Tiết 31: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Họ tên GV : Lại Thế HanhTr ờng THPT Phạm Ngũ Lão đến một đ ờng thẳng Bài 3: Khoảng cách và góc... Hãy nêu cách tìm khoảng cách từ MxM;yM đến đ ờng thẳng?.   y x 0  ta cùng nghiên cứ

Héi thi Gi¸o viªn giái

thµnh phè

Họ tên GV : Lại Thế Hanh

Tr ờng THPT Phạm Ngũ Lão

đến một đ ờng thẳng

Bài 3: Khoảng cách và góc

PT này đ ợc xác định bởi những yếu tố nào ?

Câu 2:

Nêu cách chuyển PT đ ờng thẳng từ dạng PT tham

số về dạng PT tổng quát?

xác định bởi: 1 điểm M(x0;y0)

và vtcp ) u a b  ( ; )

Khử tham số t  đ a về dạng PT chính tắc

 chuyển về PTTQ



Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đ ờng thẳng có ph ơng trình tổng quát ax + by + c = 0 Hãy nêu cách tìm khoảng cách

từ M(xM;yM) đến đ ờng thẳng ?





y

x

0



ta cùng nghiên cứu, tìm ra công thức tổng quát để

giải bài toán này và xét một số ứng dụng của nó

x

0



( ;M M )

M x y

'( '; ')

M x y

Bài toán:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đ ờng thẳng có ph ơng trình TQ:





Giải.

Gọi M là hình chiếu của M trên ’ là hình chiếu của M trên Thì độ dài đoạn M M ’ là hình chiếu của M trên

chính là khoảng cách từ điểm M đến , kí hiệu: d(M; )





Nếu M (x ; y ) thì ’ là hình chiếu của M trên ’ là hình chiếu của M trên ’ là hình chiếu của M trên





x - x' = ka x' = x - ka

hay

y - y' = kb y' = y - kb.

 



;

n a b



'

M M kn

'

M M

Hiển nhiên cùng ph ơng với vectơ pháp tuyến của , vậy có số k sao cho

Vì M nằm trên nên’ là hình chiếu của M trên

M

2 2

ax

M

by c k

a b

 





Từ đó suy ra: (1)

 



M

2 2

( ; ) by M c

d M

Thay giá trị của k vào (2) ta đ ợc

        

2 2

; ' | | = (2)

Mặt khác,

Thứ 4 ngày 27 thỏng 2 năm 2008

Đ 3: KHOảNG CáCH Và GóC

Ti t 31: ết 31:

y

x

0



( ;M M)

M x y

( '; ')

' x y

M

1 Khoảng cách từ 1 điểm đến một đ ờng thẳng

Khoảng cách từ điểm đến( ): ax + by +c = 0 là M x M;y M  :

| ax + by + c |

a + b

ờng thẳng trong mỗi tr ờng hợp sau: 

a M v  x y 

) 5; 1 à :

4 3

x t

b M v

y t

 



  

 



x

0



( ;M M )

M x y

( '; ')

' x y

M

Cho đ ờng thẳng: và điểm Nếu M là hình chiếu (vuông góc) của M trên ’ là hình chiếu của M trên

ta có

   

( ) : ax by c 0 M x M ;y M

 ( )

M

2 2

ax ' , trong đó by M c.

M M kn k

a b

 



T ơng tự: Nếu có điểm N(xN;yN) với N là hình chiếu ’ là hình chiếu của M trên

(vuông góc) của N trên ta có ( ) 

 







N

2 2

ax ' ' , trong đó ' by N c.

N N k n k

a b

M, N đối với  khi k và k cùng dấu ? ’ là hình chiếu của M trên

khi k và k khác dấu ? ’ là hình chiếu của M trên

Thứ 4 ngày 27 thỏng 2 năm 2008

Đ 3: KHOảNG CáCH Và GóC

Ti t 31: ết 31:

Nhận xét: Vị trí của hai điểm M, N đối với 

khi k và k cùng dấu? ’ là hình chiếu của M trên khi k và k khác dấu ? ’ là hình chiếu của M trên

k và k trái dấu ’ là hình chiếu của M trên  ng ợc h ớng

 M và N ở về hai phía đối với 

 

M'M ; N'N

y

x

0



M

'

M

N

'

N

n 

k và k cùng dấu ’ là hình chiếu của M trên  cùng h ớng

 M và N ở về một phía đối với 

 

M'M ; N'N

y

x

0



M

'

M N

'

N

n 

y

0



M

'

M

N

'

N

n 

x

Cho ( ): ax + by + c = 0 và hai điểm M(x M ;y M ), N(x N ;y N ) không nằm trên .

+ Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với  khi (ax M + by M + c)(ax N + by N + c) > 0.

+ Hai điểm M, N nằm khác phía đối với  khi (ax M + by M + c)(ax N + by N + c) < 0.

Ví dụ:

Cho  ABC có các đỉnh là A(1; 0) B(2; -3), C(-2; 4) và đ ờng

thẳng (  ): 2x – y + 1 = 0 Xét xem ( y + 1 = 0 Xét xem (  ) cắt cạnh nào của tam

giác

Thứ 4 ngày 27 thỏng 2 năm 2008

Đ 3: KHOảNG CáCH Và GóC

Ti t 31: ết 31:

Ví dụ:

Cho  ABC có các đỉnh là A(1; 0), B(2; -3), C(-2; 4) và đ ờng

thẳng (  ): 2x – y + 1 = 0 Xét xem ( y + 1 = 0 Xét xem (  ) cắt cạnh nào của tam

giác

GIảI

Lần l ợt thay toạ độ của A, B, C vào vế trái của PT (  ) rồi rút gọn ta đ ợc các số 3; 8; -7

3.8 > 0 vậy (  ) không cắt cạnh AB.

3.(-7) < 0 vậy (  ) cắt cạnh AC.

8.(-7) < 0 vậy (  ) cắt cạnh BC

Bài toán 2: Cho hai đ ờng thẳng cắt nhau có PT: (1): a1x + b1y + c1 = 0 và (2): a2x + b2y + c2 = 0 Tìm tập hợp tất cả các điểm cách đều (1) và (2):

1



2



( ; )x y

M

Giải:

Giả sử M(x;y) cách đều ( 1 ) và ( 2 ):

a x + b y + c a x + b y + c

± = 0 = 0

Vậy tập hợp các điểm M là đ ờng thẳng có ph ơng trình:

Là PT đ ờng phân giác góc tạo bởi 2 đ ờng thẳng ( 1) và ( 2):

2

d

1

d

=

2 2

1 1

| a x + b y + c | d(M; ) = ;

a + b

2 2

2 2

| a x + b y + c | d(M; ) =

a + b

Từ giả thiết  d(M; 1 ) = d(M; 2 ) mà



Thứ 4 ngày 27 thỏng 2 năm 2008

Đ 3: KHOảNG CáCH Và GóC

Ti t 31: ết 31:

áp dụng: cho ABC với

a, Viết ph ơng trình các cạnh AB, AC.

b, Viết PT đ ờng phân giác trong góc A.

   

A = 7 ; 3 , B = 1 ; 2 , C = -4 ; 3 4

Giải:

a.Dễ thấy các đ ờng thẳng AB và AC có ph ơng trình

b.Các đ ờng phân giác trong và phân giác ngoài của góc A có ph ơng trình

hay

AB x y  AC y 

  

 

  

 

4 3 2 3 0

5 1

4 3 2 3 hoặc 0

5 1

x y y

x y y

1

2

4 2 13 0 đ ờng phân giác d

4 8 17 0 đ ờng phân giác d

x y

x y

Thay tọa độ của B, C lần l ợt vào vế trái của d 2 ta đ ợc

tức là B, C nằm khác phía đối với d 2

Vậy ph ơng trình đ ờng phân giác trong của góc A là :

4 - 16 + 17 = 5 > 0 và - 16 - 24 + 17 = -23 < 0,

4 x 8 y 17 0

1 Khoảng cách từ điểm đến(  ): ax + by +c = 0

là :

 M ; M 

| ax + by +c |

a + b

2 Vị trí t ơng đối của hai điểm đối với một đ ờng thẳng:

Cho (): ax + by + c = 0 và hai điểm M(x M ;y M ), N(x N ;y N ) không nằm trên .

+ Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với  khi (ax M + by M + c)(ax N + by N + c) > 0 + Hai điểm M, N nằm khác phía đối với  khi (ax M + by M + c)(ax N + by N + c) < 0.

0

Ghi nhớ:

Thứ 4 ngày 27 thỏng 2 năm 2008

Đ 3: KHOảNG CáCH Và GóC

Ti t 31: ết 31:

Câu 1:

Khoảng cách từ điểm M(1;-1) tới đ ờng thẳng (  ):3x - 4y -17 =0 là:

18

- 5

2 5

10 5

A 2

Khoảng cách từ điểm đến( ): 3x - 4y - 17 = 0

là :

 Chọn A.

 1; 1  

M,  M M

| ax + by + c | | 3.1- 4.(-1) - 17 | d( ) =

a + b + (-4)

10 = = = 2

5 3

 2 ; 0 

M

M,  M M

| ax + by + c | | 4.2 - 3.0 + 2 | d( ) =

a + b + (-3)

10 = = = 2

5 4

Khoảng cách từ điểm đến( ): 4x - 3y + 2 = 0 là:

 Chọn D.

Câu 2:

Khoảng cách từ điểm M(2;0) tới đ ờng thẳng (  ): là: = 1 + 3t

y = 2 + 4t

x







5

5 2

2

2

Thứ 4 ngày 27 thỏng 2 năm 2008

Đ 3: KHOảNG CáCH Và GóC

Ti t 31: ết 31:

, BC

2 2

| 3.1 + 4 2 - 12 | d(A ) =

+ 4

1 = = 0,2 5

3

+ PT cạnh BC là: 3x + 4y – y + 1 = 0 Xét xem ( 12 = 0

+K/c từ đỉnh A đến BC là

Câu 3:

Cho  ABC với A(1;2), B(0;3), C(4;0) Chiều cao của tam giác ứng với cạnh BC bằng:

25

3 5

B.0,2

Câu 4

Tính diện tích  ABC nếu A(3;2) và B(0;1), C(1;5)

A.5,5

17

17 11 = 5,5

+ PT cạnh BC là: 4x - y + 1 = 0, và độ dài BC là: BC =

+ K/c từ đỉnh A đến BC là

+ Diện tích S =

 Chọn A.

2 2

| 4.3 - 2.1 + 1 | 11

17

4 + 1

d A BC

Thứ 4 ngày 27 tháng 2 năm 2008

§ 3: KHO¶NG C¸CH Vµ GãC

Ti t 31: ết 31:

C©u 5: Cho ® êng th¼ng (d): 21x - 11y - 10 = 0 Trong c¸c ®iÓm

M(21;-3), N(0;4), P(-19,5), Q(1,5) ®iÓm nµo xa ® êng th¼ng (d) nhÊt ?

về dự hội thi giáo viên giỏi . Kính chúc quý vị đại biểu, quý thầy cô cùng toàn thể các em học sinh mạnh khoẻ.