Bảng nguyên hàm của một số hàm số th ờng gặp Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Nguyên hàm của các hàm số hợp u=ux Đặc biệt u=ax+b với a0... Một số ph ơng pháp tìm ngnuyên hàm a Ph
Trang 11 Bảng đạo hàm
( )x n nx n (n N n, 1)
' 1 ( )
2
x
x
'
2
(u u x( ) 0)
' 1 '
' ' ' '
2
( )
2 1
( ( ) 0)
u nu u n N n
u u
u u
u u x
sinx 'cosx
cosx ' sinx
2
1
x
2
1
sin
sinu 'u'cosu
cosu 'u'sinu
' ' 2
u
u
' '
2
sin
u
2 Đạo hàm của tổng, hiệu, th ơng
' ' ' ' ' ' ' ' '
2
( )
( ( ) 0)
u v u v
u v u v
uv u v uv
u u v uv
v v x
3 Vi phân
'
'
( ) ( )
dy df x f x x
f x x f x f x x
4 Đạo hàm cấp hai
( )n ( ) ( (n 1)( ))'
f x f x
5 Bảng nguyên hàm của một số hàm số th ờng gặp
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
cơ bản Nguyên hàm của các hàm số hợp u=u(x) Đặc biệt u=ax+b với a0
Trang 2
1
2
2
2
2
1 ln
cos
sin sin
cos cos
sin
ln
x
x
x
dx
x C
x
xdx x C
xdx x C
dx
x dx
x x
x x
x
e dx e C
a
a dx C
a
1
2
2
2
2
1 ln
cos
sin sin
cos cos
sin
ln
u u
u
du
u C u
udu u C udu u C
du
u du
u u
u u
u
e du e C
a
a dx C
a
1
2
2
2
2
( 1) ln
sin( ) cos( )
cos( ) sin( )
tan( )
1 tan ( )
cos ( )
cot( )
1 cot ( )
sin ( ) tan(
ax b
a
ax b dx
C
ax b a
ax b
a
ax b
a
ax b
( ) ( )
( ) ( )
ln cos( ) sin( )
) cos( )
ln sin( ) cos( )
cot( )
sin( )
ln
ax b
ax b
ax b
ax b
ax b
ax b
ax b
ax b
e
a a
a a
6 Một số ph ơng pháp tìm ngnuyên hàm
a) Phơng pháp đổi biến số
Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y=f(u) liên tục sao cho f[(u)] xác định trên K Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là f u du F u( ) ( )C thìf u x u x dx F u x ( ) '( ) ( )C
b) Phơng pháp lấy nguyên hàm từng phần
Nếu u,v là hai hàm có đạo hàm liên tục trên Kthì: u x v x dx u x v x( ) ( )' ( ) ( ) u x v x dx'( ) ( ) hay udv uv vdu
