vậy,  nếu  T  là  đối  xứng  tốt,  thì  với  rã  A  BC   sẽ  có  tổng  hợp  BC  A   Chính xác hơn, nếu nghịch đảo thời gian là đối xứng tốt, thì với  yếu  tố  của  S  ma  trận  S fi   sẽ  có  S f i ,  trong  đó  các  trạng  thái  i , f   có  xung  lượng   p  theo hướng ngược với i,  f   S fi  out f | i in in U T  i | U T  f out  out i | f in  Si f      (3.3.6)  Cuối cùng, nếu nghịch đảo thời gian là đối xứng tốt thì  U T  | f out | f in  ;      U T  | i in | i out        (3.3.7)  Ta  thêm  nhận  xét  về  tính  thực  của  Hamintonian  để  có  phương  trình  Schrodinger. Nó khơng đúng khi có spin. Khi đó cần thêm tốn tử V(T) trong  định nghĩa của U(T). Chính xác hơn ta có  1 V T  H *V T   H                                      (3.3.8)  Khi khơng có spin V(T) chính bằng 1, nhưng có spin nó cho ta bất biến  T. Ta minh họa nó bằng tương tác spin quỹ đạo trong vật lý hạt nhân  H S O   L                                                (3.3.9)  Với    là hằng số thực nào đó. Vì  L  r   , nên  i H * S O   * L*   * L      38   (3.3.10)  * Phương trình  trên khơng giống  (3.3.9) vì   2*     nhưng   1,3   1,3   Tuy nhiên, do   2 *    và sử dụng  V T     sẽ đảm bảo rằng  1 V T  H S*0V T   H S O      (3.3.11)  Nó phản ảnh rằng, nghịch đảo thời gian khơng chỉ đổi  L   L  mà còn       Trong  lý  thuyết  trường,  ta  dễ  dàng  thu  được  quy  luật  biến  đổi  của  trường điện từ theo trường cổ điển. Vì lực Lorentz bất biến theo T  F dp T  q  E  vB    F        dt  (3.3.12)  Suy ra E là chẵn và B là lẻ theo T. Theo thế vector ta có  1 U T  A  x, t U T       A  x, t      (3.3.13)  Đối với trường spin-1/2 ta có  1 U T   x, t U T   T T  x, t       (3.3.14)  Với T là thừa số pha thỏa mãn T   và U(T) là liên hợp phức tất cả số  c. Để thỏa mãn phương trình Dirac, ma trận T phải tuân theo  T  0*T 1   (3.3.15)   T  i*T 1   i              Như  trường  hợp  liên  hợp  điện  tích  C,  dạng  của  ma  trận  T  cũng  phụ  thuộc vào ma trận    Trong biểu diễn Majorana   *    , ta có  T   0     (3.3.16)  Từ (3.3.14) và (3.3.16), dễ dàng thu được:  1 U T   x, t   x, t U T     x, t   x, t          (vô hướng)  1 U T   x, t  i 5  x, t U T     x, t  i 5  x, t       (giả vô hướng)  1 U T   x, t     x, t U T        x, t     x, t      (vector)   (3.3.17)  1 U T   x, t     5  x, t U T        x, t     5  x, t    (giả vector)      39  Kết hợp với (3.3.13) và tính thực của hằng số tương tác e, ta có sự bất  biến của tương tác điện từ theo T  T Wintem   d xeA  x   x     x   Wintem          (3.3.18)  Dễ dàng thấy rằng tương tác chuẩn trong QCD và SU(2)×U(1) điện yếu  cũng bất biến T. Trong SU(3) chỉ  2 ,  5  và  7  là ảo và trong SU(2) chỉ   2 là  ảo, nên dễ dàng kiểm chứng tính chất bất biến T (hằng số g là thực)  1 U T  Aa  x, t U T        a  Aa  x, t        (SU(3))  1 U T Wi   x, t U T        i Wi   x, t        (SU(2))  1 U T  Y   x, t U T       Y   x, t             (U(1))       (3.3.19)  Khác  với  C,  biến đổi  T  tác động  lên  dòng  vector và  giả  vector  giống  nhau. Từ (3.3.17) và (3.3.19) ta suy ra  SM SM T Wgauge  Wgauge int eractions int eractions       (3.3.20)   Tuy  nhiên  mẫu  chuẩn  có  thể  tương  tác  vi  phạm  T  ở  phần  hạt  Higgs.  Khác với tương tác chuẩn, tương tác của trường Higgs khơng cần phải thực và  như vậy cho phép có tương tác vi phạm T. Xét lưỡng tuyến Higgs              (3.3.21)   Trường Higgs vơ hướng tự tương tác cho phá vỡ SU(2)×U(1), chỉ gồm  các hệ số thực vì ta phải địi hỏi thế Higgs là Hermitic. Như vậy  v2   V          V        2  (3.3.22)  dẫn đến cả    và  v  là các tham số thực.  Tương tác Yukawa của    với các quark có thể phức. Với i, j là chỉ số  thế hệ ta có thể viết:  LYukawa   ij  u , d  Li uRj  ijd  u , d  Li d Rj  h.c    40  (3.3.23)    i 2 *  và ma trận   ij  ijd  là ma trận phức bất kỳ. Sau khi  Trong đó   phá vỡ đối xuống (SU(2)×U(1)em) chỉ cịn một boson Higgs H và trung bình  chân khơng v:                                      v  H                                               (3.3.24)  0  Như vậy tương tác Yukawa (3.3.23) sinh khối lượng cho quark có điện  tích 2/3 và -1/3  M iju ,d  u ,d  ij v      (3.3.25)  Các ma trận này được chéo hóa bởi bi-unita  U  u ,d L   u ,dU Ru ,d  M u ,d      (3.3.26)  Các ma trận  M u , d  có trị riêng mi thực tương ứng với khối lượng vật lý  của  các  quark.  Và  các  biến  đổi  bi-unita  trên  các  quark  chéo  hóa  tương  tác  Yukawa do vậy M và    là liên hệ tuyến tính. Như vậy phần Yakawa cịn lại  có tương tác đơn giản   H  x     LeffYukawa   mi qi  x  qi  x  1  v  i  (3.3.27)   Trường H(x,t) dưới biến đổi chính tắc T cho  1 U T  H  x, t U T   H  x, t         (3.3.28)  Phương trình (3.3.27) cũng là tương tác bất biến T. Tuy nhiên bản chất  phức của tương tác Yakawa ban đầu sẽ cho ta tương tác vi phạm T.  Ta  dễ  dàng  hiểu  được  điều  này,  các  biến  đổi  bi-unita  trên  các  quark  chéo hóa  ma trận  khối  lượng  mà đi vào dịng điện.  Trước các  biến đổi này,  tương tác có dạng  LCC  e W J 0  W J 0      2 sin W 41  (3.3.29)  Với            J         d1      u1 , u2 , u3    1   1 d          d   3  Và                               J 0   J 0        (3.3.30)  (3.3.31)  Rõ ràng tương tác này bất biến T. Tuy nhiên sau biến đổi bi-unita trên  các trường quark để chéo hóa M (trong pt.(3.3.36)), dịng mang điện  J 0  trở  thành  J d    u , c , t    1     VCKM  s     b     (3.3.32)  Trong đó ma trận trộn quark Cabibbo-Kobayashi-Maskawa  VCKM  U Lu U Ld       (3.3.33)  Là ma trận unita vì  U Lu  và  U Ld  cũng thế. Nói chung VCKM là phức và sự  hiện diện của nó trong dịng  J   (và  J  ) có thể dẫn tới vi phạm T.  Đối với ba thế hệ quark và lepton ta dễ dàng chỉ ra rằng ma trận VCKM  chỉ có một pha vật lý    Tất cả các pha khác có thể bị làm mất đi bởi phép  quay và định nghĩa lại các trường quark. Nếu    , khi đó dịng mang điện  là tương tác vi phạm bất biến T  LCC  x, t   e T W J    W J      LCC  x, t       2 sin W (3.3.34)  và mẫu chuẩn cho vi phạm T quan sát được.  3.4 Định lý CPT Nếu tự nhiên được mơ tả bởi lý thuyết trường định xứ bất biến Lorentz  trong đó có mối liên hệ spin với thống kê, khi đó sẽ có định lý sâu sắc. Đó là  định lý CPT Tác động của lý thuyết luôn luôn bất biến dưới biến đổi tổng hợp C, P, T:  CPT W  W    42  (3.4.1) Ta không chú ý cách chứng minh chặt chẽ mà chỉ cần đưa ra cách áp  dụng cụ thể.  Với tương tác điện từ. Ta đi sử dụng các phương trình (3.1.1), (3.1.5),  (3.2.2), (3.2.7), (3.3.13) và (3.3.17) ta có:    CPT                     A  x, t    1           A   x, t                          J em    x, t     x, t                     1           J em   x, t    J em   x, t       CPT     (3.4.2)                   Dưới phép biến đổi CPT, tương tác điện từ là bất biến  CPT Wintem   d xeA  x  J em  x   Wintem             (3.4.3)   em Điều này là hiển nhiên vì  Wint  bất biến riêng lẻ C, P và T.  Với lý thuyết điện yếu. Cả C và P bị vi phạm do tương tác dịng trung  hịa, trong khi đó cả T và CPT thì bảo tồn. Thật vậy  WintNC  e d 2cos sin  W  xZ  J NC            (3.4.4)   W  Dòng trung hòa   J NC   J 3  sin W J em   V   A      (3.3.5)   Chứa  cả  phần  vector  và  giả  vector.  Parity  và  liên  hợp  điện  tích  bị  vi  phạm trong (3.3.4) vì dịng vector và giả vector biến đổi trái ngược nhau theo  từng biến đổi này. Cụ thể:  Bảng 3.1: Bảng biến đổi C, P, T Nghịch đảo khơng gian  Liên hợp điện tích  Nghịch đảo thời gian  P C T Z   x, t       Z   x, t    Z   x, t   Z   x, t    Z   x, t       Z   x, t    P C T V   x, t      V   x, t    V   x, t   V   x, t    V   x, t      V   x, t    P A  x,t       A  x,t    C A  x, t    A  x, t      43  T A  x, t       A  x, t    Sử dụng ba phương trình trên ta thấy tương tác bảo tồn CPT  CPT Z   x, t    Z    x , t    CPT V   x, t   V    x, t             (3.3.6)   CPT A  x, t   A   x, t    Theo trên ta còn thấy CP và T là tương đương đối với tác động dòng  trung hòa  CP T WintNC  WintNC  WintNC   (3.3.7)   Ta xét sự vi phạm T của tương tác dòng mang điện  Wubcc  e d x VubW u   1    b  Vub*W b   1    u     2sW   (3.3.8)   Trong đó  W  W1  iW2                                   (3.3.9)  Do dưới phép biến đổi T:  T W1  x, t      W1  x, t    T W2  x, t      W2  x, t            (3.3.10)  Và chú ý đến thừa số i trong (3.3.9), ta có  T W  x, t      W  x, t       (3.3.11)   Mặt khác dưới T, dòng u-b biến đổi như sau  T u  x, t    1    b  x, t       u  x, t    1    b  x, t    T b  x, t    1    u  x, t       b  x, t    1    u  x, t     (3.3.12)  cc Như vậy quả thực tác động  Wub  không bất biến T  T Wubcc  Wubcc  e d x Vub*W u   1    b  VubW b   1    u (3.3.13)      2sW 44  cc Sự biến thiên của các thành phần khác nhau trong  Wub  dưới CP là khác  nhau theo từng phần so với dưới T. Ví dụ:  CP W1  x, t       W1   x, t    CP W2  x, t      W2   x, t     (3.3.14)    Ta còn chưa liên hợp phức i trong  W , nên  CP W  x, t       W   x, t      (3.3.15)   Tương tự ta thấy dưới CP, dòng u-b biến đổi như sau                       CP u  x, t    1    b  x, t       b   x, t    1    u   x, t    CP b  x, t    1    u  x, t       u   x, t    1    b   x, t        (3.3.16)            cc Kết quả cuối cùng,   Wub giống như trong trường hợp biến đổi T  CP Wubcc  Wubcc  e d xVubW b   1    u  Vub*Wu  1    b (3.3.17)    2sinW   Ta có thể thu được định lý CPT: bằng cách kết hợp quy luật biến đổi  với sự Hermitic của Largangian chứa tốn tử O(x) và c-số a  L  x   aO  x   a *O   x                     (3.3.18)   Dưới T, tốn tử khơng đổi ngồi trừ phép thay đổi t bởi –t nhưng c-số  là liên hợp phức  T T O  x, t    O  x, t  ,   a   a*                 (3.3.19)   Mặt khác dưới CP tốn tử O thay bởi liên hợp Hermitic nhưng c - số a   CP CP khơng đổi:                  O  x, t   O   x, t  ,  a  a           (3.3.20)             Kết hợp hai tác động T và CP làm đổi chỗ các số hạng trong (3.3.19):  CPT L  aO  x   a *O   x   L   x   a*O    x   aO   x           (3.3.21)   dẫn tới tác động bất biến:    CPT W   d xL  x   W 45    (3.3.22) KẾT LUẬN Nhờ  sự  quan  tâm  hướng  dẫn  tận  tình  của  thầy  giáo  Th.s  Hà  Thanh  Hùng trong khn khổ của khóa luận tốt nghiệp em đã trình bày được sự biến  đổi C, P, T trong mơ hình chuẩn. Dưới các phép biến đổi thì:  - Với phép nghịch đảo khơng gian:  + tương tác điện từ bất biến.  + tương tác  yếu cũng bất biến.  - Với phép liên hợp điện tích:  + tương tác điện từ bất biến.  + tương tác mạnh bất biến.  Nhưng thực nghiệm lại cho thấy có sự vi phạm.  - Với phép nghịch đảo thời gian:  + tương tác điện từ bất biến.  + tương tác yếu cũng bất biến.   Đưa ra định lý CPT dưới dạng tổng qt và áp dụng cụ thể vào mơ  hình chuẩn.  Củng  cố  và  bồi  dưỡng  việc  sử  dụng  phương  tiện  tốn  học,  các  phép  biến đổi, các tốn tử… để giải quyết các vấn đề trong từng phần của đề tài.  Dù đã cố gắng nhưng cũng khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Em  mong được sự đóng góp của q thầy cơ và các bạn. Xin trân thành cảm ơn!  Sinh viên  Nguyễn Phương Hiền              46  TÀI LIỆU THAM KHẢO   [1]   C. Itzykson and J. B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, New  York, 1980 .  [2]   L.  H    Ryder,  Quantum  field  theory,  2nd  edition,  Cambridge University  Press, 1998.  [3]   K. Huang, Quarks, Leptons and Gauge Fields, World Scientific, 1982.  [4]   R.  D.  Peccei,  Discrete  and  Global  Symmetries  in  Particle  Physics  [arXiv:hep-ph/9807516]  [5]   Hồng Ngọc Long, Cơ sở Vật lí hạt cơ bản, NXB Khoa học tự nhiên và  cơng nghệ 2006                  47  ... 3.4 Định lý CPT Nếu tự nhiên được mơ tả bởi? ?lý? ?thuyết trường? ?định? ?xứ bất biến Lorentz  trong đó có mối liên hệ spin với thống kê, khi đó sẽ có? ?định? ?lý? ?sâu sắc. Đó là  định? ?lý? ?CPT Tác động của? ?lý? ?thuyết ln ln bất biến dưới biến đổi tổng hợp C, P, T: ... (2.1.4.2)   2.2 Định lý CPT Nếu tự nhiên được mơ tả bởi? ?lý? ?thuyết trường? ?định? ?xứ bất biến Lorentz  trong đó có mối liên hệ spin với thống kê, khi đó sẽ có? ?định? ?lý? ?sâu sắc. Đó là  định? ? lý? ? CPT.   Tác ... Các? ?lý? ?thuyết? ?vật? ?lý? ?hiện đại đều dựa trên giả thiết rằng mọi hệ? ?vật? ?lý? ? đều bảo tồn dưới sự tác dụng kết hợp của cả ba tốn tử đó, nó được gọi là  sự đối xứng? ?CPT.  Nói cách khác,? ?định? ?lý? ?CPT? ?địi hỏi