dạng 1: khái niệm về vecto dạng 2: chứng minh đẳng thức vecto. Phân tích một vecto theo 2 vecto không cùng phương dạng 3: xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vecto dạng 4: chứng minh thẳng hàng, song song dạng 5: tập hợp điểm
Trang 1CHƯƠNG I : VECTO DẠNG 1: KHÁI NIỆM VÉCTƠ
Bài 1: Hãy tính số vecto khác 0r mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt
đã cho trong các trường hợp sau:
a) Hai điểm A, B
b) Ba điểm A, B, C
c) Bốn điểm A, B, C, D
d) Năm điểm A, B, C, D, E
Bài 2: Cho hình bành hành ABCD có tâm là O Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) Bằng vectơ uuur AB; OB uuur
b) Có độ dài bằng OBuuur
Bài 3: Cho tam giác ABC Ba điểm M,N và P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC CMR:
MN =BP
uuuur uuur
; MA PNuuur uuur=
Bài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA
Chứng minh : MN = QP ; NP = MQ
Bài 5*: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ là
điểm đối xứng của B qua O Chứng minh:
a) AH = B ' C và uuuur uuurAB'=HC b) GHuuur= −2GOuuur
Bài 6*: Cho hình bình hành ABCD, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
CD Các đường thẳng AN và CM cắt BD lần lượt tại E và F CMR:
a) DE EFuuur uuur uuur= =FB b) MF ENuuur uuur=
Bài 7: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a Tính độ dài các vectơ:
a)BA−BC,CA+CB uuurAB+2uuurAC
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Tính uuuur uuuur uuuurHA HB HC, ,
Bài 8: Cho hình thoi ABCD cạnh a ·BAD=600, gọi O là giao điểm của 2 đường chéo Tính:
|uuur uuurAB AD+ | ; BA BCuuur uuur− ; OB DCuuur uuur− ; 2uuurAB+3CDuuur ; BDuuur−2uuurAC−3uuurBA
Bài 9: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính:
AB AC AD+ +
uuur uuur uuur
AC BD−
uuur uuur
; uuur uuur uuur uuurAB BC CD DA− − −
Bài 10: Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G.Tính: uur uurAB+AC ; uur uurAB CB+ ; GB GCuur uur+ ;
AB−AC
uur uur
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a , trọng tâm G Tính: uur uurAB+AC ; GB GCuur uur+
Trang 2DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ – PHÂN TÍCHVEC TƠ
Bài 1: a) Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý Chứng minh rằng:
MA MC MB MD+ = +
uuur uuuur uuur uuuur
Bài 2: Cho 4 điểm bất kỳ M,N,P,Q Chứng minh các đẳng thức sau:
a) PQ NP MNuuur uuur uuuur uuuur+ + =MQ; b) uuur uuuur uuur uuuurNP MN QP MQ+ = + ;
c) MN PQ MQ PNuuuur uuur uuuur uuur+ = + ;
Bài 3: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:
a) uuur uuur uuur uuurAB DC AC DB+ = + b) AD BE CF AE BF CDuuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + = + +
Bài 4: Cho ngũ giác ABCDE Chứng minh rằng:
a) uuur uuur uuur uuur uuur rAD BA BC ED EC+ − − + =0;
b) uuur uuur uuur uuur uuurAD BC EC BD+ − − =AE
Bài 5: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S Chứng minh:
a) MN +PQ=MQ+PN b)MP+NQ+RS =MS +NP+RQ
Bài 6: Cho 7 điểm A; B; C; D; E; F; G Chứng minh rằng :
a) ABuuur + CDuuur + EAuuur = CBuuur + EDuuur
b) ADuuur + BEuuur + CFuuur = AEuuur + BFuuur + CDuuur
c) ABuuur + CDuuur + EFuur + GAuuur = CBuuur + EDuuur + GFuuur
d) ABuuur - AFuuur + CDuuur - CBuuur + EFuur - EDuuur = 0r
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, có tâm O CMR: OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur r+ + + =0
Bài 8: Gọi M và N lầ lượt là trung điểm các cạnh AC và CD của tứ giác ABCD CMR
2MNuuuur uuur uuur uuur uuur= AC BD BC AD+ = +
Bài 9: Cho tam giác ABC Vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS
Chứng minh rằng: RFuuur + IQuur + PSuur =0r
Bài 10: Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD Chứng minh:
2(uuur uur uur uuur+ + + ) 3= uuur
Bài 11: cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD Gọi E là trung
điểm I J CMR: EA EB EC EDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0
Bài 12: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA CMR:
a)uuur uuur uuuur rAN BP CM+ + =0; b)uuur uuuur uuurAN =AM +AP;
c) uuuur uuur uuur rAM BN CP+ + =0
Bài 13: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến I là trung điểm của AM.
a) Chứng minh: 2IA IB ICuur uur uur r+ + =0
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA OB OCuuur uuur uuur+ + =4OIuur
Bài 14: Cho h́nh thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung điểm DB CMR:
EA EB EC ED DA BC+ + + = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 15: Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh:
a) uuurAH=2OMuuur b) HA HB HCuuur uuur uuur+ + =2HOuuur c) OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + =
d) CMR: G, H, O thẳng hàng
Bài 16: ( Hệ thức trung điểm) Cho 2 điểm A và B.
Trang 3a) Cho M là trung điểm AB CMR với điểm I bất ḱ : IA IBuur uur+ =2uuurIM
b) Với N sao cho NAuuur= −2uuurNB CMR với I bất ḱ : uurIA+2IBuur=3INuur
c) Với P sao cho uuurPA=3PBuuur CMR với I bất ḱ : IAuur−3IBuur= −2IPuur
Bài 17: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G:
a) CMR: GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0 Với I bất ḱ : uur uur uurIA IB IC+ + =3uurIG
b) M thuộc đoạn AG và MG = 1
4GA CMR 2MA MB MCuuur uuur uuuur r+ + =0 c) Cho tam giác DEF cĩ trọng tâm là G’ CMR:
+ uuur uuur uuur rAD BE CF+ + =0 + T́m điều kiện để 2 tam giác cĩ cùng trọng tâm
Bài 18: ( Hệ thức h́nh b́nh hành) Cho h́nh b́nh hành ABCD tâm O CMR:
a) OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur r+ + + =0;
b) với I bất ḱ : IA IB IC IDuur uur uur uur+ + + =4IOuur
Bài 19: Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng minh:
AM 1AB 2AC
= +
uuur uuur uuur
Bài 20: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm
thuộc AC sao cho CNuuur=2NAuuur K là trung điểm của MN Chứng minh:
a) AK 1 AB 1AC
= +
uuur uuur uuur
b) KD 1AB 1AC
= +
uuur uuur uuur
Bài 21: Cho hình thang OABC M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC Chứng minh rằng:
a) AM 1OB OA
2
= −
uuur uuur uuur
b) BN 1OC OB
2
= −
uuur uuur uuur
c) MN 1(OC OB)
2
uuuur uuur uuur
Bài 22: Cho ∆ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng:
a) AB 2CM 4BN
= − −
uuur uuur uuur
c) AC 4CM 2BN
= − −
uuur uuur uuur
c) MN 1BN 1CM
= −
uuuur uuur uuur
Bài 23: Cho ∆ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của B qua G
a) Chứng minh: AH 2AC 1AB
= −
uuur uuur uuur
và CH 1(AB AC)
3
= − +
uuur uuur uuur
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: MH 1AC 5AB
= −
uuuur uuur uuur
Bài 24: Cho hình bình hành ABCD, đặt uuurAB a AD b= r,uuur= r Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI AGuur uuur, theo a br, r
Bài 25: Cho lục giác đều ABCDEF Phân tích các vectơ BC và BDuuur uuur theo các vectơ uuurAB và AFuuur
Bài 26: Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AMuuur
theo các vectơ OA OB OCuuur uuur uuur, ,
MB=3MC NA, =3CN PA PB, + =0
uuur uuur uuur uuur uur uuur r
a) Tính PM PNuuur uuur, theo uuur uuurAB AC, b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng
Bài 28: Cho ∆ABC Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Trang 4a) Chứng minh: AAuuur uuur uuuur r1+BB CC1+ 1=0
b) Đặt BBuuur1=u CCr,uuuur1=vr Tính BC CA ABuuur uur uuur, , theo u và vr r
Bài 29: Cho ∆ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC
a) Tính uur uuurAI AF theo AB và AC, uuur uuur
b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC Tính uuurAG theo AI và AFuur uuur
Bài 30: Cho ∆ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của G qua B
a) Chứng minh: HAuuur−5HB HCuuur uuur r+ =0
b) Đặt uuurAG a AH b=r,uuur= r Tính uuur uuurAB AC, theo a và br r
DẠNG 3: XÁC ĐỊNH MỘT ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Bài 1: Cho 3 điểm A, B, C Tìm vị trí điểm M sao cho :
a) MB MC ABuuur uuuur uuur+ = b) 2uuur uuur uuuur urMA MB MC O+ + =
c) MAuuur+2uuur uuuur urMB MC O+ = d) MA MBuuur uuur+ +2uuuur urMC O=
e) MA MB MC Ouuur uuur uuuur ur+ − = f) MAuuur+2MB MC Ouuur uuuur ur− =
Bài 2: Cho ∆ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC 0uuur uuur uuur r− + =
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB cĩ trung điểm I M là điểm tuỳ ý khơng nằm trên đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI
a) Chứng minh: BN BA MBuuur uur uuur− =
b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA NI NDuuur uur uuur+ = ; uuur uuur uuurNM BN NC− =
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD
a) Chứng minh rằng: uuur uuur uuurAB AC AD+ + =2uuurAC
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3uuur uuur uuur uuurAM AB AC AD= + +
Bài 5: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC
a) Chứng minh: MN 1 (AB DC)
2
= +
uuuur uuur uuur
b) Xác định điểm O sao cho: OA OB OC OD 0uuur uuur uuur uuur r+ + + =
Bài 6: Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của MN Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta cĩ: SA SB SC SDuur uur uur uuur+ + + =4SOuuur
Bài 7: Cho ∆ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) 2IBuur+3ICuur r=0 b) 2JA JC JB CAuur uur uur uur+ − =
c) KA KB KCuuur uuur uuur+ + =2BCuuur d) 3LA LBuur uur− +2LCuuur r=0
Bài 8: Cho ∆ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) 2IAuur−3IBuur=3BCuuur b) JA JBuur uur+ +2JCuur r=0
c) KA KB KC BCuuur uuur uuur uuur+ − = d) LAuur−2LC ABuuur uuur= −2uuurAC
Bài 9: Cho ∆ABC Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
Trang 5a) IA IB IC BCuur+ −uur uuur= b) FA FB FC AB ACuur uuur uuur uuur uuur+ + = +
c) 3KA KB KCuuur uuur uuur r+ + =0 d) 3uuuurLA−2LB LCuur uuur r+ =0
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức sau:
a) IA IB ICuur uur uur+ + =4uurID b) 2FAuur+2FBuuur=3FC FDuuur uuur−
c) 4KAuuur+3KBuuur+2KC KDuuur uuur r+ =0
Bài 11: Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC ABuuuur uuur uuur= + , ME MA BCuuur uuur uuur= + ,
MF MB CA= +
uuur uuur uur
Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M
b) So sánh 2 véc tơ MA MB MC và MD ME MFuuur uuur uuur+ + uuuur uuur uuur+ +
Bài 12: Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD A′, B′, C′, D′ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh:
a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA′, BB′, CC′, DD′
b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A′B′C′D′
Bài 13: Cho tứ giác ABCD Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao cho
các vectơ vr đều bằng k MI.uuur với mọi điểm M:
a) v MA MBr=uuur uuur+ +2MCuuur b) v MA MBr=uuur uuur− −2MCuuur
c) v MA MB MC MDr=uuur uuur uuur uuuur+ + + d) vr=2uuurMA+2uuur uuurMB MC+ +3MDuuuur
DẠNG 4: CHÚNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU
• Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đĩ thoả mãn đẳng thức
AB k AC=
uuur uuur
, với k ≠ 0.
• Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức
OM ONuuur uuur= , với O là một điểm nào đĩ hoặc MN 0uuuur r= .
Bài 1: Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OAuuur+2OBuuur−3OCuuur r=0 Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
BH 1BC BK, 1BD
uuur uuur uuur uuur
Chứng minh: A, K, H thẳng hàng
HD: BH AH AB BK AK ABuuur uuur uuur uuur uuur uuur= − ; = −
Bài 3 Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC CMR : A, P , Q thẳng hàng
b) Gọi E, F thoả mãn : 1
3
ME= MN
uuur uuuur
3
BF= BC
uuur uuur
CMR : A, E, F thẳng hàng
Bài 4 Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hàng
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF CMR A, J,
N thẳng hàng
c) Lấy điểm K là trung điểm EF Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng
Trang 6Bài 5 Cho tam giác ABC và M, N, P là cỏc điểm thoả mãn : uuurMB−3uuuur urMC O= , uuurAN=3NCuuur,
PB PA O+ =
uuur uuur ur
CMR : M, N, P thẳng hàng ( 1 , 1 1
MP CB= + CA MN= CB+ CA
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
)
Bài 6: Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn LBuuur=2LCuuur, 1
2
MC=− MA
uuuur uuur
, NB NA Ouuur uuur ur+ =
CM : L, M, N thẳng hàng
Bài 7: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm I, J thoả mãn : 2IAuur+3IC Ouur ur= ,
2uurJA+5uurJB+3uur urJC O=
a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC
b) CMR J là trung điểm BI
c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn uuurAE kAB= uuur Xác định k để C, E, J thẳng hàng
Bài 8 Cho tam giác ABC I, J thoả mãn : uurIA=2 , 3uurIB uurJA+2uur urJC O= CMR : Đường thẳng IJ
đi qua G
Bài 9: Cho tam giác ABC cĩ AM là trung tuyến Gọi I là trung điểm AM và K là một
điểm trên cạnh AC sao cho AK =
3
1
AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Bài 10: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N ủửụùc xác ủũnh bởi các heọ thửực
O AC NA
AB O
MA
BC + = ; − − 3 = Chứng minh MN // AC
Bài 11: Cho ∆ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IBuur=2ICuur, JC 1JA
2
= −
, KAuuur= −KBuuur a) Tính IJ IK theo AB và ACuur uur, uuur uuur (HD: IJ AB 4AC
3
= −
uur uuur uuur
)
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm ∆AIB)
Bài 12: Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P
sao cho MBuuur=3MCuuur, NAuuur=3CNuuur, PA PB 0uur uuur r+ =
a) Tính PM PNuuur uuur, theo uuur uuurAB AC,
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD
= 1
2AF, AB =
1
2AE Chứng minh:
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành
Bài 14: Cho ∆ABC Hai điểm I, J được xác định bởi: IAuur+3ICuur r=0, JAuur+2JBuur+3JCuur r=0 Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng
Bài 15: Cho ∆ABC Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MAuuur+4uuur rMB=0, uuurNB−3NCuuur r=0 Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ∆ABC
Bài 16: Cho ∆ABC Lấy các điểm M N, P: MBuuur−2uuur uuurMC NA= +2NC PA PBuuur uur uuur r= + =0
a) Tính PM PN theo AB và ACuuur uuur, uuur uuur b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
minh các tam giác RIP và JQS cĩ cùng trọng tâm
Bài 18: Cho tam giác ABC, A′ là điểm đối xứng của A qua B, B′ là điểm đối xứng của B qua C,
C′ là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ chung trọng tâm
Trang 7Bài 19: Cho ∆ABC Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi: 2uuurA B′ +3uuur rA C′ =0, 2B Cuuur′ +3B Auuur r′ =0,
C A C B
2uuur′ +3uuur r′ =0 Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ cùng trọng tâm
Bài 20: Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho:
′= ′ = ′
Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ chung trọng tâm
Bài 21: Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý Gọi A′, B′, C′ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng qui tại một điểm N
b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luơn đi qua trọng tâm G của ∆ABC
Bài 22: Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: MA3uuur+4MBuuur r=0,
CN 1BC
2
=
uuur uuur
Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ∆ABC
Bài 23: Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
BD DE EC= =
uuur uuur uuur
a) Chứng minh AB AC AD AEuuur uuur uuur uuur+ = +
b) Tính uur uuur uuur uuur uuurAS AB AD AC AE theo AI= + + + uur Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng
Bài 24: Cho tam giác ABC Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM BCuuur uuur= −2uuurAB,
CN x AC BCuuur= uuur uuur−
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC Tính IM
IN .
Bài 25: Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c 0+ + ≠
a) Chứng minh rằng cĩ một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB cGC 0uuur+ uuur+ uuur r=
b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho uuurMP aMA bMB cMC= uuur+ uuur+ uuur Chứng minh ba điểm G,
M, P thẳng hàng
Bài 26: Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MNuuuur=2MAuuur+3MB MCuuur uuur−
a) Tìm điểm I thoả mãn 2IAuur+3IB ICuur uur r− =0
b) Chứng minh đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định
Bài 27: Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MNuuuur=2MA MB MCuuur uuur uuur− +
a) Tìm điểm I sao cho 2IA IB ICuur uur uur r− + =0
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định
c) Gọi P là trung điểm của BN Chứng minh đường thẳng MP luơn đi qua một điểm cố định
DẠNG 5: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN HỆ THỨC
Bài 1. Cho 2 điểm cố định A, B Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) MA MBuuur uuur+ = MA MBuuur uuur− b) MA MB2uuur uuur+ = uuurMA+2MBuuur
HD: a) Đường trịn đường kính AB b) Trung trực của AB
Bài 2. Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:
a) MA MCuuur uuuur r+ =0 b) MA MCuuur uuuur=
c) MB BMuuur uuuur= d) MA MB MCuuur uuur uuuur r+ + =0
HD: a) Trung điểm AC b) Khơng cĩ điểm M thỏa mãn c) M ≡ B d) M ≡ G
Trang 8Bài 3. Cho ∆ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) MA MB MC 3 MB MC
2
uuur uuur uuur uuur uuur
b) uuur uuurMA MB+ = MA MBuuur uuur−
c) MA MBuuur uuur− = MCuuuur d) MA MBuuur uuur+ =0
e) 2MA MBuuur uuur+ = 4uuur uuurMB MC− f) 4MA MB MCuuur uuur uuur+ + = 2MA MB MCuuur uuur uuur− −
HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ∆ABC).
b) Đường trịn tâm I bán kính AB/2
c) Đường trịn tâm C bán kính AB
d) M là trung điểm AB
e) Trung trực của IJ (I, J thỏa mãn 2 IA IBuur uur r+ =0; 4uur uuur rJB JC− =0)
f) đường trịn tâm O bán kính kính 1/6(DA) (O tm 4 OA OB OCuuur uuur uuur r+ + =0; D là đỉnh hbh ABDC)
Bài 4. Cho ∆ABC
a) Xác định điểm I sao cho: 3IAuur−2IB ICuur uur r+ =0
b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:
MN =2MA−2MB MC+
uuuur uuur uuur uuur luơn đi qua một điểm cố định
c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HAuuur−2HB HCuuur uuur+ = HA HBuuur uuur−
d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2KA KB KCuuur uuur uuur+ + =3KB KCuuur uuur+
Bài 5. Cho tam giac ABC và đường thẳng ∆ Tìm trên ∆ điểm M sao cho MA MBuuur uuur+ +3MCuuuur nhỏ
nhất
HD: M là hình chiếu vuơng gĩc của I trên ∆, I tm IA IBuur uur+ +3uur rIC=0
Bài 6. Cho tam giác ABC
a) Xác định điểm I sao cho: IAuur+3IBuur−2ICuur r=0
b) Xác định điểm D sao cho: 3DBuuur−2DCuuur r=0
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MAuuur+3MBuuur−2MCuuur = 2MA MB MCuuur uuur uuur− −
Bài 7. Cho tam giác ABC
a) Dựng hai điểm I, J thỏa mãn uurIA−3uur uur rIB IC+ =0 và 2uurJA+3JBuur−4uuur rJC=0
b) Tìm M thuộc BC sao cho MAuuur−3MB MCuuur uuuur+ nhỏ nhất
c) Tìm N thuộc đường trịn tâm A bán kính AB sao cho 2uuurNA+3NBuuur−4uuurNC nhỏ nhất
HD: Bài 1.5.1 Giải tốn
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD Tìm trên đường thẳng AC điểm M sao cho
2MA MB MCuuur uuur uuuur+ + = MBuuur+2MCuuuur+3MDuuuur
HD: trang 36 – Giải tốn