Skkn cấp tỉnh sử dụng phƣơng pháp tƣơng giao của hai Đồ thị hàm số Để tìm cực trị hàm số

Trong quá trình tìm tòi lời giải cho các bài toán cực trị mức độ vận dụng cao, chúng tôi nhận thấy nếu dùng chỉ dùng kiến thức đại số gặp nhiều khó khăn, nhưng kết hợp với tương giao của

NỘI DUNG

CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN

Trong sách giáo khoa Giải tích 12, Chương I, Bài 2, khái niệm về cực trị của hàm số được trình bày rõ ràng với thuật toán tìm cực trị và tính giá trị cực trị Tuy nhiên, phần liên quan đến cực trị chứa tham số rất hạn chế và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối gần như không được đề cập Qua các kì thi THPT hàng năm, chúng tôi nhận thấy học sinh vẫn còn lúng túng khi giải các bài toán về cực trị của hàm số, phần lớn chưa có định hướng rõ ràng cho lời giải Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến tình trạng này cần được xem xét kỹ lưỡng.

Chưa có ví dụ mẫu và việc tuân theo quy tắc trong sách giáo khoa đã gây ra nhiều khó khăn Điều này dẫn đến việc chưa nắm bắt được bản chất và lập luận của vấn đề cực trị.

Để tìm số điểm cực trị của hàm số, trước tiên cần chuyển đổi yêu cầu tìm kiếm thành một dạng dễ thực hiện hơn Quá trình tìm lời giải cho bài toán cực trị bao gồm một số bước tư duy quan trọng.

+ ác định đƣợc yêu cầu câu hỏi: tìm số điểm cực trị, cực đại hay cực tiểu

+ Tìm mối liên hệ giữa cực trị hàm số với tương giao của đồ thị với trục hoành

2 Thực trạng của vấn đề

Sau nhiều năm giảng dạy chương trình lớp 12 và qua những cuộc trao đổi với đồng nghiệp trong tổ bộ môn, chúng tôi đã thu được những kết quả đáng chú ý về việc hướng dẫn học sinh phát huy tính tích cực và sáng tạo thông qua các bài toán cực trị.

Thông qua trao đổi với 9 giáo viên về việc hướng dẫn học sinh phát huy tính tích cực qua bài toán cực trị chúng tôi thu đƣợc kết quả:

+ Bảng mức độ hướng dẫn học sinh phát huy tính tích cực, sáng tạo qua bài toán cực trị

Mức độ đề cập/ hướng dẫn Số lượng Tỷ lệ (%)

Khảo sát vấn đề này ở 50 học sinh bằng phiếu điều tra Kết quả chúng tôi thu đƣợc nhƣ sau:

+ Bảng mức độ tự học môn toán phần cực trị của học sinh

Mức độ vận dụng Số lƣợng Tỷ lệ (%)

Dữ liệu cho thấy rằng trong quá trình giảng dạy về cực trị, hầu hết giáo viên chỉ tập trung vào việc tìm cực trị của các hàm số đơn giản, trong khi rất ít giáo viên đi sâu vào các hàm số bậc 3 và 4 Hơn nữa, học sinh cũng thể hiện mức độ tự học về phần cực trị trong môn toán rất hạn chế Điều này ảnh hưởng đến sự thu hút sự chú ý và khả năng tiếp thu bài học của học sinh trước khi tiếp cận chủ đề này.

Qua quan sát thái độ học tập và khả năng nhạy bén của học sinh trước các vấn đề do giáo viên đưa ra, chúng tôi nhận thấy rằng khi chưa được hướng dẫn cách giải bài toán cực trị thông qua tương giao của hai đồ thị hàm số, học sinh thường xác định vấn đề chậm, ít phát biểu và giờ học trở nên trầm lắng, dẫn đến chất lượng câu trả lời chưa được tốt.

Kết quả khảo sát nội dung này bằng phiếu điều tra ở 80 học sinh thuộc 2 lớp 12A1, 12A2 nhƣ sau:

+ Bảng mức độ hứng thú của học sinh trước khi giáo viên hướng dẫn học sinh phát huy tính tích cực, sáng tạo qua bài toán cực trị

Biểu hiện Số lƣợng Tỷ lệ (%)

Kết quả từ bảng khảo sát giữa hai nhóm đối chứng và thực nghiệm cho thấy mức độ hứng thú trong học tập của học sinh còn rất thấp Hầu hết các em cảm thấy bình thường, thậm chí có nhiều học sinh không hứng thú với việc học và giải quyết loại bài tập này Việc chuyển đổi bài toán tìm số điểm cực trị sang bài toán tìm số điểm tương giao chưa tạo ra sự hứng thú cho học sinh.

Dựa trên khảo sát thực trạng và các lý do đã nêu, việc nghiên cứu đề tài “Sử dụng phương pháp tương giao của hai đồ thị hàm số để tìm cực trị hàm số” là rất cần thiết.

2.2 Cơ sở lí thuyết giải quyết thực trạng a) Định nghĩa cực trị hàm số

Cho hàm số y  f x   liên tục trên khoảng   a b ; và điểm x 0    a b ;

Nếu tồn tại h  0 sao cho f x    f x   0 với mọi x   x 0  h x ; 0  h  và x  x 0 thì ta nói hàm số f x   đạt cực đại tại điểm x 0

Nếu tồn tại h  0 sao cho f x    f x   0 với mọi x   x 0  h x ; 0  h  và x  x 0 thì ta nói hàm số f x   đạt cực tiểu tại điểm x 0 b) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị ĐỊNH LÍ 1

Hàm số y = f(x) được coi là liên tục trên khoảng K = (x₀ - h, x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc K \ {x₀}, với h > 0 Nếu f'(x) < 0 trong khoảng (x₀ - h, x₀) và f'(x) > 0 trong khoảng (x₀, x₀ + h), thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f(x) Ngược lại, nếu f'(x) > 0 trong khoảng (x₀ - h, x₀) và f'(x) < 0 trong khoảng (x₀, x₀ + h), thì x₀ là điểm cực đại của hàm số f(x).

Hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x0 - h, x0 + h) với h > 0 Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) > 0, thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) Ngược lại, nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0, thì x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) Mối quan hệ giữa dấu của biểu thức đạo hàm và cực trị của hàm số là rất quan trọng trong việc xác định tính chất của hàm số.

Nếu đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x₀, thì dấu của biểu thức f(x) sẽ thay đổi khi đi qua x₀ Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu tồn tại một giá trị δ > 0, sao cho đồ thị của hàm f(x) nằm ở phía trên trục Ox trong khoảng (x₀ - δ; x₀) và ở phía dưới trục Ox trong khoảng (x₀; x₀ + δ).

Nếu đồ thị của hàm số f(x) cắt đường thẳng y = a tại điểm có hoành độ x₀, thì dấu của biểu thức f(x) - a sẽ thay đổi khi đi qua x₀ Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu tồn tại một giá trị δ > 0, sao cho đồ thị hàm f(x) trên khoảng (x₀ - δ, x₀) nằm ở phía dưới đường thẳng y = a, trong khi đồ thị f(x) trên khoảng (x₀, x₀ + δ) nằm ở phía trên đường thẳng y = a.

Cho hàm số y  f x   có tập xác định trên D và đạo hàm là f '   x liên tục trên

D Nếu đồ thị hàm f '   x cắt trục hoành tại n điểm, trong đó có m điểm làm cho dấu của biểu thức f '   x đổi thì hàm f x   có m điểm cực trị Ngƣợc lại nếu hàm

  f x có m điểm cực trị thì biểu thức f '   x đổi dấu tại m điểm d) Quy tắc tìm cực trị của hàm số

+ Tìm tập xác định của hàm số

+ Tìm f '   x Tìm các điểm tại đó f '   x bằng 0 hoặc f '   x không xác định + Lập bảng biến thiên y  f x  

+ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

+ Tìm tập xác định của hàm số

+ Tìm f '   x và bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm f '   x

+ ác định số điểm biểu thức f '   x đổi dấu

+ Kết luận số điểm cực trị bằng số điểm đổi dấu của f '   x

 Nếu hàm số có dạng y  f x   thì số điểm cực trị được tìm như sau:

B1 Tìm tập xác định của hàm số

B3 Tìm số điểm đổi dấu của f '   x và f x   Gọi số đó lần lƣợt là m và n B4 Kết luận số điểm cực trị của hàm f x   là m + n

 Nếu hàm số có dạng y  f  ax  b  , a  0 thì số điểm cực trị được tìm như sau:

B1 Tìm tập xác định D của hàm số

B2 Đặt t  ax  b có miền giá trị là K Số điểm cực trị của y  f  ax  b  bằng số điểm cực trị hàm y  f t   trên tập K

B3 Tìm số điểm cực trị của hàm số f t   trên khoảng  0;    K Giả sử số điểm cực trị tìm đƣợc là n.

+ Nếu t   0 K thì số điểm cực trị của f t   là 2 n  1

+ Nếu t   0 K thì số điểm cực trị của f t   là 2n

Vì t  ax  b là hàm bậc nhất nên số điểm cực trị của f t   cũng là số điểm cực trị của y  f  ax  b 

Do đó số điểm cực trị của hàm y  f  ax  b  bằng số điểm cực trị của

CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Chúng tôi sẽ cung cấp định hướng và lời giải cho từng bài toán, đồng thời phân tích và đánh giá các dấu hiệu để làm rõ nội dung của đề tài sau mỗi dạng.

1 Tìm số điểm cực trị hàm số thường gặp trong các đề thi

1.1 Một số bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f u x    

Bài 1 ( Đề thi THPT QG Mã 104 – 2019) Cho hàm đa thức f x   có bảng biến thiên của hàm số f    x nhƣ sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  4 x 2  4 x 

+ Do số điểm cực trị của hàm số y  f  4 x 2  4 x  bằng số điểm đổi dấu của

 f 4 x 2  4 x   nên ta sẽ xác định số giao điểm của đồ thị hàm y   f  4 x 2  4 x    với trục hoành mà dấu của  f  4 x 2  4 x    đổi khi đi qua hoành độ các điểm đó

Từ bảng biến thiên đã cho

Suy ra số giao điểm đồ thị của f    x với trục hoành là 4

Dấu của f    x lần lƣợt đổi khi đi qua hoành độ của 4 điểm ấy

Gọi hoành độ các điểm đó là a a a a 1 , 2 , 3 , 4 với a 1    1 a 2   0 a 3   1 a 4

Khi đó biểu thức f   4 x 2  4 x  đổi dấu thì chỉ đổi dấu tại các nghiệm của phương trình sau đây:

 Đặt g x    4 x 2  4 x , bảng biến thiên của g x   hình bên ta có:

Từ bảng biến thiên ta có:

+ Số giao điểm của đồ thị g x   với đường thẳng y  a 1 bằng 0;

+ Số giao điểm của đồ thị g x   với đường thẳng y  a 2 bằng 2 và dấu của biểu thức g x    a 2 lần lƣợt đổi khi đi qua hoành độ của mỗi điểm đó;

Suy ra số điểm làm cho dấu của biểu thức  f  4 x 2  4 x    đổi là:

Vậy hàm số y  f  4 x 2  4 x  có 7 điểm cực trị

Nhìn vào bảng biến thiên, dễ dàng xác định được ngay số điểm giao điểm của đường thẳng y  a với đồ thị g x   Số điểm làm cho dấu của biểu thức

 4 2 4  f  x  x đổi khi đi qua hoành độ giao điểm của mỗi điểm đó theo quy tắc đã được trình bày ở phần 3c

Để xác định số nghiệm của mỗi phương trình bậc hai mà không sử dụng tương giao, cần phân tích dấu của biểu thức f'(4x² + 4x) khi qua các nghiệm, tuy nhiên, quy trình này có thể trở nên phức tạp.

Bài 2 ( Đề thi thử trường Đặng Thúc Hứa - Nghệ An

– 2020) Cho hàm số bậc ba y  f x   có đồ thị đƣợc cho nhƣ hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số

HƯỚNG DẪN: Để tìm số điểm cực trị, ta sẽ xác định: số nghiệm của phương trình

 f f 2 x  1    0 làm cho dấu của  f  f 2   x  1    đổi khi đi qua mỗi điểm đó

LỜI GIẢI ét phương trình  f  f 2   x  1     0  2 f      x f x f   f 2   x   1  0 (1)

Từ đồ thị f x   đã cho nhƣ hình trên, ta có khẳng định sau:

 f    x  0 có 2 nghiệm và dấu của f    x đổi khi đi mỗi nghiệm đó;

 Số giao điểm của đồ thị f x   với trục hoành là 2 nhƣng chỉ có 1 điểm làm biểu thức f x   đổi dấu khi đi qua hoành độ của điểm đó;

 Số giao điểm của đồ thị f x   với đường thẳng y   1 bằng 3 và dấu của biểu thức f x   lần lƣợt đổi khi đi qua hoành độ của mỗi điểm đó;

 Số giao điểm của đồ thị f x   với đường thẳng y  1 bằng 1 và dấu của biểu thức f x    1 đổi khi đi qua hoành độ của điểm đó

Nhƣ vậy số điểm đổi dấu của  f  f 2   x  1    là: 2 1 3 1     7

Vậy hàm g x   có 7 điểm cực trị

Khi phân tích đồ thị, có thể xác định số giao điểm của đường thẳng y = a với đồ thị f(x) Mỗi giao điểm này sẽ làm thay đổi dấu của f(f²(x) + 1)'.

Bài 3 ( Đề thi thử Sở Bắc Ninh – 2020)

Cho hàm số y f x( ) bậc bốn có đồ thị nhƣ hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số

  đổi khi đi qua hoành độ các điểm đó là nghiệm của phương trình nào?

LỜI GIẢI ét phương trình

Từ đồ thị f x   đã cho nhƣ hình trên ta có khẳng định sau:

Phương trình (1) tương đương với

Suy ra số giao điểm của đồ thị u x ( ) với trục hoành là 1 Nhƣng dấu của u x ( ) không đổi khi đi qua hoành độ của điểm đó.

Từ bảng biến thiên ta có

 Số giao điểm của đồ thị v x   với đường thẳng y   2 là 1 và dấu của biểu thức

  2 v x  đổi khi đi qua hoành độ của điểm đó;

 Số giao điểm của đồ thị v x   với đường thẳng y  1 là 1 và dấu của biểu thức

  1 v x  đổi khi đi qua hoành độ của điểm đó.;

 Số giao điểm của đồ thị v x   với đường thẳng y  4 là 1 và dấu của biểu thức

  4 v x  đổi khi đi qua hoành độ của điểm đó

Vậy số điểm đổi dấu của

Hàm số g(x) có ba điểm cực trị, và để xác định số giao điểm cũng như điểm làm cho biểu thức đổi dấu, cần xem xét sự tương giao của hai đồ thị hàm số Nếu chưa có đồ thị hoặc bảng biến thiên liên quan, chúng ta sẽ lập bảng biến thiên như đã trình bày trong bài 3.

1.2 Một số bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f u x   

Bài 4 Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có bảng biến thiên nhƣ sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f x   là

B1 Tìm n số điểm cực trị hàm f x   ;

B2 Tìm m số điểm đổi dấu của f x   ;

B3 Kết luận số điểm cực trị của hàm số đã cho là m + n

Từ bảng biến thiên f x   đã cho, suy ra

+ Hàm số y  f x   có 3 điểm cực trị

+ Số giao điểm của đồ thị f x   với trục hoành là 2, đồng thời dấu của f x   đổi khi đi qua hoành độ của mỗi điểm đó

Vậy y  f x   có 5 điểm cực trị

Dựa vào đồ thị, ta có thể xác định số giao điểm của đường thẳng y = a với đồ thị f(x), từ đó cũng xác định được số điểm làm thay đổi dấu của biểu thức f(x) - a.

Nếu thay bằng hàm hợp thì khai thác tương giao của hai đồ thị như thế nào?

Bài 5 Cho hàm số bậc bốn y  f x   có đồ thị nhƣ hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số

+ Tìm số điểm cực trị hàm f  2 x 3  3 x 2  1  ;

+ Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  2 x 3  3 x 2  1  với trục hoành mà dấu của f  2 x 3  3 x 2  1  khi đi qua hoành độ điểm đó

LỜI GIẢI ét phương trình

Với đồ thị hàm số y  f x   đã cho ở trên ta có khẳng định sau

 Dấu của biểu thức f    x đổi khi đi qua lần lƣợt các điểm có hoành độ

, , 2 x  a x  b x  với      1 a 0 b 1 Do đó dấu của biểu thức f ' 2  x 3  3 x 2  1  nếu đổi chỉ đổi tại các điểm là nghiệm phương trình:

 Hoành độ giao điểm của đồ thị f x   với trục hoành là x   1, x  0, x  2 Nhƣng chỉ có 2 điểm làm cho dấu của f x   đổi là x   1, x  0 Nên dấu của

 2 3 3 2 1  f x  x  đổi thì chỉ đổi tại các điểm là nghiệm phương trình

Dựa vào tương giao đồ thị, suy ra:

 Số giao điểm của đồ thị u x   với đường thẳng y  a và làm cho dấu u x    a đổi khi đi qua hoành độ điểm đó là 3;

 Số giao điểm của đồ thị u x   với đường thẳng y2 và làm cho dấu u x    2 đổi khi đi qua hoành độ điểm đó là 1;

 Số giao điểm của đồ thị u x   với đường thẳng y1 và làm cho dấu u x    1 đổi khi đi qua hoành độ điểm đó là 1;

Đồ thị của hàm số \( u(x) \) có 9 điểm cực trị, tương ứng với 9 giao điểm với trục hoành, và dấu của \( u(x) \) thay đổi khi đi qua các điểm này.

Bài 5 cho thấy việc tìm số điểm cực trị của hàm hợp có thể thông qua sự tương giao giữa hai đồ thị, giúp quá trình xác định trở nên dễ dàng hơn Điều này giúp học sinh cảm nhận được phương pháp giải đơn giản nhưng hiệu quả.

Bài 6 Cho hàm số đa thức y  f x   có đạo hàm là f     x  x  1  x  1   2 x  3  3 và

  3 0 f  Số điểm cực trị của hàm số y  f x  3  2 x 2  5 x  3  là

Từ công thức f    x suy ra bảng biến thiên hàm f x   nhƣ hình vẽ sau

Với bảng biến thiên trên, suy ra

+ Phương trình f x  3  2 x 2  5 x   3  0   x 3 2 x 2    5 x 3 a , với a   1 do f   3  0 Đặt t x     x 3 2 x 2  5 x  3 hàm bậc ba

Ta có t x '    3 x 2  4 x   5 0 với mọi x  nên t x   đồng biến trên

 Số giao điểm của đồ thị t x   với đường thẳng y 1 làm cho dấu của t x    1 đổi đi qua hoành độ điểm đó là 1;

 Số giao điểm của đồ thị t x   với đường thẳng y  3 làm cho dấu của t x    3 đổi đi qua hoành độ điểm đó là 1;

 Số giao điểm của đồ thị t x   với đường thẳng y  a làm cho dấu của t x    a đổi đi qua hoành độ điểm đó là 1

Vậy hàm số y  f x  3  2 x 2  5 x  3  có 3 điểm cực trị

Bài 7 (TN THPT Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x   có f   0  0 Biết y  f    x là hàm số bậc bốn và có đồ thị nhƣ hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số g x    f x   4  x 2

+ Tìm số điểm cực trị hàm y  f x   4  x 2 ;

+ Tìm số điểm làm cho dấu của f x   4  x 2 khi đi qua hoành độ điểm đó

LỜI GIẢI Đặt h x    f x   4  x 2 ta có

Trên cùng một hệ tọa độ: đồ thị hàm số y  f t    và 1

Dựa vào đồ thị, (2) có đúng 1 nghiệm t   a 0 làm cho dấu của   1

Với t     a x 4 a , kéo theo h x   có 3 điểm cực trị và bảng biến thiên của h x  

Từ bảng biến thiên trên suy ra: số giao điểm của đồ thị y  h x   với trục hoành mà dấu của h x   đổi là 2 Vậy hàm số g x   có 5 điểm cực trị

Thông qua hệ thống bài tập không chứa tham số, có thể xác định số điểm cực trị của hàm số từ sự giao nhau của hai đồ thị hàm số Một số bài toán liên quan đến việc tìm số điểm cực trị của hàm số y = f(ax + b) cũng được đề cập.

Bài 8 Cho hàm đa thức y  f x   bậc 8 có đồ thị như hình vẽ dưới đây Hàm số

         có bao nhiêu điểm cực trị?

Số điểm cực trị của hàm số 2 6

  bằng số điểm cực trị 2 6 f 2 x

 , với x   0;     a   0;3 đồng thời tỉ lệ giữa x và a là 1:1

Từ phương trình (1) và (2) ta có:    

Với đồ thị f x   đã cho ở trên

+ Số điểm đổi dấu của f '   a trên khoảng   0;3 là 2;

+ Số giao điểm của đồ thị f a   với trục hoành trên khoảng   0;3 làm cho dấu

  f a đổi khi đi qua hoành độ điểm đó là 1

      có 3 điểm cực trị trên  0; 

Do hàm số g x   xác định mọi giá trị x  nên g x   có 7 điểm cực trị

Việc khai thác tương giao trong các bài toán tìm số điểm cực trị là rất quan trọng, giúp giải quyết khó khăn trong việc xác định số nghiệm của phương trình và kiểm tra sự thay đổi dấu tại từng điểm cực trị.

Bài 9 Cho hàm đa thức bậc năm y  f x   có đồ thị

  y  f  x như hình vẽ dưới đây Hỏi hàm số

   2 3 1 2  g x  f x  x   x có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

Do x 2  3 x   1 2 x   x 1 2  3 x   1 1 nên số điểm cực trị hàm số đã cho bằng số điểm cực trị hàm số nào? Đó là hàm f  x 2  3 x  1 

Với đồ thị y  f    x đã cho ở trên

Suy ra trên khoảng  0;  , hoành độ giao điểm của đồ thị f   x 2  3 x  1  với trục hoành làm cho dấu của f   x 2  3 x  1  đổi là nghiệm phương trình: x 2    3x 1 b 0 với b  2

Vì phương trình x 2    3x 1 b 0 có 2 nghiệm phân biệt với mọi b  2 nên dấu của

 2 3 1  f  x  x  đổi khi đi qua các nghiệm của phương trình x 2    3x 1 b 0

Nhƣ vậy h x    f x  2  3 x  1  có 3 điểm cực trị trên  0; 

Mà hàm số g x   xác định trên nên g x   có 7 điểm cực trị

Giả sử x x 1 ; 2 ; ; x 7 là các điểm cực trị với giả thiết x 1  x 2  x 3   x 7

Vì x lim  g x '    x lim    f x  2  3  x   1  2 x      x lim 2   x  5 lim  x  f   x 2  5 x    3  nên dấu của g '   x đƣợc mô tả nhƣ sau:

Vậy hàm số g x   có 4 điểm cực tiểu

Khai thác tương giao của hai đồ thị hàm số tại các điểm làm dấu của biểu thức giúp giải quyết bài toán số điểm cực trị một cách dễ dàng, từ đó nâng cao điểm số cho thí sinh trong các kỳ thi.

Khâu nhận biết và phân tích đưa về dạng quen thuộc là vô cùng quan trọng, sau đây là một bài toán minh họa

Bài 10 Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y  f    x là parabol nhƣ hình bên dưới Hàm số g x    f  2 x   1  3 x 2  3 x có bao nhiêu cực trị?

Hàm số đã cho viết lại  2 1  3 2 1 2 3

Số điểm cực trị của hàm số g x   bằng số điểm cực trị hàm số   3 2 3

Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của 2 đồ thị hàm y  f '   x và

Hàm số y = f'(x) là hàm bậc hai, do đó, số giao điểm của hai đồ thị không vượt quá 2 Trong khoảng (0; +∞), số giao điểm của hai đồ thị sẽ làm thay đổi dấu của y = f'(x) khi đi qua hoành độ tại mỗi giao điểm.

Do hàm đã cho xác định trên nên số điểm cực trị của g x   là 5

2 Tìm tham số theo cực trị của hàm số

2.1) Cực trị của hàm số y  f x m  ; 

+ Tìm tập xác định và tính y x '  

+ Tìm tham số để phương trình y x '    0 có n nghiệm làm cho dấu của y x '   đổi khi đi qua nghiệm đó

Bài 11 Cho hàm số f x   có đạo hàm trên là f    x  x 2  x  4  x 2  2 mx  9  Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có đúng 1 điểm cực trị trên khoảng   2;5  ? ĐỊNH HƯỚNG

+ Cần xác định m để dấu của f '   x đổi tại đúng 1 điểm khoảng   2;5 

Do x 2  0 nên nghiệm của phương trình f    x  0 làm cho dấu của f    x đổi khi đi qua nghiệm đó thuộc phương trình:

(do x  0 không là nghiệm) Đặt   2 9

Bảng biến thiên của g x   trên khoảng   2; 4 

Hàm số f x   có đúng 1 điểm cực trị trên khoảng   2;5  khi chỉ khi

TH1 Dấu của g x    m không đổi trên khoảng   2;5  Điều này xảy ra khi

TH2 Dấu của g x    m đổi tại 2 điểm trên khoảng   2;5  trong đó có 1 điểm x  4 Điều này xảy ra khi 25 m   8

Vậy yêu cầu bài toán đạt đƣợc khi 3 13 m 4

Bài 12 ( Thi thử Hưng Yên 2020) Cho hàm số g x    2 x 3  3  m  1  x 2  6  m  3  x  1 ( m là tham số) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị thuộc khoảng   2;3  ĐỊNH HƯỚNG

+ Cần xác định m để dấu của g '   x đổi tại đúng 2 điểm khoảng   2;3 

(do x   1 không là nghiệm) Đặt   2 3

Để hàm số f(x) có hai điểm cực trị trong khoảng (-2; 3), đường thẳng y = m cần cắt đồ thị của f(x) tại hai điểm chính xác và làm cho dấu của g'(x) thay đổi khi đi qua hoành độ của mỗi giao điểm.

Yêu cầu bài toán đạt đƣợc khi 4 3 m 3  0;1; 2  m m

Vậy có 3 giá trị nguyên

2.2) Cực trị của hàm số y  f  ax  b m ; 

Bài 13 ( Thi thử Kinh Môn - 2018) Cho hàm số f x ( )  x 3   2 m  1  x 2    2 m x   2

(m tham số) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  f   x có đúng 5 điểm cực trị trong khoảng   3; 4  ĐỊNH HƯỚNG

Hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x₀ cũng sẽ đạt cực trị tại điểm -x₀ Hàm số này xác định trên khoảng (-3; 4), do đó nó có đúng 5 điểm cực trị trong khoảng này, chỉ khi f(x) có đúng 2 điểm cực trị thuộc khoảng (0; 3).

Hàm số f   x có 5 điểm cực trị khi chi khi phương trình f '   x  0 có 2 nghiệm thuộc khoảng   0;3 làm cho dấu f '   x đổi khi đi qua nghiệm đó

THỰC NGHIỆM VÀ TÍNH KHẢ THI

Tiến hành thực nhiệm

1 Tiến trình thực nghiệm Đề tài đƣợc thực hiện và áp dụng tại các lớp 12A1, 12A2, do cô giáo Nguyễn Thị Ngọc Duyên và một giáo viên khác trong tổ giảng dạy, lớp đối chứng là 12A3 và 12A4

Chúng tôi tiến hành khảo sát thực nghiệm nhƣ sau:

Chúng tôi thường xuyên áp dụng các kỹ thuật dạy học vào quá trình giảng dạy, đồng thời ghi chép sự thay đổi của các nhóm trong lớp 12A1 và 12A2.

+ R n luyện kỹ năng làm việc theo nhóm dưới sự chỉ đạo của nhóm

Trong quá trình thực nghiệm tại lớp 12A1 và 12A2, chúng tôi đã theo dõi khả năng phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh qua từng bài toán Nghiên cứu cũng tập trung vào năng lực tư duy và khả năng giải quyết vấn đề của các nhóm học sinh ở ba giai đoạn: đầu, giữa và cuối quá trình thực nghiệm khi áp dụng các đề xuất của tác giả.

Để đánh giá sự thay đổi trong năng lực tư duy và tính sáng tạo của học sinh, chúng tôi đã chọn 4 học sinh làm nhóm trưởng trong mỗi lớp Trong suốt quá trình thực nghiệm, chúng tôi theo dõi khả năng tư duy, sự tích cực sáng tạo và hành vi của các học sinh này khi giải quyết vấn đề, tham gia hoạt động nhóm và ghi nhận các biểu hiện về thái độ của họ.

+ Tiến hành làm bài kiểm tra đánh giá cho 2 lớp sau khi triển khai học tập nội dung của đề tài

2 Kết quả thực nghiệm a) Sau khi được giáo viên hướng dẫn sử dụng tương giao để tìm cực trị của hàm số, học sinh đã hình thành cơ bản những phẩm chất kỹ năng phù hợp:

- Các năng lực học sinh đƣợc hình thành và phát triển

Năng lực tự học phần cực trị của hàm số giúp học sinh tự nghiên cứu tài liệu và giải quyết bài tập trong các đề thi một cách chủ động Kỹ năng xử lý số liệu và đọc hiểu các thông tin trên đồ thị được cải thiện, từ đó củng cố các tính chất về tính biến thiên và các bài toán tương giao quen thuộc.

Học sinh thể hiện năng lực tư duy, sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề một cách triệt để, giúp họ hoàn thành mọi nhiệm vụ mà giáo viên giao phó Các em không chỉ giải quyết các vấn đề một cách hiệu quả mà còn sáng tạo trong cách học và trình bày Với những nhiệm vụ đã hoàn thành tốt, học sinh xử lý tình huống một cách ngắn gọn và chính xác.

Năng lực ngôn ngữ được phát triển thông qua việc học sinh thuyết trình, trao đổi và phản biện trước lớp Qua đó, học sinh tự tin trình bày và thảo luận về các vấn đề liên quan đến bài toán cực trị và các ứng dụng của tương giao đồ thị Sự tham gia này không chỉ giúp nâng cao khả năng giao tiếp mà còn cho phép lớp trưởng và nhóm trưởng điều hành nội dung chương trình theo sự hướng dẫn của giáo viên.

Năng lực hợp tác nhóm là yếu tố quan trọng giúp các thành viên cùng nhau hoàn thành nhiệm vụ học tập Mỗi thành viên sẽ được phân công nhiệm vụ bởi nhóm trưởng, và để đạt được yêu cầu từ giáo viên, tất cả cần phải hợp tác chặt chẽ Việc lắng nghe ý kiến của nhau sẽ giúp nhóm đi đến sự thống nhất và giải quyết vấn đề hiệu quả.

Mức độ thu hút sự chú ý của học sinh và khả năng tiếp thu bài học khi tự học được nâng cao khi giáo viên hướng dẫn học sinh phát huy tính tích cực và sáng tạo thông qua việc giải quyết các bài toán cực trị Việc này không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy logic mà còn kích thích sự hứng thú trong việc học tập, từ đó cải thiện hiệu quả học tập và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tiễn.

Theo dõi thái độ học tập của học sinh cho thấy các em rất hăng say phát biểu và tham gia tích cực trong giờ học Mức độ nhạy bén của các em trước các vấn đề do giáo viên đặt ra, đặc biệt là trong việc giải bài toán cực trị thông qua tương giao của hai đồ thị hàm số, đã tạo nên không khí lớp học sôi nổi và chất lượng câu trả lời khá tốt.

Kết quả khảo sát nội dung này bằng phiếu điều tra ở 80 học sinh thuộc 2 lớp 12A1, 12A2 sau thực nghiệm nhƣ sau:

+ Bảng mức độ hứng thú của học sinh khi giáo viên hướng dẫn học sinh phát huy tính tích cực, sáng tạo qua bài toán cực trị

Biểu hiện Số lƣợng Tỷ lệ (%)

Biểu đồ biểu thị mức độ hứng thú của học sinh

Mức độ hứng thú của học sinh

Rất hứng thú Hứng thú Bình thường Không hứng thú

Việc giáo viên hướng dẫn học sinh chuyển từ bài toán tìm số điểm cực trị sang bài toán tìm số điểm tương giao đã tạo ra sự hứng thú cho học sinh và giảm bớt hoạt động của giáo viên trong quá trình giảng dạy.

- Tác dụng trong dạy học tìm cực trị bằng phương pháp phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh

So sánh hiệu quả dạy học sinh tìm số điểm cực trị của hàm số hợp và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cho thấy rằng việc giải theo quy tắc trong sách giáo khoa thường khó khăn hơn Thay vào đó, khi khai thác tương giao của hai đồ thị hàm số, tiết học trở nên nhẹ nhàng hơn, học sinh tích cực tham gia vào việc tìm kiếm tri thức để giải quyết vấn đề Nhờ đó, học sinh hiểu bài nhanh hơn, giáo viên giảm bớt công việc, và học sinh có nhiều cơ hội hoạt động hơn.

Cụ thể, sử dụng phiếu điều tra ở nội dung này ở 80 học sinh thuộc 2 lớp 12A1, 12A2, chúng tôi thu đƣợc kết quả nhƣ sau:

Việc áp dụng phương pháp phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh trong bài toán tìm cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học mà còn phát triển kỹ năng tư duy phản biện Phương pháp này khuyến khích học sinh khám phá và tìm ra nhiều cách giải khác nhau, từ đó nâng cao khả năng giải quyết vấn đề Hơn nữa, việc vận dụng phương pháp này còn tạo ra môi trường học tập tích cực, giúp học sinh tự tin hơn trong việc trình bày và bảo vệ ý tưởng của mình.

Tác dụng Số lƣợng Tỷ lệ (%)

Tích cực, chủ động, sáng tạo 49 61,3

Giải quyết đƣợc các tình huống 55 68,8

Dễ hiểu, dễ nắm bài, nhớ lâu 58 72,5

Không có tác dụng lắm 11 13,8

Không có tác dụng gì 6 7,5

Việc áp dụng phương pháp tương giao đồ thị trong việc tìm cực trị của hàm số không chỉ mang lại hiệu quả rõ rệt trong việc phát triển tư duy và năng lực tự học của học sinh, mà còn nâng cao khả năng ngôn ngữ, khả năng làm việc nhóm và khuyến khích tính sáng tạo Đánh giá năng lực học của học sinh sau thực nghiệm cho thấy những cải thiện tích cực trong các kỹ năng này.

- Kết quả đƣợc thống kê theo bảng sau:

Lớp Tốt Khá Đạt Chƣa đạt

Khảo sát tính cấp thiết và khả thi của đề tài

Để chứng minh tính cần thiết và khả thi của phương pháp tương giao giữa hai đồ thị hàm số trong việc tìm cực trị hàm số, chúng tôi đã tiến hành khảo sát ý kiến giáo viên môn Toán thông qua phiếu thăm dò.

Tốt Khá Đạt Chưa đạt

Biểu đồ so sánh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng

Kết quả thăm dò từ học sinh lớp 12A1 và 12A2 tại trường THPT Nghi Lộc 5 cho thấy sự đồng thuận cao và nhận được nhiều ý kiến đóng góp giá trị về tính khả thi của các biện pháp giảng dạy Những ý kiến này đã tạo động lực cho chúng tôi trong việc thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, với hy vọng đạt hiệu quả mong muốn khi áp dụng các kỹ thuật dạy học tích cực trong môn Toán tại các trường THPT Nghi Lộc 5 trong giai đoạn hiện nay.

2 Nội dung và phương pháp khảo sát

Về nội dung khảo sát, tôi tập trung vào 2 vấn đề chính nhƣ sau:

- Các giải pháp đƣợc đề xuất có thực sự cần thiết đối với vấn đề nghiên cứu

- Các giải pháp đƣợc đề xuất có khả thi đối với vấn đề nghiên cứu không

2.2 Phương pháp khảo sát và thang đánh giá

Phương pháp được sử dụng để khảo sát là trao đổi bằng bảng hỏi, với thang đánh giá 04 mức với cách cho điểm nhƣ sau:

Sau đó chúng tôi tính điểm trung bình cho mỗi nội dung khảo sát theo phần mềm excel

Quy ước thang đo được thiết lập nhằm hỗ trợ việc đánh giá và phân tích dữ liệu một cách khoa học và hợp lý Thông tin thu thập từ khảo sát được quy ước dựa trên giá trị trung bình trên thang đo, với giá trị khoảng cách được tính bằng công thức (điểm tối đa - điểm tối thiểu)/n = (4-1)/4 = 0.75 Dưới đây là bảng thể hiện ý nghĩa của các mức tương ứng.

Quy ƣớc xử lí thông tin phiếu khảo sát: Điểm quy ƣớc 1 2 3 4

Mức độ cần thiết được phân loại thành bốn cấp độ: Không cấp thiết (1.0 - 1.75), Ít cấp thiết (1.75 - 2.5), Cấp thiết (2.5 - 3.25), và Rất cấp thiết (3.25 - 4.0) Tương tự, mức độ khả thi cũng được chia thành bốn nhóm: Không khả thi (1.0 - 1.75), Ít khả thi (1.75 - 2.5), Khả thi (2.5 - 3.25), và Rất khả thi (3.25 - 4.0).

Khảo sát về tính cấp thiết của các phương pháp sử dụng tương giao đồ thị trong việc tìm cực trị của hàm số trong dạy học Toán tại các trường THPT ở Huyện Nghi Lộc, bao gồm Trường THPT Nguyễn Duy Trinh, Nghi Lộc 2, Nghi Lộc 3, Nghi Lộc 4, Nghi Lộc 5 và Trường THPT Nguyễn Thức Tự, đã được thực hiện với sự tham gia của 19 giáo viên Kết quả khảo sát cho thấy sự cần thiết và hiệu quả của các phương pháp này trong việc nâng cao chất lượng dạy và học Toán.

Không cấp thiết Ít cấp thiết

Bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f u x     0 0 5 14

Bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f u x    0 0 10 9

Bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  ax  b  0 0 4 15

Cực trị của hàm số y  f x m  ;  0 0 3 16

Cực trị của hàm số y  f  ax  b m ;  0 0 5 14

Cực trị của hàm số y  f u x    0 0 6 13

Khảo sát 42 học sinh lớp 12A1 trường THPT Nghi Lộc 5 cho thấy tính cấp thiết của các phương pháp sử dụng tương giao đồ thị trong việc tìm cực trị của hàm số trong dạy học môn Toán Kết quả cho thấy học sinh nhận thức rõ ràng về lợi ích của việc áp dụng các phương pháp này, góp phần nâng cao hiệu quả học tập và hiểu biết về toán học.

Các phương pháp Không cấp thiết Ít cấp thiết

Cực trị của hàm số y  f x m   ; 0 0 9 33

Khảo sát về khả thi của phương pháp sử dụng tương giao đồ thị để tìm cực trị của hàm số trong dạy học Toán ở huyện Nghi Lộc đã được thực hiện với 19 giáo viên từ 5 trường THPT: Nguyễn Duy Trinh, Nghi Lộc 2, Nghi Lộc 3, Nghi Lộc 4 và Nghi Lộc 5 Kết quả khảo sát cho thấy sự quan tâm và tiềm năng áp dụng phương pháp này trong giảng dạy môn Toán tại các trường THPT trên địa bàn.

Các phương pháp Không khả thi Ít khả thi

Khảo sát 42 học sinh lớp 12A1 trường THPT Nghi Lộc 5 về tính khả thi của phương pháp tương giao đồ thị trong việc tìm cực trị của hàm số trong dạy học môn Toán cho thấy kết quả khả quan.

Các phương pháp Không khả thi Ít khả thi Khả thi Rất khả thi

Tổng hợp các đối tƣợng khảo sát

TT Đối tƣợng Số lƣợng

1 Giáo viên Toán THPT huyện Nghi Lộc - Nghệ An 19

2 Học sinh lớp 12A1 - Trường THPT Nghi Lộc 5 42

2.4 Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất

2.4.1 Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đề xuất

TT Các phương pháp Các thông số

1 Bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f u x     3.7 Rất cấp thiết

2 Bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f u x    3.4 Rất cấp thiết

3 Bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  ax  b  3.7 Rất cấp thiết

4 Cực trị của hàm số y  f x m   ; 3.8 Rất cấp thiết

5 Cực trị của hàm số y  f  ax  b m ;  3.7 Rất cấp thiết

6 Cực trị của hàm số y  f u x    3.6 Rất cấp thiết

Từ số liệu thu đƣợc ở bảng trên có thể rút ra những nhận xét

Các phương pháp sử dụng tương giao đồ thị để tìm cực trị của hàm số trong dạy học bộ môn Toán có tính cấp thiết cao, với điểm trung bình chung của bốn biện pháp đạt 3.65 điểm Khoảng cách giữa các giá trị điểm trung bình không quá xa nhau, cho thấy rằng mặc dù các đối tượng khảo sát khác nhau, nhưng ý kiến đánh giá chung vẫn tương đối đồng đều.

Mặc dù có sự khác biệt trong cách đánh giá của các đối tượng khảo sát, nhưng theo quy luật số lớn, đa số ý kiến đều thống nhất rằng cả 4 hoạt động đề xuất đều cần thiết Trong số đó, hoạt động "Cực trị của hàm số y = f(x)" được đánh giá cao nhất với điểm số 3.8, xếp hạng 1/4.

2.4.2 Tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất Đánh giá tính khả thi của các giải pháp đề xuất

TT Các phương pháp Các thông số

1 Bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f u x     3.7 Rất khả thi

2 Bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f u x    3.4 Rất khả thi

3 Bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  ax  b  3.68 Rất khả thi

4 Cực trị của hàm số y  f x m  ;  3.8 Rất khả thi

5 Cực trị của hàm số y  f  ax  b m ;  3.7 Rất khả thi

6 Cực trị của hàm số y  f u x    3.7 Rất khả thi

Từ số liệu thu đƣợc ở bảng trên có thể rút ra những nhận xét:

Kết quả khảo sát cho thấy, các đối tượng tham gia đánh giá tính khả thi của các phương pháp sử dụng tương giao đồ thị để tìm cực trị của hàm số trong dạy học Toán là tương đối đồng đều, với điểm trung bình chung đạt 3.67 Điều này chứng tỏ rằng, mặc dù có sự khác biệt về cương vị, nhưng các ý kiến đánh giá của họ là tương đối thống nhất.

Mặc dù các đối tượng khảo sát có cách đánh giá khác nhau, nhưng theo quy luật số lớn, đa số ý kiến đều thống nhất rằng cả 4 hoạt động đề xuất đều khả thi Trong đó, hoạt động “Cực trị của hàm số y = f(x)” được đánh giá cao nhất với điểm số 3.8, xếp hạng 1/4.

Các phương pháp sử dụng tương giao đồ thị để tìm cực trị của hàm số trong dạy học Toán cho học sinh THPT được giáo viên và học sinh đánh giá là cần thiết và khả thi.

Một số kết quả

Bài viết đã cung cấp cho học sinh những bài tập liên quan đến tương giao của hai đồ thị hàm số, giúp tìm số điểm cực trị và rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị cũng như xử lý số liệu trên đó Đề tài này có thể mở rộng để giải quyết các bài tập về hàm số như tiếp tuyến, phương trình hàm, số điểm cực đại và cực tiểu của hàm hợp.

Nội dung của đề tài mang ý nghĩa thiết thực, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học, đồng thời hỗ trợ giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện thi tốt nghiệp và đại học, cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh.

2 Những kiến nghị và đề xuất

Tổ chức các chuyên đề và hội thảo giúp giáo viên nâng cao trình độ tin học, đặc biệt là kỹ năng vẽ đồ thị và bảng biến thiên Đồng thời, tổ chức phân tích và định hướng đề thi tốt nghiệp và đại học cho giáo viên dạy khối 12 sau khi Bộ công bố đề minh hoạ.

Chúng tôi đã trình bày phương pháp khai thác tương giao giữa hai đồ thị hàm số để giải quyết các bài tập liên quan đến điểm cực trị của hàm số Chúng tôi hy vọng nhận được nhiều ý kiến đóng góp và chia sẻ kinh nghiệm từ các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn!

[1] Sách giáo khoa và Sách bài tập Toán học 12 CB, nâng cao

[2] 40 chuyên đề ôn thi THPT của Nguyễn Bảo Vương

[3] Công phá Toán 3 của Ngọc Huyền LB N B Đại học Quốc gia Hà Nội

[4] Bộ đề thi thử THPT Quốc gia của Nguyễn Văn Nho N B Đại học Quốc gia Hà Nội

[5] Tập thể giáo viên chuyên Toán trường THCS và THPT Nguyễn Khuyến

N B Đại học Quốc gia Hà Nội

[6] Trần Khánh Ngọc (2020), Khóa học Vận dụng các phương pháp tích cực trong dạy học

[7] Trần Khánh Ngọc (2020), Khóa học Dạy học phát triển năng lực học sinh

PHỤ LỤC Bài kiểm tra năng lực của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

Bài 1 Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên nhƣ sau

Hàm số g x    f x  2   1  2018 có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài 2 Cho hàm số bậc ba y  f x   có bảng biến thiên như hình dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y  f x    2 m có 5 điểm cực trị

Bài 3 Cho hàm số f x     m  1  x 3  5 x 2   m  3  x  3 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  f   x có đúng 3 điểm cực trị?

Bài 4 Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y  f x   Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y  f 2  x   1  m có 11 điểm cực trị

Bài 5 Cho hàm số f x   có đạo hàm liên tục trên

, đồ thị hàm số y  f    x có đúng 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ bên dưới Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

 3 3 2021  y  f x  x   m có đúng 11 điểm cực trị?

Tiêu đề	Sử dụng phương pháp tương giao của hai đồ thị hàm số để tìm cực trị hàm số
Tác giả	Nguyễn Thị Ngọc Duyên, Nguyễn Đình Thưởng
Trường học	Trường THPT Nghi Lộc 5
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2023 - 2024
Thành phố	Nghệ An

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	1,62 MB