Bai tap toan 9 tap 2

tài liệu chuyên đề BÀI TẬP TOÁN 9 Tập 2 Đại số hình học Tài Liệu được phân loại và chi dạng cụ thể chi tiết tài liệu giải chi tiết cùng các bài tập tương tự Tài liệu rất hay cần thiết cho các e học sinh lớp 9 ôn thi vào 10 t

Ph n 1 Đ i s ần 1 Đại số ại số ố

Ch ương 3 ng 3

H HAI PH Ệ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN NG TRÌNH B C NH T HAI N ẬC NHẤT HAI ẨN ẤT HAI ẨN ẨN



A - Ph ng trình b c nh t hai n ương trình bậc nhất hai ẩn ậc nhất hai ẩn ất hai ẩn ẩn

1 Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng ax + by = c trong đó a, b và c

 Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ, tập nghiệm của phương trình

ax + by = c là đường thẳng cắt cả hai trục tọa độ

 Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 0x + by = c là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại (0 ; c

 Nếu a = b = c = 0 thì phương trình 0x + 0y = 0 có vô số nghiệm.

 Nếu a = b = 0 và c  0 thì phương trình 0x + 0y = c vô nghiệm.

3.1 Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳngtọa độ:

a

c x a

x y

3.3 Đường thẳng – 3x + y = 1 đi qua điểm nào sau đây:

A(1 ; 4), B(0,25 ; 0), C(–3 ; –8), D( 2 ; –1), E(– 3 ; 1–3 3 )

3.4 Tìm giá trị của m để:

a) Điểm M(1 ; 0) thuộc đường thẳng mx – 5y = 7 ;

b) Điểm N(0 ; –3) thuộc đường thẳng 2,5x + my = –21 ;

c) Điểm P(5 ; –3) thuộc đường thẳng mx + 2y = –1 ;

d) Điểm P(5 ; –3) thuộc đường thẳng 3x – my = 6 ;

e) Điểm Q(0,5;–3) thuộc đường thẳng mx + 0y = 17,5 ;

f) Điểm S(4 ; 0,3) thuộc đường thẳng 0x + my = 1,5 ;

g) Điểm A(2 ; –3) thuộc đường thẳng (m – 1)x + (m + 1)y = 2m + 1)

3.5 Phải chọn các hệ số a và b như thế nào để phương trình ax + by = c xác

định một hàm số bậc nhất của biến x ?

Áp dụng: Phương trình nào sau đây xác định một hàm số dạng y = ax + b?

a) 5x – y = 7 b) 3x + 5y = 10 c) 0x + 3y = – 1

d) 6x – 0y = 18 e) 2x – y = 3 f) 0x – 0y = 3

3.6 Vẽ mỗi cặp đường thẳng sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ rồi tìm tọa

độ giao điểm của hai đường thẳng đó

3.7 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

a 'b'c'c) Trùng nhau khi a b c

a) Có nghiệm duy nhất b) Vô nghiệm c) Có vô số nghiệm

Áp dụng: Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy

gặp bác nông dân và xin rơm:

- Bác ơi, cho cháu xin ít rơm nhé!

Cô giáo ngừng lại hỏi:

- Các con có biết bác nông dân nói gì

không?

Tèo giơ tay:

- Thưa cô, bác ấy bảo: “Trời ơi! Một con

heo biết nói!”.

Ba chú heo con

Cô giáo đang đọc truyện "Ba chú heo con"

cho các bé nghe đến đoạn một chú heo

gặp bác nông dân và xin rơm:

- Bác ơi, cho cháu xin ít rơm nhé!

Cô giáo ngừng lại hỏi:

- Các con có biết bác nông dân nói gì

không?

Tèo giơ tay:

- Thưa cô, bác ấy bảo: “Trời ơi! Một con

heo biết nói!”.

Bài tập Tốn 9 Học kì 2

B - H hai ph ng trình b c nh t hai n ệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ương trình bậc nhất hai ẩn ậc nhất hai ẩn ất hai ẩn ẩn

1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y cĩ dạng:   



ax by c a' x b' y c'

2 Hai hệ phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng cĩ cùng tập

nghiệm.

Chú ý:  Hai hệ cùng vơ nghiệm là tương đương.

 Hai hệ cùng vơ số nghiệm khơng tương đương với nhau.

Định lý: Nếu từ một phương trình của hệ đã cho ta cĩ thể biểu thị một ẩn

số theo ẩn số kia, rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới cĩ một ẳn số, thì hệ phương trình lập bởi phương trình mới này với phương trình thứ nhất của hệ tương đương với hệ đã cho.

Ví dụ : Giải hệ phương trình   



x 3y 5 4x 5 y 3



x 3y 5 4( 3y 5 ) 5 y 3 

Định lý 1: Nếu nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số

khác 0 thì hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho.

Định lý 2: Nếu cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho ta

được một phương trình mới, thì hệ phương trình lập bởi phương trình mới này với một trong hai phương trình của hệ là tương đương với nhau.

Ví dụ : Giải hệ phương trình   



x 3y 5 4x 5 y 3

3.9 Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sauđây và giải thích ?

Bài tập Toán 9 Học kì 2a) Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình đã cho Từ đó xácđịnh nghiệm của hệ.

b) Nghiệm của hệ này có phải là nghiệm của phương trình 3x – 7y = 1hay không ?

3.14 Cho hai đường thẳng (d1) : x + y = 2 và (d2) : 2x + 3y = 0.

a) Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Đường thẳng (d3) : 3x + 2y = 10 có đi qua giao điểm của (d1) và (d2)hay không ?

3.15 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

4

10 ) y 3 x 2 ( 3 ) y 3 x

3.17 Cho hệ phương trình: (a 2)x 5by 25

Tìm giá trị của a và b để hệ có nghiệm là (x ; y) = (3 ; –1)

3.19 Tìm giá trị của a và b để đường thẳng (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 và đườngthẳng (d2): 0,5ax – (3b + 2)y = 3 cắt nhau tại điểm M(2; –5)

3.20 Tìm a và b để:

a) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(–5; 3) và B(1,5; –1) ;b) Đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9 ; – 6) và đi qua giao điểmcủa hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17 và (d2) : 4x – 10y = 14

3.21 Tìm giá trị của a để:

a) Hai đường thẳng (d1) : 5x – 2y = 3 và (d2) : x + y = a cắt nhau tại mộtđiểm trên trục Oy Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳngtọa độ ứng với giá trị a vừa tìm được)

b) Hai đường thẳng (d1) : ax + 3y = 10 và (d2) : x – 2y = 4 cắt nhau tạimột điểm trên trục Ox Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặtphẳng tọa độ

3.22 Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

a) (d1) : 5x – 2y = c và (d2) : x + by = 2, biết rằng (d1) đi qua điểm A(5 ; –1) và (d2) đi qua điểm B(–7 ; 3)

b) (d1) : ax + 2y = –3 và (d2) : 3x – by = 5, biết rằng (d1) đi qua điểmM(3 ; 9) và (d2) đi qua điểm N(–1 ; 2)

c) Giải các hệ phương trình sau:

Bài tập Toán 9 Học kì 2a) A(2 ; –2) và B(–1 ; 3) b) A(– 4 ; –2) và B(2 ; 1)

2 2

a) Giải hệ phương trình với a = 2 – 1

b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a)

c) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa x > 0 và y > 0

3.27 Cho hai đường thẳng có phương trình: (d): mx – (n + 1)y – 1 = 0 và

(d): nx + 2my + 2 = 0 Xác định các giá trị của ma và n sao cho (d) và(d) cắt nhau tại điểm P(–1; 3)

3.28 Cho phương trình: 2ax + (a – b – 2)y = a + 3b – 6 (1) Định a và b sao cho

a) Giải hệ phương trình với a = – 2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa x + y > 0

a) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi a)

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa x < 1 và y < 1

Tìm giá trị của a  Z để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y  Z.

3.37 Xác định các hệ số a, b của hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó đi qua :

a) A(2 ; 1), B(1 ; 2) b) A(1 ; 3), B(3 ; 2) c) A(1 ; 2), B(2 ; 0)

3.38 Cho đa thức f(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n

Hãy xác định m và n sao cho đa thức đã cho chia hết cho x + 1 và x – 3

3.39 Tìm giá trị của m đường thẳng (d) : y = (2m – 5)x – 5m đi qua giao điểm

của hai đường thẳng (d1) : 2x + 3y = 7 và (d2) : 3x + 2y = 13

3.40 Cho 4 đường thẳng (d1) : 3x + 2y = 13 ; (d2) : 2x + 3y = 7 ; (d3) : x – y = 6(d4) : 5x + 0y = 25 Hỏi bốn đường thẳng trên có đồng quy không ?

3.41 Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui:

a) (d1): y = 2x – 1 b) (d1): y = –x + 1

(d2): 3x + 5y = 8 (d2): y = x – 1

(d3): (m + 8)x – 2my = 3m (d3): (m + 1)x – (m – 1)y = m + 1c) (d1) : y = 2x – m d) (d1) : 5x + 11y = 8

Giờ sinh vật, thầy giáo hỏi một em học sinh:

- Trong các loại cây mà bố em trồng, em

thấy cây nào cho hiệu quả kinh tế cao nhất?

- Dạ, "cây xăng" ạ!

Giờ sinh vật, thầy giáo hỏi một em học sinh:

- Trong các loại cây mà bố em trồng, em

thấy cây nào cho hiệu quả kinh tế cao nhất?

- Dạ, "cây xăng" ạ!

Bài tập Toán 9 Học kì 2

C - Gi i bài toán b ng cách l p h ph ng trình ải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ằng cách lập hệ phương trình ậc nhất hai ẩn ệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ương trình bậc nhất hai ẩn

1 Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

 Bước 1 : Lập hệ phương trình:

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

 Bước 2 : Giải hệ phương trình.

 Bước 3 : Kiểm tra xem nghiệm của hệ phương trình có thỏa mãn điều kiện của

ẩn không

 Bước 4: Kết luận

2 Một số kiến thức cần lưu ý

a) Loại toán cấu tạo số:

 Số có hai, chữ số được ký hiệu là ab

Giá trị của số: ab = 10a + b; (Đk: 1 a  9 và 0 b  9, a,b N)

 Số có ba, chữ số được ký hiệu là abc

abc = 100a +10b + c, (Đk: 1  a  9 và 0  b, c  9; a, b, c 

N)

b) Loại toán chuyển động:

 Có 3 đại lượng là quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t) liên

hệ bởi công thức: s = v.t

 Chuyển động trên dòng nước chảy:

Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng.

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước

Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước

c) Loại toán “làm chung – làm riêng” một công việc hoặc “vòi nước chảy chung – chảy riêng” đầy bể:

 Có 3 đại lượng:

- Khối lượng công việc

- Phần việc làm (chảy) trong một đơn vị thời gian (năng suất)

- Thời gian

 Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta xem toàn bộ

công việc là 1.

- Nếu đội nào làm xong công việc trong x (ngày) thì trong 1 ngày đội đó làm được 1

x (công việc).

- Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể trong x (giờ) thì trong

1 giờ vòi đó chảy được 1

x (bể).

3.43 Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2005 và nếu lấy số lớn

chia cho số nhỏ thì được thương là 7 và dư là 5

3.44 Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa) Nếu xe chạy với vận

tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm hơn 2 giờ so với dự định Nếu xe chạy vớivận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính độ dàiquãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A

3.45 Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, một đoạn xuống dốc

dài 5 km Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút, và đi từ B về A hết

41 phút (vận tốc lên dốc và xuống dốc lúc đi và về như nhau) Tính vậntốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc

3.46 Hai người ở hai địa điểm cách nhau 3,6km và khởi hành cùng lúc, đi

ngược chiều nhau, gặp nhau ở vị trí cách một trong hai điểm khởi hành2km Nếu vận tốc vẫn không đổi, nhưng người đi chậm xuất phát trướcngười kia 6 phút thì họ gặp nhau ở giữa quãng đường Tính vận tốc củamỗi người

3.47 Hai địa điểm A và B cách nhau 200km Cùng một lúc, một xe máy đi từ

A và một ôtô đi từ B Xe máy và ôtô gặp nhau tại địa điểm C cách A120km Nếu xe máy khởi hành sau ôtô một giờ thì sẽ gặp nhau tại địađiểm D cách C 24km Tính vận tốc của ôtô và xe máy

3.48 Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc xác định Nếu vận tốc

tăng thêm 20km/h thì thời gian đi sẽ giảm một giờ, nếu vận tốc giảm bớt10km/h thì thời gian đi sẽ tăng thêm một giờ Tính vận tốc và thời gian đicủa ôtô

3.49 Một canô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng

63km Một lần khác, canô cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81km và

Bài tập Toán 9 Học kì 2ngược dòng 84km Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc thật của canô(vận tốc thật của canô không đổi)

3.50 Một ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định Nếu vận

tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến nơi sớm hơn 2 giờ Nếu vận tốc ca nô giảm

đi 3 km/h thì đến nơi chậm 3giờ Tính chiều dài khúc sông AB

3.51 Tổng của hai số là 115 Hai lần số lớn lớn hơn ba lần số bé là 30 Tìm hai

số đó

3.52 Tám năm trước tuổi mẹ bằng 2 lần tuổi con cộng thêm 8 Năm nay tuổi

mẹ vừa đúng gấp 2 lần tuổi con Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi ?

3.53 Tuổi hai anh em cộng lại bằng 21 Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em lúc

anh bằng em hiện nay Tính tuổi của mỗi người hiện nay

3.54 Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số

bé hơn số đã cho là 27 Tổng của số dã cho và số mới tạo thành bằng 99

3.55 Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu

tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36cm2, vànếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích của tamgiác giảm đi 26cm2

3.56 Diện tích một hình thang bằng 140cm2, chiều cao bằng 8cm Xác địnhchiều dài của các cạnh đáy, biết rằng các cạnh đáy hơn kém nhau 15cm

3.57 Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều rộng thêm 3m và tăng

chiều dài thêm 2m thì diện tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm cả chiều dàilẫn chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2 Tính diện tích thửa ruộng

đó

3.58 Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 540m Ba lần chiều rộng hơn hai

lần chiều dài là 60m Tính diện tích sân trường đó

3.59 Hôm qua mẹ Mai đi chợ mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết

12000 đồng Hôm nay mẹ Mai mua ba quả trứng gà và bảy quả trứng vịtchỉ hết 11600 đồng mà giá trứng thì vẫn không thay đổi Hỏi giá một quảtrứng mỗi loại là bao nhiêu ?

3.60 Một tam giác có chiều cao bằng ¾ cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm

3dm và cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2 Tínhchiều cao và cạnh đáy

3.61 Một hình chữ nhật có chu vi là 450m Nếu giảm chiều dài đi 1

5chiều dài

cũ, tăng chiều rộng thêm 1

4 chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật khôngđổi Tính chiều dài và chiều rộng của vườn

3.62 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 44

5 giờthì đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòithứ hai thì sau 6

5 giờ nữa mới đầy bể Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứhai thì sau bao lâu mới đầy bể ?

3.63 Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít Nếu đổ đầy nước vào bình

thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bìnhthứ hai chỉ được tới 1

2 thể tích của nó; hoặc bình thứ hai đầy nước cònbình thứ ba chỉ được tới 1

3 thể tích của nó Hãy xác định thể tích của mỗibình

3.64 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 1 giờ 20

phút thì đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và mở vòi thứ haitrong 12 phút thì chỉ được 1

15 bể Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian

để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?

3.65 Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong

trong 12 ngày Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 đượcđiều động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm Do cải tiến kĩ thuật, năng suấttăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3 ngày rưỡi.Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong việc trên (vớinăng suất bình thường) ?

3.66 Hai bình A và B chứa lần lượt 56 lít và 44 lít nước Nếu rót nước từ bình

A sang đầy bình B thì lượng nước còn lại trong bình A là nửa bình Nếu

Bài tập Toán 9 Học kì 2rót nước từ bình B sang đầy bình A thì lượng nước trong bình B còn lại là1

3 bình Tính dung tích mỗi bình

3.67 Hai giá sách có 450 quyển, nếu chuyển 50 quyển từ giá thứ nhất sang giá

thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng 4

5 số sách ở giá thứ nhất Tính sốsách ở mỗi giá

3.68 Hai công nhân cùng sơn của cho một công trình trong bốn ngày thì xong

việc Nếu người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ haiđến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi người làmmột mình thì trong bao lâu xong việc ?

3.69 Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày xong 1

6 cánhđồng trong 15 giờ Nếu máy thứ nhất làm một mình trong 12 giờ, máy thứhai trong 20 giờ thì cả hai sẽ cày được 20 cánh đồng Hỏi nếu mỗi máylàm một mình thì cày xong cánh đồng trong bao lâu ?

3.70 Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi

vữa và gạch có công nhân khã vận chuyển) Nếu người thứ nhất làm trong

5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được ¾ bức tường.Hỏi mỗi người làm một mình thì trong bao lâu họ xây xong bức tường ?

3.71 Trong phòng học có một số ghế dài Nếu xếp mỗi ghế ba học sinh thì sáu

học sinh không có chỗ Nếu xếp mỗi ghế bốn học sinh thì thừa một ghế.Hỏi lớp học có bao nhiêu học sinh và bao nhiêu ghế ?

3.72 Bài toán cổ: Một đàn em nhỏ đứng bên sông

To nhỏ bàn nhau chuyện chia bòngMỗi người năm quả thừa năm quảMỗi người sáu quả một người khôngHỏi người bạn trẻ đang dừng bước:

Có mấy em thơ, mấy quả bòng ?

1 x ( ) 1 y )(

2

x

(

) 4 y )(

3 x ( ) 2 y )(

3.76 Cho hai hệ phương trình :

(I) ax by 32ax 3by 36 

(a 1)x 2by 3a

( 3)x (b 1)y 12

a) Hệ (I) có nghiệm là (3 ; –2)

b) Hệ (II) có nghiệm (–2 ;1))

3.77 Với giá trị nào của k thì:



 vô nghiệm ? Vô số nghiệm ?

3.78 Xác định các giá trị của m và n để hệ phương trình: mx y n

b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a)

c) Tìm a để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa điều kiện x 2y = 0

x 2y 3z 9(a 1)x 2y az 7

3.83 Giải các phương trình sau:

3.85 Hai đoàn tàu khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750km và đi ngược

chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau Nếu đoàn tàu thứ nhất khởi hànhtrước đoàn tàu thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi đoàn tàu thứ hai đi được 8giờ chúng gặp nhau Tính vận tốc của mỗi đoàn tàu

3.86 Hai bình A và B chứa lần lượt là 56 lít và 44 lít nước Nếu rót nước từ

bình A sang đầy bình B thì lượng nước còn lại trong bình A là nửa bình.Nếu rót nước từ bình B sang đầy bình A thì lượng nước trong bình B cònlại 31 bình Tính dung tích mỗi bình

3.87 Hai người cùng làm chung công việc trong 20 ngày sẽ hoàn thành Sau

khi làm chung được 12 ngày thì một trong hai người đi làm việc kháctrong khi đó người kia vẫn tiếp tục làm Đi được 12 ngày, người thứ nhấttrở về làm tiếp 6 ngày nữa (trong 6 ngày đó người thứ hai nghỉ) và côngviệc được hoàn thành Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trongbao nhiêu ngày để hoàn thành công việc

3.88 Tìm một số có hai chữ số biết rằng 3 lần chữ số hàng chục bét hơn 5 lần

chữ số hàng đơn vị là 5 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vịđược thương là 1 và dư cũng là 1

3.89 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 50m Nếu tăng chiều rộng thêm

10m đồng thời giảm chiều dài đi 5m thì diện tích tăng thêm 50m2 Tínhkích thước của khu vườn

3.90 Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất Nếu hai đội cùng làm thì trong

12 ngày xong việc Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong 8 ngày Sau đó đội

Bài tập Toán 9 Học kì 2thứ nhất làm tiếp một mình trong 7 ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi độilàm một mình thì trong bao lâu xong việc

3.91 Trong diệp tổng kết năm học vừa qua Công ti A có tài trợ một số tập để

trao tặng cho một số học sinh đạt loại giỏi của trường THCS Cây Sung.Biết rằng nếu mỗi học sinh nhận được 5 cuốn tập thì còn thừa 24 cuốn;còn nếu mỗi học sinh nhận được 6 cuốn tập thì lại có 10 học sinh không

có Hỏi có công ti A đã tài trợ bao nhiêu cuốn tập và trường THCS CâySung có bao nhiêu học sinh giỏi trong năm học qua

Chương 4 HÀM SỐ BẬC HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 Là một đường cong Parabol

 Đi qua gốc tọa độ (nhận O làm đỉnh)

 Nhận trục tung làm trục đối xứng

 Nằm phía trên trục hoành và có đỉnh O là điểm thấp nhất (nếu a > 0)

 Nằm phía dưới trục hoành và có đỉnh O là điểm cao nhất (nếu a < 0)

III Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠0)

Thực hiện theo các bước sau:

1. Hàm số y = ax 2 (a ≠ 0) xác định x  R.

2. Tính biến thiên : phụ thuộc vào a > 0 (hoặc a < 0) (như phần I.2)

3. Bảng giá trị : tính tọa độ ít nhất 5 điểm, trong đó có tọa độ của điểm thấp nhất (a > 0) hoặc điểm cao nhất (a < 0).

Bài tập Toán 9 Học kì 2

4. Vẽ đồ thị và nhận xét : đồ thị của hàm số y = ax 2 (a ≠ 0) là một đường cong parabol (như phần II).

 Ví dụ :

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = ax 2 , biết đồ thị của nó đi qua điểm A(2; 1).

b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: M(–8; –16) và N(–6;9)

c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hoành độ là  2 , điểm Q có tung độ bằng 3.

là một đường cong parabol (P):

- Đi qua gốc tọa độ.

b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: M(–8; –16) và N(–6;9)

Vậy có 2 điểm Q thỏa đề bài: Q ( 2 3;3 ), Q ( 2 3;3 ) 1  2

4.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y 2x 2 b)

2xy4

2xy2

4 x

2 2

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).

c) Các điểm nào sau đây thuộc (P): B( 3 2; 4); C( 2 3; 3) 

e) Tìm trên (P) các điểm cách đều 2 gốc tọa độ

4.4 a) Trên một hệ trục tọa độ, vẽ parabol (P) có đỉnh O và đi qua A( 3; 3)b) Tìm các điểm thuộc (P) có tung độ bằng – 2

c) Vẽ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm – 5 vàcắt (P) tại M, N tính diện tích OMN

d) Biện luận theo m, n số giao điểm của (P) với đường thẳng (D): y = m(m  R) và (D): x = n (n  R)

4.5 Cho ham số y 1 m 1 x  2

a) Tìm điều kiện để hàm số đồng biến khi x < 0

b) Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến khi x < 0

c) Tính m để đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2;2)

d) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ parabol (P) ứng với m vừa tìm được ởcâu c và các đường thẳng (D1): y = 2x; (D2): y = 2x – 1 và (D3): y = 2x – 3

e) Xác định tọa độ giao điểm của (P) với mỗi đường thẳng (D1), (D2),(D3) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép toán

c) Đường thẳng y = m cắt (P) tại hai điểm A và B tìm giá trị của m để

OAB đều Khi đo, hãy tính diện tích OAB

 Nếu a và c cùng dấu (a.c > 0), thì phương trình vô nghiệm.

 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

III Công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai:

1 Nếu có a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x 1 = 1 ; x 2 = c

- Nếu  < 0: phương trình (1) vô nghiệm

- Nếu  = 0: phương trình (1) có nghiệm kép x 1 x 2 b

 Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:

- Nếu  < 0: phương trình (1) vô nghiệm

- Nếu  = 0: phương trình (1) có nghiệm kép x 1 x 2 b'

IV.Một số điều cần lưu ý

1.  = b 2 – 4ac = (2b) 2 – 4ac = 4(b 2 = ac) = 4

2 Nếu a và c trái dấu (a.c < 0) thì ta khẳng định phương trình bậc hai

có 2 nghiệm phân biệt.

3 Khi phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 , x 2 thì ta có:

Bài tập Toán 9 Học kì 2g) 2x2 – 3(2x – 3)2 = 0 h) 9(x – 2)2 – 4(x – 1)2 = 0

4.10 Giải các phương trình sau (giải trực tiếp):

a) x2 + 8x = – 2 b) 3x2 + 4x – 4 = 0 c) 2x2 + 5x + 2 = 0d) x2 – 5x + 6 = 0 e) x2 – 3x = 7 f) 3x2 – 12x + 1 = 0 g) 3x2 – 6x + 5 = 0 h) x2 – 4x + 3 = 0 i) x2 + 6x – 16 = 0j) 3x2 + 2x – 1 = 0 k) x2 – 3x + 2 = 0 l) 2x2 – 6x + 1 = 0m) 4x2 – 12x + 5 = 0 n) 2x2 + 5x + 3 = 0 o) x2 + x – 2 = 0p) x2 – 4x + 3 = 0 q) 2x2 + 5x – 3 = 0 r) 2x2 – 6x + 1 = 0s) 3x2 + 12x – 66 = 0 t) 9x2 – 30x + 225 = 0 u) x2 + 3x – 10 = 0v) 3x2 – 7x + 1 = 0 w) 3x2 – 7x + 8 = 0 z) 4x2 – 12x + 9 = 0

4.11 Giải các phương trình sau (dùng công thức nghiệm):

a) 7x2 – 2x + 3 = 0 b) x2 – 4x + 1 = 0 c) 1,7x2 – 1,2x –2,1 = 0d) 2x2 – 7x + 3 = 0 e) 6x2 + x + 5 = 0 f) 6x2 + x – 5 = 0 g) x2 – 8x + 16 = 0 h) 16x2 + 24x + 9 = 0 i) 2x2 – 5x + 1 = 0j) 4x2 + 4x + 1 = 0 k) 5x2 – x + 2 = 0 l) –3x2 + 2x + 8 = 0m) 2x2 –2 2 x +1= 0 n) 3x2 – 7x + 2 = 0 o) 3x2 + 7,9x +3,36 = 0p) x2 + 3x – 10 = 0 q) 3x2 – 7x +1 = 0 r) 3x2 – 7x + 8 = 0s) 3x2 + 12x – 66 = 0 t) 4x2 – 12x + 9 = 0 u) 3x2 – 5x – 8 = 0v) 5x2 – 3x + 15 = 0 w) 5x2 +2 10 x+2 =0 z) 2x2–(1–2 2 )x– 2 = 0

4.12 Giải các phương trình sau (dùng công thức nghiệm thu gọn):

a) 4x2 + 4x + 1 = 0 b) 5x2 – 6x + 1 = 0 c) –3x2 + 4 6 x +4 = 0d) 2013x2 –14x+1= 0 e) 5x2 – 6x – 1 = 0 f) –3x2 + 14x – 8 = 0g) –7x2 + 4x = 3 h) 9x2 + 6x + 1 = 0 i) –3x2 + 2x + 8 = 0j) 2x2 – 6x + 1 = 0 k) 3x2 + 4x – 4 = 0 l) x2 + 2 3 x – 6 = 0

4.13 Giải các phương trình sau:

a) 3x2 – 2x = x2 + 3 b) (2x – 2 )2 – 1 = (x + 1)(x – 1)c) 3x2 + 3 = 2(x + 1) d) x2 + 2 + 2 2= 2(1 + 2 )xe) 10,5x(x + 1) = (x – 1)2 f) 3 x2 + 2x – 1 = 2 3x + 3g) –2 2 x – 4 = 2 x2 + 2x h) x2 – 3 3 = 2x2 + 2x + 3

i) 3 x2 + 2 5 x – 3 3 = – x2 – 2 3 x + 2 5

4.14 Chứng minh rằng:

a) Nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 cũng là nghiệm củaphương trình: – ax2 – bx – c = 0.

b) Phương trình ax2 + bx + c = 0 và phương trình ax2 – bx + c = 0 cùng

có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm

4.15 Hãy giải thích vì sao khi a.c < 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hainghiệm phân biệt ?

Áp dụng : Không tính , hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau luôn

có nghiệm

a) 3x2 – x – 8 = 0 b) 2014x2 + 2x – 2013 = 0

c) 2050x2 + 5x – m2 = 0 d) 3 2 x2 + ( 3 – 2 )x + 2 – 3 = 0 e) 15x2 + 4x – 2013 = 0 d) –3,8x2 – 3 x + 1890 = 0

4.16 Biết rằng nếu ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì

f(x) = ax 2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 )

Áp dụng : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) A = 2x2 + 3x – 5 b) B = –3x2 + 7x + 10 c) C = 2x2 + x – 21d) D = 2x2 + 5x – 7 e) E = x2 – 2x – 63 f) F = x6 – 9x3 + 8

4.17 Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phương trình:

4.20 Chứng minh rằng với mọi a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương

trình sau đây có nghiệm :

a) x2 + ax + b – 1 = 0 (1) b) ax2 + 2bx + c = 0 (1)

x2 + bx + c – 1 = 0 (2) bx2 + 2cx + a = 0 (2)

x2 + cx + a – 1 = 0 (3) cx2 + 2ax + b = 0 (3)

Bài tập Toán 9 Học kì 2

4.21 Cho ba số a, b, c dương khác nhau và có tổng bằng 12 Chứng minh rằng

trong ba phương trình sau có một phương trình vô nghiệm, có mộtphương trình có nghiệm

4.26 Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau và c  0 Biết rằng các phương trình

x2 + ax + bc = 0 và x2 + bx + ca = 0 có ít nhất nghiệm chung Tìmnghiệm chung đó

4.27 Chứng minh rằng: nếu hai phương trình x2 + px + q= 0 và x2 + mx + n = 0

có nghiệm chung thì : (n – q)2 + (m – p)(mq – np) = 0

4.28 Cho 2 phương trình: 2x2 – 13x + 2m = 0 (1) và x2 – 4x + m = 0 (2)Định m để một nghiệm của phương trình (1) gấp đôi một nghiệm củaphương trình (2)

4.29 Cho hai phương trình: x2 – x + m = 0 (1) và x2 – 3x + m = 0 (2)

Định m để một nghiệm( 0) của phương trình (2) gấp đôi một nghiệmcủa phương trình (1)

4.30 Cho hai phương trình: x2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + dx + a = 0 (2)Biết rằng phương trình (1) có các nghiệm m và n, phương trình (2) có cácnghiệm là p và q Chứng minh rằng: m2 + n2 + p2 + q2  4

C – Giải và biện luận phương trình có chứa tham

số dạng ax2 + bx + c = 0

I Phương trình dạng ax2 + bx + x = 0 có chứa tham số:

Phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 (1) có các hệ số a, b, c phụ thuộc tham số.

 Ví dụ 1: Phương trình mx 24( m 1)x 2m 2 0    là phương trình

ẩn x, các hệ số a = m, b = 4(m – 1), c = 2m – 2 phụ thuộc tham số m

II Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + x = 0

Các bước giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0 có các hệ số

- Xét dấu của  trong 3 trường hợp:  < 0,  = 0 và  > 0.

III Điều kiện có nghiệm

Cho phương trình : ax 2 + bx + c = 0 Điều kiện để phương trình :

 Có hai nghiệm là :  

 



a 0 0

 Có hai nghiệm phân biệt là :  

 



a 0 0

 Ví dụ 2: Cho phương trình: mx 24( m 1)x 2m 2 0    (1).Tìm giá trị của m để phương trình:

a) Có nghiệm bằng – 1 b) Có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó.

c) Có hai nghiệm phân biệt:

(1) có hai nghiệm phân biệt a 0 m 0

Vậy với 1 < m < 2 thì (1) vô nghiệm.

4.31 Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:

a) 3x2 – 4x + m = 0 b) 4x2 + 4(m–1)x + m2+1 = 0

c) mx2 + 3x – m = 0 d) (m + 1)x2 – 2mx + m – 3= 0e) mx2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0 f) 2x2 – (4m + 3)x + 2m2 – 1 = 0

4.32 Giải và biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:

a) mx2 2(m 1)x m 3 0    b) (m 3)x 2 2(3m 1)x 9m 1 0   c) 4x24(m 1)x m  2 1 0 d) (m 1)x 22(m 1)x m 5 0   e) x2(m 1)x 2m 2 0    f) (m21)x2 2(m 1)x 1 0  g) (x 2)(mx 2 m) 0    h) (m 2)x 2 2(m 1)x m 0  

4.33 Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:

a) 3x2 – 4x + m = 0 b) 4x2 + 4(m–1)x + m2 + 1 = 0

c) mx2 + 3x – m = 0 d) (m + 1)x2 – 2mx + m – 3= 0e) m2x2 + mx + 5 = 0 f) 9x2 – 6mx + m(m – 2) = 0

4.34 Tìm giá trị của m để phương trình sau vô nghiệm:

4.36 Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép, tính nghiệm kép đó:

 (P) và (d) khong giao nhau

 Xác định tọa độ giao điểm (nếu có)

II Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P):

1 (D) tiếp xúc với (P) và (D) // (D1) [hoặc (D)  (D2)]:

 Viết phương trình đường thẳng dạng y = ax + b (D)

 Từ (D) // (D 1 ) hoặc (D)  (D 2 ): tính a

 Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D)

 Cho  = 0 để tính b.

2 (D) tiếp xúc với (P) tại điểm M thuộc (P), biết xM:

3 (D) tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A nằm ngoài (P):

 Viết phương trình đường thẳng dạng y = ax + b (D)

 Vì A(x A ; y A )  (D)  Tính b theo a.

 Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D)

 Cho  = 0 để tính a, suy ra b.

III Biện luận sự tương giao giữa (P): y = ax2 và đường thẳng

(D): y = bx + c (phương trình bậc nhất hai ẩnng trình của (P), (D) có chứa tham số)

 Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D):

ax2 – bx – c = 0 (1)

 Biện luận phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) (xem phần giải và biện luận phương trình) Số nghiệm của phương trình

là số điểm chung của (P) và (D)

- (1) vô nghiệm: (P) và (D) không giao nhau.

- (1) có nghiệm kép: (P) và (D) tiếp xúc nhau (khi đó (D) gọi là

tiếp tuyến của Parabol; điểm tiếp xúc gọi là tiếp điểm).

- (1) có 2 nghiệm phân biệt: (P) và (D) cắt nhau tại 2 điểm.

4.37 Tìm tọa độ giao điểm của (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + 2:a) Bằng đồ thị b) Bằng phép toán

4.38 Dùng đồ thị để giải các phương trình sau và thử lại bằng phép toán:

4.39 Cho parabol (P): yx2 và điểm A( 3; 8)  Viết phương trình đườngthẳng (d) qua điểm A và tiếp xúc với (P)

a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và có hệ số góc m.

b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) Tính tọa độ tiếp điểm

b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A Khảo sát tính biếnthiên và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được

c) Tìm phương trình của đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A

4.46 Cho parabol (P) có đỉnh O; đi qua điểm A(2; 4) và đường thẳng



 điểm A sao cho từ đó vẽ được tiếp tuyến

với (P) vuông góc với đường thẳng (d): y x

a) Chứng minh (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b) Trên (P) lấy hai điểm A và B lần lượt có hoành độ là –2; 1 Viếtphương trình đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường thẳng (d1) // AB và (d1) tiếp xúc với (P) Tìmtọa độ tiếp điểm N

4.49 Cho parabol (P): y = ax2 (a  0) đi qua điểm A(–2; 4) và tiếp xúc với đồthị (d) của hàm số y = (m – 1)x – (m – 1) Tính tọa dộ tiếp điểm

4.50 Trên cùng một hệ trục tọa độ cho đường thẳng (d) và parabol (P) có

phương trình (d): y = k(x – 1), (P): y = x2 – 3x + 2 (với k là tham số).a) Chứng tỏ rằng: Với mọi giá trị của k, (d) và (P) luôn luôn có điểmchung

b) Trong trường hợp (d) tiếp xúc với (P), tìm tọa độ tiếp điểm

Bài tập Toán 9 Học kì 2

4.52 Biện luận sợ tương giao giữa parabol (P): y = mx2 (m  0) và đườngthẳng (d): y = (2m + 3)x – m + 2 (với m là tham số) Trường hợp tiếp xúchãy tính tọa độ tiếp điểm

4.53 Cho 2 điểm A và B thuộc parabol (P): y x 2 (xA = – 3; xB = 1) Gọi (d1),(d2) lần lượt là tiếp tuyến với (P) tại A và B Tìm tọa độ giao điểm I của(d1) và (d2)

4.54 Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 đi qua A(2; –1)

và (d) là đồ thị hàm số y = – x + m (m là tham số)

a) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) và tìm tọa độ tiếp điểm

b) Gọi B là giao điểm của (d) (ở câu a) với trục tung C là điểm đối xứngcủa A qua trục tung Chứng tỏ rằng C nằm trên (P) và ABC vuôngcân

4.55 Cho A(1; 2) và M(m; 0) (m  R).

a) Viết phương trình của đường thẳng (AM) theo m (m  1)

b) Tìm m để (AM) tiếp xúc với (P): 1 2

2

 (m  1)c) Khi M di động trên xx, tìm m để AM nhỏ nhất và tính diện tích

II Áp dụng

1 Hai trường hợp đặc biệt về nghiệm của phương trình bậc hai:

 Khi a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x 1 = 1 ; x 2 = c

a .

 Khi a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x 1 = –1 ; x 2 = – c

a .

2 Tìm hai số biết tích và tổng của chúng:

Nếu hai số có tổng là S và tích bằng P (với S 2 – 4P  0) thì hai số đó

là nghiệm của phương trình : X 2 – SX + P = 0

3 Viết phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1 và x 2 :

 Tính tổng S = x 1 + x 2 và P = x 1 x 2

 Phương trình cần viết là: x 2 – Sx + P = 0

 Có thể viết phương trình như sau: (x – x 1 )(x – x 2 ) = 0

 Khai triển để đưa về dạng phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a  0)

4 Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức liên quan đến 2 nghiệm:

 Chứng minh phương trình có nghiệm.

 Tính S = x 1 + x 2 và P = x 1 x 2 của phương trình.

 Biểu diễn biểu thức theo S và P rồi tính giá trị theo giá trị của S

 Giải phương trình (tính m) và chọn giá trị m thỏa điều kiện (1).

6 Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai:

Cho phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (a  0) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) thỏa:

 Hai nghiệm trái dấu  P < 0

 Hai nghiệm phân biệt cùng dấu   

Chú ý : Nếu đề bài yêu cầu phương trình có hai nghiệm thì trong các

trường hợp trên ta thay  > 0 thành  0.

4.57 Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích (nếu có) của các phương

trình sau: