Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2009
Môn Thi : Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)
Ngày thi 07-06-2009
Câu 1: (2điểm)
Cho biểu thức
3
3 2
4
2
2 2
2 : 2
8
x x
x x
x x x
x x
x A
+
−
− + +
+
+ +
−
Chứng minh A không phụ thuộc biến số
Câu 2 : ( 2 điểm)
Cho phơng trình bậc 2 : x2-2(m+1)x+4m-m2 =0 ( tham số m)
a-Chứng minh PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
2-Gọi x1;x2 là 2 nghiệm của phơng trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = x1 −x2
Câu 3: ( 2 điểm)
Giải hệ phơng trình
= +
− + +
= + + +
+
0 4 2 4
0 ) (2
2 2
2 2
y x y x
xy y x y x
Câu 4:(3 điểm)
Trên (O;R) lấy 2 điểm A;B tuỳ ý ;C thuộc đoạn AB (C khác A;B)
.Kẻ đờng kính AD Cát tuyến đi qua C vuông góc với AD tại H,cắt (O) tại M;N Đờng thẳng đi Qua Mvà D cắt AB tại E.Kẻ EG vuông góc với AD tại G
a- Chứng minh tứ giác BDHC,AMEG nội tiếp
b- Chứng minh AM2=AC.AB
c- Chứng minh AE.AB+DE.DM=4R2
Câu 5: ( 1 điểm)
Với x,y là số thực thoả mãn x+y+xy=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y2
-Hết -Hớng dẫn
Câu 1: (2điểm)
x x x A
x x
x x
x
x x
x
x x x
x x x
A
∉
= +
−
=
+
+
−
−
+
− +
+
+ + +
+ +
−
=
2 2
) 2 (
) 2 )(
2 (
2
2 2 2 2
2 4 : 2
) 2
4 )(
2
(
3 3
3 3
3 3
3
3 3
3 2 3
3 2 3
3
3 2 3
3
Trang 2Câu 2 : ( 2 điểm)
a-∆ = m+ − m+m = m − m+ = m+ + > 0 ∀m
2
1 ) 2
1 ( 2 1 2 2 4
) 1
/
b- M2=(x1-x2)2=( x1+x2)2-4x1.x2=4(m+1)2- 4(4m-m2)=4m2+8m+4-16m+4m2
M2=8m2-8m+4=2(2m-1)2+2≥2 nên M ≥ 2
vậy Min(M)= 2 khi m=12
Câu 3: ( 2 điểm)
= +
− + +
= + + +
+
)2 (0 4 2 4
)1(
0 )
(2 2 2
2 2
y x y x
xy y x y x
(1)⇔ x2 + 2 (y+ 1 )x+y2 + 2y= 0 coi là phơng trình bậc 2 ẩn x tham số y
1 2 )
1
∆ y y y >0 PT có 2 nghiệm phân biệt
x1=-y; x2 =-y-2
Với x=-y thay vào PT (2) ta đợc PT : y2 -3y+2=0 nhẩm a+b+c=0 ta có y=1 hoặc y=2 Với x=-2-y thay vào PT (2) ta đợc PT : y2 -y=0 ta có y=0 hoặc y=1
Vậy hệ có 4 nghiệm (x;y)=(-1;1);(-2;2);(-2;0);(-3;1)
Câu 4:(3 điểm)
E
N
M
O A
D
B
C
Câu 5: ( 1 điểm)
Với x,y là số thực thoả mãn x+y+xy=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y2
a-∠CHD+∠CBD=1800 nên tứ giác BHDC nội tiếp
∠AGE+∠AME=1800 nên tứ giác AMEG nội tiếp b-∆AME đ d ∆ABM (gg) nên AM2=AC.AB c-∆AGE đ d ABD (gg) nên AE.AB=AG.AD (1)
∆DAM đ d DEG (gg) nên DE.DM=DG.AD (2)
Từ (1) và (2) ta có AE.AB+DE.DM=AD(AG+GD)=AD2=4R2
Trang 3C¸ch 1: 3P=3x2+3y2=(x2+4)+(y2+4)+ 2(x2+y2)-8≥4x+4y+4xy-8=32-8=24 VËy 3P≥ 24 ⇔ P≥ 8 Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P=8 khi x=y=2
C¸ch 2: 3P-4(x+y+xy)= 3x2+3y2-4x-4y-4xy=(x-2)2+(y-2)2+2(x-y)2-8≥ − 8
Hay 3P− 32 ≥ − 8 ⇔ 3P≥ 24 ⇔ P≥ 8
T«i cßn 1 c¸ch n÷a