– BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG – TRƯỜNG ĐẠI HỌC SPKT HƯNG YÊN KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - Bài giảng LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG (Dành cho sinh viên Khoa Điện – Điện tử – Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên) GV biên soạn: Nguyễn Trung Thành - Nguyễn Phương Thảo Hưng yên, tháng năm 2009 - BỘ MÔN ĐO LƯỜNG VÀ ĐIỀU KHIỂN – KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ – - – BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG – CHƯƠNG I MƠ TẢ TỐN HỌC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 1.1 Khái niệm điều khiển tự động 1.1.1 Khái niệm điều khiển * Trong hoạt động người nơi, lúc, lĩnh vực, vị trí liên quan đến thuật ngữ: Điều khiển * Điều khiển nói chung hiểu tập hợp tất tác động mang tính tổ chức đến q trình nhằm đạt mục đích mong muốn q trình Ví dụ: - Điều khiển lĩnh vực xã hội: Điều khiển họp, điều khiển hoạt động kinh doanh công ty - Điều khiển lĩnh vực kỹ thuật: Điều khiển máy công cụ (Tiện, phay, bào, khoan, mài ), điều khiển hoạt động dây chuyền cán thép - Điều khiển lĩnh vực sinh học: Điều khiển giai đoạn sinh trưởng phát triển loại trồng - Điều khiển nhân tố cuối định thành bại hoạt động * Điều khiển học (Cybernetic): Là khoa học nghiên cứu q trình điều khiển truyền thơng máy móc, vật, kinh tế Nó mang tính tổng qt Trong đó, chia ra: Tốn điều khiển, điều khiển học kỹ thuật, điều khiển học kinh tế * Điều khiển học kỹ thuật: Là khoa học nghiên cứu q trình thu thập, xử lí tín hiệu điều khiển trình hệ thống thiết bị kỹ thuật * Lý thuyết điều khiển tự động (LTĐKTĐ): Là sở lí thuyết điều khiển học kỹ thuật * Điều khiển tự động: Là thuật ngữ trình điều khiển đối tượng kỹ thuật mà khơng có tham gia trực tiếp người ( Automatic), ngược lại với trình điều khiển tay ( Manual) * Cơ sở lí thuyết điều khiển tự động (CSLTĐKTĐ): Là phần lí thuyết LTĐKTĐ * Khái niệm điều chỉnh: * Điều chỉnh: Là khái niệm hẹp điều khiển Điều chỉnh tập hợp tất tác động nhằm giữ cho tham số q trình ổn định hay thay đổi theo quy luật ( Đó tham số cần điều chỉnh) *Cấu trúc hệ thống ĐCTĐ tương tự HTĐKTĐ (chỉ khác ý nghĩa điều khiển thay điều chỉnh) * Cơ sở LTĐKTĐ nghiên cứu trình hệ thống điều chỉnh tự động - Phương pháp để TBĐC tạo tín hiệu điều chỉnh gọi phương thức điều chỉnh, có phương thức: Điều chỉnh theo chương trình, bù nhiễu, theo sai lệch Phương pháp để TBĐC tạo tín hiệu điều chỉnh gọi phương thức điều chỉnh Có ba phương thức điều chỉnh là: Phương thức điều chỉnh theo chương trình, phương thức bù nhiễu phương thức điều chỉnh theo sai lệch: + Phương thức điều chỉnh theo chương trình tín hiệu điều chỉnh phát chương trình định sẵn TBĐC + Phương thức bù nhiễu, tín hiệu điều chỉnh hình thành xuất nhiễu loạn tác động lên hệ thống Tín hiệu điều chỉnh phát nhằm bù lại tác động nhiễu loạn để - BỘ MÔN ĐO LƯỜNG VÀ ĐIỀU KHIỂN – KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ – - – BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG – giữ cho giá trị đại lượng cần điều chỉnh khơng đổi Do hệ thống bù nhiễu gọi hệ thống điều khiển bất biến + Phương thức điều chỉnh theo sai lệch hình thành có sai lệch giá trị mong muốn giá trị đo đại lượng cần điều chỉnh Trong kỹ thuật thường sử dụng phương thức điều chỉnh theo sai lệch (hình 1.1) TBCĐ x N(Nhiễu) TBSS e KCN u CCCH TBCN TBĐ y Hình 1.1 TBCĐ: thiết bị đặt giá trị chủ đạo x, giá trị mong muốn đại lượng cần điều chỉnh TBSS: thiết bị so sánh giá trị chủ đạo x giá trị đo y đại lượng cần điều chỉnh để xác định sai lệch e =x-y Giá trị x gọi giá trị nhiễu đặt trước KCN: khối chức nhằm tạo tín hiệu điều chỉnh u theo giá trị sai lệch u=f(e) CCCH: cấu chấp hành thực tác động điều chỉnh u lên ĐTĐC TBCN: thiết bị cơng nghệ có tín hiệu đại lượng cần điều chỉnh TBĐ: thiết bị đo để xác định giá trị y đại lượng cần điều chỉnh n: Tác động nhiễu phụ tải, tác động khơng mong muốn từ bên ngồi lên hệ thống 1.1.2 Các phần tử hệ thống điều khiển tự động - Một hệ thống điều khiển tự động gồm ba phần chủ yếu: + Thiết bị điều khiển (TBĐK) hay C (Controller): Tập hợp tất phần tử hệ thống nhằm tạo tín hiệu điều khiển tác động lên ĐTĐK, tín hiệu gọi tác động điều khiển + Đối tượng điều khiển (ĐTĐK) hay O (Object): Là phần tử tồn khách quan, tín hiệu đại lượng cần điều khiển + Thiết bị đo lường (TBĐL) hay M (Measuring Device): Đo lường biến đổi tín hiệu để đưa vào đầu vào TBĐK N R U TBĐK F ĐTĐK Y TBĐL Hình 1.2 R: Tín hiệu chủ đạo (chuẩn, tham chiếu) ( Reference) thường gọi tín hiệu vào ( Input) U: Tín hiệu điều khiển N: Tín hiệu nhiễu tác động từ bên ngồi vào hệ thống F: Tín hiệu phản hồi (hồi tiếp) Y: Tín hiệu cần điều khiển (Tín hiệu ra) * Hệ thống điều khiển kín (Closed loop control system): Là hệ thống điều khiển có phản hồi ( feed back), nghĩa tín hiệu đo lường đưa thiết bị điều khiển - BỘ MÔN ĐO LƯỜNG VÀ ĐIỀU KHIỂN – KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ – - – BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG – Tín hiệu phản hồi kết hợp với tín hiệu vào cho tín hiệu điều khiển Cơ sở lí thuyết nghiên cứu hệ thống kín Lí thuyết điều khiển tự động * Hệ thống điều khiển hở (Open loop control system ): Khâu đo lường không dùng đến, thay đổi tín hiệu khơng phản ánh thiết bị điều khiển: R TBTK U ĐTĐK Y Hình 1.3 Cơ sở lý thuyết nghiên cứu hệ thống hở lí thuyết Rơle lí thuyết ơtơmát hữu hạn 1.1.3 Các ngun tắc điều khiển Bất kì hệ thống ĐKTĐ bị tác động nhiễu gây sai số Hiện nay, có ba nguyên tắc điều khiển - Nguyên tắc điều khiển theo sai lệch - Nguyên tắc điều khiển theo phương pháp bù nhiễu - Nguyên tắc điều khiển hỗn hợp theo sai lệch bù nhiễu Trên hình 1.4 vẽ sơ đồ hệ thống điều khiển theo nguyên tắc hỗn hợp Trong hệ thống tín hiệu y(t) tín hiệu , f(t) nhiễu tác động vào đối tượng điều khiển (-) + z Hình 1.4 Nhiễu f(t) tác động lên đối tượng điều khiển ví dụ theo chiều hướng làm tăng tín hiệu y(t) Trong hệ có đưa vào số thiết bị bù K có tác dụng ngược dấu với f , nghĩa v tác dụng bù phía trước TBĐK C để làm tín hiệu E giảm bớt Nếu f tác dụng nên ĐTĐK O để làm giảm tín hiệu y thết bị bù K lại tín hiệu bù v làm tăng E cuối làm tăng y Ngoài nguyên tắc điều khiển nói người ta cịn nêu nguyên tắc khác như: - Nguyên tắc điều khiển theo chương trình - Ngun tắc điều khiển thích nghi 1.1.4 Phân loại hệ thống điều khiển Việc phân loại hệ thống ĐKTĐ thực theo nhiều phương pháp khác Người ta chia thành hệ thống điều khiển điển hình sau: - Hệ thống ĐKTĐ tuyến tính: Là hệ thống tất phần tử hệ thống tuyến tính Đây phần lí thuyết điều khiển tự động Đặc trưng - BỘ MÔN ĐO LƯỜNG VÀ ĐIỀU KHIỂN – KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ – - – BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG – phần tử tuyến tính chịu tác động nguyên lý xếp chồng Nghĩa có tổ hợp tín hiệu tác động đầu vào phần tử tín hiệu tổ hợp tương ứng tín hiệu thành phần Hệ thống phi tuyến tính khơng chịu tác động nguyên lý - Hệ thống phi tuyến: Là hệ thống cần phần tử phi tuyến tính có hệ - Hệ thống liên tục: Các tín hiệu tác động hàm liên tục theo thời gian - Hệ thống rời rạc hay hệ thống xung số Trong cần có tín hiệu hàm rời rạc theo thời gian - Hệ thống tiền định: Là hệ thống tất tín hiệu truyền đạt hàm theo thời gian xác định - Hệ thống ngẫu nhiên: Là hệ thống có tínn hiệu hàm ngẫu nhiên - Hệ thống tối ưu: Là hệ thống điều khiển phức tạp, thiết bị điều khiển có chức tổng hợp tín hiệu điều khiển u(t) tác động lên đối tượng nhằm chuyển trạng thái ĐKTĐ từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối với khoảng thời gian ngắn - Hệ thống thích nghi (hay cịn gọi hệ thống tự chỉnh): Là hệ thống có khả thích ứng cách tự động biến đổi điều kiện mơi trường đặc tính đối tượng điều khiển cách thay đổi tham số cấu trúc sơ đồ thiết bị điều khiển 1.2 Phép biến đổi Laplace 1.2.1 Toán tử Laplace - Bài toán mở rộng tập hợp số: Tập hợp số phức xác định người ta tìm nghiệm phương trình: x + = với lí thuyết trường số phức, có phép biến đổi Laplace - Phép biến đổi Laplace ứng dụng có hiệu việc giải tốn lí thuyết mạch điện, điện tử, học, lí thuyết điều khiển tự động Nếu có hàm f(t) có đối số theo thời gian hàm ảnh Laplace hàm số kí hiệu là: F(p) tính theo công thức: Phép biến đổi Laplace ứng dụng có hiệu việc giải tốn lý thuyết mạch điện - Điện tử, học đặc biệt lý thuyết điều khiển tự động Nếu có hàm gốc f(t) có đối số theo thời gian ảnh Laplace kí hiệu F(p) tính theo cơng thức: ∞ F(p) = ∫ f (t ).e − p.t dt (1.1) F(p): Hàm ảnh f(t): Hàm gốc p: Biến tốn tử Laplace Kí hiệu: f(t) → F(p) = L {f(t)} ∞ - Điều kiện tồn tích phân là: ∫ f (t )e − pt dt < ∞ - BỘ MÔN ĐO LƯỜNG VÀ ĐIỀU KHIỂN – KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ – - – BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG – - Mặt khác, để có lời giải cho phương trình theo ẩn t, ta thực phép biến đổi Laplace ngược: f(t) = c + j∞ p.t ∫ F ( p).e dp 2πj c− j∞ (1.2) Kí hiệu : F(p) ← f(t) = L -1[F(p)] Trong đó: C số thực lớn tất phần thực nghiệm phương trình F(p) = Trong thực tế người ta tính sẵn số hàm cần ta tra bảng mà khơng phải tính tốn trực tiếp tích phân Bảng ảnh gốc số hàm đặc biệt f(t) δ (t ) T t e − at t.e − at − at t e − e − at (at − + e − at ) a e − at (1 − at ) sin at cos at e − at sin ct e − a cos ct F(p) 1 p p2 p3 p+a ( p + a) ( p + a) a p( p + a) a p ( p + a) p ( p + a) a a + p2 p p + a2 a ( p + a) + c p+a ( p + a) + c * Bổ túc tính chất phép biến đổi Laplace: = F1(p) ± F2(p) (Với F1(p) = L{f1(t)}; F2(p) = L{f2(t)} 1/ L[f1(t) ±f2(t)] 2/ L{K*f(t)} = K*L{f(t)} = K*F(p) ( Với K ∈ R) - BỘ MÔN ĐO LƯỜNG VÀ ĐIỀU KHIỂN – KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ – - – BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG – 3/ L{f’(t)} = L{ df (t ) } = p*F(p) – f(0+) dt Giá trị ban đầu f(t) t→0 từ phía 0+ 4/ L{f(n)’(t)} = L{ d n f (t ) } = pnF(p) - pn-1f(0+) - pn-2f’(0+) - … -fn-1(0+) n dt Nếu điều kiện đầu triệt tiêu thì: L{f(n)’(t)} = pnF(p) ⎤ F ( p) ⎡ τ + ⎢ ∫ f (t )dt ⎥ p p ⎣0 ⎦t =0+ τ 5/ L{ ∫ f (t )dt }= τ 6/ L{ ∫ ∫ ∫ f (t )dt n } = τ ⎤ F ( p) ⎡ ⎡ + + n −1 ⎢ ∫ f (t )dt ⎥ n n ⎢∫ p p ⎣0 ⎦ t =0+ p ⎣ τ ∫ τ ⎤ ⎤ 1⎡ + + ⎢ ∫ ∫ ∫ f (t )dt n ⎥ f (t )dt ⎥ p⎣ ⎦ t =0 + ⎦ t =0 + Khi điều kiện đầu triệt tiêu thì: ⎡τ ⎤ ⎣0 ⎦ L ⎢ ∫ f (t )dt ⎥ = τ ⎡ ⎤ F ( p) F ( p) ; L ⎢ ∫ ∫ ∫ f (t )dt n ⎥ = n p p ⎦ ⎣ 7/ Định lí dịch chuyển: L[ f (t − T )1(t − T )] = e − pτ F ( p ) Với : t ≥ T 8/ Định lí giá trị đầu : Limf ( t ) = Limp • F ( p ) t→ p→ ∞ 9/ Định lí giá trị cuối : Limf (t ) = Limp • F ( p ) t →∞ p →0 * Muốn thực phép biến đổi ngược, ta phân tích biểu thức ban đầu thành biểu thức đơn giản sử dụng công thức biến đổi biết Người ta lập sẵn bảng ảnh – gốc thực phép biến đổi cho số hàm số thường gặp Có thể tìm chúng sách lí thuyết mạch hay LTĐKTĐ * Một số ví dụ minh họa : ∞ 1/ f (t ) = C = const ⇒ F ( p ) = L{C} = ∫ Ce − pt dt = C ∞ 2/ f (t ) = e at ⇒ F ( p ) = L{e at } = ∫ e at e − pt dt = ∞ e −( p −a )t − ( p − a) 3/ f (t ) = e − at ⇒ F ( p) = L{e − at } = ∫ e − at e − pt dt = ∞ 4/ f (t ) = t ⇒ F ( p ) = L{t} = ∫ te − pt dt = t b b a a −p ∞ e − pt p ∞ ∞ C p = = p−a p+a ∞ − ∫ e − at e − pt dt = p2 ( Nhớ lại : ∫ udv = uv ba − ∫ vdu ) 5/ Viết phương trình Laplace mơ tả mạch điện sau: u1 - R C u2 BỘ MÔN ĐO LƯỜNG VÀ ĐIỀU KHIỂN – KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ – - – BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG – du du idt ⇒ i = C Vậy, u1 = RC + u ∫ C dt dt du (t ) + u (t ) Đặt : RC = T : u1 (t ) = RC dt Ta có : u1 = iR + u2 ; u2 = (*) Giả thiết : u1(t) = k = const k = TpU ( p ) + U ( p ) ; Do : p k −T −1 1 U ( p) = k + k = k( + ) Mà : k → ; e − at → p p p+a Tp + p p+ T Vậy, u (t ) = k (1 − e −t / T ) Biến đổi Laplace phương trình (*) ⇒ U ( p) = 1.3 Các phép tính ma trận Phép tính ma trận dùng để giải tốn điều khiển khơng gian trạng thái Ma trận bảng lập thành từ m hàng n cột Kí hiệu A ma trận ⎡a11 ⎢a ⎢ 21 A = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢a m1 ⎣ a12 a 22 am2 a1n ⎤ a n ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ a mn ⎥⎦ Trong : aij phần tử ma trận A(m x n) Hai ma trận A B phần tử tương ứng nhau: aij = bij 1- Ma trận chuyển vị: ma trận A A ' hoán vị cột ma trận A thành hàng ma trận A ' 2- Ma trận đối xứng: ma trận mà A= A ' , ma trận vuông:aij = aji (i,j =1,…,n) 3- Cộng hai ma trận: C = A+B cij = aij+bij Tính chất: A +B = B+A A +(B +C) = (A + B) +C Trừ ma trận: D = A- B, dij = aij – bij 4- Tích hai ma trận: C =A B n cij = ∑ a b k =1 ik kj (1.3) - Một ma trận nhân với đại lượng vơ hướng phần tử ma trận nhân với lượng vô hướng - BỘ MƠN ĐO LƯỜNG VÀ ĐIỀU KHIỂN – KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ – - – BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG – ⎧ ⎫ k.A = ⎨ k a ij ⎬ ⎩ ⎭ (1.4) - Chuyển vị tích hai ma trận chuyển vị ma trận sau nhân với chuyển vị ma trận trước: (A.B) ' = B ' A ' (1.5) ⎡d - Tích ma trận A với ma trận đường chéo D = ⎢ 11 ⎣0 ⎤ d 22 ⎥⎦ Ma trận đường chéo ma trận mà phần tửnằm đường chéo khác khơng cịn tất phần tử nằm ngồi đường chéo không Nếu ma trận đường chéo bên phải kết phép nhân tích phần tử ma trận đường chéo với cột tương ứng ma trận A ⎡a11 ⎢a ⎣ 21 a12 ⎤ a 22 ⎥⎦ ⎡d11 ⎢0 ⎣ ⎤ ⎡a d a d ⎤ = ⎢ 11 11 12 22 ⎥ ⎥ d 22 ⎦ ⎣a 21 d11 a 22 d 22 ⎦ Còn ma trận đường chéo bên trái ma trận A kết phép nhân tích phần tử ma trận đường chéo với hàng tương ứng ma trận A ⎡d11 ⎢0 ⎣ ⎤ d 22 ⎥⎦ a12 ⎤ ⎡a d a d ⎤ = ⎢ 11 11 12 11 ⎥ ⎥ a 22 ⎦ ⎣a 21 d 22 a 22 d 22 ⎦ ⎡a11 ⎢a ⎣ 21 5- Ma trận không: ma trận mà tất phần tử khơng - Ma trận đơn vị ma trận mà tất phẩn tử nằm đường chéo cịn phần tử khác Kí hiệu ma trận đơn vị I Ví dụ ma trận đơn vị cấp 3x3 là: ⎡1 I = ⎢⎢0 ⎢⎣0 0⎤ 0⎥⎥ ; A.I = I.A = A ⎥⎦ (1.6) - Ma trận hàng ma trận có phần tử nằm hàng: A(m x n) với m = 1, n≥ Ví dụ: A(1 x 4) = [5 3] - Ma trận cột ma trận có phần tử nằm cột: A(m x n), với m ≥ , n =1 ⎡ 2⎤ Ví dụ: A(3 x1) = ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣7 ⎥⎦ 6-Vết ma trận: Là tổng tất phần tử đường chéo ma trận vng: n Tr A = ∑ aii i=1 (1.7) 7- Phần phụ đại số : Nếu định thức A, ta bỏ hàng thứ i bỏ cột thứ j giữ lại - BỘ MÔN ĐO LƯỜNG VÀ ĐIỀU KHIỂN – KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ – - – BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG – (n -1) hàng (n -1) cột lấy dấu (-1) i + j , phần phụ đại số phần tử ma trận A, kí hiệu Aij Đây sở để tính ma trận nghịch đảo ⎡a11 Ví dụ: A = ⎢⎢a 21 ⎢⎣a31 a12 a13 ⎤ a 23 ⎥⎥ ; Ta tính phần phụ đại số: a33 ⎥⎦ ⎡a 22 A11 = (−1)1+1 ⎢ ⎣a32 a 23 ⎤ = a 22 a33 − a32 a 23 a33 ⎥⎦ a 22 a32 ⎡a 21 A12 = (−1)1+ ⎢ a ⎣⎢ 31 a 23 ⎤ ⎥ = −(a 21.a33 − a31.a 23 ) a33 ⎥ ⎦ ⎡a 21 A13 = (−1)1+3 ⎢ ⎢⎣a31 a 22 ⎤ ⎥ = a 21.a32 − a31.a 22 a32 ⎥ ⎦ ⎡a12 A21 = (−1) 2+1 ⎢ ⎢⎣a32 a13 ⎤ ⎥ = −(a12 a33 − a32 a13 ) a33 ⎥ ⎦ ⎡a A33 = (−1) 3+3 ⎢ 11 ⎣⎢a 21 a12 ⎤ ⎥ = a11 a 22 − a 21.a12 a 22 ⎦⎥ 8- Định thức ma trận vuông A(n x n) tổng đại số n! số hạng lập nên phần tử ma trận ⎡a Ví dụ ma trận A = ⎢ 11 ⎣a 21 ⎡a Det(A) = A = ⎢ 11 ⎣a 21 a12 a 22 ⎤ ⎥ , định thức det(A) hay A ⎦ a12 ⎤ = a11 a 22 − a 21 a12 a 22 ⎥⎦ (1.8) 9- Ma trận nghịch đảo Cho ma trận A(aij) , i = 1, 2, 3…., m ; j= 1, 2, 3…, n, aij số thực phức, nói cách khác A ∈ R m×n Nếu tồn ma trận B thoả mãn: AB = BA = I ma trận B gọi ma trận nghịch đảo ma trận A kí hiệu B = A −1 - Cơng thức tính ma trận nghịch đảo: A −1 = Adj ( A) det( A) (1.9) - Chuyển vị ma trận nghịch đảo nghịch đảo nghịch đảo: - BỘ MÔN ĐO LƯỜNG VÀ ĐIỀU KHIỂN – KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ – - 10