VÕ TÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ Khi xuất thay Tên Nhà xuất Huế, tháng , năm Khi xuất bỏ mục Giáo trình viết Võ Tình, giảng viên Khoa Vật lý, Trường ĐHSP - Đại học Huế dùng để giảng dạy, học tập học phần Điện động lực học mã số: VLY3384 LỜI NÓI ĐẦU Bài giảng điện động lực viết cho sinh viên khoa vật lý, Đại học Sư phạm, Đại học Huế Để dễ dàng hiểu môn học người học cần phải hoàn tất chương trình học vật lý đại cương, chương trình toán cao cấp dành cho sinh viên khoa vật lý có giải tích vec-tơ, phương trình vật lý toán Nội dung chương trình trình bày xuất phát từ chương xây dựng hệ phương trình Maxwell dành cho điện tích chuyển động chậm so với vận tốc ánh sáng chân không làm hệ tiên đề lý thuyết trường điện từ cổ điển Từ đó, phương trình mô tả định luật bảo toàn lượng, xung lượng biểu thức tổng quát mô tả đại lượng động lực lực, xung lượng, vec-tơ mật độ dòng xung lượng, trường điện từ thiết lập thông qua vec-tơ trường Các đại lượng vô hướng, vec-tơ phương trình trường điện từ định nghĩa, thiết lập cách mô tả khác tính chất động lực học trường điện từ Các phương trình tương đương với hệ phương trình Maxwell biểu diễn theo vec-tơ trường Ngoài ra, điều kiện biên cho vec-tơ trường thiết lập chương Từ chương đến chương khảo sát cụ thể tính chất, quy luật động lực học trường điện từ trường hợp cổ điển ứng với thể trường điện từ quan sát viên hệ quy chiếu khác Chương trình bày ngắn gọn thuyết tương đối hẹp Albert Einstein, đủ để mô tả nội dung chương 7: Điện động lực học tương đối tính Trong chương 7, vec-tơ trường điện từ chiều tương đối tính thiết lập với phương trình tương đối tính trường điện từ không gian chiều Minkowski có phép quay Lorentz tương đương với phép biến đổi tọa độ hai hệ quy chiếu quán tính Các phương trình dùng để mô tả phương trình chuyển động hạt mang điện chuyển động trường điện từ với vận tốc lớn gần vận tốc ánh sáng chân không Theo số hệ so với thuyết điện từ cổ điển rút Với điện động lực học tương đối tính, tính chất tương đối điện trường từ trường thể rõ, chúng mặt thể thực thể thống phân chia trường điện từ Chương ôn ii tập phép tính giải tích vec-tơ đủ sử dụng để trình bày nội dung môn học Đây tài liệu biên soạn phục vụ cho việc giảng dạy tác giả theo tinh thần đổi mới, chắn nhiều thiếu sót Rất mong góp ý quý đồng nghiệp, bạn sinh viên để giảng ngày hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu học tập sinh viên khoa vật lý, Đại học Sư phạm, Đại học Huế Huế, ngày 25 tháng năm 2012 Võ Tình iii iv MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ii 1 Các phương trình trường điện từ 1.1 Các đại lượng trường điện từ 1.1.1 Bốn vec-tơ trường điện từ 1.1.2 Điện tích 1.1.3 Dòng điện 1.2 Các phương trình Maxwell 1.2.1 Phương trình Maxwell 1: 1.2.2 Phương trình Maxwell 2: 1.2.3 Phương trình Maxwell 3: 10 1.2.4 Phương trình Maxwell 11 1.2.5 Các phương trình liên hệ 14 1.2.6 Hệ đủ phương trình Maxwell 15 1.3 Dạng vi phân định luật Ohm định luật Joule-Lenz 17 1.3.1 Định luật Ohm 17 1.3.2 Định luật Joule-Lenz 19 1.4 Các điều kiện biên 20 1.4.1 Thành phần pháp tuyến vec-tơ B, H 1.4.2 Thành phần pháp tuyến vec-tơ D, E 22 1.4.3 Thành phần tiếp tuyến vec-tơ E, D 23 1.4.4 Thành phần tiếp tuyến vec-tơ H, B 24 1.4.5 Điều kiện biên vec-tơ mật độ dòng điện j 25 v 20 1.5 Mật độ lượng vec-tơ mật độ dòng luật bảo toàn lượng trường điện từ 1.6 Lực tác dụng điện từ trường 1.7 Xung lượng áp suất trường điện từ 1.7.1 Xung lượng trường điện từ 1.7.2 Mômen xung lượng trường điện từ 1.7.3 Áp suất trường điện từ 1.8 Thế vec-tơ vô hướng trường điện từ 1.8.1 Thế vec-tơ trường điện từ 1.8.2 Thế vô hướng trường điện từ 1.8.3 Các phương trình trường điện từ 1.9 Bài tập chương lượng Định 26 28 31 31 32 33 33 34 35 36 40 TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN 2.1 Các phương trình Maxwell trường tĩnh điện chân không 2.2 Thế vô hướng phương trình 2.2.1 Định nghĩa điện tính chất: 2.2.2 Các phương trình trường tĩnh điện: 2.3 Vật dẫn trường tĩnh điện 2.4 Điện dung vật dẫn cô lập Hệ số điện dung hệ số cảm ứng hệ vật dẫn 2.4.1 Điện dung vật dẫn cô lập 2.4.2 Điện dung hệ hai vật dẫn 2.4.3 Hệ n vật dẫn 2.5 Điện môi trường tĩnh điện 2.5.1 Sự phân cực điện môi 2.5.2 Thế vô hướng điện trường điện môi 2.6 Năng lượng trường tĩnh điện 2.6.1 Mật độ lượng trường tĩnh điện: 2.6.2 Năng lượng trường tĩnh điện tạo hệ phân bố liên tục: 2.6.3 Phân bố điện tích điểm: 2.6.4 Hệ vật dẫn tích điện: 45 46 47 47 48 53 vi 54 54 55 58 58 59 59 63 63 64 65 65 2.6.5 Năng lượng hệ điện tích đặt tĩnh điện trường: 66 2.7 Lực tác dụng tĩnh điện trường 67 2.8 Bài tập chương 70 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG 3.1 Hệ phương trình Maxwell trường điện từ dừng 3.2 Thế điện động ngoại lai - Các định luật dòng điện không đổi 3.2.1 Nguồn điện chiều 3.2.2 Các định luật dòng điện không đổi: 3.3 Thế vô hướng vec-tơ trường điện từ dừng 3.3.1 Thế vô hướng: 3.3.2 Thế vec-tơ: 3.4 Từ trường dừng môi trường đồng 3.4.1 Từ trường dòng điện không đổi: 3.4.2 Từ trường dòng nguyên tố 3.5 Vật dẫn từ trường dừng Hiệu ứng Hall 3.6 Từ môi từ trường dừng 3.6.1 Sự từ hoá từ môi 3.6.2 Thế vec-tơ từ trường có từ môi 3.6.3 Mối liên hệ độ cảm ứng từ môi độ từ thẩm: 3.7 Năng lượng từ trường dừng 3.7.1 Năng lượng hệ dòng dừng: 3.7.2 Năng lượng momen từ nguyên tố từ trường 3.7.3 Lực tác dụng từ trường: 3.8 Bài tập chương TRƯỜNG ĐIỆN TỪ CHUẨN DỪNG 4.1 Các phương trình trường điện từ chuẩn dừng 4.1.1 Các phương trình trường điện từ chuẩn dừng 4.1.2 Các trường điện từ chuẩn dừng 4.2 Các mạch điện chuẩn dừng 4.2.1 Các phương trình mạch điện 113 114 116 116 118 118 vii 75 76 77 77 80 84 84 84 85 85 87 89 91 91 92 93 94 95 97 98 102 4.2.2 Mạch điện R, L, C 4.2.3 Mạch điện liên kết hỗ cảm: 4.2.4 Các mạch điện rẽ: 4.3 Dòng điện chuẩn dừng vật dẫn Hiệu ứng lớp da 4.4 Trường điện từ vật dẫn chuyển động 4.5 Bài tập chương 120 123 124 125 129 133 SÓNG ĐIỆN TỪ - LÝ THUYẾT BỨC XẠ 141 5.1 Trường điện từ tự - Sóng phẳng 142 5.2 Sóng điện từ phẳng đơn sắc 145 5.3 Sóng điện từ chất dẫn điện 147 5.4 Sóng điện từ chất dị hướng 149 5.5 Sự phân cực sóng phẳng đơn sắc 151 5.5.1 Định nghĩa: 151 5.5.2 Các trạng thái phân cực khác sóng điện từ phẳng đơn sắc: 152 5.5.3 Biểu diễn Jones 156 5.6 Phản xạ khúc xạ sóng điện từ mặt giới hạn hai điện môi159 5.7 Sự xạ sóng điện từ Thế trễ 166 5.7.1 Thế vô hướng vec-tơ: 166 5.7.2 Các phương trình vec-tơ vô hướng: 167 5.7.3 Nghiệm phương trình Thế trễ: 168 5.8 Bức xạ lưỡng cực 169 5.8.1 Thế vô hướng lưỡng cực xạ: 170 5.8.2 Thế vec-tơ lưỡng cực xạ 171 5.8.3 Điện từ trường dao động tử tuyến tính: 172 5.8.4 Tính chất điện từ trường tạo dao động tử tuyến tính: 174 5.8.5 Lưỡng cực xạ tuần hoàn: 176 5.9 Ống dẫn sóng hộp cộng hưởng 176 5.9.1 Ống dẫn sóng chữ nhật: 178 5.9.2 Hộp cộng hưởng 183 5.10 Bài tập chương 188 viii THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP CỦA EINSTEIN 193 6.1 Những tiên đề thuyết tương đối 194 6.1.1 Nguyên lý tương đối Galileo Phép biến đổi tọa độ 195 6.1.2 Lượng bất biến phương trình bất biến Tính bất biến định luật học cổ điển 196 6.1.3 Những tiên đề thuyết tương đối hẹp Einstein 197 6.2 Động học tương đối tính 198 6.2.1 Phép biến đổi Lorentz 198 6.2.2 Thành lập công thức biến đổi 198 6.2.3 Sự rút ngắn chiều dài hệ chuyển động 200 6.2.4 Sự chậm thời gian hệ chuyển động 6.2.5 Định luật cộng vận tốc Einstein 201 6.2.6 Các lượng bất biến thuyết tương đối Khoảng 202 6.2.7 Hình học bốn chiều Minkowski Cách biểu diễn bốn chiều thuyết tương đối 205 6.2.8 Vận tốc bốn chiều gia tốc bốn chiều tương đối tính 208 201 6.3 Động lực học tương đối tính 210 6.4 6.3.1 Khối lượng xung lượng tương đối tính chất điểm 210 6.3.2 Phương trình động lực học chất điểm 211 6.3.3 Xung lượng, lượng khối lượng thuyết tương đối 212 6.3.4 Thuyết lượng tử ánh sáng 214 Bài tập chương 216 ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH 219 7.1 Tính bất biến điện tích Mật độ dòng bốn chiều 220 7.2 Cách biểu diễn tương đối tính phương trình trường điện từ Thế chiều tương đối tính 221 7.3 Công thức biến đổi vec-tơ điện trường từ trường 223 7.4 Các bất biến tương đối tính điện từ trường 224 7.5 Hiệu ứng Doppler điện từ trường 225 7.6 Bài tập chương 228 ix § 8.3 Tích vô hướng hai vec-tơ 8.2.2 233 Vectơ hàm: Thông thường người ta biểu diễn đại lượng đặc trưng cho trường điện từ vec-tơ hàm theo tọa độ thời gian A = A(r, t) = Ax (x, y, z, t)i + Ay (x, y, z, t)j + Az (x, y, z, t)k Ví dụ: vec-tơ cường độ điện trường E(r, t), cường độ từ trường H(r, t), mật độ dòng điện j(r, t) 8.3 8.3.1 Tích vô hướng hai vec-tơ Định nghĩa Ta định nghĩa tích vô hướng hai vec-tơ A, B không gian vec-tơ ba chiều phép ánh xạ từ R3 vào R định nghĩa sau ∀A, B; 8.3.2 AB ≡| A || B | cos(A, B) (8.1) Tính chất a) Ta có theo định nghĩa tích vô hướng hcA/B =| A | cos(A, B), hcB/A =| B | cos(A, B) nên AB =| B | hcA/B =| A | hcB/A (8.2) b) Khi hai vec-tơ A, B song song chiều, ta có cos(A, B) = cos = 1, AB =| A || B |> c) Khi hai vec-tơ A, B song song ngược chiều, ta có cos(A, B) = cos π = −1, AB = − | A || B |< d) Khi hai vec-tơ A, B thẳng góc với nhau, ta có cos(A, B) = cos(±π/2) = 0, AB = ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê Chương ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ 234 e) Hệ rút từ hai tính chất (b) (c) hệ tọa độ Descartes, tích vô hướng (bạn đọc tự chứng minh) (8.3) AB = Ax Bx + Ay By + Az Bz d) Tích vô hướng hai vec-tơ có tính giao hoán, nghĩa là: AB =| A || B | cos(A, B) =| B || A | cos(B, A) = B A 8.3.3 Thông lượng vec-tơ hàm qua mặt S: φA = − → AdS = (S) An dS (S) − → Trong dS = dSn: vec-tơ diện tích nguyên tố có độ lớn dS diện tích bề mặt vi cấp bao quanh điểm có trường A vec-tơ đơn vị n vec-tơ pháp tuyến thẳng góc với mặt dS hướng từ bề mặt S kín φA đặc trưng cho số đường sức A qua mặt S 8.4 Tích hữu hướng hai vec-tơ 8.4.1 Định nghĩa Ta định nghĩa tích hữu hướng hai vec-tơ A, B ∈ R3 vec-tơ A × B ≡ |A||B|sinαn ∈ R3 , đó, α = (A, B); n⊥mp(A, B) có chiều cho A, B, n, lập thành tam diện thuận, |n| = Theo đó, | A × B | diện tích hình bình hành có hai cạnh A, B Trong hệ tọa độ Descartes: i j k C = A×B = Ax Ay Az = (Ay Bz −Az Bx )i+(Az Bx −AxBy )j+(AxBy −Ay Bx )k Bx By Bz Tính chất: ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê § 8.5 Tích kép ba vec-tơ 235 1) Tích hữu hướng hai vec-tơ có tính phản giao hoán, nghĩa A × B = −B × A 2) Tích hữu hướng hai vec-tơ phương triệt tiêu 8.4.2 Tích hỗn hợp ∀A, B, C Ta có tích hỗn hợp tích vô hướng Ax Ay Az C(A × B) = (A × B)C = Bx By Bz Cx Cy Cz Trong hệ Descartes Tính chất: Tích hỗn hợp vec-tơ có tính hoán vị vòng tròn, nghĩa là: (A × B)C = (C × A)B = (B × C)A: thể tích hình hộp tạo cạnh vec-tơ A, B, C 8.5 Tích kép ba vec-tơ ∀A, B, C D = C × (A × B) = (C B)A − (C A)B Nhận xét: D nằm mặt phẳng mặt phẳng (A, B) 8.6 Các phép tính đạo hàm riêng phần vec-tơ hàm theo tọa độ Ta quy ước u, v, w hàm vô hướng tọa độ; A, B vec-tơ hàm tọa độ; r bán kính vec-tơ Trong phần ta sử dụng hệ toạ độ Descartes để định nghĩa đại lượng r = xi + y j + z k r2 = x2 + y + z ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê (8.4) Chương ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ 236 8.6.1 Toán tử nabla ∇ ∂ ∂ ∂ +j +k (8.5) ∂x ∂y ∂z Về chất ∇ toán tử phép đạo hàm, nên tuân theo quy tắc phép tính đạo hàm, tác dụng lên vec-tơ vô hướng đứng sau Như ∇ vừa có tính vec-tơ vừa có tính đạo hàm Trong phép tính trung gian, để dễ phân biệt, ta quy ước đại lượng chịu tác dụng ∇ gạch dưới, kết cuối ta đặt sau ∇ lượng chịu tác dụng ∇≡i 8.6.2 Định nghĩa tính chất gradient gradu ≡ ∇u = i ∂ ∂ ∂ +j +k ∂x ∂y ∂z u=i ∂u ∂u ∂u +j +k ∂x ∂y ∂z (8.6) Tại điểm không gian, vec-tơ gradu thẳng góc với mặt đẳng trị hàm u hướng theo chiều tăng u Ví dụ: gradr = ∇r = i ∂r ∂r ∂r +j +k ∂x ∂y ∂z x y z r u = i + j + k = = ur r r r r (8.7) Ví dụ: ∇(u.v) = ∇(u.v) + ∇(u.v) = v∇u + u∇v ∇(u + v) = ∇u + ∇v ∇(u.A) = ∇(u.A) + ∇(u.A) = A∇u + u∇A 8.6.3 Định nghĩa tính chất divergence (ký hiệu div) div A = ∇A = limV →∞ V An dS (8.8) S ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê § 8.6 Các phép tính đạo hàm riêng phần vec-tơ hàm theo tọa độ 237 chiều dương pháp tuyến n lấy từ mặt kín S (quy ước thống toàn giáo trình) bao bọc thể tích V Trong tọa độ Descartes: ∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z divr = + + = ∂x ∂y ∂z div A = ∇A = (8.9) (8.10) Định lý Gauss: Nếu thành phần Ax, Ay , Az vec-tơ hàm A đạo hàm riêng phần chúng liên tục thể tích V bao bọc mặt kín S ta có: − → div AdV = AdS (8.11) V 8.6.4 S Định nghĩa tính chất rotationel (curl) (ký hiệu rot) A×d S C S mặt tựa đường cong kín C Với hệ tọa độ Descartes: rotA = limS→0 rotA = ∇ × A = = i rotr = i i j k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z (8.12) (8.13) Ax Ay Az ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax − +j − +k − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x − +j − +k − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y rotr = (8.14) Định lý Stokes: Nếu vec-tơ hàm A đạo hàm riêng phần theo tọa độ biến thiên liên tục, có giá trị hữu hạn mặt S tựa đường cong kín C, ta có: ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê Chương ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ 238 − → rotAdS = S 8.6.5 (8.15) Ad C Áp dụng toán tử nabla phép tính vec-tơ +gradu2 = ∇(u.v) = ∇(u.v) + ∇(u.v) = 2u∇u = 2ugradu (8.16) +div(u.A) = ∇(u.A) + ∇(u.A) = A∇u + u∇A (8.17) = Agradu + udiv A +rot(uA) = ∇ × (uA) + ∇ × (uA) = (∇u) × A + u(∇ × A) = gradu × A + urotA (8.18) div(A × B) = ∇(A × B) = ∇(A × B) + ∇(A × B) = B(∇ × A) − A(∇ × B) (8.19) = BrotA − ArotB + Trong hệ thức (10.16) B = const ∇ × B= 0, ta có: BrotA = div(A × B) Do BrotAdV = S V div(A × B)dV Theo định lý Gauss (10.8), ta có: BrotAdV = V − → (A × B)dS = − − → B(A × dS) Vì B nên ta suy ra: V rotAdV = − S − → A × dS, +divrotA = ∇(∇ × A) = : S bề mặt bao quanh V Tích vô hướng vec-tơ vuông góc ✎ Võ (8.20) (8.21) Tình -Trường ĐHSP Huê § 8.6 Các phép tính đạo hàm riêng phần vec-tơ hàm theo tọa độ +rotgradu = ∇ × (∇u) = : Tích vec-tơ vec-tơ song song +divgradu = ∇.(∇u) = (∇.∇)u = ∇2u ∂ ∂ ∂ + 2+ 2 ∂x ∂y ∂z +rotrotA = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇A) − (∇.∇)A 239 (8.22) (8.23) với ∇2 = = graddiv A − ∇2 A (8.24) +rot(A × B) = ∇ × (A × B) + ∇ × (A × B) = A(∇B) − B(∇A) + A(∇B) − B(∇A) = (B∇)A − (A∇)B + Adiv B − Bdiv A (8.25) +grad(AB) = ∇(AB) + ∇(AB) Ta xét A × rotB = A × (∇ × B) = ∇(AB) − (A∇)B Thế vào ta có: grad(AB) = A × rotB + (A∇)B + B × rotA + (B∇)A (8.26) Lưu ý: Ta không nên lẫn lộn toán tử vô hướng (A∇) với (∇A) div A: ∂ ∂ ∂ + Ay + Az ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∇A = ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u (A∇)u = Ax + Ay + Az = A(∇u) vô hướng ∂x ∂y ∂z A∇ = Ax (A∇)B = i(A∇)Bx + j(A∇)By + k(A∇)Bz Chẳng hạn với B = r, vec-tơ (A∇)r = i(A∇)x + j(A∇)y + k(A∇)z ∂x ∂y ∂z = iAx + iAy + iAz ∂x ∂y ∂z = Ax i + Ay j + Az k (A∇)r = A ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê (8.27) Chương ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ 240 +(∇A)r = (∇A)r + (∇A)r = rdiv A + (A∇)r (∇A)r = rdiv A + A r +grad = ∇(r−1 ) = r−2 ∇(r) = − r r 1 r +div = ∇ r = ∇r + r∇ r r r r = − = r r r 1 3r r +div = ∇ r = ∇r − ∇(r) r r r r 3.r = − =0 r r 8.6.6 (8.28) (8.29) (8.30) (8.31) Toán tử Laplace ∂2 ∂2 ∂2 + + : toán tử vô hướng ∂x2 ∂y ∂z ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + vô hướng ∇2 u = ∂x2 ∂y ∂z ∇2 = (∇∇) = ∇2A = i∇2 Ax + j∇2Ay + k∇2Az vec-tơ Vì ∇2 toán tử vô hướng nên hoán vị với ∇, ∇2(div A) = ∇2(∇A) = ∇(∇2A) = div(∇2A) ∇2(rotA) = ∇2(∇ × A) = ∇ × ∇2A = rot(∇2A) ∇2(gradu) = ∇2(∇u) = ∇(∇2u) = grad(∇2 u) ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê § 8.7 Grad, rot, div ∇2 tọa độ cầu 8.6.7 241 Tóm tắt phép tính đạo hàm riêng phần vec-tơ hàm theo tọa độ 1) grad(u2 ) = 2ugradu 2) div(uA) = Agradu + udiv A 3) rot(uA) = urotA − A × gradu 4) 5) div(A × B) = B(rotA) − A(rotB) − → rotAdV = − A × dS V 6) div(rotA) = 7) rot(gradu) = 8) div(gradu) = ∇2u = ∆u 9) rot(rotA) = grad(div A) − ∇2A 10) rot(A × B) = Adiv B − Bdiv A + (B∇)A − (A∇)B 11) grad(AB) = A × rotB + B × rotA + (A∇)B + (B∇)A 12) Lưu ý (A∇)u = A(gradu) : vô hướng (A∇)B = A(∇Bx)i + A(∇By )j + A(∇Bz )k vec-tơ (A∇)r = A (∇A)r = r∇A + A 8.7 Grad, rot, div ∇2 tọa độ cầu Vị trí điểm M tọa độ cầu xác định bằng: - Khoảng cách r từ điểm M đến gốc tọa độ O - Góc θ bán kính vec-tơ OM trục cố định Oz - Góc φ mặt phẳng cố định xOz nửa mặt phẳng giới hạn trục Oz chứa điểm M ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê Chương ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ 242 Các tọa độ r, φ, θ biến thiên giới hạn: ≤ r < +∞; ≤ θ ≤ π; ≤ φ ≤ 2π Các vec-tơ ur , uθ , uφ vec-tơ đơn vị theo chiều tăng r, θ φ Trong tọa độ cầu ta có: ∂u ∂u ∂u + uθ + uφ ∂r r ∂θ sinθ ∂φ ∂ ∂ ∂Aφ +div A = sinθ (r2 Ar ) + r (Aθ sinθ) + r r sinθ ∂r ∂θ ∂φ +gradu = ur ∂ ∂Aθ (Aφ sinθ) − ur rsinθ ∂θ ∂φ 1 ∂Ar ∂ − (rAφ ) uθ + r sinθ ∂φ ∂r ∂ ∂Ar (rAθ ) − uφ + r ∂r ∂θ ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ 2u +∇2u = sinθ (r2 ) + (sinθ ) + r sinθ ∂r ∂r ∂θ ∂θ sinθ ∂φ2 (8.32) (8.33) +rotA = 8.8 (8.34) (8.35) Grad, rot, div ∇2 tọa độ trụ Vị trí điểm M tọa độ trụ xác định bằng: ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê § 8.8 Grad, rot, div ∇2 tọa độ trụ 243 - Khoảng cách r từ điểm M đến trục cố định Oz - Góc φ mặt phẳng cố định xOz nửa mặt phẳng giới hạn trục Oz chứa điểm M - Khoảng cách z từ điểm M tới mặt phẳng xOy vuông góc với trục z Các tọa độ r, φ, z biến thiên khoảng giới hạn: ≤ r < +∞; ≤ φ ≤ 2π; −∞ < z < +∞ Các vec-tơ đơn vị ur , uφ, uz hướng theo chiều tăng r, φ, z Trong tọa độ trụ ta có: ∂u ∂u ∂u + uφ + uz ∂r r ∂φ ∂z ∂ ∂Aφ ∂ +div A = ∇A = (rAr ) + + (rAz ) r ∂r ∂φ ∂z ∂ ∂u ∂ 2u ∂ 2u +∇2 u = (r ) + + r r ∂r ∂r r ∂φ2 ∂z ∂Az ∂Aφ ∂Ar ∂Az +rotA = − ur + − uφ r ∂φ ∂z ∂z ∂r ∂ ∂Ar + (rAφ ) − uz r ∂r ∂φ +gradu = ∇u = ur ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê (8.36) (8.37) (8.38) (8.39) Chương ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ 244 8.9 Định lý Green Trong công thức định lý Gauss − → AdS = div AdV = S S An dS S ta đặt A = ugradv ; u, v: hàm vô hướng Vế trái công thức biến đổi thành: ∂v An = ugradn v = u ∂n Công thức trở nên: (u∇2v) + (gradu)(gradv) dV = u S ∂v dS ∂n (8.40) Đây dạng công thức định lý Green Vì u v đối xứng với nhau, kết ta thay u v ngược lại, ta có biểu thức thứ hai Trừ hai biểu thức vế theo vế, ta có dạng khác định lý Green: ∂v ∂u u∇2v − v∇2u dV = u −v dS (8.41) ∂n ∂n V ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê § 8.9 Định lý Green 245 Bài tập chương 8: Ôn tập giải tích vec-tơ 8.1 Chứng minh hệ tọa độ Descartes, với quy ước = x, = y, = z; i, j, k = 1, 2, 3, ta viết a) (A × B)i = ijk Aj Bk , j=1 k=1 3 b) (A × B)k Ck = ijk AiBj Ck , j=1 k=1 3 c) [A × (B × C)]i = 3 ijk k m Aj B j=1 k=1 =1 m=1 Cm ijk tenxơ phản xứng Levi-Civita có giá trị không hai ba số i, j, k có giá trị trùng nhau, 123 = số hạng ijk có số không trùng có giá trị khác không tuân theo quy luật ijk = (−1)n , n số lần hoán vị hai số gần sát để trở 123 ∂Ak d)(rotA)i = ijk ∂xj 8.2 Xét hàm vô hướng f(r) = Cz Tính gradf giải thích ý nghĩa hình học 8.3 Xét vec-tơ hàm F (r) = Cxi Tính div F Vẽ hình mô tả F (x) theo x mặt phẳng xOy giải thích ý nghĩa hình học 8.4 Xét vec-tơ hàm G(r) = Cxj Tính rotG Vẽ hình mô tả G(x) theo x mặt phẳng xOy giải thích ý nghĩa hình học 8.5 Xét vec-tơ hàm G(r) = k × r Trong tọa độ trụ, G(r) = reφ , r = x2 + y a) Tính rotG, div G b) Tính lưu thông G quanh đường tròn song song với mặt phẳng xOy, tâm trục z, thông lượng G qua mặt cầu tâm gốc tọa độ O chứng tỏ định lý Stokes định lý Gauss nghiệm 8.6 Tính gradf(r) ∇2f(r) với a) f(r) = x2 + y + z , b) f(r) = x2 + y + z 2, c) f(r) = 1/ x2 + y + z theo hai cách: dùng tọa độ Đề-cạc dùng tọa ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê Chương ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ 246 độ cầu Cả hai cách phải có đáp án cuối 8.7 Chứng minh −∇2 r = 4πδ(r); r = |r| ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê § 8.9 Định lý Green 247 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đào Văn Phúc, Điện động lực học, NXB Giáo dục, 1978 Nguyễn Văn Thỏa, Điện động lực học, (2 tập), NXB ĐH THCN, 1982 Nguyễn Phúc Thuần, Điện động lực học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,1996 Nguyễn Hữu Chí, Điện động lực học, Tủ sách Trường ĐHKH Tự nhiên Tp HCM,1998 Nguyễn Văn Hùng, Điện động lực học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập Vật lý lý thuyết, tập , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 Yung-Kuo Lim, (Lê Hoàng Mai, Trần Thị Đức, Đào Khắc An dịch), Bài tập Lời giải Điện Từ Học (Problems and Solutions on Electromagnetism), NXB Giáo dục, 2008 D.J Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1999 G Pollack, D R Stump, Electromagnetism, Addison Wesley, San Francisco, USA, 2002 10 Baldassare Di Bartolo, Classical Theory of Electromagnetism, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632, 2004 11 J.P Pérez, R Carles, R Fleckinger, Électromagnétisme, Fondements et applications, 3e édition, Masson, Paris, 1990 12 Minoru Fujimoto, Physics of Classical Electromagnetism, Springer Science, NewYork, 2007 13 Zoya Popovich, Branko D Popoich, Introductory Electromagnetics, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2000 ✎ Võ Tình -Trường ĐHSP Huê [...]... bao quanh điện tích điểm qi để xem như là điện tích điểm thì điện tích tương ứng ∆q = qi Còn ngoài điểm ri (có điện tích qi), ta luôn có ρ(r) = 0 Đây là điều ta phải chứng minh 1.1.3 Dòng điện Dòng điện là dòng của các điện tích chuyển động có hướng Người ta quy ước chiều của dòng điện là chiều của các điện tích dương chuyển động và do đó là chiều ngược với chiều của các điện tích âm chuyển động Cường... sáng trong chân không Điện tích Thuộc tính cơ bản của trường điện từ là điện tích Điện tích là nguồn sinh ra trường điện từ Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng chỉ có hai loại điện tích, ta quy ước là hai loại điện tích trái dấu nhau được gọi là điện tích âm mang dấu trừ và điện tích dương mang dấu cộng Chẳng hạn như trong các nguyên tử trung hòa điện, hạt nhân mang điện tích dương còn các điện tử quay chung... dòng điện trong mạch điện biến thiên theo thời gian, ta phải chấp nhận sự tồn tại dòng điện jd = ∂D ∂t (1.16) ở trong lớp điện môi (ví dụ: lớp điện môi ở giữa hai bản của tụ điện trong mạch điện xoay chiều) do sự biến thiên của vec-tơ cảm ứng điện D theo thời gian và gọi là mật độ dòng điện dịch Còn dòng điện tổng jt = j + jd = j + ∂D ∂t (1.17) được gọi là vec-tơ mật độ dòng điện toàn phần Dòng điện. .. phương trình cơ bản của trường điện từ Mục tiêu học tập của chương Học xong chương này, người học sẽ nắm được các tiên đề của thuyết điện từ cổ điển của Maxwell, từ đó suy ra các phương trình vi phân, tích phân mô tả định luật bảo toàn năng lượng, bảo toàn xung lượng trường điện từ, các biểu thức mô tả các đại lượng động lực học như lực, năng lượng, xung lượng, của trường điện từ theo các vec-tơ trường... trường 1.1 1.1.1 Các đại lượng cơ bản của trường điện từ Bốn vec-tơ trường điện từ Trường điện từ tại mỗi điểm trong không gian được đặc trưng bởi bốn vec-tơ trường điện từ: vec-tơ cường độ điện trường E, vec-tơ cảm ứng điện D, vec-tơ cường độ từ trường H và vec-tơ cảm ứng từ B Chúng là hàm của không-thời gian, xác định mọi quá trình động lực học của trường điện từ Trong môi trường đẳng hướng, ta có hai... dòng điện khối tại một điểm P là cường độ dòng điện đi qua một đơn vị tiết diện tại điểm đó, chiều của mật độ dòng điện là chiều của dòng điện Tương tự, mật độ dòng điện mặt tại một điểm Q bất kỳ trên bề mặt S là cường độ dòng điện đi ngang qua một đơn vị chiều dài tại điểm đó theo phương thẳng góc với chiều dòng điện (xem hình 1.1) Hình 1.1: (a): Vectơ mật độ dòng điện khối; (b) Vectơ mật độ dòng điện. .. đại lượng động lực của trường như lực, xung lượng của trường thông qua các vec-tơ trường và các phân bố điện tích, dòng điện Đây là sự nhận thức đúng đắn của con người về sự thống nhất của trường điện từ, theo đó điện trường, từ trường, sóng điện từ (bao gồm cả ánh sáng) chỉ là các mặt thể hiện của một trường điện từ thống nhất tạo bởi hệ phân bố điện tích và dòng điện đối với quan sát viên trong một... cho thấy điện tích là nguồn tạo ra điện trường Cần nhấn mạnh rằng tuy phương trình được rút ra từ định lý O-G trong trường tĩnh điện nhưng Maxwell đã khái quát hóa cho rằng nó vẫn hoàn toàn đúng cho trường điện từ nói chung Ví dụ 1.4: Vectơ cảm ứng điện trường của trường điện từ có dạng (a) Di (r) = α r; 3 (b) Do (r) = Q r , 4 r3 r = 0, α, Q là các hằng số Tìm mật độ điện tích khối trong trường điện từ... trường điện từ 8 Hình 1.2: Mật độ dòng điện mặt của dòng điện ống dây dài vô hạn 1.2 1.2.1 Các phương trình Maxwell Phương trình Maxwell 1: Từ định luật Coulomb trong trường tĩnh điện, kết hợp với nguyên lý chồng chất điện trường, người ta rút ra được định lý Ostrogradski-Gauss (O-G) cho trường tĩnh điện, theo đó, thông lượng của vec-tơ cảm ứng điện D đi qua một bề mặt kín S bằng tổng đại số các điện. .. bảng xiii Chương 1 Các phương trình cơ bản của trường điện từ Mở đầu Đây là chương cơ bản nhất của giáo trình Điện động lực học, một trong những giáo trình Vật lý lý thuyết cơ sở Nó bao gồm các tiên đề của lý thuyết điện từ cổ điển do James Clerk Maxwell đề xướng vào những năm của thập niên 1850-1860 và được Hertz kiểm chứng bằng thí nghiệm bức xạ điện từ vào năm 1888 Các tiên đề đó chính là hệ phương ... 179 Danh sách bảng xiii Chương Các phương trình trường điện từ Mở đầu Đây chương giáo trình Điện động lực học, giáo trình Vật lý lý thuyết sở Nó bao gồm tiên đề lý thuyết điện từ cổ điển James.. .Giáo trình viết Võ Tình, giảng viên Khoa Vật lý, Trường ĐHSP - Đại học Huế dùng để giảng dạy, học