Lý thuyết Graph ứng dụng Một kết lý thuyết đồ thị (graph) xuất báo Leonhard Euler Bảy cầu Königsberg, xuất năm 1736 Bài báo xem kết topo hình học, tức là, khơng phụ thuộc vào độ đo Nó diễn tả mối liên hệ sâu sắc lý thuyết đồ thị tôpô học Năm 1845, Gustav Kirchhoff đưa Định luật Kirchhoff cho mạch điện để tính điện cường độ dòng điện mạch điện Năm 1852 Francis Guthrie đưa toán bốn màu vấn đề liệu với bốn màu tơ màu đồ cho khơng có hai nước biên giới tô màu Bài toán xem khai sinh lý thuyết đồ thị, giải sau kỉ vào năm 1976 Kenneth Appel Wolfgang Haken Trong cố gắng giải toán này, nhà toán học phát minh nhiều thuật ngữ khái niệm tảng cho lý thuyết đồ thị Năm 1933 nhà toán học Dénes Kőnig xuất sách giáo khoa đồ thị phát biểu định lí Kőnig tiếng Năm 1959 xuất sách The Theory of Graphs and its Applications coi sách giáo khoa thứ vấn đề graph Mặc dù Lý thuyết đồ thị khoa học phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Đặc biệt khoảng vài mươi năm trở lại đây, với đời máy tính điện tử phát triển nhanh chóng Tin học, Lý thuyết đồ thị quan tâm đến nhiều Đặc biệt thuật tốn đồ thị có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: Mạng máy tính, Lý thuyết mã, Tối ưu hố, Kinh tế học v.v Chẳng hạn trả lời câu hỏi: Hai máy tính mạng liên hệ với hay không ?; hay vấn đề phân biệt hai hợp chất hố học có cơng thức phân tử lại khác công thức cấu tạo giải nhờ mơ hình đồ thị Hiện nay, môn học kiến thức sở mơn khoa học máy tính Trong toán học tin học, lý thuyết đồ thị nghiên cứu tính chất đồ thị Một cách khơng thức, đồ thị tập đối tượng gọi đỉnh (hoặc nút) nối với cạnh (hoặc cung) Cạnh có hướng vô hướng Đồ thị thường vẽ dạng tập điểm (các đỉnh nối với đoạn thẳng (các cạnh) Đồ thị biểu diễn nhiều cấu trúc, nhiều toán thực tế biểu diễn đồ thị Ví dụ, cấu trúc liên kết website biểu diễn đồ thị có hướng sau: đỉnh trang web có website, tồn cạnh có hướng nối từ trang A tới trang B A có chứa liên kết tới B Do vậy, phát triển thuật toán xử lý đồ thị mối quan tâm khoa học máy tính Cấu trúc đồ thị mở rộng cách gán trọng số cho cạnh Có thể sử dụng đồ thị có trọng số để biểu diễn nhiều khái niệm khác Ví dụ, đồ thị biểu diễn mạng đường giao thông, trọng số độ dài đường Một cách khác để mở rộng đồ thị quy định hướng cho cạnh đồ thị (như trang web, A liên kết tới B, B không thiết liên kết tới A) Loại đồ thị gọi đồ thị có hướng Một đồ thị có hướng với cạnh có trọng số gọi lưới Trong năm gần đây, vấn đề đồ thị đưa vào áp dụng nhiều toán tổ hợp thi học sinh giỏi (Quốc gia quốc tế) Theo xu hướng quốc tế, vấn đề tổ hợp nói chung vấn đề đồ thị nói riêng cần quan tâm phát triển mạnh nữa, tạo tiền đề tốt cho học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi Trong chun đề chúng tơi trình bày lý thuyết từ đầu phương pháp đồ thị (các khái niệm kết quả) số phương pháp áp dụng vào giải toán thi học sinh giỏi Định nghĩa mở đầu Định nghĩa Một graph (hay đồ thị) tập đỉnh cạnh nối số đỉnh với Kí hiệu G  V , E  với V tập đỉnh E  V  V tập cạnh Ví dụ: Có 11 graph khác với tập đỉnh có phần tử Biểu diễn graph hình vẽ bên Định nghĩa Hai đỉnh gọi kề có cạnh nối đỉnh Kí hiệu cạnh nối đỉnh A, B  AB  , nói chung  AB  khác  BA , ta coi cạnh ta có graph vơ hướng, coi chúng khác ta có graph có hướng Có thể tồn cạnh nối điểm với nó, cạnh gọi khuyên Có thể tồn nhiều cạnh nối điểm phân biệt, cạnh gọi cạnh kép Một graph đơn khơng có khun khơng có cạnh kép Các tốn ta gặp chủ yếu graph đơn Định nghĩa Một graph đầy đủ với n đỉnh, kí hiệu K n , graph mà đỉnh có cạnh nối chúng, có tất Cn2 cạnh Ví dụ : K4 K5 Định nghĩa Với U tập tập đỉnh, kí hiệu G U  graph G, thu ta xóa tất đỉnh nằm ngồi U, giữ lại cạnh mà đầu mút thuộc U Các định nghĩa kết có giả thiết graph đơn vơ hướng Bậc đỉnh Định nghĩa Kí hiệu d  v  deg  v  cho bậc đỉnh v, số cạnh mà v đầu mút Một khuyên tính lần cho đỉnh Một điểm gọi chẵn có bậc chẵn gọi lẻ có bậc lẻ Ví dụ: Graph bên có d  v1   4, d  v2   6, d  v3   1, d  v4   3, d  v5   Kết Trong graph có nhiều đỉnh ln có đỉnh có bậc Chứng minh Xét G V , E  có n đỉnh, bậc đỉnh số tự nhiên nhỏ n, không tồn đỉnh mà bậc chúng tương ứng n  (Có đỉnh bậc n  có nghĩa nối với tất đỉnh khác nên khơng đỉnh bậc 0) Nếu khơng tồn đỉnh bậc bậc đỉnh nhận tất giá trị 0,1,2, , n  , mâu thuẫn với nhận xét Ta có điều chứng minh Kết Trong Graph vô hướng G tùy ý tổng bậc tất đỉnh gấp đôi số cạnh Graph Chứng minh: Trong graph tổng bậc đỉnh graph cạnh tính hai lần hai đỉnh Do tổng gấp đôi số cạnh graph Hệ 1: Trong Graph vô hướng G tùy ý số đỉnh bậc lẻ số chẵn Chứng minh: Theo định lý tổng bậc đỉnh số chẵn số đỉnh bậc lẻ số chẵn Hệ 2: Trong graph vơ hướng G có số lẻ đỉnh ln có số lẻ đỉnh có bậc chẵn Chứng minh: Theo hệ số đỉnh bậc lẻ graph G số chẵn Do graph G có số lẻ đỉnh, nên số đỉnh bậc chẵn phải số lẻ Ví dụ: Trong bữa tiệc có 51 người Khi đó: Có người quen với chẵn người khác bữa tiệc; Có người có số người quen; Nếu người tính số người quen bữa tiệc tổng số số chẵn Đường đi, chu trình graph, graph liên thông Định nghĩa Đường graph dãy cạnh liên tiếp (hai cạnh liên tiếp chúng có chung đỉnh) Với đồ thị đơn, đường đi qua đỉnh v1 , v2 , , theo thứ tự ta kí hiệu  v1 , v2 , ,  , đường đi qua cạnh e1 , e2 , , en theo thứ tự ta kí hiệu  e1 , e2 , , en  v4 e3 Ví dụ với graph bên, ta có đường  v1 , v2 , v6 , v5 , v3  , đường kí hiệu  e1, e6 , e5 , e4  v1 e2 v3 v2 v5 e4 e1 e5 e6 v6 Độ dài đường số cạnh đường Ví dụ: Đường ví dụ có độ dài Khoảng cách đỉnh a b độ dài đường ngắn nối đỉnh này, kí hiệu d  a, b  Quy ước d  a, a   Nếu khơng có đường nối a, b quy ước d  a, b    Ví dụ: Ở graph ta có d  v1 , v3   4, d  v3 , v4   Đường kính graph G khoảng cách lớn đỉnh graph, kí hiệu d  G  Nếu graph có điểm a, b mà d  a, b    quy ước d  G    Ví dụ: Graph có đường kính Định nghĩa Graph gọi liên thông với đỉnh ln tìm đường nối chúng Kết Với G V , E  liên thơng E  V  Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo số đỉnh n đồ thị Với n  1,2 ta thấy điều cần chứng minh Giả sử toán với graph N đỉnh, nghĩa có N  cạnh Xét G V , E  có N  đỉnh liên thông, suy bậc đỉnh lớn Ta xét trường hợp Trường hợp 1: Bậc đỉnh lớn Ta có E   d  A   N , suy E  N , có điều chứng minh AV Trường hợp : Giả sử có đỉnh A đồ thị có bậc 1, xét graph G '  G   A (bỏ A cạnh mà A đầu mút) Dễ thấy G ' liên thông có N đỉnh E 1 cạnh Theo giả thiết quy nạp với G' ta có E   N   E   N  1  , có điều chứng minh Kết Các đỉnh phân hoạch thành tập V1 ,V2 , ,Vr mà graph G Vi  liên thơng khơng có cạnh nối cặp điểm tập khác Chúng gọi thành phần liên thông G Định nghĩa Chu trình đồ thị đường đóng (điểm đầu điểm cuối trùng nhau) Độ dài chu trình số cạnh chu trình Định nghĩa Đường Ole đường qua tất cạnh, cạnh lần Ví dụ graph bên, đường 1, 2, 3, 4, 5, 6, đường Ole Đường qua đỉnh nhiều lần, cần ý điều để so sánh với đường Hamilton phần sau Định nghĩa 10 Đường Ole gọi chu trình Ole điểm đầu điểm cuối trùng Ví dụ graph bên có đường 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, chu trình Ole Kết Một graph có chu trình Ole tất đỉnh chẵn Chứng minh Chú ý rằng, đỉnh có cạnh vào có cạnh nên bậc chẵn Kết Graph liên thông với tất đỉnh chẵn có chu trình Ole Chứng minh Bắt đầu từ đỉnh v1 khơng lặp lại cạnh ý điều kiện bậc đỉnh chẵn, đường kết thúc v1 , chu trình Nếu cạnh chưa qua, xét đỉnh v2 thuộc đường đầu mút cạnh chưa qua, xét đường v2 qua cạnh chưa sử dụng này, đường kết thúc v2 Liên hết đường đỉnh v2 , chưa chu trình tiếp tục trình Ta có điều cần chứng minh Kết Nếu graph có đường Ole có nhiều đỉnh lẻ Chứng minh Tương tự kết Kết Một graph liên thơng có đỉnh lẻ chứa đường Ole Chứng minh Nối cạnh đỉnh lẻ, tất đỉnh chẵn Theo kết trên, graph có chu trình Ole Xét chu trình đỉnh lẻ lúc đầu, cạnh thêm qua sau Khi xóa cạnh thêm chu trình trở thành đường Ole Ta có điều chứng minh Cây Định nghĩa 11 Một rừng graph không thiết liên thơng khơng có chu trình Định nghĩa 12 Một graph liên thơng khơng có chu trình Kết Một ln chứa đỉnh có bậc 1, đỉnh gọi Chứng minh Giả sử tất đỉnh có bậc khơng nhỏ Xét đường  v1 , v2 , ,   n   Nếu nối với đỉnh v1, , vn2 ta có chu trình, mâu thuẫn Nếu khơng phải nối với đỉnh khác vn1 Tiếp tục q trình graph có vơ hạn đỉnh, mâu thuẫn Hệ Từ kết suy graph có bậc đỉnh lớn có chu trình Kết 10 Một tạo thành từ graph liên thơng cách bỏ số cạnh Thật vậy, ta tạo cách bỏ cạnh chu trình, làm với tất chu trình ta thu Kết 11 Một graph liên thơng chứa V  cạnh Chứng minh Giả sử G liên thơng, có n đỉnh có n  cạnh G có chu trình, chẳng hạn A1 A2 Ak A1 Nhận thấy loại bỏ cạnh A1 A2 đồ thị liên thông, nhiên lúc có n  cạnh, mâu thuẫn với E  V  , G liên thông Ngược lại, có đỉnh bậc 1, bỏ đỉnh khỏi đồ thị, ta có mà số đỉnh số cạnh giảm Bằng quy nạp theo số đỉnh ta có điều chứng minh Kết 12 Nếu bỏ cạnh khơng liên thơng Chứng minh Giả sử có n đỉnh, theo kết có n  cạnh Nếu bỏ cạnh n  cạnh Cũng theo kết khơng Việc bỏ cạnh khơng làm xuất chu trình nào, suy khơng liên thơng Kết 13 Nếu graph G khơng có chu trình, có n đỉnh n  cạnh Chứng minh Cần chứng minh G liên thông Phân hoạch G thành thành phần liên thơng, giả sử có k thành phần liên thông Ta tạo k  cạnh cách nối thành phần liên thông thứ với thứ (lấy đỉnh nối với đỉnh 2), làm đến thành phần liên thông thứ k Khi ta graph liên thơng khơng có chu trình (mỗi thành phần liên thơng khơng có chu trình cách nối khơng tạo chu trình), suy graph Theo kết trên, số cạnh n  , suy k  , nghĩa graph ban đầu liên thơng, ta có điều chứng minh Kết 14 Giữa đỉnh A, B có đường Chứng minh Do liên thơng nên A, B có đường Giả sử đường nối A, B Ta thấy xảy trường hợp hình đây, có chu trình, mâu thuẫn Vậy giả sử sai, có điều chứng minh Nhận xét: Nếu ta nối đỉnh khơng kề thu chu trình Khi graph G có n đỉnh n cạnh có chu trình Kết mạnh đưa Erdos: Một graph có n đỉnh số cạnh  n  1 k tồn chu trình có độ dài k  Một graph có n đỉnh n  cạnh có chu trình Thật vậy, trước hết khẳng định graph có chu trình, ta xóa cạnh chu trình graph lại có n cạnh, có chu trình khác Vậy có chu trình Nếu tất đỉnh có bậc d có đường có độ dài d  Định nghĩa 13 Đường Hamilton đường đi qua tất đỉnh, đỉnh lần Một đường Hamilton có điểm đầu cuối trùng gọi chu trình Hamiltonian Ví dụ 1: Graph bên có đường 1, 2, 3, 4, đường Hamilton Đường 1, 2, 3, 4, 5, chu trình Hamilton Ví dụ 2: Trong graph đây, graph có chu trình Ole, chu trình Hamilton? Hình 1: Có chu trình Ole Hamilton Hình 2: Có chu trình Hamilton khơng có chu trình Ole Hình 3: Có chu trình Ole khơng có chu trình Hamilton Hình 4: Khơng có chu trình Ole chu trình Hamilton Tơ màu Số màu (sắc số) graph số nhỏ số màu cần thiết để tô đỉnh cho khơng có đỉnh kề tơ màu Số màu graph nhỏ đỉnh lớn cộng Hiển nhiên theo định nghĩa 10 Bài 29 Cho n số nguyên dương cho tồn đồ thị đơn G, vô hướng có n đỉnh, bậc đỉnh nhỏ n  thỏa mãn: đỉnh đầu mút đường đơn có độ dài khơng vượt q Chứng minh n  số phương Giải n Xét đồ thị G V , E  với V   A1 , A2 , , An  , đặt d  Ai   di , suy E   i 1 di Số đường có độ dài số cạnh n Số đường có độ dài n  Cd2i   i 1 i 1 di  di  1 Do chọn điểm có đường có độ dài khơng q nên tổng số đường độ dài đường độ dài số cặp điểm, ta có: n n di  di  1 n  n  1 di   Cn    di2  n  n  1  2 i 1 i 1 i 1 n Ta chứng minh bậc đỉnh a, b Xét đỉnh x có bậc nhỏ nhất, giả sử t Tập S x   x1 , x2 , , xt  chứa đỉnh kề với x Với i  1,2, , t , đặt Ai tập đỉnh khác x kề với xi Nhận thấy tập Ai rời (nếu có y thuộc Ai , Aj có đường  x, xi , y   x, x j , y  có độ dài nối x y, Hợp tất tập với x, S x tập tất đỉnh, Hơn nữa, phần tử tập Ai kề với nhiều đỉnh tập Aj , Hai phần tử tập Aj khơng kề Suy bậc phần tử Ai  i  1,2, , t  không vượt t, tính nhỏ nên bậc tất đỉnh t 37 Suy d1  d   d n hay n  n  1  n.d12  n   d12 số phương Ta có điều chứng minh Bài 30 Giả sử có 2017 thành phố mà từ thành phố có đường bay trực tiếp đến 93 thành phố khác từ thành phố đến thành phố qua số đường bay liên tiếp (một đường bay đường nối trực tiếp thành phố) Chứng minh từ thành phố tùy ý đến thành phố khác với số đường bay không vượt qua 63 Giải Xây dựng mơ hình graph: Xét graph G có 2017 đỉnh tương ứng với 2017 thành phố, đỉnh nối với thành phố tương ứng có đường bay trực tiếp Suy bậc đỉnh không nhỏ 93 G liên thông Ta cần chứng minh đỉnh có đường mà độ dài khơng vượt q 63 Giả sử phản chứng, tồn đỉnh X, Y mà đường nối chúng có độ dài lớn 63 Xét đường A0 A1 An  X  A0 , Y  An , n  64  ngắn nối X Y Xét đỉnh dạng A3i ,  i  0,1, 2, ,21 với V3i tập đỉnh kề với A3i , suy V3i  93, i  0,21 Ta chứng minh V3i  V3 j  , i  j Thật vậy, giả sử tồn i  j mà V3i  V3 j   , suy tồn đỉnh T kề với A3i A3 j , có đường A0 A1 A3iTA3 j An nối X Y, đường có độ dài ngắn đường A0 A1 An , suy mâu thuẫn Suy G phải có 22.93  2046 đỉnh, mâu thuẫn Vậy giả sử sai, ta có điều chứng minh Bài 31 Trong hội thảo khoa học, người quen với người khác Chứng minh ta chọn từ người nhóm người thỏa mãn đồng thời điều kiện: Số người nhóm khơng chia hết cho 3; 38 Có thể xếp tất người quanh bàn tròn mà người ngồi người quen Giải Xét graph G với đỉnh tương ứng với người hội thảo, đỉnh nối người tương ứng quen Khi đỉnh có bậc khơng nhỏ Cần chứng minh G có chu trình độ dài khơng chia hết cho Xây dựng đường từ đỉnh A1 G: Tồn A2 kề A1 , A3  A1 kề với A2 , A4  A2 kề với A3 + Nếu A4 kề với A1 , A2 dừng lại; + Nếu A4 khơng kề với đỉnh A1 , A2 tiếp tục mở rộng tới đỉnh đến gặp đỉnh An kề với đỉnh đường xét, giả sử An kề với An1 , Ai , Aj 1  i  j  n   A2 Ai Aj Khi ta có đường dạng sau A1 An-1 A Với cách xây dựng đường này, ta có chu trình Ai Ai 1 Aj An Ai ; Ai Ai 1 Aj An 1 An Ai Aj Aj 1 An 1 An Aj n Giả sử chu trình có độ dài chia hết cho ta có hệ điều kiện  j  i   23  j  i   23    23 , vơ lí  j  i    n   j   23   j  i 3    n   j   23  n   j   23 Vậy giả sử sai, ta có điều chứng minh 39 Bài tập tham khảo Bài Giả sử có 2014 thành phố mà từ thành phố có đường bay trực tiếp đến thành phố khác đồng thời từ thành phố đến thành phố đường bay liên tiếp Chứng minh tồn 202 thành phố đơi khơng có đường bay trực tiếp đến cho sân bay thành phố ngừng hoạt động người ta di chuyển thành phố lại máy bay Bài Ở quốc gia có hãng hàng không hoạt động Biết từ thành phố có đường bay trực tiếp đến thành phố khác đường bay khác thuộc hãng hàng khơng khác Người ta từ thành phố đến thành phố khác máy bay Chứng minh hủy đường bay tùy ý mà khơng có đường bay thuộc hãng hàng khơng người ta lại thành phố máy bay Bài Trong thi có 25 bạn nam số bạn nữ Biết với nhóm m bạn nam  m  10  có m  bạn nữ mà bạn nữ quen bạn nam nhóm Chứng minh tồn bạn nữ quen với 16 bạn nam thi Bài Cho số nguyên dương n  đồ thị đơn vô hướng có n đỉnh thỏa mãn điều kiện: Với  k  n , số cạnh đồ thị k đỉnh G khơng vượt q 2k  Chứng minh tơ màu tất cạnh, cạnh màu xanh đỏ mà khơng tồn chu trình mà cạnh tô màu Bài (IMO Shortlist 2002, C7) Trong nhóm có 120 người, số người bạn Một nhóm gọi bốn yếu nhóm có người chứa cặp bạn Tìm giá trị lớn số bốn yếu Bài Cho số nguyên n  Trong không gian cho n điểm mà khơng có điểm thẳng hàng khơng có điểm đồng phẳng Tại điểm ghi số ngun dương cho khơng có điểm ghi số n số ghi n số nguyên dương Gọi điểm ghi số i điểm i Nối tất cặp điểm  p, q  với p  q mũi tên từ p đến q Tô mũi tên màu xanh, đỏ Một cách tô màu gọi “tốt” tồn điểm j, k cho từ j đến k qua mũi tên xanh từ j đến k qua mũi tên đỏ Hỏi có tất cách tô màu “tốt” 40 Bài (Poland 2000) Cho số nguyên dương n  Tìm số k nhỏ có tính chất: với tập k ô đơn vị bảng n  n tồn tập khác rỗng A cho dòng, cột có chẵn đơn vị A Bài (Thụy Điển 2010) Một thành phố có 3n cơng dân Hai người thành phố có người bạn chung thành phố Chứng minh chọn nhóm có n người cho người số 2n người lại có người quen nhóm n người Bài (Generalization of USAMO 2007) Xét graph liên thơng G với V đỉnh, đỉnh có bậc nhiều d Chứng minh G phân hoạch thành V 1 graph liên thông, graph có đỉnh d Bài 10 (Hefetz, Krivelevich, Stojakovic, Szabo) Xét số nguyên dương d graph G mà đỉnh có bậc d Maker Breaker chơi trò chơi với cạnh G Hai người lần lượt, bước chọn cạnh graph dời cạnh này, Breaker người Trò chơi kết thúc tất cạnh chọn Maker thắng sau kết thúc trò chơi, với đỉnh anh chọn d    cạnh chứa đỉnh này, ngược lại anh thua Chứng minh 4 Maker có chiến thuật thắng Bài 11 Người ta muốn mời số em học sinh tới dự buổi gặp mặt, mà số em chưa quen với 56 em khác với cặp hai em chưa quen có em quen với hai em Hỏi số học sinh mời dự buổi gặp mặt nói 65 em hay không? Bài 12 (IMOSL 2015, C7) Trong cơng ty có số người đối thủ Một nhóm người gọi khó gần số người nhóm lẻ nhóm có người, xếp người nhóm quanh bàn tròn cho hai người kề đối thủ Biết có nhiều 2015 nhóm khó gần, chứng minh chia cơng ty thành 11 nhóm cho khơng có đối thủ nhóm Bài 13 (China TST 2011) Xét graph G có 3n  n  1 đỉnh khơng có đỉnh có bậc lớn 4n Giả sử tồn đỉnh bậc với đỉnh ln tồn 41 đường có độ dài không vượt nối chúng Chứng minh G có 7n  3n cạnh Bài 14 (IMO Shortlist 2013, C6) Trong graph G, đỉnh v có nhiều 2k đỉnh có khoảng cách đến Chứng minh với đỉnh u, tồn nhiều k  k  1 đỉnh mà khoảng cách đến Bài 15 (IMO Shortlist 2004, C3) Xét số nguyên n  graph đầy đủ có n đỉnh Thực cơng việc sau: bước chọn chu trình có độ dài (nếu tồn tại), chọn cạnh tùy ý chu trình xóa cạnh Q trình dừng lại khơng chu trình Tìm số cạnh nhỏ bị xóa 42 Graph hai phần Định nghĩa : Graph G  V , E  gọi phần tập đỉnh phân hoạch thành tập khác rỗng A, B cho khơng có cạnh nối đỉnh tập Định lý : Một graph hai phần khơng có chu trình lẻ Chứng minh Giả sử G V , E  ,V  A  B graph phần Nếu có chu trình độ dài chu trình phải chẵn Thật vậy, giả sử chu trình v1v2 vk v1 có cạnh nối đỉnh A với đỉnh B sau có cạnh nối đỉnh B với đỉnh A Giả sử G khơng có chu trình độ dài lẻ Ta giả sử G liên thơng, G khơng liên thơng hợp thành phần liên thơng rời nhau, ta thực với thành phần liên thông ghép chúng lại Gọi A đỉnh G Xét tập X, Y tương ứng chứa đỉnh mà độ dài tới A chẵn, lẻ tương ứng Suy X, Y phân hoạch tập đỉnh V Ta chứng minh tập X, Y đỉnh độc lập Giả sử có đỉnh B C X nối với nhau, ta xét đường ngắn nối A, B sau nối B, C, cuối đường ngắn nối C, A (có thể đường có đỉnh lặp cạnh trùng ta loại bỏ đỉnh, cạnh đó) Khi có chu trình có độ dài lẻ, mâu thuẫn Tương tự với tập Y Vậy ta có điều chứng minh Bài (ShortlistIMO 1983 C1) Một đất nước có 1983 thành phố, cặp thành phố có đường nối chúng Mỗi đường thuộc quản lí 10 công ty Chứng minh tồn tour du lịch theo vòng khép kín qua lẻ đường mà đường thuộc quyền quản lí cơng ty Giải Xét graph G có 1983 đỉnh ứng với 1983 thành phố, đỉnh nối với tơ cạnh 10 màu 1, 2, …, 10 ứng với 10 hãng hàng không 43 Giả sử phản chứng khơng có tour du lịch theo vòng khép kín qua lẻ đường mà đường thuộc quyền quản lí cơng ty, nghĩa graph G khơng có chu trình lẻ xét đỉnh cạnh màu Suy xét đỉnh cạnh màu G phần Xét đỉnh cạnh tô màu G graph phần, có phần có 1983    992 đỉnh, đặt G1    Trong G1 xét cạnh tô màu 2, graph phần, có phần có  992    496 đỉnh, đặt G2    496   248 đỉnh, graph G4 có Tiếp tục q trình có graph G3 có     248  124   124 đỉnh, graph G5 có   62 đỉnh, graph G6 có        62   31    31 đỉnh, graph G7 có     16 đỉnh, graph G8 có 2 2 16     đỉnh, graph G9 có đỉnh, graph G10 có đỉnh Cần ý rằng, đỉnh G10 không nối với cạnh nối cạnh cạnh tơ màu màu i, trái với Gi 1 phần ta xét đỉnh Gi 1 cạnh tô màu i Bài (IMC 1999) Trong mặt phẳng tọa độ cho n đường thẳng song song với Ox (ta gọi dòng) n đường thẳng song song với Oy (ta gọi cột) Xét 2n giao điểm tạo đường thẳng Chứng minh tồn 2k   k  n  điểm a1 , a2 , , a2 k 2n điểm thỏa mãn với i  1,2, , k  : a2i 1 a2i thuộc dòng a2i a2i 1 thuộc cột Giải Xét graph phần G  A  B , với đỉnh A tương ứng dòng đỉnh B tương ứng cột Cặp điểm nối với có điểm xét giao dòng cột tương ứng Nếu cạnh có đầu mút 44 điểm tương ứng với cạnh thuộc dòng cột tùy thuộc điểm chung thuộc A hay B Khi G có 2n đỉnh 2n cạnh suy tồn chu trình G Với grpah phần, chu trình ln có độ dài chẵn, suy tồn chu trình độ dài 2k G Ta có điều chứng minh Định lí Hall: Cho graph phần G   A  B, E  , Gọi G ghép cạnh khơng có đầu mút chung Xét tập S  A , kí hiệu N  S  tập đỉnh (không thiết thuộc B) kề với đỉnh S Khi G có ghép đơi hồn hảo (bất kì đỉnh A đầu mút cạnh) N  S   S , S  A Định lý phát biểu Philip Hall năm 1935, biết đến đầy đủ với chứng minh kết Marshall Hall (khơng có mối quan hệ họ hàng với Philip Hall) năm 1948, gọi định lý Đám cưới (Hall’s Marriage Theorem) Hệ định lý Hall Xét graph phần G   A  B, E  với A  B thỏa mãn N  S   S  d , S  A Khi ghép cặp A  d Thật vậy, từ graph G bổ sung thêm d đỉnh B mà đỉnh kề với tất đỉnh A Áp dụng định lý Hall ta có điều chứng minh Hệ định lý Hall Xét graph phần G   A  B, E  với A  B thỏa mãn N  S   S , S  A Khi ghép cặp phần tử A với phần tử B mà phần tử B ghép rời Hệ định lý Hall Xét graph phần G   A  B, E  thỏa mãn cạnh ab với a  A, b  B ta có d  a   d  b  Khi có ghép đơi hồn hảo Một số toán áp dụng định lý Hall Bài Trong buổi hội, xét nhóm bạn gái số bạn trai chơi với bạn nhóm khơng số bạn gái nhóm Chứng minh tổ chức nhảy mà bạn gái nhảy với bạn 45 Giải Bài toán áp dụng trực tiếp định lý Hall Bài Cho G graph phần với tất bậc k Chứng minh G có ghép đơi hồn hảo Giải Giả sử có graph G  A  B, E  tập X  A bất kì, N  X  tập đỉnh kề với đỉnh X Số cạnh có đỉnh ngồi X đỉnh X k X Hơn đỉnh N  X  kề với nhiều k đỉnh X nên số cạnh xuất phát từ đỉnh ngồi X với đỉnh X khơng q k N  X  Suy k X  k N  X   X  N  X  Theo định lí Hall ta có điều chứng minh Bài Trong buổi hội có 10 bạn nam 10 bạn nữ Mỗi người có bạn khác giới Chứng minh ghép người thành 10 đôi nhảy mà người đơi quen Giải Bài tốn áp dụng trực tiếp toán Một cách phát biểu khác: Cho bảng vng 10  10 , dòng cột có tơ đen Chứng minh chọn 10 tơ đen mà khơng có dòng, khơng có ô cột Bài Một 52 quân (có 13 loại quân A, 2, 3, …, J, Q, K loại có chất cơ, rơ, tép, bích) chia thành 13 cọc, cọc có quân Chứng minh lấy từ cọc quân cho có đủ 13 loại quân Giải 46 Xây dựng graph phần G   A  B, E  với A tập đỉnh ứng với 13 cọc, B tập đỉnh ứng với 13 loại quân Một cạnh nối cọc tương ứng có loại quân tương ứng Cần chứng minh G có ghép đơi hồn hảo Xét cạnh nối u  A với v  B , cọc u chứa i quân loại v cạnh ghi số i  i  1,2,3,  Xét X tập A N  X  tập đỉnh kề với đỉnh X Tổng số ghi cạnh nối từ X đến N  X  X Mỗi đỉnh N  X  nối với nhiều với đỉnh X nên với đỉnh N  X  tổng số ghi cạnh nối đỉnh với đỉnh X không vượt Suy tổng số ghi tất cạnh nối đỉnh N  X  với đỉnh X không vượt N  X  Suy X  N  X   X  N  X  Theo định lí Hall ta có điều chứng minh Một tương tự kì thi chọn đội tuyển Việt Nam (VNTST) năm 2010: (VNTST 2010) Có n nước, nước có k đại diện  n  k  1 Người ta chia n.k người thành n nhóm, nhóm có k người cho khơng có người nhóm đến từ nước Chứng minh chọn n người đến từ nhóm khác đến từ nước khác Bài Cho M ma trận n  n gồm số tự nhiên cho tổng số dòng, cột m Chứng minh A biểu diễn dạng tổng m ma trận hoán vị M  P1  P2   Pm Ở ma trận hoán vị ma trận n  n gồm số 0, mà dòng có số cột có số Tổng A+B hai ma trận kích thước m  n A B ma trận kích thước với phần tử vị trí tương ứng tổng hai phần tử tương ứng ma trận Giải 47 Xét graph G   A  B, E  với A tập đỉnh tương ứng với dòng G B tập đỉnh tương ứng với đỉnh G Hai đỉnh nối với dòng cột tương ứng giao số dương ta ghi số dương cho cạnh Ta chứng minh G ghép cặp hoàn hảo Xét tập X tập A N  X  tập đỉnh kề với đỉnh X Mỗi đỉnh X đầu mút số cạnh nối với đỉnh N  X  tổng tất số ghi cạnh m, suy tổng tất số ghi cạnh nối đỉnh X đỉnh N  X  m X Với đỉnh N  X  nối với nhiều m đỉnh X nên tổng tất số ghi cạnh nối đỉnh N  X  đỉnh X nhiều m NX  Suy m N  X   m X  N  X   X hay G ghép cặp hồn hảo Khi dòng ghép với cột mà giao đôi chúng số nguyên dương, giả sử k số nhỏ số Ta viết M thành tổng k ma trận hoán vị giống (tại giao điểm dòng cột chọn ghi số 1, vị trí lại ghi số 0) ma trận M’ Nếu M’ hốn vị ta có điều chứng minh, ngược lại tiếp tục trình với M’ tổng số dòng tổng số cột m  k Ta có điều chứng minh Bài Cho tập S  1,2,3, , kn , giả sử có phân hoạch A1 , A2 , , An B1 , B2 , , Bn S, tập có k phần tử Chứng minh tồn tập T có n phần tử mà tất tập T  Ai , T  Bi  i  1,2, , n  có phần tử Giải Xét graph phần G  A  B, E  với A tập đỉnh tương ứng với n tập A1 , A2 , , An B tập đỉnh tương ứng với n tập B1 , B2 , , Bn Hai đỉnh nối với tập tương ứng có điểm chung Ghi số m cho cạnh tập tương ứng có m điểm chung 48 Ta chứng minh G ghép đơi hồn hảo Xét X tập A N  X  tập đỉnh kề với đỉnh X Mỗi đỉnh X đầu mút cạnh mà tổng số ghi cạnh k, suy tổng số ghi tất cạnh có đầu mút điểm thuộc X k X Mỗi đỉnh N  X  nối với số đỉnh X, tổng số ghi cạnh khơng vượt q k (vì đỉnh nối với đỉnh ngồi X) Suy tổng số ghi cạnh nối đỉnh N  X  đến đỉnh X không vượt k N  X  Suy k X  k N  X   X  N  X  , hay G ghép đơi hồn hảo Khi ghép cặp A1 , A2 , , An B1 , B2 , , Bn để n cặp có giao khác rỗng, với cặp ta chọn phần tử thuộc giao bổ sung phần tử vào T, ta tập T thỏa mãn điều kiện Bài tập tham khảo Bài (VN TST 2001) Một câu lạc có 42 người Giả sử với 31 người câu lạc tồn nam nữ chọn 31 người mà họ quen Chứng minh chọn 12 cặp rời nhau, cặp gồm nam nữ quen Bài toán sử dụng kết trên: Hệ định lý Hall Xét graph phần G   A  B, E  thỏa mãn N  S   S  d , S  A Khi ghép cặp A  d Bài (Romani TST 2005) Cho S tập n  số nguyên dương cho tập X có n  phần tử S tồn x  y cho x | y Chứng minh tồn tập S’ S với S '   x1 , x2 , , xn1 mà xi | xi 1 , i  1,2, , n 49 Lời kết Chuyên đề dừng lại số ứng dụng phương pháp đồ thị Một số khơng cần đưa đồ thị giải được, đưa đồ thị để trình bày cho mạch lạc, dễ hiểu Còn nhiều ứng dụng đồ thị (sắc số, đường Ơle, đường Hamilton, chu trình Ơle, chu trình Hamilton, số định lý ứng dụng đồ thị phẳng…) chúng tơi xin trình bày chun đề lần sau Qua chuyên đề này, có số gợi ý để thầy đồng nghiệp có định hướng phát triển chuyên đề góp phần nâng cao lực học môn tổ hợp em học sinh Muốn bắt kịp xu hướng giới vấn đề tổ hợp cần quan tâm nhiều Học sinh sợ không làm tổ hợp em tiếp cận ít, dẫn đến phương pháp công cụ tư giải tốn khơng nhiều Chun đề nhiều sai sót, số tốn có lời giải chưa thật tối ưu đưa mơ hình đồ thị, hi vọng nhận đóng góp thầy để chun đề hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Titu Andresscu, Zuming Feng, 102 combinatorial Problems from the Training of the USA IMO Tearm, Birkhauser, 2002 [2] Titu Andresscu, Zuming Feng, Mathematical Olympiads Ptoblems and Solution from around the World, to 1995 from 2002.[3] Arthur Engel, Problem – Solving Strategies, Springer, 1999 [4] Lorszlus Lovorsz, Combinatorial problems and exercises, NORTH-HOLLAND New York • Amsterdam • Oxford, 1992, 55 – 62 [5] Po-Shen Loh, Graph theory: connectivity, 24 June 2010 [6] Po-Shen Loh, Graph Theory, 24 June 2008 [7] Vũ Đình Hòa, Định lí vấn đề đồ thị hữu hạn, Nhà xuất Giáo dục, 2002 [8] N.C.G Vượng, Nhập môn lý thuyết đồ thị, 7/2011 [9] Adrian Tang , Graph Theory, November 4-18, 2008 [10] J A Bondy and U S R Murty, GRAPH THEORY WITH APPLICATIONS, NORTH-HOLLAND New York • Amsterdam • Oxford, 1982 [11] www.mathlinks.ro [12] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [13] Bách khoa toàn thư mở Wikipedia 51 ... Kết Trong Graph vô hướng G tùy ý tổng bậc tất đỉnh gấp đôi số cạnh Graph Chứng minh: Trong graph tổng bậc đỉnh graph cạnh tính hai lần hai đỉnh Do tổng gấp đơi số cạnh graph Hệ 1: Trong Graph vô... dụ: Ở graph ta có d  v1 , v3   4, d  v3 , v4   Đường kính graph G khoảng cách lớn đỉnh graph, kí hiệu d  G  Nếu graph có điểm a, b mà d  a, b    quy ước d  G    Ví dụ: Graph. .. Giải Xét graph G có n đỉnh (n số người hội đồng), đỉnh nối với người tương ứng trao đổi thư với Chứng minh chia graph thành graph mà graph bậc đỉnh Theo giả thiết đỉnh có bậc 3, suy graph tồn