Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài - Đất nước ta bước vào giai đoạn cơng nghiệp hóa đại hóa, cần có người phát triển tồn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo duc đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục phụ thuộc vào nhiều yếu tố, có yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học có phương pháp dạy học mơn tốn - Trong chương trình tốn học THPT, toán liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích lớp 11, học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng tốn khó liên quan đến vấn đề gặp khó khăn vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Đặc biệt số lớp tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số nội dung tốn gần giải Đề tài: Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số, kinh nghiệm mà tơi đúc rút q trình giảng dạy muốn trao đổi với đồng nghiệp - Nội dung đề tài nhằm cung cấp số phương pháp xác định công thức số hạng tổng quát dãy số có phân loại số lớp toán Giới hạn đề tài dừng lại việc xác định công thức tổng quát dãy số, từ áp dụng vào số toán cụ thể Qua đó, người đọc trang bị thêm cho phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Đặc biệt thầy giáo tự kiểm tra kết xây dựng cho lớp tốn dãy số trình bày đề tài Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu từ tài liệu sách giáo khoa để đưa dạng tốn tìm số hạng tổng qt dãy số Từ giúp học sinh phân tích để vận dụng nhằm đơn giản hóa số tốn Góp phần phát triển lực trí tuệ chung, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Học sinh lớp 11E , 11G - Chương trình tốn 11 Nhiệm vụ nghiên cứu - Cơ sở để tìm số hạng tổng quát dãy số - Các ví dụ tìm số hạng tổng quát dãy số - Ưu điểm việc tìm số hạng tổng quát dãy số Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan tới việc tìm số hạng tổng quát dãy số - Thực nghiệm qua giảng dạy - Trao đổi với đồng nghiệp Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ - Kiểm chứng thông qua thông tin phản hồi học sinh Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ B NỘI DUNG I Cơ sở lí luận - Trong sách giáo khoa lớp 11 đưa định nghĩa dãy số: “ Một hàm số u xác định tập số nguyên dương N* gọi dãy số vô hạn ( gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : N* → R n |→ u(n) “ Một hàm số u xác định tập M = {1,2,3, …, m} với m ∈ N* gọi dãy số hữu hạn” - Một dãy số cho cách: Dãy số cho công thức số hạng tổng quát, dãy số cho phương pháp mô tả dãy số cho phương pháp truy hồi Ở hai cách đầu học sinh nhận thấy dãy số cách rõ ràng học sinh gặp khó khăn nhiều xác định số hạng tổng quát dãy số cho phương pháp truy hồi - Một dãy số cho phương pháp truy hồi, tức dãy số : + Cho số hạng đầu ( hay vài số hạng đầu) + Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng ( hay vài số hạng ) đứng trước - Hệ thức truy hồi thường có dạng phương trình biểu thị mối liên hệ số hạng dãy số thường có dạng phương trình sai phân tuyến tính + Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân có dạng: u1 = α, a.un+1 + b.un = fn, n∈ N* a, b, α số, a ≠ fn biểu thức n cho trước Phương trình sai phân tuyến tính cấp có phương trình đặc trưng a.λ + b = Phương trình a.un+1 + b.un = gọi phương trình phương trình a.un+1 + b.un = fn gọi phương trình khơng + Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng: u1 = α , u2 = β , a.un+1 + bun + c.un−1 = f n , n ∈ N * a,b,c, α , β số, a ≠ f n biểu thức n cho trước Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có phương trình đặc trưng a.λ + b.λ + c = Nhận xét: Phương trình sai phân tuyến tính cấp ln có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực, tức xét nghiệm thực + Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba phương trình sai phân dạng: Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ u1 = α , u2 = β , u3 = γ , a.un + + bun+1 + c.un + d un−1 = f n , n ≥ a,b,c, d, α , β , γ số , a ≠ f n biểu thức n cho trước Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có phương trình đặc trưng a.λ + b.λ + c.λ + d = Nhận xét: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp ba ln có ba nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực, tức xét nghiệm thực - Có hai dãy số có tính chất đặc biệt giới thiệu chương trình sách giáo khoa, cấp số cộng cấp số nhân + Cấp số cộng: dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d • Số d gọi công sai cấp số cộng • Khi (un) cấp số cộng với công sai d ⇔ un+1 = un + d, n ∈N* • Tổng n số hạng cấp số cộng tính theo cơng thức Sn = n(u1 + u n ) [2u1 + (n − 1)d]n = 2 + Cấp số nhân: dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước nhân với số khơng đổi q • Số q gọi cơng bội cấp số nhân • Khi (un) cấp số nhân với công bội q ⇔ un+1 = un q, n ∈N* • Tổng n số hạng cấp số cộng tính theo công thức u1 (q n − 1) Sn = q −1 - Một phương pháp chứng minh toán học phương pháp quy nạp toán học: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈N* với n mà khơng thể thử trực tiếp làm sau: + Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = + Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ ( gọi giả thiết quy nạp), chứng minh với n = k + II Thực nhiệm vụ nghiên cứu Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số cho dãy số phương pháp truy hồi dựa vào phương trình sai phân tuyến tính Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 1.1 Hệ thức truy hồi cho biết số hạng đầu Hệ thức truy hồi có dạng : Cho un thỏa mãn: u1 = α, a.un+1 + b.un = fn, n∈ N* (1) Trong a, b, α số, a ≠ fn biểu thức n cho trước Nhận xét:Phương trình (1) phương trình sai phân tuyến tính cấp a) Dạng 1: Tìm un thoả mãn điều kiện: u1 = α , a.un+1 + b un = (1.1) * a, b, α cho trước, n ∈ N Phương pháp giải: n Giải phương trình đặc trưng a.λ + b = để tìm λ Khi un = qλ (q số) , q xác định biết u1 = α Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Bài giải: Ta có un +1 = un , u1 = (1.2) n Giải phương trình đặc trưng λ = Vậy un = c.2 Từ u1 = suy c = n −1 Do un = b) Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện: u1 = α , aun+1 + bun = f n , n ∈ N * (2 1) f n đa thức theo n Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng a.λ + b = ta tìm λ Ta * * có un = un + un Trong un nghiệm phương trình (1.1) un n nghiệm riêng tuỳ ý phương trình khơng (2.1) Vậy un = c.λ ,với c số xác định sau * Ta xác định un sau: * 1) Nếu λ ≠ un đa thức bậc với f n Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ * 2) Nếu λ =1 un = n.g n với g n đa thức bậc với f n * * Thay un vào phương trình, đồng hệ số ta tính hệ số un Bài tốn 2: Tìm un thoả mãn điều kiện: u1 = 2; un +1 = un + 2n, n ∈ N * (2.2) * Bài giải: Phương trình đặc trưng λ − = có nghiệm λ = Ta có un = un + un n * * un = c.1 = c, un = n ( an + b ) Thay un vào phương trình (2.2) ta được: ( n + 1)  a ( n + 1) + b  = n ( an + b ) + 2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta hệ phương trình sau 3a + b = a = ⇔  5a + b = b = −1 Do un = n ( n − 1) * Ta có un = un + un = c + n ( n − 1) Vì u1 = nên = c + 1( − 1) ⇔ c = 2 Vậy un = + n ( n − 1) , hay un = n − n + c) Dạng 3: Tìm un thoả mãn điều kiện: u1 = α , a.un +1 + bun = v.µn , n ∈ N * (3.1) fn = v µ n đa thức theo n Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng a.λ + b = ta tìm λ Ta có un = un0 + un* Trong un0 = c.λ n , c số chưa xác định , un* xác định sau: 1) Nếu λ ≠ µ * n un = A.µ 2) Nếu λ = µ * n un = A.n.µ * * Thay un vào phương trình (3.1) đồng hệ số ta tính hệ số un * Biết u1 , từ hệ thức un = un + un , tính c Bài tốn 3: Tìm un thoả mãn điều kiện Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ u1 = 1; un +1 = 3.un + n , n ∈ N * (3.2) * Bài giải: Phương trình đặc trưng có nghiệm λ = Ta có un = un + un un0 = c.3n , un* = a.2n * n Thay un = a.2 vào phương trình (3.2) , ta thu a.2n+1 = 3a.2n + 2n ⇔ 2a = 3a + ⇔ a = −1 n n n n Suy un = −2 Do un = c.3 − 2n u1 = nên c=1 Vậy un = − d) Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện: u1 = α , a.un +1 + bun = f1n + f n , n ∈ N * (4.1) n Trong f1n đa thức theo n f n = v.µ Phương pháp giải: * * Ta có un = un + u1n + u2 n Trong un nghiệm tổng quát phương trình * aun+1 + bun = , un nghiệm riêng phương trình khơng * a.un+1 + b.un = f1n , u2n nghiệm riêng phương trình khơng a.un+1 + b.un = f n Bài tốn 4: Tìm un thoả mãn điều kiện: u1 = 1; un +1 = 2un + n + 3.2 n , n ∈ N * (4.2) Bài giải: Phương trình đặc trưng λ − = có nghiệm λ = * * n * * n Ta có un = un + u1n + u2 n un = c.2 , un = a.n + b.n + c , u2 n = An.2 * Thay un vào phương trình un+1 = 2.un + n , ta được: a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 2an + 2bn + 2c + n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình: Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ  2a − c =  a = −1   ⇔ b = −2 a − b − c = 2a + 2b + c = −9 c = −3   * * n Vậy u1n = − n − 2n − thay u2n vào phương trình un+1 = 2.un + 3.2 Ta được: A ( n + 1) 2n+1 = An.2 n + 3.2n ⇔ A ( n + 1) = An + ⇔ A = 3 Vậy: u2*n = n.2n = 3n.2n −1 n n −1 Do un = c.2 + ( −n − 2n − 3) + 3n.2 Ta có u1 = nên = 2c − + ⇔ c = n −1 Vậy un = 3n.2 − n − 2n − 1.2 Hệ thức truy hồi cho biết hai số hạng đầu Hệ thức truy hồi có dạng : Tìm un biết: u1 = α , u2 = β , a.un+1 + bun + c.un−1 = f n , n ∈ N * (2) a,b,c, α , β số, a ≠ f n biểu thức n cho trước Nhận xét: Phương trình (2) phương trình sai phân tuyến tính cấp hai a) Dạng 1: Tìm un thoả mãn điều kiện: u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un−1 = 0, n ∈ N * (5.1) Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng a.λ + b.λ + c = tìm λ Khi đó: n n 1) Nếu λ1 , λ2 hai nghiệm khác un = A.λ1 + B.λ2 , A B xác định biết u1 , u2 n 2) Nếu λ1 , λ2 hai nghiệm kép un = ( A + Bn ) λ , A B xác định biết u1 , u2 Bài tốn 5: Tìm un thoả mãn điều kiện sau: u0 = 1, u1 = 16, un + = 8.un+1 − 16.un (5.2) Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Bài giải: Phương trình đặc trưng λ − 8λ + 16 = có nghiệm kép λ = n Ta có: un = ( A + B.n ) (5.3) Cho n = , n = thay vào (5.3) ta thu hệ phương trình: u0 = = A A =1 ⇔  u1 = ( + B ) = 16  B = n Vậy un = ( + 3n ) b) Dạng 2: Tìm un thoả mãn điều kiện: u1 = α , u2 = β , a.un+1 + b.un + c.un −1 = f n , n ≥ 2, (6.1) a ≠ 0, f n đa thức theo n cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ + b.λ + c = để tìm λ Khi ta có un = un0 + un* , un0 nghiệm tổng quát phương trình a.un+1 + b.un + c.un −1 = un* nghiệm tuỳ ý phương trình: a.un+1 + b.un + c.un −1 = f n * Theo dạng ta tìm un , hệ số A, B chưa xác định,, un xác định sau : * 1) Nếu λ ≠ un đa thức bậc với f n * 2) Nếu λ = nghiệm đơn un = n.g n , g n đa thức bậc với f n * 3) Nếu λ = nghiệm kép un = n g n , g n đa thức bậc với f n , * * Thay un vào phương trình, đồng hệ số, tính hệ số un Biết u1 , u2 từ hệ thức un = un0 + un* tính A, B Bài tốn 6: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 1; u2 = 0, un +1 − 2un + un−1 = n + 1, n ≥ (6.2) Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Bài giải: Phương trình đặc trưng λ − 2λ + = có nghiệm kép λ = Ta có un = un0 + un* un0 = ( A + B.n ) 1n = A + Bn, un* = n ( a.n + b ) * Thay un vào phương trình (6,2), ta được: ( n + 1)  a ( n + 1) + b  − 2n ( a.n + b ) + ( n − 1)  a ( n − 1) + b  = n + Cho n = , n = ta thu hệ phương trình:  a =  4 ( 2a + b ) − ( a + b ) =  ⇔  9 ( 3a + b ) − ( 2a + b ) + ( a + b ) = b =  n 1 un* = n  + ÷ 6 2 Vậy Do đó: n 1 un = un0 + un* = A + Bn + n  + ÷ 6 2 Mặt khác, ta có u1 = u2 =0 nên suy ra: 1  A + B + + =1 A =   ⇔  −11 1    A + B +  + ÷ =  B =  3 2 Vậy: un = − 11 n 1 n + n2  + ÷ 6 2 c) Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện: u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = d µ n , n ≥ (7.1) Phương pháp giải: 10 Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ A = 4an an + + = ( n + 3n + 1) Điều chứng tỏ A số phương BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Xác định công thức dãy số (xn) thoả mãn điều kiện sau: 1) x1 = 11, xn +1 = 10.xn + − 9n , ∀n ∈ N 2) x0 = 2, x1 = −8, xn+ = −8.xn+1 + xn 3) x0 = 1, x1 = 3, xn + − xn+1 + xn = −n − 2n + 4) x0 = 0, x1 = 1, xn +1 − xn + xn −1 = n − 6n + 5) x1 = 1, x2 = 2, xn + − xn+1 + xn = Bài 2: Cho dãy số (an) thoả mãn điều kiện: an = an −1 + 2.an −2  a1 = a2 = n∈ N ( n ≥ 3) Chứng minh an số lẻ bn = 2.bn−1 + bn −2 Bài 3: Cho dãy số (bn) xác định bởi:  b1 = 1, b2 = n∈ N ( n ≥ 3) n 5 Chứng minh bn ≤  ÷ , ∀n ∈ N 2 Bài 4: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện un + − 2.un +1 + un = n∈ N  u = 1, u =  ( n ≥ 2) Chứng minh un số phương Bài 5: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện un + = 2un +1 + 2un − un −1 , n ∈ N * Chứng minh tồn số nguyên M cho số M + 4.an+1an số phương 16 Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 1.5 Xây dựng toán dãy số truy hồi Nhận xét : Nội dung phần giúp bạn đọc tìm cơng thức tổng qt lớp dãy số có tính chất truy hồi cách xác nhất, giúp thầy kiểm tra kết tốn theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dãy số Dưới số ví dụ xây dựng thêm tốn dãy số có tính quy luật mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng toán khác dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình: ( λ − 1) ( λ + ) = ⇔ λ + 8λ − = (11.1) Phương trình (11.1) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un xác định theo công thức sau: un+ + 8.un+1 + 9.un = Có thể cho u0 = 2, u1 = −8 Ta phát biểu thành tốn sau: Bài toán 1: Cho dãy số xn xác định sau:  xn + + 8.xn+1 + 9.xn =   x0 = 2, x1 = −8 n∈ N Xác định công thức dãy số xn Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định sau:  xn + + 8.xn+1 + 9.xn =   x0 = 2, x1 = −8 n∈ N Tính giá trị biểu thức A = x2006 − 5.x2007 + Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình: ( λ − 1) = ⇔ λ − 2λ + = (11.2) 17 Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Phương trình( 11.2) thể coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un xác định theo công thức sau: un+ − 2.un +1 + un = Có thể cho u0 = 1, u1 = vận dụng thuật tốn xác định công thức tổng quát dãy số: xn = ( n − 1) Ta phát biểu thành toán sau: Bài toán 1: Xác định công thức dãy số xn thoả mãn điều kiện sau:  xn + − xn+1 + xn = n∈ N   x0 = 1, x1 = Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định sau  xn + − xn+1 + xn = n∈ N  x = 1, x =  Chứng minh xn số phương Bài tốn 3: Cho dãy số xn xác định sau:  xn + − xn+1 + xn = n∈ N  x = 1, x =  Xác định số tự nhiên n cho: xn+1 + xn = 22685 Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số dãy số cho phương pháp truy hồi thơng qua tính chất dãy số khác Phương pháp Cho dãy số (un) thoả mãn hệ thức truy hồi Tìm số hạng tổng quát dãy Bước 1: Từ hệ thức truy hồi dãy tìm quy luật cặp hai số hạng liên tiếp dãy (un) Bước 2: Ta thông qua dãy (vn) mà số hạng biểu thị theo phép toán hai số hạng liên tiếp dãy (un) Bước 3: Từ chứng tỏ (vn) dãy số đặc biệt ( cấp số cộng cấp số nhân) 18 Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Bước 4: Biểu thị un theo số hạng dãy (vn) Ví dụ : un = (un - un-1) +( un-1 - un-2) + ….+ (u2 - u1) +u1 = + vn-1 + … + v2 + u1 Bước 5: Tính tổng + vn-1 + … + v2 theo cơng thức từ tìm cơng thức tổng quát un Bài toán 1: Dãy số (un) xác định sau: u1 = 1; u2 = 2; un+1 - 2un + un-1 = với n = 2, 3, … Hãy xác định số hạng tổng quát un Bài giải: Từ giả thiết ta có ( un+1 - un) - (un - un-1 ) = (1) với n = 2, 3, … Đặt = un - un-1 với n = 2, 3, … Khi đó, từ (1) suy vn+1 - = ⇒ vn+1 = + với n = 2, 3, … Vậy v2, v3, v4, … lập thành cấp số cộng với d = v2 = u2 - u1 = - = Ta có un = (un - un-1) +( un-1 - un-2) + ….+ (u2 - u1) +u1 = + vn-1 + … + v2 + (2) Áp dụng công thức tính tổng cấp số cộng, ta có: + vn-1 + … + v2 = [2v + (n − 2)d](n − 1) (2 + n − 2)(n − 1) n(n − 1) = = (3) 2 n(n − 1) n2 − n + Thay (3) vào (2) ta un = +1 ⇒ un = 2 Bài toán 2: Dãy số (un) xác định sau: u + u n −1 u1 = 1; u2 = 2; u n +1 = n với n = 2, 3, … Hãy xác định số hạng tổng quát un Bài giải: Từ giả thiết suy ra: un + un-1 = 2un+1 ⇒ - (un - un-1) = 2(un+1 - un), với n = 2, 3, … (1) Đặt = un - un-1 với n = 2, 3, … 19 Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Khi (1) có dạng vn+1 = − vn, với n = 2, 3, … Như v2, v3, v4, … lập thành cấp số nhân với q = − v2=u2-u1=2-1=1 Ta có un = (un - un-1) +( un-1 - un-2) + ….+ (u2 - u1) +u1 = + vn-1 + … + v2 + (2) Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân, ta có: n −1  1 n −1 n −1  − ÷ −1  v (q − 1) 2    (3)  + vn-1 + … + v2 = = = 1 −  − ÷  q −1     − −1 n −1  2  1 Thay (3) vào (2) ta un = 1 −  − ÷     +1  Bài tốn 3: Dãy u1, u2, u3, … có tính chất sau đây: 1) u1 = 2) Dãy = un+1 - un, n = 1, 2, 3, … lập thành cấp số cộng với v = công sai d = a) Lập công thức số hạng tổng quát un dãy b) Tính tổng Sn = u1 + u2 + … + un Bài giải: a) Ta có: un = u1 + (u2 - u1) + ( u3 - u2) + … + (un - un-1) = u1 + v1 + v2+ … + vn-1 = + v1 + v2+ … + vn-1 (1) Mặt khác, theo cơng thức tính tổng cấp số cộng, ta có: [2v1 + (n − 2)d](n − 1) [6 + 3(n − 2)](n − 1) 3n − 3n v1 + v2+ … + vn-1 = (2) = = 2 Thay (2) vào (1) ta có: un = 3n − 3n + (3) 20 Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ b) Xét tổng Sn = u1 + u2 + … + un Theo (3) suy ra: Sn = [3(12 + 22 + 32 + ….+n2) - 3(1 + + … + n) +2n] 3n(n + 1)(2n + 1) 3n(n + 1) n3 + n = − + 2n = 2 n3 + n Vậy Sn = BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho a b hai số cho trước mà a + b ≠ 0; a + 2b ≠ Hãy xác định số hạng tổng quát ãy số u0; u1; u2; … xác định sau: 1) u0 = 0; u1 = 1; 2) un+1 = Bài 2: Giả sử α0 ≠ au n + bu n −1 với n = 1; 2; 3; … a+b −1 , n = 1; 2; ….là số cho trước Dãy x 0; x1; x2; … 2n xác định sau: x0 = α0 ; xn = x n −1 , n = 1; 2; … 2x n −1 + Lập công thức số hạng tổng quát dãy (xn) Bài 3: Dãy (un) xác định công thức: u1 = 1; un+1 = un + n3 với n =1; 2; … Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số Bài 4: Dãy (un) xác định công thức: u1 = 5; un+1 = un +3n - với n =1; 2; … Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số Bài 5: Cho dãy số (un) thoả mãn: u1 = ; un+1 = 2u n + với n = 1; 2; … un + 21 Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ a) Lập dãy số (xn) với xn = un −1 Chứng minh dãy số (xn) cấp số nhân un + b) Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy (un) Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số cho phương pháp truy hồi biến đổi đại số chứng minh quy nạp Phương pháp: * Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn đơn giản biểu thức un * Sử dụng phương pháp quy nạp việc thực theo bước Bước 1: Viết vài số hạng đầu dãy, từ dự đốn cơng thức cho un Bước 2: Chứng minh cơng thức dự đốn phương pháp quy nạp Bài toán 1: Cho dãy số (un) xác định sau: u1 = 1; un = un-1 + với n ≥ Xác định công thức tính un theo n Bài giải: Nhận xét: Với đề ta làm theo phương trình sai phân tuyến tính, thơng qua dãy (vn) với = un - un-1 Ngồi ta dùng cách biến đổi đại số chứng minh quy nạp Cách biến đổi đại số: Từ giả thiết ta có: u1 = u2 = u1+2 u3 = u2+2 … un = un-1+2 Cộng theo vế đẳng thức trên, ta được: un = + 2(n - 1) = 2n - Vậy, ta có: un = 2n - Cách chứng minh quy nạp: Ta có : 22 Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ u1 = = 2.1 - u2 = + = = 2.2 - u3 = + = = 2.3 - Dự đoán un = 2n - (1) Ta chứng minh dự đoán chứng minh quy nạp, thật vậy: u1 = 2.1 - = 1, tức công thức (1) với n = Giả sử (1) với n = k, tức u k = 2k - Ta chứng minh với n = k + Thật vậy: theo hệ thức truy hồi giả thiết quy nạp Có uk+1 = uk + = 2k - + = 2(k +1) - 1, tức (1) với n = k + Vậy ta có : un = 2n - Bài toán 2: Cho dãy số ( un) với un = n + 4n + với n ∈ N* dãy số (Sn) xác định sau: S1 = u1 ; Sn = Sn-1 + un với n ≥ Xác định công thức tính Sn theo n Bài giải: Ta có ngay: Sn = u1 + u2+ … + un Mặt khác, ta có biểu diễn: un = n + 4n + = 1 = − (n + 1)(n + 3) n + n + Từ ta nhận được: u1 = 1 − u2 = 1 − u3 = 1 − … 23 Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ un = 1 − n +1 n + Cộng theo vế đẳng thức trên, ta được: 1 1 5n + 13n − Sn = u1 + u2 + … + u n = + = n + n + (n + 2)(n + 3) Bài toán 3: Cho dãy số (un) xác định sau: u1 = + u n −1 với n ≥ 2 ; un = Xác định cơng thức tính un theo n Bài giải: Ta có u1 = = 2 π π = 2.cos = 2cos 1+1 2 u = + 2cos π 22 = 2(1 + cos π Từ đó, ta dự đoán un = 2cos n +1 π π 23 ) = 4cos 2 = 2cos π 22 +1 (1) Ta chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp, thật vậy: • (1) với n = π • Giả sử (1) với n = k, tức uk = 2cos k +1 π • Ta chứng minh (1) với n = k + 1; tức uk+1 = 2cos k + 2 Thật vậy, theo hệ thức truy hồi giả thiết quy nạp, ta có: uk+1 = + u k = + 2cos = 2.2cos π 2k +1 π   = 1 + cos k +1 ÷   π π π =2 cos k + = 2cos k + 2 2k + 24 Sáng kiến kinh nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ( Do < π π π < nên cos k + > 0) 2k + 2 π Vậy, ta ln có: un = 2cos n +1 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho dãy số (un) xác định sau: u1 = 1; un = 3un-1 với n ≥ Xác định cơng thức tính un theo n Bài 2: Cho dãy số (un) xác định sau: u1 = 4; un = 2un-1 với n ≥ Xác định cơng thức tính un theo n Bài 3: Cho dãy số (un) xác định sau: u1 = 5; un = un-1 với n ≥ Xác định cơng thức tính un theo n Bài 4: Cho dãy số (un) xác định sau: u1 = 1; un = u n −1 với n ≥ Xác định cơng thức tính un theo n Bài 5: Cho dãy số ( un) với un = với n ∈ N* dãy số (Sn) xác n(n + 1) định sau: S1 = u1 ; Sn = Sn-1 + un với n ≥ Xác định cơng thức tính Sn theo n 25 ... nghiệm - XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ a) Lập dãy số (xn) với xn = un −1 Chứng minh dãy số (xn) cấp số nhân un + b) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy (un) Xác định công thức số. .. THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Bước 4: Biểu thị un theo số hạng dãy (vn) Ví dụ : un = (un - un-1) +( un-1 - un-2) + ….+ (u2 - u1) +u1 = + vn-1 + … + v2 + u1 Bước 5: Tính tổng + vn-1 + … +... với n =1; 2; … Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số Bài 4: Dãy (un) xác định công thức: u1 = 5; un+1 = un +3n - với n =1; 2; … Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số Bài 5: Cho dãy số (un) thoả