Báo cáo bài tập lớn môn phương pháp tính Đề tài xây dựng công thức newton cotes Đóng và mở, cầu phương gauss và Ứng dụng

Ý tưởng phương pháp Newton – Cotes Phương pháp Newton - Cotes là một tập hợp các công thức dùng để ước lượnggiá trị tích phân của một hàm số trên một đoạn [a,b].. Đây là các phương pháp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

MỤC LỤC

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5

I Phương pháp sử dụng công thức Newton – Cotes đóng, mở 5

1 Ý tưởng phương pháp Newton – Cotes 5

2 Thiết lập công thức tổng quát 5

2.1 Quy tắc hình thang 7

2.2 Quy tắc simpson 10

II Phương pháp cầu phương Gauss 11

1 Ý tưởng phương pháp cầu phương Gauss 11

2 Thiết lập công thức tổng quát 12

B ỨNG DỤNG NEWTON – COTES, CẦU PHƯƠNG GAUSS ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ ÁP DỤNG CODE TOÁN HỌC 16

I Newton – Cotes và code giải bài tập 16

1 Bài Tập 1 16

II Cầu phương Gauss và code giải bài tập 19

1 Bài Tập 1 19

2 Bài tập 2 20

3 Bài tập 3 21

C TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

LỜI MỞ ĐẦU

Phương pháp tính là môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên ĐHBách Khoa TPHCM Do đó, việc dành cho môn học này một khối lượng thời giannhất định và thực hành là điều tất yếu để giúp cho sinh viên có được cơ sở vững chắc

và làm tiền đề để học tốt các môn khác trong chương trình đào tạo

Bài báo cáo của nhóm còn giúp các bạn làm quen với chương trình MatLab Quagần 50 năm lịch sử hình thành và phát triển, Matlab vẫn được ưu chuộng không chỉbởi các sinh viên và nghiên cứu sinh đại học mà còn bởi các thạc sĩ, tiến sĩ toán học vìgiao diện đơn giản, dễ hiểu, dễ thao tác và đa tính năng của nó Ngày nay, Matlabđược ứng dụng trong nhiều ngành nghề liên quan đến tính toán như cơ khí, hóa học,vật lý và kinh tế Hơn 3 triệu người dùng đã và đang tin tưởng dùng Matlab cho việchọc và nghiên cứu, giảng dạy của mình, khiến cho mọi thứ dễ dàng hơn

Nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giáo viên bộ môn Phương pháptính là cô Lê Thị Yến Nhi đã giảng dạy và truyền đạt cho chúng em những kiến thứcquý báu trong những tuần qua Trong quá trình học tập, chúng em thấy bản thân mìnhcải thiện được sự cẩn thận, học tập càng thêm nghiêm túc và hiệu quả Đây chắc chắn

là kiến thức, hành trang, và niềm yêu thích bộ môn Phương pháp tính Do vốn kiếnthức của chúng em vẫn còn hạn chế và việc biên soạn không thể tránh khỏi một số saisót không đáng có nên mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn khó tránh khỏinhững thiếu sót Kính mong cô xem xét, góp ý để bài báo cáo của chúng em đượchoàn thiện hơn

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I Phương pháp sử dụng công thức Newton – Cotes đóng, mở

1 Ý tưởng phương pháp Newton – Cotes

Phương pháp Newton - Cotes là một tập hợp các công thức dùng để ước lượnggiá trị tích phân của một hàm số trên một đoạn [a,b] Đây là các phương pháp tíchphân số, tức là sử dụng các giá trị của hàm tại một số điểm cố định để ước tính giá trịtích phân

Nguồn gốc tên gọi là do Isaac Newton và Roger Cotes là hai nhà toán học Anh

trong thế kỷ 17-18 trong khi Newton phát triển phương pháp nội suy (cụ thể là dạngnội suy Newton) để xấp xỉ hàm số thì Cotes- học trò của Newton, đã nghiên cứu vềcác quy tắc tích phân số và cải tiến các phương pháp tính tích phân gần đúng Có haidạng chính của phương pháp Newton-Cotes:

- Dạng đóng: Các điểm lấy mẫu nằm trên biên của đoạn [a,b]

- Dạng mở: Các điểm lấy mẫu không bao gồm các điểm biên a và b

Ý tưởng cơ bản của phương pháp Newton-Cotes là:

- Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy: Hàm f(x) có thể phức tạp hoặc khôngđược biết rõ biểu thức Tuy nhiên, nó có thể được xấp xỉ bằng một đa thức thông quacác điểm mẫu Nếu ta biết giá trị của hàm tại một số điểm, ta có thể sử dụng cácphương pháp nội suy như nội suy Lagrange hoặc nội suy Newton để xây dựng một đathức P(x) gần đúng với f(x)

- Tính tích phân của đa thức nội suy: Vì tích phân của một đa thức có thể đượctính chính xác dễ dàng, ta thay việc tính tích phân của hàm f(x) bằng tích phân của đathức nội suy P(x). 

- Tính gần đúng tích phân trên đoạn [a,b]: Kết quả là một công thức tích phân số

sử dụng các giá trị f(x0),f(x1),…,f(xn), dựa vào trọng số tương ứng với các điểm

2 Thiết lập công thức tổng quát

Các công thức Newton-Cotes là các lược đồ tích phân số phổ biến nhất.Chúng dựa trên chiến lược thay thế một hàm phức tạp hoặc dữ liệu được lập bảngbằng một đa thức dễ tích hợp 

f n (x)=a0+a1 x+ +a n−1.x n−1 +a n x n  (1.2)Trong đó n là bậc của đa thức Ví dụ, trong (Hình 1a), một đa thức bậc nhất (mộtđường thẳng) được sử dụng làm xấp xỉ Trong (Hình 1b), một hình parabol cũng được

sử dụng cho mục đích tương tự

Hình 1

Tích phân cũng có thể được xấp xỉ bằng cách sử dụng một loạt các đa thức được

áp dụng từng phần cho hàm hoặc dữ liệu trên các đoạn có độ dài không đổi Ví dụ,trong (Hình 2), ba đoạn thẳng được sử dụng để tính gần đúng tích phân Các đa thứcbậc cao hơn có thể được sử dụng cho cùng một mục đích

Hình 2

Các dạng đóng và mở của công thức Newton-Cotes có sẵn Các dạng đóng lànhững dạng mà các điểm dữ liệu ở đầu và cuối của giới hạn tích phân đã biết (Hình3a) Các biểu mẫu mở có giới hạn tích hợp mở rộng ra ngoài phạm vi dữ liệu (Hình3b)

I=I¿ = ¿).f (b)−f (a) b−a (1.4)

Về mặt hình học quy tắc hình thang tương đương với việc tính gần đúng diệntích của hình thang dưới đường thẳng nối f(a) và f(b) trong Hình 4 Ta có công thứcdiện tích hình thang là chiều cao nhân với trung bình cộng của các đáy Trong trườnghợp này, khái niệm này giống nhau nhưng hình thang nằm nghiêng Do đó, ước tínhtích phân có thể được biểu diễn dưới dạng

Hình 4

I=(b−a).chiều caotrung bình

Trong đó đối với quy tắc hình thang, chiều cao trung bình là giá trị trung bình của các giá trị hàm tại các điểm cuối hoặc f (b)−f (a)2

Sai số quy tắc hình thang:

Trong thực tế khi chúng ta sử dụng tích phân dưới một đoạn thẳng để tính gần đúng tích phân dưới một đường cong, rõ ràng là chúng ta có thể mắc phải một sai số

có thể rất lớn (Hình 5)

Hình 5

Để cải thiện độ chính xác Một cách để cải thiện độ chính xác của quy tắc hìnhthang là chia khoảng tích phân từ a đến b thành một số đoạn và áp dụng phương phápcho từng đoạn

Hình 6

Cụ thể, chia đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau với bước chia h = b−a2 Nếu a

và b được chỉ định lần lượt là x0 và xn, thì tích phân tổng có thể được biểu diễn dướidạng

I≈ I¿ = ¿ 2h f ( x0 )+ ¿4f

( x 1)+ ¿f (x¿ ¿

6 +2 hf (x 2)+¿4 f (x¿ ¿ 3)+ ¿f (x¿ ¿ 4)

6 + + 2hf( x n)+¿4f ( x¿¿n−1)+¿f (x¿ ¿n−2)

II Phương pháp cầu phương Gauss

1 Ý tưởng phương pháp cầu phương Gauss

Tư tưởng của phương pháp Gauss là đưa hệ phương trình Ax = b về dạng tamgiác hoặc dạng hình thang, lúc đó nghiệm tìm được nhờ quá trình thế ngược Cụ thểhơn ta sẽ dùng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình:

dòng thứ hai trở đi biến thành 0 bằng cách nhân dòng một với −a i 1

1 Hệ nhận được có dạng tam giác (hệ có duy nhất nghiệm) hay ma trận A códạng tam giác

2 Hệ nhận được có dạng bậc thang (hệ có vô số nghiệm) hay ma trận hệ số códạng bậc thang

3 Trong hệ xuất hiện phương trình có dạng :

Về mặt thực hành, để giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử ẩnliên tiếp, ta làm như sau:

- Xác định ma trận hệ số mở rộng A = (A | b)

- Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến đổi sao cho ma trận hệ

số A chuyển thành dạng tam giác hoặc bậc thang

- Giải hệ phương trình bằng quá trình ngược

2 Thiết lập công thức tổng quát

Ý tưởng của công thức cầu phương Gauss là xấp xỉ tích phân bởi một tổng hữuhạn:

B i f (x i)=B1f ( x1)+ +B n f (x n)

Trong đó các hệ số B1, B2, …., Bn; x1,x2 ,…, x n được xác định theo điều kiện là

công thức sẽ trở thành công thức đúng với mọi đa thức bậc nhỏ hơn 2n

Ta thay các hàm số f m(𝑥) = x m; 𝑣ớ𝑖 𝑚 = 0, … , 2𝑛 − 1 vào hệ thức (khi đó tathay dấu " ≈" bởi dấu "=" ) ta được hệ phương trình:

Tính chất của đa thức Legendre:

1 Với mọi n , đa thức ζ n (x)cóbậc n

2 Nếu P (x ) là một đa thức có bậc nhỏ hơn thì : ∫

Chọn x1, x2,…, x n là nghiệm của đa thức ζ n (x).

Thay các hàm số f m (x)=x m; m = 0, … , n−1 vào hệ thức ra vừa xét biểu diễn ta được hệ:

r(x)d x

Do đó, nếu đúng các đa thức bậc nhỏ hơn n thì nó cũng đúng với các đa thức bậc nhỏhơn 2n-1

Trường hợp n=3: Đa thức ζ3( x) có 3 nghiệm x1= ¿ −√3

5 ; x2=0 ; x3= ¿√3

5 Thế 3 giátrị này vào hệ ta được hệ sau:

{ B1+B2+B3=2

−√3

5B1 +√3

5B3 =0 3

B ỨNG DỤNG NEWTON – COTES, CẦU PHƯƠNG GAUSS ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ ÁP DỤNG CODE TOÁN HỌC

I Newton – Cotes và code giải bài tập

3

2+5 3

2 +3

11 6

3

2+ 11 6

2 + 232+2 2]= 0.53016339

3

2+138 2+12

7 4

3

2+ 742+32

15 8

3

2+ 158 2

+7 232+22]= 0.53015951

- Áp dụng công thức Newton-Cotes mở:

11 6

3

2+ 116 2] = 0.52959693+ Với n=2: h= b−a n+2 = 18

3

2+ 138 2

−

7 4

3

2+ 742+2

15 8

3

2+158 2] = 0.53015188

:param a: Giới hạn dưới của khoảng tích phân

:param b: Giới hạn trên của khoảng tích phân

:param n: Số lượng đoạn chia

:return: Diện tích dưới đường cong

"""

if n <= 0:

raise ValueError("Số lượng đoạn chia n phải lớn hơn 0.")

h = (b - a) / n # Tính chiều rộng của mỗi đoạn

result = 0.5 * (f(a) + f(b)) # Khởi tạo kết quả với giá trị ở hai đầu

for i in range(1, n): # Lặp qua các đoạn từ 1 đến n-1

result += f(a + i * h) # Cộng giá trị hàm vào kết quả

return result # Trả về diện tích dưới đường cong def example_function(x):

return x**3 / (2 + x**2) # Hàm số x^2/(1+x^3)

# Nhập dữ liệu từ người dùng

a = float(input("Nhập giới hạn dưới (a): "))

b = float(input("Nhập giới hạn trên (b): "))

n = int(input("Nhập số lượng đoạn chia (n): "))

# Gọi hàm và in kết quả

try:

area = trapezoidal_rule(example_function, a, b, n) print(f"Diện tích dưới đường cong: {area}")

except Exception as e:

print(f"Có lỗi xảy ra: {e}")

Kết quả

II Cầu phương Gauss và code giải bài tập

# Các điểm mẫu và trọng số cho bậc 3

x_points = [-math.sqrt(3/5), 0, math.sqrt(3/5)]

Sử dụng công thức Gauu-Legendre với n=2

Miền tích phân [-R,R] được chuyển về [-1;1] bằng cách đặt:

Tính lưu lượng dòng chảy chất lỏng

Đề bài: Tính lưu lượng chất lỏng chạy qua đường ống bán kính R=5cm, với vận tốc:

C TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Burden, R L., Faires, J D., & Burden, A M (2016) Numerical analysis (10th edition ed.) Cengage Learning

2 Chapra, S C (2022) Applied numerical methods with MATLAB® for

engineers and scientists (Fifth edition.International student edition ed.)

McGraw Hill