Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 10 có đáp án chi tiết

Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 10 có đáp án chi tiết Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 10 có đáp án chi tiết Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 10 có đáp án chi tiết Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 10 có đáp án chi tiết Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 10 có đáp án chi tiết Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 10 có đáp án chi tiết Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 10 có đáp án chi tiết Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 10 có đáp án chi tiết

NGUYỄN QUANG HUY

TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI

HỌC SINH GIỎI

Câu I(2,0 điểm)

Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm I (0; 1)  và có hệ số góc là

k Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d) Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là

1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung

Câu III(4 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (2;6), chân đường phân

giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm 3

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 06/04/2016 (Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) Chứng minh rằng a2£ 4 cot S A

b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC Chứng minh rằng góc MGO không nhọn

Câu IV(1 điểm)

Cho a b c ; ; là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 3 3

Họ và tên thí sinh:……… ; Số báo danh:………

Chữ ký của giám thị 1:……… ; Chữ ký của giám thị 2:………

HƯỚNG DẪN CHẤM

Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm I (0; 1)  và có hệ số

góc là k Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d) Giả sử A, B lần lượt có

hoành độ là

1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung

1,0

+ Đường thẳng (d) có pt: y = kx - 1 0,25 + PT tương giao (d) và (P): 2 2

2) Giải hệ phương trình:

4 2

1(1) (*)

 

2 2

x y xy

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (2;6), chân đường

phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm 3

III

giác ABC là điểm Viết phương trình của đường thẳng BC

Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính IA 0,25

Đường thẳng AD đi qua A và có VTCP 0; 15

A’ là trung điểm cung » BC không chứa A nên IA’^ BC 0,25

đường thẳng BC đi qua D và có ' 5 ;5

Từ đó viết được pt đường thẳng BC là: x  2 y   5 0 0,25

2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) và diện tích là Kí

hiệu lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A,

2 2 2

2 cos bc A b c a

Từ (**)Û b2+ c2- a2³ a2 Hay 4 cot S A ³ a2 0,25

2b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC;

M là trung điểm của BC Chứng minh rằng góc MGO không nhọn 1,0

Ta sẽ chứng minh GO GM uuur uuur £ Û 0 OG GM uuur uuur ³ 0 0.25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÖC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên)

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 7 (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC không vuông và có các cạnh BCa CA, b AB, c Chứng minh

rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn a2b2 2c2 và tanAtanC2 tanB thì tam giác ABC đều

Câu 8 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không là tam giác vuông và nội tiếp đường tròn (I) ( đường tròn (I) có tâm là I ); điểm H 2; 2 là trực tâm tam giác ABC Kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn (I) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo

danh………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÖC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên)

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần

x x x

x x





 thỏa mãn điều kiện

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1

Với x y 1 thay vào (2) ta được 2

6 (1,0 điểm) Bài này học sinh không nhất thiết phải vẽ hình

Kết quả cơ bản: cho tam giác ABC trọng tâm G Khi đó với mọi điểm O ta có

Nhận xét Các tứ giác BHCM, AHCN là các hình bình hành suy ra nếu gọi E, F lần

lượt là trung điểm của BC, CA thì E, F cũng tương ứng là trung điểm của HM, HN

Do F là trung điểm AC nên:

N

M

C B

( Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 5 (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường

thẳng chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x

- y - 2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC

Câu 6 (1.0 điểm) Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn 4a b c  3abc chứng

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị xem thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ;Số báo danh…

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10

1

13

1

m

m m

y y

33

m m

2 2( 1) 2 7

2

x

x x

96

a b

MB MNMP ; 1  

.2

NC NQNP ;

1.0

 

1.2

PD PM PQ ; 1  

.2

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng

chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1

= 0 ; 2x - y - 2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

-

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: Ngày 12 tháng 7 năm 2013

2) Tìm m để phương trình x2 – 2 (2m +1)x +4m2+4m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn điều kiện x1x2  x1+ x2

Câu 4 ( 3,0 điểm ) :

Cho nửa đường tr n tâm O đường kính AB, trên nửa đường tr n lấy điểm C (C khác A

và B).Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C) Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại B Các đường thẳng AC và AD cắt d lần lượt tại E và F

1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp một đường tr n

2)Gọi I là trung điểm của BF.CHứng minh ID là tiếp tuyến của nửa đường tr n đã cho 3)Đường thẳng CD cắt d tại K, tia phân giác của CKE cắt AE và AF lần lượt tại M và

N.Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân

ĐỀ CHÍNH THỨC

Vân tốc ca nô khi ngược dòng là: x – 3 km/h

Thời gian ca nô khi xuôi dòng là: 45

x3h

Thời gian ca nô khi ngược dòng là: 45

x 3 h Theo đề bài ta có phương trình:

Giải phương trình ta được x1=-0,6( Loại); x2=15( Thỏa mãn) Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 15km/h

Cách 1: Để phương trình x2 -2(2m+1)x + 4m2+4m =0 có hai nghiệm phân biệt

 ’= (2m+1)2

-1.(4m2+4m) =1 > 0 với mọi m

Theo Viét ta có x x 2(2m+1)

4

1,

Ta có : AEB là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn

 AEB = 1 2 sđ ( cung AB - cung BC ) = 1 2 sđ cung AC (1) CDA là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  CDA = 1 2 sđ cung AC (2)

Từ (1) và (2)  AEB = CDA hay CEF = CDA

Mà CDA + CDF = 1800 CEF + CDF = 1800mà CEF và CDA là 2 góc đối nhau

 Tứ giác CDFE là tứ giác nội tiếp ( dhnb )

2)

N M

K

I F E

D

O

C

B A

Ta có tam giác OAD cân (OA = OD = bk)

a b ab thay a b

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

-

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: Ngày 14 tháng 7 năm 2013 (Đợt 2)

1) Hai giá sách trong một thư viện có tất cả 357 cuốn sách Sau khi chuyển 28 cuốn sách

từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số cuốn sách ở giá thứ nhất bằng 1

2số cuốn sách của giá thứ

hai Tìm số cuốn sách ban đầu của mỗi giá sách

2) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 x25x 3 0 Tính giá trị của biểu thức:

Q = x13x23

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H Trên cạnh BC lấy điểm

M (M khác B, C và H) Kẻ ME vuông góc với AB tại E; MF vuông góc với AC tại F

ĐỀ CHÍNH THỨC

1) Chứng minh các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn

2) Chứng minh BE.CF = ME.MF

3) Giả sử MAC450 Chứng minh BE=HB

Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ………

Chữ ký của giám thị 1: ……….Chữ ký của giám thị 2: ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2013 - 2014

Ngày thi: 14 tháng 07 năm 2013

I) HƯỚNG DẪN CHUNG

- Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa

- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm

II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

1 1 2

4

 4 0

x x

04

x x

x x

2 1

Rút gọn biểu thức 1 1 : 1

1

a P

11

a a a

Vì hệ số góc 2 đường thẳng khác nhau(21)( Hoặc nêu hệ sau có nghiệm duy

nhất) nên 2 đường thẳng đã cho cắt nhau Toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

y = 2x + 2 và y = x + m – 7 là nghiệm của hệ phương trình: 2 2

3 1 Hai giá sách trong một thư viện có tất cả 357 cuốn sách Sau khi chuyển

28 cuốn sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số cuốn sách ở giá thứ nhất bằng

1

2số cuốn sách của giá thứ hai Tìm số cuốn sách ban đầu của mỗi giá sách

1,00

Gọi số sách ở giá thứ nhất là x cuốn (x nguyên dương)

Số sách ở giá thứ hai là y cuốn (y nguyên dương)

Theo bài ra ta có phương trình x + y = 357 (1)

Sau khi chuyển thì số sách của giá thứ nhất là x – 28 (cuốn); số sách của giá thứ

Từ (1) và (2) tìm được số sách ban đầu của giá thứ nhất là 147 cuốn

Và số sách của giá thứ hai là 210 cuốn

0,25

0,25

0,25 0,25

2 Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 2

x  x  (*) Tính giá trị của biểu thức:Q = x13x32

Từ giả thiết suy ra ME // AC => M1C1

=> hai tam giác vuông BEM và MFC đồng dạng

0,25

Từ giả thiết ta có tứ giác AEMF là hình chữ nhật

Mà MAC450 nên tứ giác AEMF là hình vuông => ME = MF

Ta có AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC

2 2

M    Dấu ―=‖ xảy ra khi x = 1 và y = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 11

Câu 4 (3,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh rằng OA OB OC  OH và ba điểm O, H, L thẳng hàng

2 Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho MABMBCMCDMDA Chứng minh đẳng thức sau:

3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các

    (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác

ABC) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q1; 1 và điểm A

có hoành độ dương

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÖC

———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN

NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

———————————

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần

đó

II ĐÁP ÁN:

Câu Ý Nội dung trình bày Điểm

x

x x

0 -2

P m

0,5

Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 khi m2, Pmin  144 khi m 2 0,5

x y xy

t x t



t y

C

A

B

Kẻ đường kính AD, khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành nên trung điểm K của

BC cũng là trung điểm của HD, trong tam giác AHD có OK là đường trung bình nên

M

C B

A

Đường tr n ngoại tiếp tam giác ABC là đường tr n đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập

được phương trình này là: 2 2

SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH

TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG – NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán 10

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số yx23x2 có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm giá trị lớn nhất của góc A khi  2 2 1 

Câu 4 (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A  1; 2 ,   B 2; 2 ,C 1; 2

a) Tìm tọa độ điểm MOx sao cho MA B1 1 450

b) Tam giác nhọn ABC có chân các đường cao hạ từ A, B, C theo thứ tự là A B C Viết 1, 1, 1

phương trình cạnh BC của tam giác ABC

Câu 5 (2 điểm) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x  y z 3 Chứng minh rằng

3 3 3

4

x y z xyz

-HẾT -

Đồ thị có TĐX là x = 3 2, Đồ thị cắt Ox tại điểm (1;0) và (2; 0), cắt Oy tại (0; 2)

Đồ thị (hình vẽ 1)

0.5

0.5

BBT 0.5

ĐT 0.5 1b)

9/22

4

m

m m m

Với t = 2, x 4 8  x 2 x4 8 x   0 x 4 hoặc x = 8 0.5

0.5 2b)

2 0

x x

x y

2đ

coscot

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi  là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác Chứng minh rằng 3



1

AE AC

4

 Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng

b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: b IB c IC 2a IA2  2  2  0; Tìm điểm M sao cho biểu thức (b MB2 2 c MC2 2 2a MA2 2) đạt giá trị lớn nhất

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………

Chữ ký của giám thị 1:……….Chữ ký của giám thị 2:………

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B (1;2) Đường thẳng là

đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x  y 1 0; khoảng cách

từ C đến  gấp 3 lần khoảng cách từ B đến  Tìm tọa độ của A và C biết C

nằm trên trục tung

1,25

Xét các tam giác vuông ABC vuông ở A, gọi  là góc giữa hai đường trung

tuyến BM và CN của tam giác Chứng minh rằng sin 3

5

Gọi a, b và c tương ứng là độ dài các cạnh đối diện các góc A, B và C của tam giác Có

M N

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có

BG CG BCcos BGC

5(b c ) 5(4c b )(4b c )

     Dấu bằng có khi tam giác vuông cân đỉnh A 0,25

3 a Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các BD 2BC; AE 1AC

E

2a IAa IH hay 2.IAIH

Do đó điểm I thỏa mãn gt là I thỏa mãn A là trung điểm IH

Mặt khác 2 2 2 2

xMA x(IA IM) x(IM IA 2IA.IM)

Tương tự cho yMB2

3x 1 2x 1 x 1

0,25

2 2

2x 1 2x 2(a)2x 1 4x(b)

2 2

       Điều này luông đúng

Dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z

0,25

Vậy (I) được CM, dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z= 3 0,25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT

Năm học: 2013-2014 Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút

giácABC tiếp xúc với AB BC, lần lượt tại N M ,

a.Tính BM BN BP theo hai vectơ , , BA BC và theo , ,, a b c

b Chứng minh rằng ,P M N thẳng hàng ,

2 Cho tam giác ABC có ACb BC, a AB, c là độ dài ba cạnh của tam giác; m m m a, b, c

là độ dài ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A B C, , Gọi R, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, diện tích của tam giác ABC Chứng minh rằng nếu

2

abm bcm acm  RS thì tam giác ABC đều

Câu 4 (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có phương trình x+2y-17=0, đường cao CK có phương trình 4x+3y-28=0, đường cao BH qua điểm M(1; 6) Tìm tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC

Họ và tên thí sinh……… Số báo danh………

Người coi thi số 1……….Người coi thi số 2………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu 1(5,0 điểm)

a (3,0 điểm) Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d sao cho

cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và AB=1

Đường thẳng song song với d có dạng y x m m( 3) 0,5

Phương trình hoành độ giao điểm 2

4x    x 1 m 0(1)

Để cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là

0,5