Skkn cấp tỉnh nâng cao năng lực giải quyết vấn Đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số logarit

Từ đó, nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từ việc giải quyết vấn đề trong nội bộ môn Toán, cho đến việc vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết vấn đề thực tiễn, liên m

SỞ GD-ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH

NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG

Yên Thành - 2024 Số điện thoại: 0368 811 500 - 0979 419 917- 0977 100 284

SỞ GD-ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH

NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Điểm mới của Đề tài 3

Chương 2 Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp

11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số logarit 7

2.1 Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh từ các bài

2.2 Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề thông qua các bài toán

2.3 Khai thác một số bài toán vận dụng hàm số mũ, hàm số logarit

giúp học sinh ôn thi tốt các kỳ thi Đánh giá Năng lực, Đánh giá Tư duy 43 Chương 3 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải

Chương 4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 53

2 Kiến nghị và đề xuất 57

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÝ HIỆU

Từ viết tắt/ kí hiệu Cụm từ đầy đủ

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài:

Trong nhiều năm gần đây, Đảng và Nhà nước ta luôn luôn không ngừng quan tâm đến công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, nhằm nâng cao chất lượng giáo dục để đào tạo ra những con người phát triển toàn diện cả về đức, trí, thể, mĩ nhằm đáp ứng yêu cầu về nguồn lao động ngày càng cao của trong nước và thế giới

Chương trình giáo dục phổ thông 2018 đã đề ra mục tiêu: “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính cách năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt nam xã hội chủ nghĩa; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”

Chương trình giáo dục phổ thông mới sẽ hình thành và phát triển cho học sinh 5 phẩm chất là yêu nước, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm Ngoài ra, chương trình cũng hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi gồm: Những năng lực chung, được hình thành và phát triển từ tất cả các môn học và hoạt động giáo dục; Những năng lực chuyên môn, được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một

số môn học và hoạt động giáo dục nhất định Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi, làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp Các năng lực này được hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con người, quá trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình hoạt động khác nhau Một trong các năng lực chung quan trọng được nhà trường và giáo viên quan tâm, giúp các em học sinh phát triển xuyên suốt trong chương trình giáo dục phổ thông đó là năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

Trong suốt quá trình đổi mới khi đưa ra những điều chỉnh về nội dung dạy học, đổi mới phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đưa ra yêu cầu: Chủ động rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu sách giáo khoa để tiếp nhận và vận dụng kiến thức mới thông qua giải quyết nhiệm vụ học tập đặt ra trong bài học Từ đó, nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từ việc giải quyết vấn đề trong nội bộ môn Toán, cho đến việc vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết vấn đề thực tiễn, liên môn, hay bài toán về tài chính… Với mục đích tạo ra những nguồn lao động chất lượng cao, có khả năng ứng xử linh hoạt và giải quyết vấn

đề một cách sáng tạo trong lao động và cuộc sống

Xuyên suốt chương trình môn Toán 11 (chương trình Giáo dục Phổ thông 2018) là các bài toán gắn liền với thực tiễn, gắn liền với cuộc sống con người Đặc

biệt, các bài toán về chủ đề hàm số mũ, hàm số lôgarit tương đối đa dạng, phong phú Khi học chủ đề này, học sinh có thể vận dụng kiến thức và kỹ năng Toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn liên môn như bài toán về cường độ âm, bài toán dân số, biến đổi khí hậu, nồng độ PH, các bài toán về tài chính, kinh tế Để nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11, chúng tôi đã xây dựng đề tài: “Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số

mũ, hàm số logarit”

2 Mục đích nghiên cứu:

Đề xuất một số biện pháp nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp

11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số lôgarit

3 Phạm vi nghiên cứu:

- Nghiên cứu qua thực tiễn dạy học chương trình Toán lớp 11 ở trường THPT của chúng tôi nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho các em

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài tập trung làm rõ một số vấn đề sau:

- Nghiên cứu lý luận và xác định một số biện pháp nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua giảng dạy môn Toán lớp 11 chương trình 2018

- Trên cơ sở lý luận và một số biện pháp đã được xác định, chúng tôi đề xuất phương án nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số lôgarit

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về cơ sở pháp lý, các tài liệu giáo dục học, tâm lý học, các tạp chí, sách, báo, internet tham khảo có liên quan tới vấn đề nghiên cứu

- Điều tra quan sát:

Điều tra, khảo sát thực tế đối với học sinh trong nhà trường; phỏng vấn giáo viên ở các trường THPT trong huyện

6 Điểm mới của đề tài

Đề tài nghiên cứu các giải pháp nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số lôgarit của chương trình Giáo dục phổ thông 2018 Đặc biệt, đề tài hướng tới cách giải quyết các bài toán thực tiễn liên môn (Vật lí, Địa lí, Sinh học, Hóa học, Tài chính) nhằm giúp các em có năng lực giải quyết các các vấn đề trong thực tiễn cuộc sống Đề tài khai thác một số bài toán trong các kỳ thi đánh giá tư duy, đánh giá năng lực của các trường Đại học liên quan đến chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit giúp các em có định hướng tốt, chuẩn

bị cho các kỳ thi sắp tới

Phần II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1 Cơ sở lý luận

Một trong các năng lực chung quan trọng mà chương trình giáo dục phổ thông

2018 hướng tới, và luôn được nhà trường cũng như giáo viên quan tâm, giúp các em học sinh phát triển xuyên suốt trong cả quá trình dạy học đó là năng lực Giải quyết vấn đề và sáng tạo Trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018, NLGQVĐ&ST trong dạy học được xác định là khả năng: Nhận ra ý tưởng mới; Phát hiện và làm rõ vấn đề; Hình thành và triển khai ý tưởng mới; Đề xuất, lựa chọn giải pháp; Thiết kế và tổ chức hoạt động; Tư duy độc lập Vì vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú trọng nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh Đặc biệt là khả năng ứng dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề thực tiễn Có thể nói chỉ khi có được khả năng nhận thức vấn đề, khả năng suy nghĩ phương án giải quyết vấn đề, khả năng thực hiện phương án giải quyết thì lúc đó mới gọi là có năng lực giải quyết vấn

đề Thông qua việc giải quyết vấn đề, HS được lĩnh hội tri thức, kĩ năng và phương pháp nhận thức Vì vậy “giải quyết vấn đề” không còn chỉ thuộc phạm trù phương pháp mà đã trở thành một mục đích dạy học, được cụ thể hóa thành một mục tiêu là phát triển năng lực giải quyết vấn đề, một năng lực có vị trí hàng đầu để con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội

1.1 Năng lực giải quyết vấn đề

1.1.1 Khái niệm năng lực giải quyết vấn đề

Vấn đề nói chung là một câu hỏi mà chủ thể của vấn đề chưa có câu trả lời, một bài toán chưa có cách giải quyết, chưa có lời giải Ở góc độ triết học, vấn đề chứa đựng mâu thuẫn giữa nhiệm vụ phải giải quyết và năng lực hiện thời của chủ thể Giải quyết vấn đề chính là quá trình chủ thể giải quyết mâu thuẫn nói trên, tìm được câu trả lời cho câu hỏi hay bài toán đặt ra Kết quả của giải quyết vấn đề là sản phẩm mới về vật chất, tinh thần

Đối với mỗi cá nhân, cuộc đời là một chuỗi các vấn đề, hạnh phúc của con người chính là giải quyết thành công các vấn đề của cá nhân trong mối liên hệ với công việc, với xã hội và với tự nhiên Ở tuổi đi học, nhà trường cần hình thành cho học sinh năng lực giải quyết vấn đề, để khi vào đời cá nhân có thể tự lực giải quyết các vấn đề của mình, lập thân lập nghiệp, sống hạnh phúc theo đúng nghĩa

Theo định nghĩa trong đánh giá PISA (2012): “Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng của một cá nhân hiểu và giải quyết tình huống có vấn đề khi mà giải pháp giải quyết chưa rõ ràng Nó bao gồm sự sẵn sàng tham gia vào giải quyết tình huống vấn đề đó – thể hiện tiềm năng là công dân tích cực và xây dựng” “Giải quyết vấn đề

là hoạt động trí tuệ được coi là trình độ phức tạp và cao nhất về nhận thức, vì cần huy động tất cả các năng lực trí tuệ của cá nhân Để giải quyết vấn đề, chủ thể phải huy động trí nhớ, tri giác, lý luận, khái niệm hóa, ngôn ngữ, đồng thời sử dụng cả cảm xúc, động cơ, niềm tin ở năng lực bản thân và khả năng kiểm soát được tình thế” (Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn, 2012, Xã hội học tập – học tập suốt đời) Từ những định nghĩa trên, chúng ta có thể hiểu năng lực giải quyết vấn đề của học sinh là khả năng của học sinh phối hợp vận dụng những kinh nghiệm bản thân, kiến thức, kĩ năng của các môn học trong chương trình trung học phổ thông để giải quyết thành công các tình huống có vấn đề trong học tập và trong cuộc sống của các em với thái độ tích cực

1.1.2 Cấu trúc năng lực giải quyết vấn đề

Giải quyết vấn đề là thiết lập và thực hiện những biện pháp thích ứng để hóa giải các khó khăn, trở ngại, giải đáp được câu hỏi hay bài toán đặt ra

Cấu trúc năng lực giải quyết vấn đề dự kiến phát triển ở học sinh gồm 4 thành

tố, mỗi thành tố bao gồm một số hành vi cá nhân khi làm việc độc lập hoặc khi làm việc nhóm trong quá trình giải quyết vấn đề Cụ thể là:

- Tìm hiểu, khám phá vấn đề: nhận biết vấn đề, phân tích được tình huống cụ thể, phát hiện được tình huống có vấn đề, chia sẻ sự am hiểu về vấn đề với người khác

- Thiết lập không gian vấn đề: lựa chọn, sắp xếp, tích hợp thông tin với kiến thức đã học Xác định thông tin, biết tìm hiểu các thông tin có liên quan, từ đó xác định cách thức, quy trình, chiến lược giải quyết và thống nhất cách hành động

- Lập kế hoạch và thực hiện giải pháp:

+ Lập kế hoạch: thiết lập tiến trình thực hiện (thu thập dữ liệu, thảo luận, xin ý kiến, giải quyết các mục tiêu…), thời điểm giải quyết từng mục tiêu

+ Thực hiện kế hoạch: thực hiện và trình bày giải pháp, điều chỉnh kế hoạch để phù hợp với thực tiễn và không gian vấn đề khi có sự thay đổi

- Đánh giá và phản ánh giải pháp: Thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề Suy ngẫm về cách thức và tiến trình giải quyết vấn đề Điều chỉnh và vận dụng trong tình huống mới, xác nhận những kiến thức và kinh nghiệm thu được Đề xuất giải pháp cho những vấn đề tương tự

1.1.3 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề

+ Đối với học sinh:

- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp HS hiểu và nắm chắc nội dung cơ bản của bài học; từ đó giúp HS mở rộng và nâng cao vốn kiến thức của bản thân

- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp HS biết vận dụng những kiến thức được học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn của cuộc sống

- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp HS hình thành kỹ năng giao tiếp, tổ chức, khả năng tư duy, tinh thần hợp tác, hoà nhập cộng đồng

+ Đối với giáo viên

- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp GV có thể đánh giá một cách khá chính xác khả năng tiếp thu của HS và trình độ tư duy của họ, tạo điều kiện cho việc đánh giá HS và dạy học phân hóa hợp lí

- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp cho GV phát hiện ra những năng lực cá nhân, thiên hướng phát triển của HS từ đó định hướng HS phát huy tối đa ưu điểm của bản thân

- Giúp GV dễ dàng biết được năng lực nhận xét, đánh giá, khả năng vận dụng lý luận vào thực tiễn xã hội của HS Từ đây định hướng phương pháp giáo dục tư tưởng học tập cho HS

1.2 Các mục tiêu cần đạt khi dạy học chủ đề Hàm số mũ, hàm số logarit

a Về kiến thức:

- Học sinh nắm vững các kiến thức về : Lũy thừa với số mũ thực (định nghĩa, tính chất) Hàm số lũy thừa: tập xác định, đạo hàm, chiều biến thiên, đồ thị; Logarit và các quy tắc tính logarit; Hàm số mũ và hàm số logarit: tập xác định, đạo hàm, chiều biến thiên, dạng đồ thị; Phương trình mũ, phương trình logarit, bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

- Sử dụng thành thạo các quy tắc tính lũy thừa và logarit để tính các biểu thức; giải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit đơn giản

-Vận dụng giải quyết một số vấn đề liên môn hoặc có liên quan đến thực tiễn gắn với chương hàm số mũ, hàm số logarit

- Thiết lập được mô hình Toán học

- Giải quyết được vấn đề Toán học vào thực tiễn

tự học Tự giải quyết các bài tập trắc nghiệm và bài tập về nhà

Năng lực giao tiếp

- Có ý thức hỗ trợ, hợp tác với các thành viên trong nhóm để hoàn thành nhiệm vụ

Nhân ái Có ý thức tôn trọng ý kiến của các thành viên trong nhóm khi hợp tác

2 Cơ sở thực tiễn

Qua thực tế dạy học ở trường THPT, bản thân chúng tôi nhận thấy năng lực giải quyết vấn đề của học sinh vẫn còn hạn chế, đặc biệt là năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn Đa số các em chỉ biết áp dụng các

tiễn lại tỏ ra lúng túng, chưa tìm được mối liên hệ giữa kiến thức đã học với tình huống thực tiễn của bài toán nên không giải quyết được những bài toán thực tiễn liên môn; dẫn đến hiệu quả của việc dạy học chưa cao Vì vậy để nâng cao hiệu quả dạy học, thì giáo viên cần chú ý hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh để các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán cũng như các vấn đề khác nhau trong cuộc sống

Chương 2: Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số logarit

Để học sinh có thể vận dụng được các kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề thực tiễn, liên môn, thì trước hết học sinh cần có năng lực giải quyết vấn đề từ các bài toán trong nội bộ toán học

2.1 Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh từ các bài toán trong nội bộ toán học

Khi dạy học chủ đề “Hàm số mũ, hàm số logarit”, chúng ta cần trang bị cho học sinh năng lực giải quyết một số các dạng toán dưới đây

2.1.1 Dạng toán về lũy thừa với số mũ thực

Sau khi học sinh học xong định nghĩa và các tính chất của lũy thừa với số mũ thực, chúng ta trang bị cho học sinh năng lực giải quyết một số bài toán cơ bản sau đây:

Dạng toán 1: Tính giá trị của biểu thức Đây là bài toán cơ bản quan trọng nhất của bài lũy thừa với số mũ thực, nhằm giúp học sinh vừa nắm vững định nghĩa, vừa củng cố được các tính chất của lũy thừa

Là dạng toán cơ bản, phương pháp giải cũng đơn giản, nên chúng ta dễ dàng hướng dẫn học sinh có lời giải đúng

Bài toán 1 Cho 4 x  4  x  7 Tính giá trị của biểu thức 5 2 2

Bài toán 2 Cho 4 x  4  x  7 Khi đó biểu thức 5 21 21

x x

x x

a P

a   b    Tính tổng a b  ?

Với giả thiết tương tự như ở ví dụ 1, nên học sinh dễ dàng biến đổi, tuy nhiên,

để có thể sử dụng được giả thiết sau khi đã biến đổi, học sinh cần biến đổi biểu thức cần tính về dạng có chứa biểu thức có chứa giả thiết (sau khi đã được biến đổi)

Chúng ta định hướng và mong muốn học sinh có lời giải đúng như sau:



Suy ra: a2, b     9 a b 11

Dạng toán 2: Biến đổi, rút gọn, biểu diễn các biểu thức

Sau khi học sinh được rèn luyện một số kĩ năng biến đổi lũy thừa trong bài toán tính giá trị của biểu thức, chúng ta hướng dẫn học sinh giải một số ví dụ về bài toán biến đổi, rút gọn, biểu diễn các biểu thức chứa lũy thừa, nhằm mục đích giúp học sinh nắm vững và vận dụng thành thạo các tính chất của lũy thừa vào giải toán Từ đó có thể vận dụng giải quyết các bài toán thực tiễn và liên môn

Bài toán 1 Rút gọn biểu thức

1 6 3 4

x x P

3 3 6

4

3 6 4 4 1

Chúng ta nâng mức độ khó khăn hơn một chút trong quá trình biến đổi bài toán sau

Bài toán 2 Cho hai số thực dương a b , Rút gọn biểu thức





 ta thu được A a b  m n Tích của m n là

Với bài toán này, ngoài sử dụng định nghĩa và tính chất của lũy thừa với số mũ thực, học sinh còn phải sử dụng kĩ năng đặt nhân tử chung và rút gọn Chúng ta định hướng giúp học sinh có lời giải đúng như sau:

Dạng toán 3 So sánh các biểu thức chứa lũy thừa

Để giải được bài toán so sánh, hs cần nắm vững tính chất bất đẳng thức của lũy thừa Ở bài toán này, chúng tôi xin đưa ra các ví dụ ở dạng trắc nghiệm để học sinh dễ dàng rèn luyện kĩ năng nhận diện so sánh hơn

Bài toán 1 Cho a1 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A 20161 20171

a  a B a13  a C 3

5

1 a

trình mũ và logarit Vì vậy, sau khi học xong kiến thức, chúng ta cần trang bị cho học sinh năng lực giải quyết một số dạng toán cơ bản, giúp học sinh nắm vững định nghĩa

và các tính chất của logarit, từ đó học sinh có thể vận dụng giải quyết các bài toán thực tiễn hay ở môn học khác

Chúng ta mở đầu bằng dạng toán cơ bản sau

Dạng toán 1: Tính giá trị biểu thức chứa logarit Bài toán 1 Biết log 3 a2  Tính log 1812 theo a

Nhận xét: Với bài toán biểu diễn một logarit theo logarit cho trước, học sinh cần nắm vững công thức đổi cơ số Ta hướng dẫn học sinh có lời giải như sau:

 

2 2

Bài toán 2 Cho a  log 5,7 b  log 53 Tính giá trị biểu thức M  log 521 ?

Tương tự bài toán biểu diễn logarit theo một logarit cho trước, với bài toán tính giá trị biểu thức logarit theo hai logarit đã cho, chúng ta định hướng để học sinh có lời giải đúng

Ta có M  log 521

5

1 log 21



1 log 3 log 7

b, ta hướng dẫn học sinh cần chuyển a và b về theo một

ẩn Chúng ta định hướng để học sinh tìm được lời giải hợp lý

Đặt 16 20 25

16 2

3

2 3.25

x x

Dạng toán 2: Rút gọn biểu thức

Để giải được bài toán rút gọn biểu thức, học sinh cần nắm vững các tính chất của logarit, để có thể biến đổi biểu thức đã cho về dạng đơn giản nhất Vì vậy, bài toán này vừa giúp học sinh củng cố kiến thức cơ bản, vừa rèn luyện kĩ năng biến đổi logarit

Bài toán 1 Cho x là các số thực khác 0 Rút gọn biểu thức: P  2 log 16 x4log 2 x2

Để giải được ví dụ này, chúng ta định hướng học sinh biến đổi đưa về sử dụng tính chất a log a x  x Đây là ví dụ cần sử dụng tốt tính chất lũy thừa và tính chất logarit Chúng ta hi vọng học sinh có lời giải đúng

a a

b

b b

Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số mũ- hàm số logarit

Bài toán tìm tập xác định của hàm số mũ- hàm số logarit cũng là một trong những bài toán thường gặp của phần này Chúng ta mở đầu với ví dụ đơn giản sau: Bài toán 1 Tìm tập xác định của hàm số  2

2024 log 3

y  x x  Với ví dụ đơn giản này, học sinh dễ dàng tìm được lời giải đúng

Hàm số xác định khi: 3 x x  2    0 x  0; 3 Vậy D  0; 3

Chúng ta nâng mức độ khó khăn hơn trong bài toán sau đây

Bài toán 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

Dạng toán 2 Xét sự biến thiên của hàm số mũ-logarit

Để học sinh dễ dàng vận dụng kiến thức vào giải toán hơn, ở bài toán này, chúng ta hướng dẫn học sinh giải một số ví dụ dưới dạng trắc nghiệm khách quan như sau:

Bài toán 1.Trong bốn hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ?

số mũ, hàm số logarit Ta hi vọng học sinh chọn được đáp án đúng

Hàm số y  a x nghịch biến trên  khi 0 a 1 và hàm số y  loga x nghịch biến trên khoảng (0;  ) khi 0 a 1 Vậy chọn đáp án D

Bài toán 2 Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên tập xác định

A y  0.3 x B 1

3 log

Dạng toán 3 Đồ thị hàm số mũ- logarit

Ở dạng toán này, chúng ta cũng cho học sinh nhận dạng đồ thị bằng một số ví

dụ trắc nghiệm sau đây:

Bài toán 1 Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?

Đồ thị hàm số “đi lên” và qua điểm có tọa độ  1;3 Vậy chọn đáp án D

Bài toán 2 Cho hàm số y  loga x a  0, a  1 có đồ thị như hình vẽ

O 1

A a c b   B a b c   C c a b   D b c a  

Đây là bài toán dựa vào đồ thị để so sánh ba cơ số của logarit Ta định hướng

để học sinh có lời giải đúng như sau:

Dựa vào đồ thị ta có hàm số y  logbx là một hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó nên 0   b 1; hàm số y  loga x, y  logcx là các hàm số đồng biến trên tập xác định của nó nên a c ,  1

Kẻ đường thẳng y  1 cắt đồ thị hàm số y  logcx, y  loga x lần lượt tại điểm A c ;1

và B a ;1 Dựa vào đồ thị ta thấy xA  xB   c a Vậy a c b   Chọn A

Bài toán 4 Cho đồ thị hàm số y  a x; y b  x; y  logcx như hình vẽ Tìm mối liên hệ của a b c , ,

A c b a   B b a c   C a b c   D c a b  

Nhìn đồ thị ta thấy hàm số y  a x là hàm số đồng biến nên a1; y b  x là hàm số đồng biến nên b  1; y  logcx là hàm số nghịch biến nên 0 c 1 do vậy ta có

Bài toán 2 Giải phương trình: 5 x  1  5 x  2 x  1  2 x  3

Cũng tương tự như ví dụ 1, chúng ta định hướng học sinh biến đổi đưa về cùng cơ số

  Vậy phương trình cho có nghiệm x1.

Chúng ta nâng dần mức độ khó khăn, rèn luyện kỹ năng biến đổi cho học sinh thông qua các ví dụ sau:

Bài toán 3 Tìm m để phương trình 5mx2  2x 3 2m 5m x có hai nghiệm trái dấu

Thoạt nhìn, có thể học sinh sẽ nghĩ ví dụ này khó, nhưng thực chất, mấu chốt của bài toán này là đưa về sử dụng điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai Chúng ta gợi ý để học sinh có lời giải đúng

Ta có: 5 mx 2  2 x   3 2 m  5 m x  1  mx 2  2 x   3 2 m m x    mx 2     x 3 m 0 2 

Phương trình 1 có2nghiệm trái dấuphương trình 2 có2nghiệm trái dấu

 ac   0 m3  m     0 3 m 0

Vậy m     3; 2; 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Dạng toán 2 Phương trình logarit

Đối với phương trình logarit, ta cần nhấn mạnh cho học sinh chú ý tìm điều kiện trước khi giải Trước hết chúng ta định hướng học sinh cần giải một số ví dụ đơn giản sau:

Bài toán 1 Giải phương trình:  2

Bài toán 2 Giải phương trình: log2x  log3x  log4 x  log20 x

Với ví dụ này, sau khi tìm điều kiện xác định, chúng ta hướng dẫn học sinh đưa về cùng cơ số bằng công thức đổi cơ số Chúng ta hi vọng học sinh có lời giải đúng Điều kiện:x0

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x1.

Bài toán 3 Tìm tập nghiệm S của phương trình log (23 x   1) log (3 x   1) 1

Đây cũng là ví dụ đơn giản, chúng ta lưu ý học sinh tìm điều kiện xác định và đưa phương trình về dạng loga f x ( )  b

+ Ta có: Điều kiện xác định 2 1 0

1 0

x x

Dạng toán 3 Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit

Khi hướng dẫn học sinh giải bất phương trình mũ, bất phương trình logarit cần nhấn mạnh học sinh chú ý đến cơ số

Bài toán 1 Biết tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

2  3 x  x  2  3 mx đúng  x  có dạng  a b , Tính S   a b?

Để giải được ví dụ này, cần sử dụng kiến thức về bất phương trình mũ và về điều kiện nghiệm đúng  x  của bất phương trình bậc hai Trước hết, để đưa bất phương trình mũ về cùng cơ số, chúng ta cần lưu ý cho học sinh mối liên hệ giữa cơ

số của hai vế Chúng ta định hướng và hi vọng học sinh có lời giải đúng

Bài toán 2 Giải bất phương trình  2 

1 2 log x  5 x  7  0

Ở ví dụ này, khi mới học xong bất phương trình mũ – logarit, học sinh hay biến đổi nhầm chiều của bất phương trình do cơ số nhỏ hơn 1, và có thể còn quên điều kiện xác định Vì vậy chúng ta cần lưu ý để tránh nhầm lẫn cho học sinh

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S  2;3

Bài toán 3 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

log x    1 1 log mx  4 x m  nghiệm đúng với mọi x?

Với ví dụ này, mức độ khó khăn đã được nâng lên khi bất phương trình chứa tham số Chúng ta cần hướng dẫn để học sinh tìm được lời giải đúng

log ( x    1) 1 log ( mx  4 x m  )  log 5( x   1) log ( mx  4 x m  )

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi

2 2

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thoả mãn

Trên đây là một số bài toán cần củng cố cho học sinh sau khi học xong mỗi bài học, để giúp học vừa khắc sâu kiến thức, vừa nâng cao năng lực giải quyết vấn đề trong nội bộ Toán học Tạo điều kiện vững chắc để chúng ta nâng cao năng lực vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tiễn hoặc ở môn học khác

2.2 Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề thông qua các bài toán thực tiễn liên môn

Xuyên suốt chủ đề về hàm số mũ, hàm số logarit là các bài toán thực tiễn liên môn rất đa dạng Từ đó, giúp các em có một cách nhìn nhận vấn đề khái quát hơn ở các bài toán liên môn Vật lí, Hóa học, Sinh học, Địa lí, và các bài toán về tài chính, kinh tế Qua đó, các em có thể lí giải được một số hiện tượng tự nhiên, tính được cường độ ánh sáng, mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được, tính được khối lượng của một chất phóng xạ, xác định được độ tuổi của mẫu gỗ cổ, … Các bài toán liên môn này ít tuân theo một dạng toán mà mỗi bài toán có một quy luật cho sẵn, HS chỉ cần chú ý quy luật của bài toán, phân tích vấn đề xoay quanh dữ kiện bài toán đưa

A e  21 lần B e 42 lần C e 21 lần D e  42 lần Phân tích bài toán

Bài toán đã cho công thức về cường độ ánh sáng đi qua môi trường nước biển

GV định hướng cho HS giải quyết bài toán bởi một số câu hỏi sau:

- Muốn biết ở độ sâu 30 mét, cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần so với cường

độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu đi vào nước biển thì ta phải làm gì?

- Hãy tính được cường độ ánh sáng khi mới bắt đầu đi vào môi trường nước biển?

- Tính cường độ ánh sáng ở độ sâu 30 mét?

- Từ đó lập tỉ số và kết luận bài toán

Khi mới bắt đầu đi vào môi trường nước biển thì x0 1 .e o

.30

42 2

I I

Bài toán tương tự

Giả sử cường độ ánh sáng dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức .e a

o

I  I , trong đó Io là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển,

a là một hằng số dương,

d là độ sâu tính từ mặt nước biển (tính bằng mét)

a) Ở một vùng biển cường độ ánh sáng tại độ sâu 1m bằng 95% cường độ ánh sáng tại mặt nước biển Tìm giá trị của hằng số a

b) Tại độ sâu 15m ở vùng biển đó, cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu phần trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt nước biển? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Bài toán 2 Một người thả một lá bèo vào một chậu nước Sau 12 giờ, bèo sinh sôi phủ kín mặt nước trong chậu Biết rằng sau mỗi giờ lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín 1

5 mặt nước trong chậu (kết quả làm tròn đến 1 chữ số phần thập phân)

A 9,1 giờ B 9,7 giờ C 10,9 giờ D 11,3 giờ Bài toán cho biết sau mỗi giờ lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và sau 12 giờ, bèo sinh sôi phủ kín mặt nước trong chậu nên ta tính được diện tích mặt nước trong chậu; diện tích các lá bèo trong chậu sau x giờ là bao nhiêu? Từ đó viết phương trình biểu thị mối liên hệ giữa diện tích các lá bèo trong chậu sau x giờ so với diện tích mặt nước trong chậu và tính được thời gian mà bèo phủ kín 1

5 mặt nước trong chậu

Gọi S là diện tích lá bèo thả ban đầu

Vì sau mỗi giờ, lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó nên sau 12 giờ, tổng diện tích các lá bèo trong chậu là 10 S 12

Theo đề bài: Sau 12 giờ, bèo phủ kín mặt nước trong chậu nên diện tích mặt nước trong chậu là 10 S 12 Giả sử sau x giờ thì bèo phủ kín 1

5 mặt nước trong chậu

10 10

5

x S  S  10 12  x  5   x 12 log5 11,3  

Vậy sau 11,3 giờ thì bèo phủ kín 1

5 mặt nước trong chậu

Bài toán 3 Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của 14

6 C là 5730 năm, tức

là sau 5730 năm thì số nguyên tử 14

6 C giảm đi một nửa

a) Gọi m0 là khối lượng của 14

6 C tại thời điểm t0 Viết công thức tính khối lượng ( )

6 C còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trưởng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

GV định hướng cho HS bởi các câu hỏi sau

- Quy luật của bài toán là gì?

- Tìm mối liên hệ giữa m t ( ) và m 0 tại thời điểm t năm?

- Viết công thức tính khối lượng của 14

6 C tại thời điểm 2000 năm?

- Từ đó, hãy tính tỉ lệ phần trăm lượng 14

6 C còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trưởng?

Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức:

234 plutonium  ban đầu là 100 g, hãy tính khối lượng plutonium  234 còn lại sau:

(Kết quả tính theo gam và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài toán 4 Trong Vật lí, mức cường độ âm (tính bằng decibel, kí hiệu là dB ) được tính bởi công thức

0 10log lL

b) Khi cường độ âm tăng lên 1000 lần thì mức cường độ âm (đại lượng đặc trưng cho

độ to nhỏ của âm) thay đổi thế nào?

Phân tích bài toán

- Nêu công thức về mức cường độ âm?

- Tính mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là

Vậy mức cường độ âm tăng lên 30 dB

Bài toán tương tự

1 Mức cường độ âm L đo bằng decibel ( dB ) của âm thanh có cường độ I (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là W m / 2 ) được định nghĩa như sau:

0 ( ) 10log I

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I  10 /  7 W m 2

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ I  10 /  3 W m 2

2 Mức cường độ âm P của một nguồn âm cho trước xác định bởi

0 10log IP

Bài toán 5 Định luật thứ ba của Kepler nói rằng bình phương của chu kì quỹ đạo p(tính bằng năm Trái Đất) của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời (theo quỹ đạo là một đường elip với Mặt Trời nằm ở một tiêu điểm) bằng lập phương của bán trục lớn d (tính bằng đơn vị thiên văn AU )

a) Tính p theo d

b) Nếu Sao Thổ có chu kì quỹ đạo là 29,46 năm Trái Đất, hãy tính bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời (kết quả tính theo đơn vị thiên văn và làm tròn đến hàng phần trăm)

Phân tích bài toán

Bài toán về định luật thứ ba của Kepler nói về chu kì quỹ đạo của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời, các bài toán về định luật này xoay quanh việc tính chu kì quỹ đạo, tính bán trục lớn, thời gian mà Sao Hoả quay quanh Mặt Trời…GV cần hướng dẫn HS thông qua các câu hỏi định hướng như sau

- Dựa vào giải thiết bài toán, hãy tìm mối liên hệ giữa và ?

- Hãy tính bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời?

Từ đó có được kết quả bài toán

a) Theo định luật thứ ba của Kepler, ta có:

p  d   p d

b) Thay p  29, 46 vào công thức p  d 3 , ta được d  9,54 AU

Bài toán tương tự

1 Khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời có thể xấp xỉ bằng một hàm số của độ dài năm của hành tinh đó Công thức của hàm số đó là d  3 6 t 2 , trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời (tính bằng triệu dặm) và t là độ dài năm của hành tinh đó (tính bằng số ngày Trái Đất)

(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008)

a) Nếu độ dài của một năm trên Sao Hỏa là 687ngày Trái Đất thì khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là bao nhiêu?

b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời (coi một năm trên Trái Đất có 365

(Kết quả của câu a và câu b tính theo đơn vị triệu dặm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

2 Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P(tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số P d  32, trong

đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (1AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1AU khoảng 93000000 dặm) (Nguồn: R.I Charles et al., Algebra 2, Pearson) Hỏi Sao Hoả quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU

2.2.2 Vận dụng kiến thức của hàm số mũ, hàm số logarit để giải quyết bài toán Hóa học

Bài toán 1 Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ số dùng để đo lượng cồn trong máu của một người Chẳng hạn, BAC 0,02% hay 0,2 mg ml / , nghĩa là có 0,02 g cồn trong 100ml máu Nếu một người với BAC bằng 0,02% có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp

1, 4 lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với

BAC 0,02% là 1, 4 Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô có thể được mô hình hoá bằng một phương trình có dạng

, kx

R e 

trong đó x (%) là nồng độ cồn trong máu và k là một hằng số

a) Nghiên cứu chỉ ra rằng nguy cơ tương đối của một người bị tai nạn với BAC bằng 0,02% là 1, 4 Tìm hằng số k trong phương trình

b) Nguy cơ tương đối là bao nhiêu nếu nồng độ cồn trong máu là 0,17% ?

c) Tìm BAC tương ứng với nguy cơ tương đối là 100

d) Giả sử nếu một người có nguy cơ tương đối từ 5 trở lên sẽ không được phép lái xe, thì một người có nồng độ cồn trong máu từ bao nhiêu trở lên sẽ không được phép lái xe?

Nhận xét

- Vi phạm nồng độ cồn khi lái xe đã và đang là một trong những nguyên nhân cao dẫn đến tai nạn và gây mất an toàn khi tham gia giao thông Việc tính toán nồng độ cồn trong máu là một khía cạnh quan trọng đối với sức khỏe và an toàn khi thưởng thức

đồ uống có cồn, đảm bảo cho việc lái xe an toàn và bảo vệ sự an toàn của mọi người

- Ở phần này GV cho HS tìm hiểu một số câu hỏi liên quan

+ Vì sao phải tính nồng độ cồn theo lượng rượu bia đã sử dụng?

+ Hãy tìm hiểu, phân loại một số chỉ số về nồng độ cồn để đánh giá mức độ tác động của cồn lên sức khỏe?

+ Tìm hiểu công thức tính nồng độ cồn trong máu?

Sau khi HS tìm hiểu các thông tin liên quan và rút ra kết luận cho bản thân, GV tiếp tục đưa ra các câu hỏi định hướng, giúp các em giải quyết bài toán một cách dễ dàng

- Trong phương trìnhR e  kx ,hãy xác định các yếu tố R và x , từ đó rút ra hằng số k?

- Tính nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô nếu nồng độ cồn trong máu là 0,17% ?

- Nếu nguy cơ tương đối là 100 thì nồng độ cồn trong máu là bao nhiêu?

- Tính xem nồng độ cồn trong máu từ bao nhiêu trở lên sẽ không được phép lái xe?

Từ đó giúp HS có lời giải đúng đắn

a) Thay R  1, 4 và x  0,02% vào công thức, ta được: 1,4  ek0,02100

Suy ra k  1682,36

b) R e  1682,360,17100  17,46

c) Thay R100 vào công thức, ta được: 100  e 1682,36 x Suy ra x  0, 27%

d) Với R5 thì x  0,096%, tức là một người có nồng độ cồn trong máu từ khoảng 0,096% trở lên thì không được lái xe

Bài toán 2 Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH   log x, trong

đó x là nồng độ ion H của dung dịch đó tính bằng mol L / Biết rằng độ pH của dung dịch A lớn hơn độ pH của dung dịch B là 0,7 Dung dịch B có nồng độ ion

H  gấp bao nhiêu lần nồng độ ion H của dung dịch A ?

Phân tích bài toán

Từ giả thiết bài toán, ta dễ dàng viết được công thức độ pH của dung dịch A

và dung dịch B Từ đó viết công thức biểu thị mối liên hệ về độpH của hai dung dịch đó và rút ra tỉ số giữa nồng độ ion H của dung dịch B so với nồng độ ion H của dung dịch A

Bài toán tương tự

1 Trong Hoá học, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức

a) Tính độ pH của dung dịch có nồng độ ion hydrogen bằng

b) Xác định nồng độ ion hydrogen của một dung dịch có độ pH bằng 8

c) Khi pH tăng 1 đơn vị thì nồng độ ion hydrogen của dung dịch thay đổi thế nào?

2 Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khỏe và sự phát triển của thuỷ sản Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú

là từ 7, 2 đến 8,8và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8đến 8,5 Phân tích nồng độ

2.2.3 Vận dụng kiến thức của hàm số mũ, hàm số logarit để giải quyết bài toán Sinh học

Ở phần vận dụng kiến thức của hàm số mũ, hàm số logarit vào các bài toán liên môn Sinh học, chủ yếu áp dụng các công thức biến đổi đơn giản hoặc công thức sẵn

có trong mỗi bài tập để tính số lượng vi khuẩn, thời gian vi khuẩn tự nhân đôi, lượng thuốc còn lại trong cơ thể của một bệnh nhân, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh, đơn vị kiến thức mà học sinh đã học được trong một khoảng thời gian nào đó… như các bài toán sau

Bài toán 1 Người ta nuôi cấy vi khuẩn Bacillus subtilis trong nồi lên men và thu được số liệu sau: Lúc ban đầu, số tế bào /1ml dịch nuôi là 2 10  2 Sau 13 giờ, số tế bào/ 1ml dịch nuôi là 3,33 10  9 Biết vi khuẩn Bacillus subtilis sinh trưởng trong điều kiện hoàn toàn tối ưu và sinh sản theo hình thức tự nhân đôi Hỏi sau bao nhiêu phút,

vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

GV hướng dẫn HS tìm mối liên hệ giữa số tế bào/ 1ml dịch nuôi sau 13 giờ và

số tế bào/ 1ml dịch nuôi ban đầu, từ đó rút thời gian cần tìm

Gọi T (phút) là thời gian để vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần Theo giả thiết, ta có:

T

0,001 mol l /

Bài toán 2 Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là 40% mỗi giờ Khi đó số lượng vi khuẩn N t ( ) sau t giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức sau:N t ( ) 500  e 0,4 t Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy,

số lượng vi khuẩn vượt mức 80000 con?

Từ công thức bài toán, ta dễ dàng rút được bất phương trình biểu thị số lượng vi khuẩn, từ đó tính được thời gian số lượng vi khuẩn vượt mức 80000 con như sau:

Số lượng vi khuẩn vượt mức 80000 con khi và chỉ khi

( ) 80000 500 t 80000 t 160 ln160 : 0, 4 12,69

Vậy sau khoảng 12,96 giờ thì số lượng vi khuẩn vượt mức 80000 con

Bài toán 3 Sau khi bệnh nhân uống một liều thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo công thức D t ( )  D a mg0 t ( ), trong đó D0 và a là các hằng số dương, t là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm uống thuốc

nhiệt độ Trái Đất tăng thêm 5 C  thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10% Biết rằng, nếu nhiệt độ Trái Đất tăng thêm t C 0 , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f t ( )% thì ( ) t

f t   k a , trong đó k a , là các hằng số dương Khi nhiệt độ Trái Đất tăng thêm bao nhiêu 0 C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20%?

GV đặt ra cho HS một số câu hỏi định hướng giúp các em tìm được hướng giải quyết

- Hãy nêu biểu thức biểu thị khi nhiệt độ Trái Đất tăng thêm 2 C 0 thì tổng giá trị kinh

tế toàn cầu giảm 3% ?

- Hãy nêu biểu thức biểu thị khi nhiệt độ Trái Đất tăng thêm 5 C  thì tổng giá trị kinh

tế toàn cầu giảm 10%?

- Tìm hằng số a trong biểu thức f t ( )   k a t? Từ đó tính được lượng nhiệt độ Trái Đất tăng thêm

Theo bài ta có

2 5

3%

(1) 10%

Vậy nhiệt độ Trái Đất tăng thêm khoảng 7 0 C

Bài toán 2 Dân số thế giới năm 2020 là khoảng 7,79 tỉ người và tăng với tốc độ khoảng 1,05% mỗi năm (theo danso.org) Giả sử tốc độ tăng này không đổi Khi đó

mô hình P t ( ) 7,79 (1,0105)   t  2020 có thể dùng để ước tính dân số thế giới (theo đơn vị

tỉ người) vào năm t

a) Theo mô hình này, khi nào dân số thế giới đạt 8,5 tỉ người?

b) Theo mô hình này, khi nào dân số thế giới đạt 10 tỉ người?

Nhận xét

Sự gia tăng dân số, tình hình dân số các nước trên thế giới đã và đang nhận được sự quan tâm của các chuyên gia bởi ảnh hưởng của sự gia tăng dân số đến kinh tế-xã hội và môi trường là rất lớn Việc đưa ra các mô hình ước tính dân số vào năm t nào đó, giúp các chuyên gia ước tính được dân số của một quốc gia, từ đó có những chiến lược về dân số, giúp đất nước ngày càng phát triển

Ở bài toán này, GV đưa ra các câu hỏi định hướng giúp các em phát triển được năng lực giải quyết vấn đề trong một số bài toán về dân số

- Nêu biểu thức liên hệ khi dân số thế giới đạt 8,5 tỉ người? Giải phương trình mũ, tìm

t và kết luận bài toán?

- Nêu biểu thức liên hệ khi dân số thế giới đạt 10 tỉ người? Từ đó rút t và kết luận bài toán?

a) Dân số thế giới đạt 8,5 tỉ người khi t thoả mãn phương trình:

1,0105 1,0105

8,5 7,79 (1,0105) 8,5 1,0105

Vậy theo mô hình đã cho thì đến năm 2029 dân số thế giới đạt 8,5 tỉ người

b) Dân số thế giới là 10 tỉ người khi t thoả mãn phương trình:

1,0105 1,0105

10 7,79 (1,0105) 10 (1,0105)

Vậy theo mô hình đã cho thì đến năm 2044 dân số thế giới đạt 10 tỉ người

Bài toán tương tự

1 Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức S  Ae nr ; trong đó

A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm Năm 2017, dân số Việt nam là 93.671.600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất bản Thống kê, Tr 79) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là 0,81%, dự báo dân số Việt nam năm 2035 là bao nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm)?

2 Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ sau:

,

rt

A Pe  trong đó P là dân số của năm lấy làm mốc, A là dân số sau t năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm Biết rằng vào năm 2020, dân số Việt Nam khoảng 97,34 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 0,91% (theo danso.org) Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số Việt Nam vào năm 2050

Bài toán 3 Trong năm 2023, diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 1000ha Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước Kể từ sau năm 2023, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1400ha

GV định hướng cho HS tính diện tích rừng trồng mới của tỉnh A sau 1 năm, sau

2 năm… xây dựng công thức tổng quát: sau n năm thì diện tích rừng trồng mới của tỉnh A Từ đó tính được thời gian mà diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên

Ta có sau n năm thì diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là: 1000 1 0.06  n

Khi đó, 1000 1 0.06  n  1400  1.06 n  1.4   n 5.774

Vì n nên giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là n6

Vậy vào năm 2029 thì diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1400ha

Bài toán tương tự

1 Trong năm 2022, diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 900ha Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 5% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước Tính diện tích rừng trồng mới trong năm 2025?

2 Trong năm 2020, diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 800ha Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước Kể từ sau năm 2020, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh

A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1400ha?

A Năm 2030 B Năm 2028 C Năm 2048 D Năm 2049

2.2.5 Vận dụng kiến thức của hàm số mũ, hàm số logarit để giải quyết bài toán tài chính

Các bài toán về tài chính, kinh tế luôn là bài toán mang tính chất thời sự, ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống Giáo viên cần hướng dẫn học sinh tự xây dựng kiến thức tổng quát liên quan đến các bài toán lãi suất ngân hàng xuất phát từ các bài toán gốc để từ đó học sinh ứng dụng vào một số trường hợp cụ thể

Dạng toán 1 Bài toán lãi kép

Lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ

Công thức lãi kép, gửi một lần: Tn  T 01  rn

r: Lãi suất định kỳ, tính theo %

Bài toán 1: Một người gửi ngân hàng 100 triệu theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,5%

một tháng Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu?

A 46 tháng B 45 tháng C 44 tháng D 47 tháng Phân tích bài toán: Đây là bài toán đặc trưng về lãi kép, GV hướng dẫn HS xây dựng công thức số tiền sau 1 tháng, sau 2 tháng, từ đó suy ra số tiền sau n tháng và rút được n

Sau 1 tháng, người đó nhận được 100 100.0,5%  (triệu đồng) 100.(1,005) 1 triệu đồng

Sau 2 tháng, người đó nhận được:

100.1,005 100.1,005.0,005 100.1,005 1 0,005     100 1,005 triệu đồng

Sau n tháng, người đó nhận được: 100 1,005 n triệu đồng

Theo đề: 100 1,005 n  125   n log 1,005 1,25 44,7  tháng

Vậy sau 45 tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu đồng

Hướng phát triển: Ngoài cách hỏi về số tiền nhận được, chúng ta có thể hỏi về số tiền lãi nhận được, hỏi về thời gian, lãi suất thay đổi theo từng giai đoạn… như các bài toán sau