* Tìm các điểm tới hạn điểm dừng: Hàm số xác định trên R2... Do đó, A không là cực trị.. Do đó, B là điểm cực tiểu.. Hàm lấy tích phân là hàm chẵn đối với cả x và y, miền lấy tích phân
Trang 1Cập nhật 18/01/2015
2.6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015
Môn thi: Giải tích 2
Số tín chỉ: 02 Đề số 1
Dành cho sinh viên: Ngoài khoa Toán
Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu
Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (3đ): Tìm cực trị của hàm số
3 3
y 6xy x
Câu 2 (4đ): Tính tích phân 3 lớp sau:
V
dxdydz
| xy
| I
Trong đó V là miền xác định bởi x2 + y2 + z2 4 và z 0
Câu 3 (3đ): Tính tích phân đường loại hai:
L
2 x
2 x
dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e I
Trong đó, L là đường cong kín gồm cung 2
x 1
y và đoạn [–1, 1]
Lời giải:
Câu 1: Tìm cực trị của hàm số hai biến
y 6xy x
Thuộc dạng bài tìm cực trị tự do của hàm số hai biến
* Tìm các điểm tới hạn (điểm dừng):
Hàm số xác định trên R2 Đặt: pfx'; qfy'; rfx''2; Sfxy'' ; tfy''2
Ta có:
6y 3x f
p x' 2
6x 3y f
q y' 2
6x f
r x''2 ; Sfxy'' 6; t fy''2 6y
0 2x y
0 2y x 0
6x 3y
0 6y 3x 0
q
0
2
2
2
2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015
Trang 2Cập nhật 18/01/2015
2) (y x
y x 0 2) y y).(x (x
+ Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = 0 ta được:
2 x
0 x 2 y
0 y 0 2y
y2
+ Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y = 0 ta được:
0 4
y2 (vô nghiệm thực)
Có 2 điểm dừng: A(0, 0) và B(2, 2)
* Xét xem các điểm dừng có phải là cực trị hay không:
+ Xét điểm dừng A(0, 0) ta có:
0 36 36xy 36
rt
S2 Do đó, A không là cực trị
+ Xét điểm dừng B(2, 2) ta có:
0 108 36xy
36 rt
Kết hợp với r = 6x = 12 > 0 Do đó, B là điểm cực tiểu
Kết luận:
Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương bằng –8 tại điểm B(2, 2)
Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết quả tính toán):
Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu và z(B) = – 8
HVT
Câu 2: Tính tích phân 3 lớp
V
dxdydz
| xy
|
I trong đó V là miền xác định bởi x2 + y2 + z2 4 và z 0
Miền lấy tích phân có dạng một nửa khối cầu phía trên mặt phẳng xOy, tâm khối cầu tại O(0, 0, 0); bán kính R = 2 Hàm lấy tích phân là hàm chẵn đối với cả x và y, miền lấy tích phân đối xứng qua mặt phẳng xOz và mặt phẳng yOz
Cực tiểu
Trang 3Cập nhật 18/01/2015
Miền V có dạng như hình vẽ:
Chia miền V thành 4 miền ứng
với 4 góc phần tư trong mặt phẳng
xOy Tích phân cần tìm là:
V
dxdydz
| xy
|
1
V
dxdydz xy
4
Đổi biến sang hệ tọa độ cầu:
Đặt:
rcosθ z
sinθ rsin y
sinθ rcos x
z z z
y y y
x x x
' θ ' ' r
' θ ' ' r
' θ ' ' r
Miền V1 được xác định với
π/2 0
π/2 θ 0
2 r 0
1
2
V
dθ drd
| sinθ r
| θ
sin rsin θ
sin rcos 4
dxdydz xy
4
0 3 π/2
0
2
0
4
V
3 4
dθ θ sin d cos sin dr r 4 dθ drd θ sin cos sin r
4
1
0 2 π/2
0
2 π/2
0
2 2
0
5
θ) (cos d ) 1 θ cos ( 2
1 5
32 4 θ) (cos d θ sin
2
sin 5
r
15
128 1
3
1 0 0 5
64 θ
cos 3
θ cos
5
0
3
Câu 3: Tính tích phân đường loại hai
L
2 x
2 x
dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e I
Trong đó, L là đường cong kín gồm cung 2
x 1
y và đoạn [–1, 1]
Đường cong kín L xác định miền D R2 có dạng nửa đường tròn tâm O, bán kính 1
Sử dụng mối liên hệ giữa tích phân đường
loại hai với tích phân kép (công thức Green) để
tìm tích phân trên
D
' x
' y L
dxdy Q
P dy
y) Q(x, dx
y)
P(x,
x
y
z
1
V 2
2
x 1
y
y
x O
D 1
Trang 4Cập nhật 18/01/2015
Do đó:
L
2 x
2 x
dy ) x xy cosy (e dx ) y xy siny (e
D D
x x
dxdy y x dxdy
x 2 y cosy e y 2 x cosy e Miền D có dạng nửa hình tròn, sử dụng phương pháp đổi biến trong hệ tọa độ cực:
Đặt:
rsin
y
rcos
x
rcos sin
rsin cos
y y
x x
r
' '
Tích phân trở thành:
D' D
drd
| r
| ) rsin (rcos
dxdy y x
π 0
1 r 0
0
1
0
2
D'
2
d ) sin (cos
dr r d
) sin (cos
dr
3
2 1 1 3
1 cos
sin
3
0 1
0
3
