Giáo trình kỹ thuật - Phương pháp phần tử hữu hạn

Giáo trình kỹ thuật - Phương pháp phần tử hữu hạn - Lý thuyết - Bài tập - Chương trình MATLAB

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

TRẦN ÍCH THỊNH NGÔ NHƯ KHOA

GS, TS Trần Ích Thịnh

TS Ngô Như Khoa

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB

MỞ ĐẦU

Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn

dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên Nội dung giáo trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ, Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu hàn v.v.:

- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,

- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau,

- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH

Giáo trình biên soạn gồm 13 chương

Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần

tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3) Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương

4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5) Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7) Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và khung Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và hai chiều Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn Phần

áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được giới thiệu trong chương 12 Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán động lực học một số kết cấu

Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 13) đều có chương trình Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình

Giáo trình được biên soạn bởi:

trong "không gian qui chiếu", do đó rất thuận lợi trong tính toán và lập trình

Có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên Cao học và nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật liên quan

Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc

Tập thể tác giả

MỤC LỤC

Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1 Giới thiệu chung 1

2 Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn 1

3 Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn 2

3.1 Nút hình học 2

3.2 Qui tắc chia miền thành các phần tử 2

4 Các dạng phần tử hữu hạn 3

5 Phần tử quy chiếu, phần tử thực 4

6 Một số dạng phần tử quy chiếu 5

7 Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất 6

8 Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần 7

9 Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn 8

Chương 2 ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 1 Đại số ma trận 11

1.1 Véctơ 11

1.2 Ma trận đơn vị 12

1.3 Phép cộng và phép trừ ma trận 12

1.4 Nhân ma trận với hằng số 12

1.5 Nhân hai ma trận 13

1.6 Chuyển vị ma trận 13

1.7 Đạo hàm và tích phân ma trận 14

1.8 Định thức của ma trận 14

1.9 Nghịch đảo ma trận 15

1.10 Ma trận đường chéo 16

1.11 Ma trận đối xứng 16

1.12 Ma trận tam giác 16

2 Phép khử Gauss 17

2.1 Mô tả 17

2.2 Giải thuật khử Gauss tổng quát 18

Chương 3 THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 1 Các ví dụ 22

1.1 Ví dụ 1 22

1.2 Ví dụ 2 24

2.1 Nguyên tắc chung 28

2.2 Thuật toán ghép nối phần tử: 29

Chương 4 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 1 Mở đầu 31

2 Mô hình phần tử hữu hạn 31

3 Các hệ trục toạ độ và hàm dạng 32

4 Thế năng toàn phần 35

5 Ma trận độ cứng phần tử 36

6 Qui đổi lực về nút 37

7 Điều kiện biên, hệ phương trình phần tử hữu hạn 38

8 Ví dụ 40

9 Chương trình tính kết cấu một chiều – 1D 46

10 Bài tập 50

Chương 5 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 1 Mở đầu 52

2 Hệ toạ độ địa phương, hệ toạ độ chung 52

3 Ma trận độ cứng phần tử 54

4 Ứng suất 55

5 Ví dụ 55

6 Chương trình tính hệ thanh phẳng 57

7 Bài tập 67

Chương 6 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU 1 Mở đầu 71

1.1 Trường hợp ứng suất phẳng 72

1.2 Trường hợp biến dạng phẳng 72

2 Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác 73

3 Biểu diễn đẳng tham số 76

4 Thế năng 79

5 Ma trận độ cứng của phần tử tam giác 79

6 Qui đổi lực về nút 80

7 Ví dụ 83

8 Chương trình tính tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng 88

9 Bài tập 99

Chương 7 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG

1 Mở đầu 103

2 Mô tả đối xứng trục 103

3 Phần tử tam giác 104

4 Chương trình tính kết cấu đối xứng trục 114

5 Bài tập 122

Chương 8 PHẦN TỬ TỨ GIÁC 1 Mở đầu 126

2 Phần tử tứ giác 126

3 Hàm dạng 127

4 Ma trận độ cứng của phần tử 129

5 Qui đổi lực về nút 131

6 Tích phân số 132

7 Tính ứng suất 136

8 Ví dụ 136

9 Chương trình 138

10 Bài tập 150

Chương 9 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG 1 Giới thiệu 152

2 Thế năng 153

3 Hàm dạng Hermite 153

4 Ma trận độ cứng của phần tử dầm 155

5 Quy đổi lực nút 157

6 Tính mômen uốn và lực cắt 158

7 Khung phẳng 159

8 Ví dụ 161

9 Chương trình tính dầm chịu uốn 166

10 Bài tập 175

Chương 10 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 1 Giới thiệu 178

2 Bài toán dẫn nhiệt một chiều 178

2.2 Phần tử một chiều 178

2.3 Ví dụ 180

3 Bài toán dẫn nhiệt hai chiều 182

3.1 Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 182

3.2 Điều kiện biên 183

3.3 Phần tử tam giác 184

3.4 Xây dựng phiếm hàm 185

3.5 Ví dụ 189

4 Các chương trình tính bài toán dẫn nhiệt 192

4.1 Ví dụ 10.1 192

4.2 Ví dụ 10.2 197

5 Bài tập 203

Chương 11 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 1 Giới thiệu 206

2 Lý thuyết tấm Kirchhof 206

3 Phần tử tấm Kirchhof chịu uốn 209

4 Phần tử tấm Mindlin chịu uốn 215

5 Phần tử vỏ 218

6 Chương trình tính tấm chịu uốn 221

7 Bài tập 231

Chương 12 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE 1 Giới thiệu 234

2 Phân loại vật liệu Composite 234

3 Mô tả PTHH bài toán trong trạng thái ứng suất phẳng 236

3.1 Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng 236

3.2 Ví dụ 238

4 Bài toán uốn tấm Composite lớp theo lý thuyết Mindlin 241

4.1 Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin 241

4.2 Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn 246

5 Chương trình tính tấm Composite lớp chịu uốn 250

6 Bài tập 267

Chương 13 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU

2 Mô tả bài toán 268

3 Vật rắn có khối lượng phân bố 270

4 Ma trận khối lượng của phần tử có khối lượng phân bố 272

4.1 Phần tử một chiều 272

4.2 Phần tử trong hệ thanh phẳng 272

4.3 Phần tử tam giác 273

4.4 Phần tử tam giác đối xứng trục 274

4.5 Phần tử tứ giác 275

4.6 Phần tử dầm 275

4.7 Phần tử khung 276

5 Ví dụ 276

6 Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm và khung 277

6.1 Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm 277

6.2 Chương trình tính tần số dao động tự do của khung 282

7 Bài tập 287

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Chương 1

GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1 GIỚI THIỆU CHUNG

Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao

một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng

Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS, TITUS, MODULEF, SAP 2000, CASTEM

2000, SAMCEF v.v

Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc

tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính

cơ bản của phương pháp

2 XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.) Ta chia V ra nhiều miền

con v e có kích thước và bậc tự do hữu hạn Đại lượng xấp xỉ của đại

lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền v e

Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con v e được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:

- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con v e chỉ liên quan đến những biến

nút gắn vào nút của v e và biên của nó,

- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con v e được xây dựng sao cho

chúng liên tục trên v e và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau

- Các miền con v e được gọi là các phần tử

Việc chia miền V thành các phần tử v e phải thoả mãn hai qui tắc

sau:

- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1)

- Tập hợp tất cả các phần tử v e phải tạo thành một miền càng gần

với miền V cho trước càng tốt Tránh không được tạo lỗ hổng

4 CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

5 PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC

Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có

dạng phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay

phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là v r Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể

biến đổi nó thành từng phần tử thực v e nhờ một phép biến đổi hình học

r e Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2)

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau:

a Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm 

trong phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của v r ứng với

một và chỉ một điểm của v e và ngược lại

b Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng

Chú ý:

- Một phần tử qui chiếu v r được biến đổi thành tất cả các phần tử

thực v e cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau Vì vậy, phần

tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ

- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản

-  (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử

6 MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU

Phần tử qui chiếu một chiều

Phần tử qui chiếu hai chiều

Phần tử qui chiếu ba chiều

1



vr

10,0

1



vr

10,0

Phần tử sáu mặt

7 LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT

Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng

vr

0,1,00,0,0

0,0,1

Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:

u = [u, v, w] T (1.1) Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:

 = [ x ,  y ,  z ,  yz ,  xz ,  xy ] T (1.2) Trường hợp biến dạng bé:

T

x

v y

u x

w z

u y

w z

v z

w y

v x

suất với biến dạng:

000

05

000

00

00

50000

00

01

00

01

00

01

211

, ,

,

E D

E là môđun đàn hồi,  là hệ số Poisson của vật liệu

8 NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

Thế năng toàn phần  của một vật thể đàn hồi là tổng của năng

lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:

Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một

đơn vị thể tích được xác định bởi:  T 

T V

T

P u TdS u FdV u W

T V

T V

T

P u TdS u dV f u dV

Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn,

trong tất cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân

bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu

thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định

9 SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU

HẠN

Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:

Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông

tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt ), các thông tin

về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên);

Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f

của mỗi phần tử;

Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F

chung cho cả hệ (ghép nối phần tử);

Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến

đổi ma trận độ cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F;

Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ

chuyển vị chung Q;

Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên

Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị

của các đại lượng theo yêu cầu

Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);

Tính toán ma trận độ cứng phần tử k Tính toán véctơ lực nút phần tử f

Giải hệ phương trình KQ = F (Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)

Đọc dữ liệu đầu vào

- Các thông số cơ học của vật liệu

- Các thông số hình học của kết cấu

- Các thông số điều khiển lưới

- Tải trọng tác dụng

- Thông tin ghép nối các phần tử

- Điều kiện biên

Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F

Áp đặt điều kiện biên

(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)

Tính toán các đại lượng khác (Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)

Chương 2

ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN

Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường

liên quan đến một loạt các phép toán trên ma trận Vì vậy, các phép

toán cơ bản trên ma trận và phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải

hệ phương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dung chính được đề cập trong

chương này

1 ĐẠI SỐ MA TRẬN

Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các

công cụ cơ bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến

tính, có dạng như sau:

n n nn n

n

n n

n n

b x a x a x a

b x a x a x a

b x a x a x a

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

(2.1)

trong đó, x1, x2, …, x n là các nghiệm cần tìm Hệ phương trình (2.1) có

thể được biểu diễn ở dạng thu gọn:

trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n  n), và x và b là các

véctơ (n 1), được biển diễn như sau:

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 22

21

1 12



2 1

b



2 1

1.1 Véctơ

Một ma trận có kích thước (1 n) được gọi là véctơ hàng, ma trận

có kích thước (n  1) được gọi là véctơ cột Ví dụ một véctơ hàng (1

4):

2 2 12 6



r

001

I

1.3 Phép cộng và phép trừ ma trận

Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m  n) Tổng của

chúng là 1 ma trận C = A + B và được định nghĩa như sau:

1

581

5

23

phép trừ được định nghĩa tương tự

5

23

102

1.5 Nhân hai ma trận

Tích của ma trận A kích thước (m  n) với ma trận B kích thước (n

p) là 1 ma trận C kích thước (m p), được định nghĩa như sau:

ij a b c

70544

6

52

54413

582

Chú ý:

- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận A B là số cột của ma

trận A phải bằng số hàng của ma trận B

- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận A B

và B A, thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là

AB  BA

1.6 Chuyển vị ma trận

Chuyển vị của ma trận A = [a ij ] kích thước (m  n) là 1 ma trận, ký

hiệu là A T có kích thước là (n  m), được tạo từ ma trận A bằng cách

chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận A T Khi đó, (A T ) T = A

52

54

624

T

A

Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma

trận thành phần theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:

(A BC) T =C T B T  A T (2.7)

1.7 Đạo hàm và tích phân ma trận

Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải

là 1 hằng số, chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến Ví dụ:

y x

xy x y x A

46

2

5

2 2

Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay

tích phân Phép đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản

là lấy đạo hàm (hay lấy tích phân) đối với mỗi phần tử của ma trận:

A dx

phương trình PTHH trong các chương sau Xét ma trận vuông A, kích

thước (n  n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x 1 x 2 x n } T chứa các

biến Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến x p sẽ là:

p p

a Ax dx

d

)(

(2.10)

trong đó, a p là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A

1.8 Định thức của ma trận

Cho ma trận vuông A = [a ij ], kích thước (n  n) Định thức của ma

trận A được định nghĩa như sau:

ij ij j i

n n

n

A a

A a

A a

A a

A

1

1 1

1 12

12 11 11

)det(

1

)det(

1)

det(

)det(

n n

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

a a

a

a a

a

a a

3 33

32

2 23

22

11

2 1

2 22

21

1 12

11

Công thức (2.11) là công thức tổng quát Theo công thức này, định thức

của ma trận vuông có kích thước (n  n) được xác định theo phương

pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1  n-1) Trong

đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1  1) có:

1.9 Nghịch đảo ma trận

Cho ma trận vuông A, nếu det(A)  0, thì A có ma trận nghịch đảo

và ký hiệu là A-1 Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:

Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận

nghịch đảo Nếu det(A)  0 ta gọi A là ma trận không suy biến Khi đó,

nghịch đảo của A được xác định như sau:

A

adjA A

Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử a ij  1ijdet(A ji)

và A ji là ma trận thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i

12 22

1

22 21

12 11 1

det

1

a a

a a

A a

a

a a A

1.10 Ma trận đường chéo

Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần

tử trên đường chéo chính được gọi là ma trận đường chéo Ví dụ:

030

002

043

1132

A

1.12 Ma trận tam giác

Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác

dưới, tương ứng là các ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm

trên đường chéo chính bằng không

Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận

tam giác trên A và ma trận tam giác dưới B:

040

1132

043

002

B

2 PHÉP KHỬ GAUSS

Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:

Ax = b

trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n  n) Nếu detA  0, thì ta có

thể thực hiện phép biến đổi phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với

A -1 và nhận được nghiệm: x = A -1 b Tuy nhiên, trong hầu hết các bài

toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất lớn và các phần tử của A

thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma

trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp phải sai số do việc làm

tròn trong các phép tính Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công

cụ rất hữu ích cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính

2.1 Mô tả

Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh hoạ sau đây; sau đó tìm hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát Xét hệ phương trình:

15

2 2 3

1 x  x 

23

2 2 3

1 x  x 

47

0x1x2 x3  (21)

520

0x1x2 x3  (31)

Bước 2: khử x2 trong phương trình (31), ta được hệ:

15

2 2 3

1 x  x 

47

0x1x2 x3  (21)

9270

trên nó, (21) và (1) Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm như sau:

3

8

;3

hệ số là ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp thế

4710

1521

52010

4710

1521

41511

2352

1521

bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:

3

8

;3

5

;3

1

1 2

x

2.2 Giải thuật khử Gauss tổng quát

Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các

bước thực hiện đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như

i

nn nj

n n n

in ij

i i i

n j

n j

n j

b b

b b b

x x

x x x

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 3

33 32 31

2 2

23 22 21

1 1

13 12 11

(2.16)

Để thực hiện phương pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động

đến các ma trận hệ số A và ma trận các số hạng tự do b như sau:

n n n

in ij

i i i

n j

n j

n j

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

3 2 1

3 3

33 32 31

2 2

23 22 21

1 1

13 12 11

b b b





3 2 1

(2.17)

Bước 1 Sử dụng phương trình thứ nhất (hàng 1) để loại x1 ra khỏi các

phương trình còn lại Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong

vùng đã đánh dấu và làm cho các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của

cột 1 bằng không nhờ phép biến đổi (2.18) sau:

i b a

a b b

a a

a a a

i i i

j i ij ij

, ,2,

;

1 11

1 1

1 11

1 1

(2.18)

Bước 2 Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x 2 ra khỏi các

phương trình còn lại Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong

vùng đã đánh dấu dưới đây và làm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng

1 3 1 2

1 1

1 3 1 2

1 3 1

3 1

33 1 32

1 2 1

2 1

23 1 22

1 1

13 12 11

n n

in ij

i i

n j

n j

n j

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a a

1 3

1 2 1

n

i

b b

b b b



Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn

1 phần tử Một cách tổng quát, tại bước thứ k ta có:

, 1

1 ,

1 , 1

, 1

1 ,

1 , 1 1

, 1 1

1 , 1

2 3 2

3 2

33

1 2 1

2 1

23 1 22

1 1

13 12 11

000

000

000

00

0

k n k

j n k

k

k n i k

j k

k i

k n k k

j k k

k k

n j

n j

n j

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a a

a a

a a a

1 1

3 3

1 2 1

k n

k i

k k

b b b

b b b





 (2.20)

Ở bước này, các phần tử trong miền đánh dấu được tác động nhờ phép

j i b

a

a b

b

n k

j i a

a

a a

a

k k k kk

k ik k

i

k i

k kj k kk

k ik k

ij

k ij

, ,1,

;

, ,1,

;

1 1

1 1

1 1

1 1

) 2 ( 3

) 1 ( 2 1

4 3 2 1

) 1 (

) 3 ( 4 )

3 ( 44

) 2 ( 3 )

2 ( 34 ) 2 ( 33

) 1 ( 2 )

1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 22

1 14

13 12 11

0

n n n n nn

n n n n

b

b b b b

x

x x x x

a

a a

a a

a

a a

a a

a a

a a a

Từ hệ (2.22) này, bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên ta nhận

được các nghiệm của hệ phương trình (2.16) như sau (ở đây, để tiện

theo dõi, chúng ta bỏ qua ký hiệu chỉ số trên trong các hệ số của ma

trận A và b):

121

1

, , n , n i

; a

x a b

x ,

; a

b x

ii

n i j

j ij i

i nn

Chương 3

THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG

VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG

Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử

để tạo ra ma trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó

thiết lập hệ phương trình PTHH là một vấn đề quan trọng

Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực chung

Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên

Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ

137

371

218

064

149

521

263

137

421

00000

05021

00000

02063

01037

54321

432

371

218

524

2850121

00000

3120763

01037

54321

501

064

149

532

54200130

21303

1

00064

0

13349133

0103

7

5432

Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử

có 3 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do (Hình 3.2) Hãy mô tả quá trình ghép

nối ma trận độ cứng chung K và véctơ lực nút chung, theo các ma trận

độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1, k4, f1 và f4 cho trước như

sau:

8431694

5363097

7199293

2647322

7272873

4225768

7873026

5742191

5386123

i q q q q q q q q q q q

q21 21 2 1 2 2 1 2  1 2 3 4 9 10 Các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử 1 được gán các số ứng với bậc tự do tương ứng của nó và các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung

10 9 4 3 2 1

24 2 8 5 7 2

2 16 4 3 1 6

8 4 31 6 9 4

5 3 6 30 9 7

7 1 9 9 29 3

2 6 4 7 3 22

10 9 4 3 2 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 24 2 0 0 0 0 8 5 7 2

0 0 2 16 0 0 0 0 4 3 1 6

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 8 4 0 0 0 0 31 6 9 4

0 0 5 3 0 0 0 0 6 30 9 7

0 0 7 1 0 0 0 0 9 9 29 3

0 00 2 6 0 0 0 0 4 7 3 22

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

i q q q q q q q q q q q

q21 21 2 1 2 2 1 2  9 10 3 4 11 12

121143109

2874755

7272873

4225768

7873026

5742191

5386123

121143109

7277300002800

57433000012772

53339000012916

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

4214120000561394

78790000166097

0071000099293

0026000047322

121110987654321

005700001463

542679

541216000031063

2 THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F

Qua hai ví dụ trên ta thấy ma trận độ cứng chung K chính là tổng

của các ma trận mở rộng [k e ] của các phần tử Véctơ lực chung F cũng

chính là tổng của các véctơ lực mở rộng {f e} của các phần tử:



e e e

e F f k

Để chuẩn hoá các bước ghép nối, ta xây dựng bảng định vị index cho

mỗi phần tử Bảng index sẽ cho biết vị trí của mỗi số hạng của q n

trong Q n  Kích thước của bảng index là (noe  edof ), với edof là ký

hiệu cho số bậc tự do của phần tử và noe là ký hiệu cho tổng số phần

4 2 1





index

Q Q Q

5 2 4





index

Q Q Q

5 3 2





index

Q Q Q

Khi ấy:

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

10 9 4 3 2 1





index

Q Q Q Q Q Q

12 11 4 3 10 9





index

Q Q Q Q Q Q

Với sự giúp đỡ của bảng index, mỗi số hạng k ij của ma trận k e được

cộng vào K của [K] sao cho: IJ

I = index(e,i), với i = 1 sdof

J = index(e,j), với j = 1 sdof

hoặc:

j e j e i e

I F f

Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof  sdof) và

véctơ cột {F} có kích thước (sdof  1), với các số hạng bằng không

Trong đó, sdof là ký hiệu cho tổng số bậc tự do của các nút trong toàn

hệ

Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng

k ij của của ma trận phần tử k e vào số hạng K của ma trận [K]: IJ

),(),

,(

;:1,

k K

Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng

f i của của véctơ lực phần tử f vào số hạng FI của véctơ lực chung F:

),(

;:1

; i edof I index e i f

F

Sơ đồ thuật toán được mô tả như Hình 3.3 sau: