1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Giải đề thi Giai tich 2

4 707 19

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề Đề Thi Kết Thúc Học Kỳ I Năm Học 2014 – 2015
Tác giả Hoàng Văn Trọng
Trường học Đại Học Quốc Gia Hà Nội - Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
Chuyên ngành Giải tích 2
Thể loại Đề thi
Năm xuất bản 2015
Thành phố Hà Nội
Định dạng
Số trang 4
Dung lượng 353,57 KB

Nội dung

* Tìm các điểm tới hạn điểm dừng: Hàm số xác định trên R2... Do đó, A không là cực trị.. Do đó, B là điểm cực tiểu.. Hàm lấy tích phân là hàm chẵn đối với cả x và y, miền lấy tích phân

Trang 1

Cập nhật 18/01/2015

2.6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015

Môn thi: Giải tích 2

Số tín chỉ: 02 Đề số 1

Dành cho sinh viên: Ngoài khoa Toán

Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu

Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (3đ): Tìm cực trị của hàm số

3 3

y 6xy x

Câu 2 (4đ): Tính tích phân 3 lớp sau:



V

dxdydz

| xy

| I

Trong đó V là miền xác định bởi x2 + y2 + z2 4 và z  0

Câu 3 (3đ): Tính tích phân đường loại hai:

L

2 x

2 x

dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e I

Trong đó, L là đường cong kín gồm cung 2

x 1

y  và đoạn [–1, 1]

Lời giải:

Câu 1: Tìm cực trị của hàm số hai biến

y 6xy x

Thuộc dạng bài tìm cực trị tự do của hàm số hai biến

* Tìm các điểm tới hạn (điểm dừng):

Hàm số xác định trên R2 Đặt: pfx'; qfy'; rfx''2; Sfxy'' ; tfy''2

Ta có:

6y 3x f

p x'  2 

6x 3y f

q y'  2 

6x f

r x''2  ; Sfxy'' 6; t fy''2 6y

0 2x y

0 2y x 0

6x 3y

0 6y 3x 0

q

0

2

2

2

2





ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015

Trang 2

Cập nhật 18/01/2015

2) (y x

y x 0 2) y y).(x (x

+ Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = 0 ta được:

2 x

0 x 2 y

0 y 0 2y

y2

+ Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y = 0 ta được:

0 4

y2  (vô nghiệm thực)

 Có 2 điểm dừng: A(0, 0) và B(2, 2)

* Xét xem các điểm dừng có phải là cực trị hay không:

+ Xét điểm dừng A(0, 0) ta có:

0 36 36xy 36

rt

S2      Do đó, A không là cực trị

+ Xét điểm dừng B(2, 2) ta có:

0 108 36xy

36 rt

Kết hợp với r = 6x = 12 > 0 Do đó, B là điểm cực tiểu

Kết luận:

Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương bằng –8 tại điểm B(2, 2)

Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết quả tính toán):

Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu và z(B) = – 8

HVT

Câu 2: Tính tích phân 3 lớp



V

dxdydz

| xy

|

I trong đó V là miền xác định bởi x2 + y2 + z2  4 và z  0

Miền lấy tích phân có dạng một nửa khối cầu phía trên mặt phẳng xOy, tâm khối cầu tại O(0, 0, 0); bán kính R = 2 Hàm lấy tích phân là hàm chẵn đối với cả x và y, miền lấy tích phân đối xứng qua mặt phẳng xOz và mặt phẳng yOz

Cực tiểu

Trang 3

Cập nhật 18/01/2015

Miền V có dạng như hình vẽ:

Chia miền V thành 4 miền ứng

với 4 góc phần tư trong mặt phẳng

xOy Tích phân cần tìm là:



V

dxdydz

| xy

|



1

V

dxdydz xy

4

Đổi biến sang hệ tọa độ cầu:

Đặt:

rcosθ z

sinθ rsin y

sinθ rcos x

z z z

y y y

x x x

' θ ' ' r

' θ ' ' r

' θ ' ' r

Miền V1 được xác định với

π/2 0

π/2 θ 0

2 r 0

1

2

V

dθ drd

| sinθ r

| θ

sin rsin θ

sin rcos 4

dxdydz xy

4

0 3 π/2

0

2

0

4

V

3 4

dθ θ sin d cos sin dr r 4 dθ drd θ sin cos sin r

4

1

0 2 π/2

0

2 π/2

0

2 2

0

5

θ) (cos d ) 1 θ cos ( 2

1 5

32 4 θ) (cos d θ sin

2

sin 5

r

15

128 1

3

1 0 0 5

64 θ

cos 3

θ cos

5

0

3





Câu 3: Tính tích phân đường loại hai

L

2 x

2 x

dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e I

Trong đó, L là đường cong kín gồm cung 2

x 1

y  và đoạn [–1, 1]

Đường cong kín L xác định miền D  R2 có dạng nửa đường tròn tâm O, bán kính 1

Sử dụng mối liên hệ giữa tích phân đường

loại hai với tích phân kép (công thức Green) để

tìm tích phân trên



D

' x

' y L

dxdy Q

P dy

y) Q(x, dx

y)

P(x,

x

y

z

1

V 2

2

x 1

y  

y

x O

D 1

Trang 4

Cập nhật 18/01/2015

Do đó:

L

2 x

2 x

dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e

D D

x x

dxdy y x dxdy

x 2 y cosy e y 2 x cosy e Miền D có dạng nửa hình tròn, sử dụng phương pháp đổi biến trong hệ tọa độ cực:

Đặt:

 rsin

y

rcos

x

rcos sin

rsin cos

y y

x x

r

' '

Tích phân trở thành:

D' D

drd

| r

| ) rsin (rcos

dxdy y x

π 0

1 r 0

0

1

0

2

D'

2

d ) sin (cos

dr r d

) sin (cos

dr

3

2 1 1 3

1 cos

sin

3

0 1

0

3

Ngày đăng: 09/12/2015, 13:07

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu và z(B) = – 8 - Giải đề thi Giai tich 2
nh ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu và z(B) = – 8 (Trang 2)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN