Skkn cấp tỉnh sử dụng kỹ thuật truy ngược hàm trong một số bài toán hàm số

Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua đề tài “Sử dụng kỹ thuật truy ngược hàm trong một số bài toán hàm số” 9 1.. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc xâ

1 Cao Xuân Hùng, điện thoại: 0977592884

2 Phan Khánh Châu, điện thoại: 0965698389

NĂM HỌC 2023 – 2024

MỤC LỤC

4 Tính mới và tính cấp thiết của đề tài 4

2.4 Phân tích, đánh giá những vấn đề thực tiễn 8

Chương 2 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua đề tài

“Sử dụng kỹ thuật truy ngược hàm trong một số bài toán hàm số”

9

1 Giải pháp 1 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc khai

thác vấn đề và xây dựng các bài toán “truy ngược hàm” từ bài toán cơ bản

9

2 Giải pháp 2 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc xây

dựng cách giải quyết vấn đề cho các bài toán “truy ngược hàm” của hàm hợp

20

3 Giải pháp 3 Rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông

qua hoạt động giải quyết vấn đề cho các bài toán “truy ngược hàm” của hàm

35

3.1 Bài toán về tính đơn điệu 35

Chương 3 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề

xuất đối với các đối tượng liên quan và thực nghiệm sư phạm

45

1 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất đối với các

đối tượng liên quan

45

PHẦN 1 ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Trong đề thi THPT Quốc gia và trong rất nhiều đề thi thử của một số trường trung học phổ thông xuất hiện nhiều bài toán hàm số có sử dụng đến kỹ thuật truy ngược hàm Đề tài ra đời trong bối cảnh học sinh có nhu cầu nắm vững phương pháp giải các bài toán nói trên Đồng thời, đề tài cũng là một bộ tài liệu quan trọng trong công tác giảng dạy của giáo viên và quá trình tự học của học sinh

Với mục đích giúp học sinh có phương pháp giải và định hướng rõ ràng cho một

số dạng toán có liên quan đến kỹ thuật truy ngược hàm cho các bài toán đơn điệu, cực trị; đồng thời rèn luyện tư duy sáng tạo, rèn đức tính chịu khó tìm tòi, tinh thần tự học,

tự nghiên cứu cho học sinh thông qua hoạt động tìm lời giải cho các bài toán và hoạt động phát triển, sáng tạo xây dựng các bài toán mới Chính vì lẽ đó mà chúng tôi chọn viết đề tài:

“ Sử dụng kỹ thuật truy ngược hàm trong một số bài toán hàm số”

2 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài

- Nghiên cứu một số dạng toán có liên quan đến kỹ thuật truy ngược hàm cho các bài toán đơn điệu, cực trị trong các đề thi THPT Quốc gia từ năm 2017 đến nay cũng như đề thi thử của các trường trong cả nước, từ đó giúp học sinh nắm được cốt lõi cách giải các dạng toán, qua đó hướng dẫn học sinh định hướng cách giải và phát triển lớp các bài toán tương tự

- Nhằm cung cấp cho học sinh một lượng kiến thức nhất định để giải quyết một

số bài toán trong các đề thi, tạo ra niềm đam mê, hứng khởi và sáng tạo trong học tập

- Nhằm mang lại hiệu quả cao hơn trong giảng dạy, đặc biệt là công tác ôn thi

- Hệ thống các dạng toán vận dụng- vận dụng cao có sử dụng kỹ thuật truy ngược

hàm

4 Tính mới và tính cấp thiết của đề tài

- Trình bày một số hướng khai thác mới và cách tiếp cận bài toán về hàm số sử

dụng kỹ thuật truy ngược hàm

- Đề tài có tính hệ thống, có phân dạng các bài toán hàm số sử dụng kỹ thuật truy ngược hàm, có bài tập tự luyện để khắc sâu kiến thức

- Tạo được hứng thú giải toán cho học sinh Từ đó tạo đam mê, chinh phục các dạng toán về hàm số để nâng cao chất lượng và hiệu quả học tập, giảng dạy bộ môn Toán

- Đề tài chủ yếu dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia

PHẦN 2 NỘI DUNG Chương 1 Cơ sở khoa học và khảo sát thực trạng vấn đề

1 Cơ sở khoa học

1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Quá trình tư duy

Thao tác tư duy là một hành động trí tuệ, quá trình này được diễn ra bằng cách chủ thể hoạt động tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định để giải quyết vấn đề Có thể phân biệt các giai đoạn của quá trình tư duy bằng sơ đồ sau đây:

1.1.2 Rèn luyện tư duy cho học sinh

Trong quan điểm dạy học ngày nay, người thầy chủ yếu là dạy cho học sinh phương pháp học, học cốt lõi là tự học, là rèn luyện tư duy và trí thông minh Rèn các thao tác tư duy cho học sinh chính là rèn cho học sinh kĩ năng quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp; rèn khả năng quy nạp, suy diễn; cách phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề Như vậy kiến thức có vai trò là phương tiện để phát triển tư duy Trên cơ sở kiến thức các môn học ở trường phổ thông, chúng ta có thể rèn cho học sinh các loại

tư duy như: tư duy độc lập, tư duy logic, tư duy trừu tượng, tư duy hình tượng, tư duy biện chứng, tư duy đa hướng, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo

1.2 Cơ sở thực tiễn

Trong chương trình THPT, khái niệm về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số,

Xuất hiện các liên tưởng Nhận thức vấn đề

Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Phủ định Chính xác hoá Khẳng định

Hành động tư duy mới Giải quyết vấn đề

Tuy nhiên, trong quá trình dạy chuyên đề “ Sử dụng kỹ thuật truy ngược hàm

trong một số bài toán hàm số”, tôi nhận ra một số biện pháp, cách thức để phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh bằng cách xây dựng quy trình giải và tạo ra các bài toán mới có cách giải tương tự như sau:

Giải pháp 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc khai thác và xây

dựng các bài toán tương tự từ bài toán cơ bản (Bài toán 1)

Giải pháp 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc khai thác và xây

dựng các bài toán tương tự từ bài toán nâng (Bài toán 2)

Giải pháp 3: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc khai thác và xây

dựng các bài toán có chứa tham số

Đề tài nêu ra các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao nhưng đều thuộc phạm vi chương trình trung học phổ thông Các đối tượng học sinh có thể tiếp thu được phương pháp và kỹ năng giải toán qua các ví dụ đã nêu trong đề tài để giải các bài toán tương tự một cách có hiệu quả nhất

2 Khảo sát thực trạng vấn đề trước khi áp dụng đề tài

2.1 Mục đích khảo sát

Khảo sát về sự khó khăn; sự hứng thú của học sinh khi học tập và giải quyết các bài tập của phần hàm số có giả thiết liên quan đến “truy ngược hàm”

2.2 Nội dung và phương pháp khảo sát

2.2.1 Nội dung khảo sát

1) Khảo sát về sự khó khăn của học sinh khi học tập và giải quyết các bài tập của phần hàm số có giả thiết liên quan đến “truy ngược hàm”

2) Khảo sát về hứng thú của học sinh khi học tập và giải quyết các bài tập của phần hàm số có giả thiết liên quan đến “truy ngược hàm”

Phiếu khảo sát 1 Câu hỏi: Em cảm thấy mình có khó khăn không khi tiếp cận và giải quyết các bài toán về hàm số có giả thiết liên quan đến “truy ngược hàm số”?

Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài vào quá trình dạy học chuyên

đề “ Sử dụng kỹ thuật truy ngược hàm trong một số bài toán hàm số”, phần lớn các em thường thụ động, cảm thấy khó khăn khi tiếp cận bài toán và giải quyết vấn đề, các em phụ thuộc nhiều vào những kiến thức giáo viên cung cấp, giải quyết bài toán chưa linh hoạt, chưa có ý thức tìm tòi sáng tạo, chưa có niềm vui hứng thú trong học tập

2.4 Phân tích, đánh giá những vấn đề thực tiễn

Có thể nói rằng chuyên đề “ Sử dụng kỹ thuật truy ngược hàm trong một số bài

toán hàm số” là một chuyên đề hay và khó trong chương trình môn Toán ở trường

THPT Khá nhiều dạng toán có liên quan đến kỹ thuật truy ngược hàm cho các bài toán đơn điệu, cực trị xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia từ năm 2017 đến nay cũng như đề thi thử của các trường trong cả nước Tuy nhiên, khi giảng dạy vấn đề này, vẫn còn một số tồn tại sau:

+) Đối với học sinh: Khi chưa học tập phương pháp và rèn luyện kĩ năng, chỉ có

số ít các em học sinh suy nghĩ, tập trung làm bài tập dạng này

+) Đối với giáo viên: Tài liệu viết về các dạng bài tập này tuy đã có nhưng chưa được phân dạng cụ thể, chưa có tính hệ thống

+) Khi giảng dạy vấn đề này, giáo viên thường ít chú trọng hoạt động “nhận biết, khai thác và phát triển” các bài toán đó dẫn tới khả năng suy luận, tư duy sáng tạo của học sinh sẽ bị hạn chế

+) Giáo viên chưa thật sự chú trọng trong việc hướng dẫn học sinh tìm tòi, tương

tự hóa, đặc biệt hóa để từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán mới, từng bước nâng cao tư duy toán học và kích thích sự hứng thú cho học sinh

Chương 2 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua đề tài

“Sử dụng kỹ thuật truy ngược hàm trong một số bài toán hàm số”

1 Giải pháp 1 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc khai thác

vấn đề và xây dựng các bài toán “truy ngược hàm” từ bài toán cơ bản

1.1 Bài toán 1.1: Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y f ax b hoặc

Bước 3 Dựa vào dấu của faxb để kết luận dấu của f x

Bước 4 Kết luận tính đơn điệu, cực trị của hàm số y f x 

*) Nhận xét: Trong bốn bước nêu trên, bước 2 là rất quan trọng để phát triển

tư duy toán và tính tương tự khi nhìn nhận bài toán cho học sinh

1.1.1 Áp dụng ý tưởng bài toán 1.1 cho các bài toán đơn điệu

Bài tập 1 Cho hàm số y f x  liên tục trên và f ' 3 x 5 có bảng xét dấu sau

Hàm số y f x  nghịch biến trong khoảng nào dưới đây ?

  D. ;10 Lời giải tham khảo

+

00

+∞

12

∞

f '(3x+5) x

Vậy hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng  ;8

Bài tập 2 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số

(3 4 )

y f  x như hình vẽ sau

Hàm số y f x( ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A ( 7;1)  B (   ; 1) C (7;  ) D ( 1;6) 

Lời giải tham khảo

* Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm sốy f(3 4 )  x sau

Vậy hàm số y f x nghịch biến trên   ; 1 và 11;  

1.1.2 Áp dụng ý tưởng bài toán 1.1 cho các bài toán cực trị

Bài tập 1 Cho bảng biến thiên hàm số y f 3 2  x

Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực đại ?

A 1 B 2 C 3 D 0

Lời giải tham khảo

Ta có y f(3 2 )  x  y  f3 2  x Từ đó suy ra bảng xét dấu f 3 2xsau

Vậy hàm số y f x  có hai điểm cực đại

Bài tập 2 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị

5 2 

y f  x như sau

Hỏi hàm số y f x  có mấy điểm cực tiểu ?

A 0 B 1 C 2 B 3

Lời giải tham khảo

Ta có y f(5 2 ) x  y 2f5 2 x Từ đó suy ra bảng xét dấu f 5 2xsau

Vậy hàm số y f x  có hai điểm cực tiểu

1.1.3 Xây dựng các bài toán tương tự

a) Các bài toán về tính đơn điệu

Bài tập 1 Cho hàm số y f(3 2 )  x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số y f x( ) nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây?

Bài tập 1 Cho hàm số y f 5 3  x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Hỏi hàm số y f x  tại điểm cực đại tại

y f axb bằng biểu thức có bậc cao hơn, thì cách khai thác vấn đề vẫn tương tự

nhưng cần sự tinh tế hơn khi nhìn nhận vấn đề

1.2 Bài toán 1.2: Cho đồ thị, bảng biến thiên của y f u x   hoặc y f u x   

Bước 3 Từ bảng xét dấu của fu x   tìm nghiệm và dấu của f x

Bước 4 Lập bảng xét dấu của f x và kết luận

1.2.1 Áp dụng ý tưởng bài toán 1.2 cho các bài toán đơn điệu

Bài tập 1 Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu của  3 

1

f x  như sau

Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. 2; 2 B. 2;5 C.5;10 D.10; 

Lời giải tham khảo

Ta có x  2,x 0,x 1,x 2 là các nghiệm bội lẻ của  3 

f x   Suy ra x  7,x 1,x 2 và x9 là nghiệm bội lẻ của f x  0

x    f x   f  Suy ra bảng xét dấu y f x

Vậy hàm số y f x nghịch biến trên khoảng  7;1 và 2;9  

Bài tập 2 Cho hàm số y f x  có đạo hàm và liên tục trên Biết hàm số

   x 3

g x  f e x có đồ thị như hình dưới đây

Hỏi hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng nào ?

x f e x  f  Vậy ta có bảng xét dấu của y f x sau

Vậy hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng 1 1;1 e

Bài tập 1 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên Biết hàm số

   3 

g x  f  x x có bảng biến thiên như sau

Hỏi hàm số y f x  đạt cực tiểu tại ?

Từ    * và ** ta có bảng xét dấu của f x sau

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x CT  0

1.2.3 Xây dựng các bài toán tương tự

a) Các bài toán về tính đơn điệu

g x  f x  x  x được cho như hình dưới

Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

A.3;15 B.15;  C. 7;3 D.  ; 13 Bài tập 3 Cho hàm số    2 

2

h x  f x  x là một hàm đa thức bậc bốn có bảng biến thiên như hình vẽ

Hỏi hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng nào ?

y f x  x có bảng biến thiên như sau

Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng nào ?

Hỏi hàm số y f x  có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A 0 B 1 C 2 D 3

Bài tập 3 Cho hàm số    2 

4

g x  f x  x có bảng xét dấu như sau

Hỏi hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị

2 Giải pháp 2 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc xây dựng

cách giải quyết vấn đề cho các bài toán “truy ngược hàm” của hàm hợp

2.1 Bài toán 2.1: Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y f ax b hoặc

Bước 3 Xét dấu của fv x   theo dấu của faxb

Bước 4 Lập bảng xét dấu của y  f v x    .Kết luận

2.1.1 Áp dụng ý tưởng bài toán 2.1 cho các bài toán đơn điệu

Bài tập 1 Cho bảng biến thiên của hàm số y f 3 2  xnhư hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số y f x  1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. 3;0 B. 1; 2 C.  2;  D. ; 2

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết ta có bảng xét dấu của f 3 2x

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết suy ra bảng xét dấu f 2 x sau

2.1.2 Áp dụng ý tưởng bài toán 2.1 cho các bài toán cực trị

Bài tập 1 Giả sử y f x  là hàm số đa thức bậc bốn Đồ thị hàm số

Vậy hàm số yg x có hai điểm cực tiểu

Bài tập 2 Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số y f3 2  x như hình vẽ

Vậy hàm số    2 

3

g x  f x  có 4 điểm cực tiểu

2.1.3 Xây dựng các bài toán tương tự

a) Các bài toán về tính đơn điệu

Bài tập 1 Cho hàm số y f 1 x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau

  D  0;1 Bài tập 2 Cho hàm số y f2x 1 có đồ thị như hình dưới đây

Hàm số    2

1

g x  f x nghịch biến trong khoảng nào ?

A   ; 1 B. 2;0 C  1;5 D  0; 2 Bài tập 3 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị

Bài tập 1 Cho hàm đa thức y f x liên tục trên có bảng xét dấu của

 1

f x như sau

Số điểm cực đại của hàm số  2 

*) Nhận xét: Nếu trong bài toán 2.1, ta thay biểu thức bậc nhất ax b của hàm số

y f axb bằng biểu thức có bậc cao hơn, thì cách khai thác vấn đề vẫn tương tự

với một vài bước biến đổi cơ bản kết hợp sự tinh tế khi nhìn nhận vấn đề

2.2 Bài toán 2.2: Cho đồ thị, bảng biến thiên của y f u x   hoặc y f u x   

Bước 1 Xác định dấu của biểu thức fu x  .

Bước 2 Xác định dấu của f x

Bước 3 Từ bảng xét dấu của f x ta suy ra bảng xét dấu của f 'v x  

Bước 4 Lập bảng biến thiên hàm số y f u x    hoặc bảng xét dấu của

 

f u x 

.Từ đó kết luận tính đơn điệu,cực trị của hàm số y f u x   

2.2.1 Áp dụng ý tưởng bài toán 2.2 cho các bài toán về tính đơn điệu

Bài tập 1 Cho hàm số y f x( ) xác định trên và hình vẽ dưới đây là của đồ thị hàm số  3 

Ta có x  1,x 1và x3 là các nghiệm lội lẻ của  3 

y f x  x đồng biến trên khoảng 1;3

Bài tập 2 Cho bảng biến thiên của hàm số  2 

'

f x x như sau