TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————— MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Sinh viên thực Cao Thị Mỹ Linh Người hướng dẫn : TS Nguyễn Thành Chung Quảng Bình - Tháng năm 2017 Mục lục Mục lục Mở đầu Một số kiến thức sở Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 1.1 Phương pháp biến đổi tương đương 1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 14 1.3 Phương pháp sử dụng hệ số bất định 24 1.4 Phương pháp lượng giác hóa 25 1.5 Phương pháp nhân với biểu thức liên hợp 28 1.6 Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số 30 1.7 Phương pháp dùng bất đẳng thức 33 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 40 2.1 Phương pháp biến đổi tương đương 40 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 44 2.3 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 53 2.4 Phương pháp đánh giá - dùng bất đẳng thức 56 2.5 Phương pháp hệ số bất định 59 2.6 Phương pháp giải hệ phương trình hoán vị vòng quanh 61 Chương CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH 68 3.1 Đề thi năm 2010 68 3.2 Đề thi năm 2011 70 3.3 Đề thi năm 2012 72 3.4 Đề thi năm 2013 74 3.5 Đề thi năm 2014 76 3.6 Đề thi năm 2015 78 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 81 Mở đầu Trong trình học tập nghiên cứu nhận thấy nội dung giải phương trình hệ phương trình đại số nội dung trọng tâm cần thiết cho giáo viên học sinh Đặc biệt, cấu trúc đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng đề thi trung học phổ thông quốc gia toán phương trình, hệ phương trình coi toán làm khó học sinh nhiều Chính vậy, để giải tốt toán phương trình hệ phương trình không đơn giản, cần phải vận dụng tốt phương pháp, hình thành kĩ trình làm Quan trọng hơn, giáo viên cần xâu chuỗi kiến thức cách đầy đủ logic trước giảng dạy ôn luyện cho học sinh, tạo cho học sinh hứng thú việc học tập phần đại số Vậy, để đạt hiệu tốt việc hệ thống lại phương pháp giải chương trình THPT, xin trình bày đề tài lần số phương pháp giải phương trình hệ phương trình đại số thường gặp cách tổng hợp muốn để người đọc thấy cách nhìn nhận quan sát để chuyển phương trình, hệ phương trình dạng quen thuộc phối hợp phương pháp với nhuần nhuyễn Nội dung khóa luận tập trung vào cách giải phương trình, hệ phương trình đại số hay đặc sắc bao gồm phương trình, hệ phương trình đa thức, phân thức, hữu tỉ vô tỉ (không xem xét phương trình lượng giác, mũ logarit) Khóa luận chia làm ba chương: • CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ • CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ • CHƯƠNG III: CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC KỲ THI Trong hai chương I chương II giới thiệu tổng hợp nhiều ví dụ điển hình toán phương trình, hệ phương trình đại số đặc trưng với phương pháp giải, có phân tích toán đưa hướng dẫn giải cụ thể Chương III chọn lọc toán đề thi tuyển sinh đưa phương pháp giải tổng hợp, giúp người đọc thấy linh hoạt việc vận dụng phương pháp vào giải toán Một số kiến thức sở Phương trình ẩn : Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), vế trái A(x) vế phải B(x) hai biểu thức biến x Phương trình bậc ẩn : Phương trình dạng ax + b = 0,với a b hai số cho a = , gọi phương trình bậc ẩn Cách giải: Sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình Phương trình ax + b = 0(với a = ) giải sau: a.x + b = ⇔ a.x = −b ⇔ x = −b a Vậy phương trình bậc ax + b = (với a = ) có nghiệm −b x = a Phương trình tích: Dạng A(x).B(x) =  A(x) = Cách giải: ta áp dụng công thức A(x).B(x) = ⇔  B(x) = Phương trình chứa ẩn mẫu Cách giải: • Bước : Tìm điều kiện phương trình • Bước : Quy đồng mẫu hai vế phương trình khử mẫu • Bước : Giải phương trình vừa nhận • Bước : Kết luận Trong giá trị ẩn vừa tìm bước 3, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Cách giải: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối cách sử dụng định nghĩa : • |a| = a a ≥ • |a| = −a a < Phương trình bậc hai ẩn : (nói gọn phương trình bậc hai) phương trình có dạng ax2 + bx + c = x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a = Công thức nghiệm phương trình bậc hai Đối với phương trình ax2 + bx + c = với a = biệt thức ∆ = b2 − 4ac • Nếu∆ = phương trình có hai nghiệm phân biệt √ √ −b + ∆ −b − ∆ x1 = , x2 = 2a 2a • Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a • Nếu ∆ < phương trình vô nghiệm Định lí vi-ét Nếu x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = với a =    x1 + x2 = −b a c   x1 x2 = a Phương trình trùng phương: Dạng ax4 +bx2 +c = 0, (a = 0) Cách giải: Đặt ẩn phụ t = x2 , điều kiện t ≥ ta phương trình bậc hai at2 +bt+c = Giải phương trình tìm t suy x 8 Điều kiện xác định: Khi giải phương trình f (x) = g(x), ta cần lưu ý tới điều kiện ẩn số x để f (x)và g(x)có nghĩa (tức phép toán thực được) Ta nói điều kiện xác định phương trình (hay gọi tắt điều kiện phương trình) Khi phép toán hai vế phương trình thực với giá trị x ta không ghi điều kiện phương trình Phương trình tham số: Trong phương trình (một nhiều ẩn), chữ đóng vai trò ẩn số có chữ khác, chữ xem số gọi tham số Tập nghiệm phương trình phụ thuộc vào tham số Giải biện luận phương trình chứa tham số nghĩa xét xem với giá trị tham số phương trình vô nghiệm, có nghiệm tìm nghiệm 10 Phương trình tương đương: Hai phương trình (cùng ẩn) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Nếu f (x) = g(x) tương đương với f1 (x) = g1 (x) ta viết: f (x) = g(x) ⇔ f1 (x) = g1 (x) Nếu thực phép biến đổi sau phương trình mà không làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương a) Cộng hay trừ vế với số biểu thức b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức có giá trị khác Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình thành phương trình tương đương đơn giản Các phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương 11 Phương trình hệ quả: Nếu nghiệm phương trình f (x) = g(x) nghiệm phương trình f1 (x) = g1 (x) phương trình f1 (x) = g1 (x) gọi phương trình hệ phương trình f (x) = g(x) Ta viết f (x) = g(x) ⇒ f1 (x) = g1 (x) Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 1.1 Phương pháp biến đổi tương đương Từ định nghĩa phương trình tương đương, ta dùng phép biến đổi tương đương để chuyển từ phương trình phức tạp chưa biết cách giải phương trình đơn giản biết cách giải để tìm tập nghiệm Ngoài cần ý đến phép biến đổi hệ quả, giúp tìm nghiệm phương trình cho Một số phép biến đổi tương đương thường dùng là: • Phép cộng (trừ) hai vế với biểu thức • Phép nhân (chia) hai vế với biểu thức khác x + = 2 − x 2x − 1 Hướng dẫn giải: Điều kiện: x = 2; x = Ví dụ 1.1 Giải phương trình: (1.1) ⇔ (1.1) 2x − + x(2 − x) =2 (2 − x)(2x − 1) ⇔ 2x − + 2x − x2 = 2(4x − − 2x2 + x) ⇔ 3x2 − + = ⇔ x = Thấy x = thỏa điều kiện, phương trình có tập nghiệm S = {1} 10 9x2 Ví dụ 1.2 Giải phương trình: x + = (x + 3)2 Hướng dẫn giải: Điều kiện x = −3 (1.2) 3x x2 (1.2) ⇔ x − =7 + x+3 x+3 x2 x2 ⇔ =7 + x+3 x+3 x2 ta có phương trình: Đặt y = x+3  y + 6y − = ⇔  y=1 y = −7 Nếu y = 1: Ta có phương trình x2 = x + ⇔ x = 1± √ 13 Nếu y = −7: Ta có phương trình x2 + 7x + 21 = √ (vô nghiệm) √ + 13 − 13 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = 2 Ví dụ 1.3 Giải phương trình: √ Hướng dẫn giải: Điều kiện x ≥ 3x + = x − (1.3) −7 • Cách 1: Ta có   x≥1  √ x−1≥0 ⇔ 3x + = x − ⇔  3x + = (x − 1)2  x2 − 5x − =    x≥1   ⇔ x = −1 ⇔ x =      x=6 Vậy phương trình có nghiệm x = *Chú ý: Khi trình bày với cách không cần đặt riêng điều kiện phương trình phải ý điều kiện vế phải không âm 67   xy − x + 2y =  4x3 + 24x2 + 45x = −y + 6y − 20 Đáp số: (HD: Biến đổi hệ tương đương   6y − 3x + 3xy − 12 =  4x3 + 24x2 + 45x = −y + 6y − 20 trừ hai phương trình cho nhau) √ √ 17 − + 17 ; (x; y) =     − x2 x2 , √ √ − 17 + − 17 ; + xy + = y3    (xy + 2)2 + = 2y + x2 x Đáp số: (x; y) = 2; −3  √   x4 + 2y − x = −1 + 3 √ −1   y + 2x − y = −3 Đáp số: (HD: Cộng hai phương trình với biến đổi) √ √ −1 − −1 + ; (x; y) = 2 Chương CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH 3.1 Đề thi năm 2010 Giải hệ phương trình:(Đại học khối A năm 2010)   (4x2 + 1)x + (y − 3)√5 − 2y = (1) (∀x, y ∈ R.)  4x2 + y + 2√3 − 4x = (2) Giải: Điều kiện: x ≤ ; y ≤ √ Phương trình (1) ⇔ (4x + 1)2x = (5 − 2y + 1) − 2y (1 ) √ Nhận xét (1 ) có dạng :f (2x) = f ( − 2y) với f (t) = (t2 + 1)t Ta có f (t) = 3t2 + > suy  f đồng biến R  x≥0 √ Do đó: (1 ) ⇔ 2x = − 2y ⇔ − 4x2  y= Thế vào phương trình (2) hệ, ta được: 4x + − 2x2 2 √ + − 4x − = (2 ) 68 69 nghiệm (2 ) √ 2 Xét hàm g(x) = 4x + − 2x + − 4x − khoảng 0; 4 = 4x(4x2 − 3) − √ < 0, suy − 2x2 − √ g (x) = 8x − 8x − 4x − 4x hàm g(x) nghịch biến 1 Mặt khác g = 0, (2 ) có nghiệm x = ; suy y = 2 Vậy hệ cho có nghiệm: (x; y) = ;2 Giải phương trình: (Đại học khối B năm 2010) Nhận thấy x = x = √ 3x + − √ − x + 3x2 − 14x − = (x ∈ R) −1 ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với: √ √ ( 3x + − 4) + (1 − − x) + 3x2 − 14x − = x−5 3(x − 5) +√ + (x − 5)(3x + 1) = ⇔√ − x + 3x + +  Giải: Điều kiện: x=5 ⇔ √ +√ + 3x + = 6−x+1 3x + + Mà −1 +√ ;6 + 3x + > 0, ∀x ∈ 6−x+1 3x + + Do phương trình cho có nghiệm x = √ Giải hệ phương trình:(Cao đẳng năm 2010)   2√2x + y = − 2x − y (1)  x2 − 2xy − y = (2) √ Giải: Điều kiện : 2x + y ≥ Đặt t = 2x + y, t ≥ Phương trình (1) trở  t=1 thành: t2 + 2t − = ⇔  t = −3 loại 70  Với t = 1, ta có y = − 2x Thay vào (2) ta x2 + 2x − = ⇔  x=1 x = −3 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) (1; −1) −3; 3.2 Đề thi năm 2011 Giải hệ phương trình:( Đại học khối A năm 2011)   5x2 y − 4xy + 3y − 2(x + y) = (1) (∀x, y ∈ R.)  xy(x2 + y ) + = (x + y)2 (2)  Giải: Ta có (2) ⇔ (xy − 1)(x2 + y − 2) = ⇔  xy = x2 + y = • xy = 1; từ (1) suy y − 2y + = ⇔ y = ±1 Do (x; y) = (1; 1) (x; y) = (−1; −1) • x2 + y = 2; từ (1) suy 3y(x2 + y ) − 4xy + 2x2 y − 2(x + y) = ⇔ 6y − 4xy + 2x2 y − 2(x + y) = ⇔ (1 − xy)(2y − x) =  xy = xét ⇔ x = 2y Với x = 2y; từ x2 + y = suy ra: √ √ 10 10 (x; y) = ; (x; y) = 5 Vậy hệ có nghiệm: (1; 1), (−1; −1), √ √ 10 10 ; 5 √ √ −2 10 − 10 ; 5 , √ √ −2 10 − 10 ; 5 Giải phương trình:(Đại học khối B năm 2011) √ √ 2+x−6 2−x+4 − x2 = 10 − 3x (x ∈ R) 71 Giải: Điều kiện: −2 ≤ x ≤ (∗) Khi phương trình cho tương đương với: √ √ 3( + x − 2 − x) + 4 − x2 = 10 − 3x (1)  t=0 √ √ Đặt t = + x − 2 − x, (1) trở thành : 3t = t2 ⇔  t=3 • t = 0, suy √ √ + x = 2 − x ⇔ + x = 4(2 − x) ⇔ x = , thỏa mãn (*) √ √ • t = 3, suy + x = 2 − x + 3, vô nghiệm √ √ + x ≤ 2 − x + ≥ 3, ∀x ∈ [−2; 2] Vậy phương trình có nghiệm :x = Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: (Đại học khối D năm 2011)   2x3 − (y + 2)x2 + xy = m (x, y ∈ R)  x2 + x − y = − 2m Giải: Hệ cho tương đương với:   (x2 − x)(2x − y) = m  (x2 − x) + (2x − y) = − 2m −1 ; v = 2x − y Hệ cho trở thành:    uv = m  u2 + (2m − 1)u + m = (1) ⇔  u + v = − 2m  v = − 2m − u Đặt u = x2 − x, u ≥ Hệ cho có nghiệm (1) có nghiệm thỏa mãn u ≥ −1 −u2 + u Với u ≥ , ta có (1) ⇔ m(2u + 1) = −u + u ⇔ m = 2u + −1 72 −u2 + u −1 Xét hàm f (u) = , với u ≥ ta có: 2u + −1 + −2u2 + 2u − ; f (u) = ⇔ u = f (u) = (2u + 1)2 √ 2− Từ bảng biến thiên, suy giá trị cần tìm là: m ≤ √ 3.3 Đề thi năm 2012 Giải hệ phương trình:(Đại học khối A A1 năm 2012)   x3 − 3x2 − 9x + 22 = y + 3y − 9y (x, y ∈ R)  x2 + y − x + y = Giải: Hệ cho tương đương với :    (x + 1)3 − 12(x − 1) = (y + 1)3 − 12(y + 1) (1) x−   + y+ 2 = (2) Từ (2), suy      −1 ≤ x − ≤  −3 ≤ x − ≤ 2 ⇔ −1    −1 ≤ y + ≤  ≤y+1≤ 2 Xét hàm số f (t) = t3 − 12t −3 ; ta có f (t) = 3(t2 − 4) < 0, suy 2 f (t) nghịch biến Do (1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − (3) Thay vào (2), ta được:  x− 2 + x− 2 = ⇔ 4x − 8x + = ⇔  x= x= Thay vào (3), ta nghiệm hệ (x; y) = −3 ; 2 (x; y) = 73 −1 ; 2 Giải hệ phương trình:(Đại học khối D năm 2012)   xy + x − = (x, y ∈ R)  2x3 − x2 y + x2 + y − 2xy − y = Giải: Hệ cho tương đương với :   xy + x − = (1)  (2x − y + 1)(x2 − y) = (2) • 2x − y√+ = ⇔ y = 2x + Thay vào (1) ta x2 + x − ⇔ x = −1 ± Do ta nghiệm: √ √ −1 + √ −1 − √ (x; y) = ; (x; y) = ;− 2 • x2 − y = ⇔ y = x2 Thay vào (1) ta được: x3 + x − = ⇔ (x − 1)(x2 + x + 2) = ⇔ x = Do ta nghiệm (x; y) = (1; 1) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : √ −1 + √ ; (x; y) = (x; y) = (1; 1), (x; y) = −1 − Giải phương trình: (Cao đẳng năm 2012) √ 4x3 + x − (x + 1) 2x + = (x ∈ R) Giải: Điều kiện:x ≥ Phương trình cho tương đương với : √ √ (2x)3 + 2x = ( 2x + 1)3 + 2x + (1) √ √ ;− 74 Xét hàm số f (t) = t3 + t R Với x ∈ R, f (t) = 3t2 + > Suy f (t) đồng biến R, (1) ⇔ 2x = √ 2x + Giải phương √ trình nghiệm, phương trình cho có nghiệm 1+ x= 3.4 Đề thi năm 2013 Giải hệ phương trình:(Đại học khối A A1 năm 2013) √  x+1+√ x − − y + = y (1) (x; y ∈ R)  x2 + 2x(y − 1) + y − 6y + = (2) Giải: Điều kiện: x ≥ Từ (2) ta 4y = (x + y − 1)2 , suy y ≥ √ Đặt u = x − 1, suy u ≥ Phương trình (1) trở thành: √ u4 + + u = y + + y (3) √ Xét f (t) = t4 + + t, t ≥ Ta có 2t3 + > 0, ∀t ≥ t4 + Do phương trình (3) tương đương với y = u, nghĩa x = y + f (t) = √ Thay vào phương trình (2) ta được: y(y + 2y + y − 4) = 0(4) Hàm g(y) = y + 2y + y − có g (y) = 7y + 8y + > 0, ∀y ≥ Mà g(1) = nên (4) có hai nghiệm không âm y = y = Với y = ta nghiệm (x; y) = (1; 0) , với y = ta nghiệm (x; y) = (2; 1) Vậy nghiệm (x; y) hệ cho (1; 0) (2; 1) Giải hệ phương trình: (Đại học khối B năm 2013)   2x2 + y − 3xy + 3x − 2y + = (1)  4x2 − y + x + = √2x + y + √x + 4y (2) (x, y ∈ R) 75 Giải: Điều kiện: 2x+y ≥ 0, x+4y ≥ Từ (1) ta y = x+1 y = 2x+1 • Với y = x + 1, thay vào (2) ta √ √ 3x + + 5x + √ √ ⇔ 3(x2 − x) + (x + − 3x + 1) + (x + − 5x + 4) = 1 √ √ + =0 ⇔ (x2 − x) + x + + 3x + x + + 5x +  3x2 − x + = ⇔ x2 − x = ⇔  x=0 x=1 Khi ta nghiệm (0; 1) (1; 2) • Với y = 2x + thay vào (2) ta √ √ − 3x = 4x + + 9x + √ √ ⇔ 3x + ( 4x + − 1) + ( 9x + − 2) = ⇔x 3+ √ +√ =0⇔x=0 4x + + 9x + + Khi ta nghiệm (0;1) Đối chiếu với điều kiện hệ ta có nghiệm hệ (x; y) = (0; 1) (x; y) = (1; 2) Giải hệ phương trình:(Cao đẳng năm 2013)   xy − 3y + = (1) (x, y ∈ R)  4x − 10y + xy = (2) Giải: Nhận xét: y = không thỏa mãn (1) Từ (1) ta x =  y=1  Thay vào (2) ta được: 3y − 11y + 12y − = ⇔  y=2  y= Thay vào (3), ta nghiệm (x; y) hệ phương trình :(2; 1), 3y − (3) y ;2 , ; 2 76 3.5 Đề thi năm 2014 Giải hệ phương trình: (Đại học khối A A1 năm 2014)   x√12 − y + y(12 − x2 ) = 12 (1) (x, y ∈ R)  x3 − 8x − = 2√y − (2) √ √ Giải: Điều kiện:−2 ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 Ta có x2 + 12 − y y + 12 − x2 x 12 − y ≤ y(12 − x ) ≤ nên 2 √ x 12 − y + y(12 − x2 ) ≤ 12 √  x≥0 Do (1) ⇔  y = 12 − x2 Thay vào (2) ta được: √ √ x3 − 8x − = 10 − x2 ⇔ x3 − 8x − + 2(1 − 10 − x2 ) = 2(x + 3) √ = (3) ⇔ (x − 3) x2 + 3x + + + 10 − x2 2(x + 3) √ Do x ≥ nên x2 + 3x + + > + 10 − x2 Do (3) ⇔ x = Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm (x; y) = (3; 3) Giải hệ phương trình: (Đại học khối B năm 2014)   (1 − y)√x − y + x = + (x − y − 1)√y (1)  2y − 3x + 6y + = 2√x − 2y − √4 − 5y −    y≥0   Giải: Điều kiện: x ≥ 2y     4x ≥ 5y + (∗) (x, y ∈ R) (2) 77 Ta có √ √ (1) ⇔ (1 − y)( x − y − 1) + (x − y − 1)(1 − y) = 1 ⇔ (1 − y)(x − y − 1) √ + = (3) √ x−y+1 1+ y  y=1 1 Do √ + √ > nên (3) ⇔  x−y+1 1+ y y =x−1 • Với y = 1, Phương trình (2) trở thành − 3x = ⇔ x = • Với y = x − 1, điều kiện (*) trở thành ≥ x ≥ Phương trình (2) trở thành √ √ − x ⇔ 2(x2 − x − 1) + (x − − − x) = √ =0 ⇔ (x2 − x − 1) + x − + √2 − x 1± ⇔ x2 − x − = ⇔ x = Đối chiếu với điều kiện (*) kết hợp √ trường √ hợp trên, ta nghiệm 1+ 1− (x; y) hệ cho là: (3; 1) ; 2 2x2 − x − = Giải hệ phương trình:(Cao đẳng năm 2014)   x2 + xy + y = (1)  x2 − xy − 2y = −x + 2y (2) (x, y ∈ R) Giải: Ta có (2) ⇔ (x − 2y)(x + y + 1) =  x = 2y ⇔ x = −y −  • Với x = 2y, Phương trình (1) trở thành: 7y = ⇔  • Với x = −y − 1, Phương trình (1) trở thành  y = −3 ⇒ x = y2 + y − = ⇔  y = ⇒ x = −3 y=1⇒x=2 y = −1 ⇒ x = −2 78 Vậy nghiệm (x; y) hệ cho là: (2; 1), (−2; −1), (2; −3), (−3; 2) 3.6 Đề thi năm 2015 Giải phương trình:( Đề thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015) √ x2 + 2x − = (x + 1)( x + − 2) x2 − 2x + x∈R Giải: Điều kiện x ≥ −2.Phương trình cho tương đương với:  (x − 2)(x + 4) (x + 1)(x − 2) x=2 √ ⇔ =  x+1 x+4 x2 − 2x + x+2+2 √ = (1) x2 − 2x + x+2+2 Ta có : √ (1) ⇔ (x + 4)( x + + 2) = (x + 1)(x2 − 2x + 3) √ √ ⇔ ( x + + 2)[( x + 2)2 + 2] = [(x − 1) + 2][(x − 1)2 + 2] (2) Xét hàm số f (t) = (t + 2)(t2 + 2) Ta có f (t) = 3t2 + 4t + 2, suy f (t) > 0, ∀t ∈ R, nên f (t) đồng biến R Do  x≥1 √ √ (2) ⇔ f ( x + 2) = f (x − 1) ⇔ x + = x − ⇔  x2 − 3x − = √ + 13 ⇔x= Đối chiếu√với điều kiện, ta nghiệm phương trình cho x = + 13 x= 79 Kết luận Trong khóa luận giới thiệu nội dung "Một số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình đại số " cách hệ thống lại đưa ví dụ điển hình cụ thể cho phương pháp Đề tài góp phần giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, tư duy, suy luận phân tích đánh giá, biết lựa chọn phương pháp thích hợp, giúp tiết kiệm thời gian công sức giải toán phương trình, hệ phương trình đại số Hy vọng giáo viên học sinh ứng dụng nội dung học tập giảng dạy chương trình THPT Tuy nhiên thân thấy chưa thực khai thác hết vẻ đẹp toán phương trình, hệ phương trình đại số cách giải hay hơn, ngắn gọn hơn.Trong thời gian tới cố gắng tìm tòi nghiên cứu sâu để bổ sung kiến thức thiếu sót tự hoàn thiện thân Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Thành Chung Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn trình hoàn thành luận văn Nhân dịp xin gửi lời cám ơn tới toàn thầy cô giáo khoa Khoa học Tự nhiên Trường đại học Quảng Bình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp Đại học toán K55 nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Trong trình thực hiện, cố gắng tâm huyết với đề tài thông qua hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Thành Chung tự tìm 80 tòi, thu thập tiếp thu kiến thức tổng hợp, thời gian khả có hạn nên khóa luận khó tránh sai sót Chính mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Xin chân thành cám ơn! 81 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu Nguyễn Văn Tiến (2010), Một số chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (2010),Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [3] Đoàn Quỳnh; Doãn Minh Cường; Trần Nam Dũng (2010), Tài liệu chuyên toán đại số 10, NXB Giáo dục [4] Tuyển tập 10 năm đề thi Olympic 30/4, NXB Giáo dục 2006 [5] Các thi Olympic Toán THPT Việt Nam, NXB Giáo dục 2007 [6] Các tài liệu webside thức Bộ Giáo dục đào tạo ... học tập phần đại số Vậy, để đạt hiệu tốt việc hệ thống lại phương pháp giải chương trình THPT, xin trình bày đề tài lần số phương pháp giải phương trình hệ phương trình đại số thường gặp cách... chuyển phương trình, hệ phương trình dạng quen thuộc phối hợp phương pháp với nhuần nhuyễn Nội dung khóa luận tập trung vào cách giải phương trình, hệ phương trình đại số hay đặc sắc bao gồm phương. .. SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ • CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ • CHƯƠNG III: CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC KỲ THI Trong hai chương