Bài tập Đại số tuyến tính - Chương 3

Bài tập Đại số tuyến tính - Chương 3 trình bày các bài tập phép biến đổi tuyến tính, không gian Imf- Kerf - ma trận của phép BĐTT, trị riêng - véc tơ riêng, ma trận của Phép BĐTT trong cơ sở gồm các VTR, chéo hóa ma trận, chéo hóa ma trận...

Phép biến đổi tuyến tính

Bài 1: Chứng minh f : R2 → R2, f (x , y ) = (x + y , 2x − y ) là một phép biến đổi tuyến tính

Bài 2: Chứng minh f : P2[x ] → P2[x ],

f (p(x )) = f (ax2+ bx + c) = p0(x )(x + 1) là 1 phép biến đổi tuyến tính

Không gian Imf- Kerf - ma trận của phép BĐTT

Bài 3: Cho f : R3 → R3, f (x , y , z) = (4x − 2y + 2z, 2x − y + z, z) là một phép biến đổi tuyến tính

a)Tìm Imf, Kerf

b) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc E

Bài 4: Chứng minh f : P2[x ] → P2[x ],

f (p(x )) = f (ax2+ bx + c) = p00(x )(x + 1)

a) Tìm Imf, Kerf

b) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc E

Trị riêng- Véc tơ riêng

Bài 5: Cho f : R2 → R2, f (x , y ) = (x + 3y , 3x + y ) là một phép biến đổi tuyến tính

a) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc

b) Tìm trị riêng, véc tơ riêng của f

c) Viết cơ sở B gồm các véc tơ riêng của f , tìm [f ]B

d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang cơ sở B

Ma trận của Phép BĐTT trong cơ sở gồm các VTR

Bài 6 Cho f : R3 → R3, f (x , y , z) = (4x + 5y , 5x + 4y , 6z) là một phép biến đổi tuyến tính

a) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc

b) Tìm trị riêng, véc tơ riêng của f

c) Viết cơ sở B gồm các véc tơ riêng của f , Tìm [f ]B

d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang cơ sở B

e) Viết biểu thức liên hệ giữa [f ]B, [f ]E

Bài 7:

Cho f : R2 → R2, f (1, 1) = (7, 1), f (1, −1) = (−2, 2)

a) Tìm trị riêng, véc tơ riêng của f

b) Tìm Imf , Kerf

Chéo hóa ma trận

Bài 8:

Cho f : P2[x ] → P2[x ], f (1) = 2 − x , f (x ) = −1 + 2x , f (x2) = 1 − x + x2 a) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc E = {1, x , x2}

b) Tìm Imf , Kerf

c) Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của f

d) Ma trận [f ]E có chéo hóa được không?

Bài 9:

Cho f : R3 → R3, [f ]B =







, trong đó

B = {b1 = (1, 1, 0), b2= (0, 1, 1), b3 = (0, −1, 2) là 1 cơ sở của R3

a) [f ]B có chéo hóa được không?

b) Tìm f (x , y , z)