Các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất cho mô hình hồi quy tuyến tính bội.... Giới thiệu mô hình hồi quy tuyến tính đa biếnMô hình hồi quy tuyến tính đa biến là mô hình với m
Tổng quan dữ liệu
Tập tin "data.csv" chứa dữ liệu từ nghiên cứu của nhóm khoa Cơ khí Đại học Selcuk, nhằm xác định ảnh hưởng của các thông số điều chỉnh trong máy in 3D đến chất lượng in, độ chính xác và độ giãn của sản phẩm in.
Bộ dữ liệu cung cấp 50 quan sát với 9 thông số cài đặt và 3 thông số đầu ra được đo lường.
Dữ liệu gốc được lấy từ: https://www.kaggle.com/datasets/afumetto/3dprinter
Các biến chính trong bộ dữ liệu bao gồm:
+ layer_height (mm): Chiều cao của mỗi lớp in.
+ wall_thickness (mm): Độ dày thành của vật in.
+ infill_density (%): Thông số về độ đặc của vật thể.
+ infill_pattern: Dạng lưới bên trong chi tiết.
+ nozzle_temperature ( o C): Nhiệt độ của vòi phun.
+ bed_temperature ( o C): Nhiệt độ của bàn in.
+ print_speed (mm/s): Tốc độ in của máy.
+ material: Chất liệu (nhựa abs hoặc là nhựa pla).
+ fan_speed (%): Tốc độ quay của quạt cho lớp in.
+ tension_strenght (MPa): Sức căng.
Các biến liên tục: layer_height, wall_thickness, infill_density, nozzle_temperature, bed_temperature, print_speed, fan_speed, roughness, tension_strength, elongation.
Các biến phân loại: infill_pattern, material.
Kiến thức nền
Giới thiệu mô hình hồi quy tuyến tính đa biến
Mô hình hồi quy tuyến tính đa biến là mô hình với một biến phụ thuộc với hai hay nhiều biến độc lập, có dạng tổng quát như sau:
+ 𝛽0: hệ số tung độ góc
+ 𝛽 𝑘 : hệ số dốc của Y theo biến 𝑋 𝑘 và giữa các biến 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑘 không đổi.
+ 𝛽 𝑖 : thành phần ngẫu nhiên (yếu tố nhiễu), có kì vọng bằng 0 và phương sai không đổi 𝜎 2
Hồi quy tuyến tính đa biến là phương pháp dự đoán giá trị của biến phụ thuộc (Y) dựa trên các biến độc lập (X) Thuật ngữ "tuyến tính" ám chỉ rằng các tham số tổng thể 𝛽1 và 𝛽𝑖 có mối quan hệ tuyến tính Phương pháp này thích hợp cho việc dự đoán các giá trị liên tục.
Hàm hồi quy tổng thể (PRF – Population Regression Function)
Trong mô hình hồi quy, Y là biến phụ thuộc, trong khi 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘 là các biến độc lập Biến Y có phân phối xác suất ngẫu nhiên, dẫn đến việc tồn tại giá trị kỳ vọng E(𝑌|𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘) là một giá trị xác định.
Vì vậy 𝐹(𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑘 ) = 𝐸(𝑌|𝑋1, 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑘 ) là hàm hồi quy tổng thể của Y theo
Với một cá thể i, tồn tại (𝑋 1𝑖 , 𝑋 2𝑖 , … , 𝑋 𝑘𝑖 ,
Hàm hồi quy mẫu (SRF – Sample Regression Function)
Trên một mẫu có n cá thể, gọi 𝑌̂ = 𝐹̂(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑘 ) là hồi quy mẫu.
Với một cá thể mẫy có 𝑌 ≠ 𝐹̂(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑘 ) sinh ra 𝛽 𝑖 = 𝑌 − 𝐹̂(𝑥 1 , 𝑥 2 , … ,
𝑥 𝑘 ); với 𝛽 𝑖 gọi là phần dư SRF thành hàm hồi quy mẫu có dạng tổng quát như sau:
𝑋 + ⋯ + 𝛽̂ × 𝑋 Trong đó, 𝛽̂ là ước lượng của 𝛽 và mong rằng 𝛽̂ là ước lượng không chênh lệch
Để đảm bảo ước lượng hiệu quả cho 𝑚 𝑚 𝑚 của 𝛽 𝑚 và hơn thế nữa, giá trị ước lượng 𝑌̂ 𝜄 cho 𝑌 𝑖 được xác định, trong đó phần dư được tính bằng công thức 𝛽 𝑖 = 𝑌 𝑖 − 𝑌̂ 𝜄 Việc ước lượng hàm hồi quy SRF bao gồm việc lựa chọn phương pháp phù hợp để xác định các tham số của F, tìm các tham số 𝐹̂ và sử dụng giá trị quan sát của các tham số này làm xấp xỉ cho tham số của F.
Phương pháp bình phương nhỏ nhất (Ordinary Least Squares)
Phương pháp bình phương nhỏ nhất, do nhà toán học Carl Friedrich Gauss phát triển, nhằm mục tiêu tối thiểu hóa tổng bình phương của các phần dư Để đạt được hồi quy tối ưu, chúng ta lựa chọn các ước lượng cho tung độ gốc và độ dốc sao cho phần dư được giảm thiểu đến mức thấp nhất.
4.1 Các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất cho mô hình hồi quy tuyến tính bội
Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS) là một công cụ đáng tin cậy để ước lượng các tham số trong mô hình, tuy nhiên, để đạt được kết quả chính xác, mô hình phải tuân thủ 7 giả thiết quan trọng Khi các giả thiết này được thỏa mãn, ước lượng OLS sẽ trở thành ước lượng tuyến tính không chệch (BLUE) hiệu quả nhất trong các phương pháp ước lượng hiện có.
Định lý Gauss – Markov khẳng định rằng ước lượng OLS là BLUE, tức là trong tất cả các tổ hợp tuyến tính không chệch của Y, ước lượng OLS có phương sai nhỏ nhất Các giả thiết của định lý này đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo tính chính xác và hiệu quả của ước lượng.
1/ Hàm hồi quy là tuyến tính theo các hệ số Điều này có nghĩa là quá trình thực hành hồi quy trên thực tế được miêu tả bởi mối quan hệ dưới dạng: y = β1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + … + βkxk + u
Hoặc mối quan hệ thực tế có thể được viết lại ví dụ như dưới dạng lấy loga cả hai vế.
2/ E(u i ) = 0 : Kỳ vọng của các yếu tố ngẫu nhiên ui bằng 0
Trung bình tổng thể của sai số là 0, cho thấy sự tồn tại của các giá trị sai số dương và âm Vì hàm được coi là đường trung bình, ta có thể giả định rằng các sai số ngẫu nhiên sẽ tự loại trừ lẫn nhau, dẫn đến một kết quả trung bình trong tổng thể.
3/Var(u i ) = σ2 : Phương sai bằng nhau và thuần nhất với mọi ui
4/ u i phân phối chuẩn Điều này rất quan trọng khi phát sinh khoảng tin cậy và thực hiện kiểm định giả thuyết trong những phạm vi mẫu là nhỏ Nhưng phạm vi mẫu lớn hơn, điều này trở nên không mấy quan trọng.
5/ Giữa các u i thì độc lập với nhau
Trong bài viết này, ta sử dụng ký hiệu yi để biểu thị giá trị thực của biến y tại quan sát i, trong khi ŷi đại diện cho giá trị của hàm hồi quy mẫu Phần dư được ký hiệu là ei, được tính bằng hiệu số giữa yi và ŷi.
Do đó cực tiểu hóa Σ(yi – ŷi ) 2 sẽ tương đương với cực tiểu Σei 2 từ đó tìm ra 𝛽̂,𝛽̂, … , ̂̂𝑘
Chúng ta có thiết lập các điều kiện bậc nhất cho phép tính tối thiểu này như sau: Σe
Hệ phương trình mà chúng ta có được gọi là hệ phương trình chuẩn của hồi quy mẫu.
Chúng ta có thể giải k phương trình chuẩn này để tìm k hệ số βŠ chưa biết βŠ1, βŠ2,…, βŠk được gọi là các ước lượng bình phương nhỏ nhất.
Phân tích phương sai
Để có thể biết mô hình giải thích được như thế nào hay bao nhiêu % biến động của
�� biến phụ thuộc, người ta sử dụng R 2
SSE (Tổng bình phương sai lệch) là tổng của tất cả các bình phương sai khác nhau giữa các giá trị của biến phụ thuộc Y, được tính từ hàm hồi quy mẫu, và giá trị trung bình của chúng.
SSR (Tổng bình phương sai số) là tổng của các bình phương sai lệch giữa các giá trị quan sát Y và các giá trị dự đoán từ hàm hồi quy.
- SST (Sum of Squares Total) là tổng bình phương của tất cả các sai lệch giữa các giá trị quan sát 𝑌 𝑖 và giá trị trung bình.
- Hệ số R 2 được xác định theo công thức:
Hệ số xác định (R²) là tỉ số giữa tổng biến thiên được giải thích bởi mô hình và tổng bình phương cần được giải thích R² cho thấy tỷ lệ phần trăm của toàn bộ sai lệch Y so với giá trị trung bình được mô hình hóa Do đó, R² được sử dụng để đánh giá mức độ phù hợp của hàm hồi quy.
+ 𝑅 2 cao nghĩa là mô hình ước lượng được giải thích một mức độ cao biến động của biến phụ thuộc.
+ Nếu 𝑅 2 = 1, nghĩa là đường hồi quy giải thích 100% thay đổi của Y.
Nếu 𝑅² = 0, điều này cho thấy mô hình không cung cấp thông tin nào về sự biến đổi của biến phụ thuộc Y Để đánh giá mức độ phụ thuộc của Y vào X, người ta sử dụng hệ số xác định hiệu chỉnh.
Về mặt ý nghĩa, 𝑅̅ 2 và 𝑅 2 có sự tương đồng, thường chỉ chênh lệch không đáng kể Khi số lượng biến X lớn hơn số lượng quan sát n, hệ số xác định điều chỉnh sẽ được sử dụng để đánh giá mức độ phù hợp của mô hình hồi quy bội.
Ước lượng khoảng tin cậy đối với các hệ số hồi quy
Mục đích của phân tích hồi quy vừa là suy đoán về 𝛽̂, 𝛽̂,…, 𝛽̂ , vừa là kiểm tra bản
1 2 𝑘 chất của sự phụ thuộc Vì vậy, cần biết phân bố xác xuất của 𝛽̂, 𝛽̂,…, 𝛽̂ và các phân bố xác suất này phụ thuộc vào phân bố của các ui 1 2 𝑘
Theo các giả thiết OLS, ui có phân phối N (θ, σ2 )Các hệ số ước lượng tuân theo phân phối chuẩn sau:
𝑆𝑒 ( 𝛽 ̂ 𝑦 ) Ước lượng phương sai số dựa và các phần dư b nh phương tối thiểu trong đó k là hệ số có trong phương trình hồi quy đa biến:
𝑛−𝑘 Ước lượng hai phía, ta được t 𝛼 (n - 3) = 1- α thỏa mãn:
Khoảng tin cậy 1-α của 𝛽 𝑗 là:
Kiểm định giả thiết đối với 𝛽 𝑗
Kiểm định ý nghĩa thống kê của các hệ số hồi quy là quá trình xác định xem biến giải thích có thực sự ảnh hưởng đến biến phụ thuộc hay không Điều này có nghĩa là cần xác định xem các hệ số hồi quy có mang lại ý nghĩa thống kê hay không.
Ta có thể đưa ra giải thiết nào đó đối với 𝛽𝑗 ví dụ 𝛽 𝑗 =𝛽 𝑗 * Nếu giả thiết này đúng:
Loại giả thiết Giả thiết H 0 Giả thiết đối H 1 Miền bác bỏ
𝛽𝑗 < 0 ⇔ xj có tác động ngược
𝛽𝑗 > 0 ⇔ xj có tác động thuận
Kiểm định ý nghĩa chung của mô hình
8.1 Khái quát về kiểm định WALD
Giả sử có hai mô hình sau:
Mô hình U là mô hình không giới hạn (Unrestrict), trong khi mô hình R là mô hình giới hạn (Restrict), với điều kiện 𝛽3 và 𝛽4 phải bằng 0 trong mô hình R Để kiểm tra giả thuyết rằng 𝛽3= 𝛽4=0, chúng ta sử dụng giả thuyết đối rằng ít nhất một trong các hệ số này không bằng 0 Kiểm định giả thuyết này được gọi là kiểm định WALD, và các bước thực hiện sẽ được trình bày dưới đây.
Mô hình (R) có được bằng cách lược bỏ một số biến ở mô hình (U) như Xm+1, Xk
H1 : Không đồng thời các tham số bằng 0
Lưu ý rằng (U) chứa k hệ số hồi quy chưa biết và (R) chứa m hệ số hồi quy chưa biết.
Mô hình R có số lượng thông số ít hơn (k-m) so với mô hình U Điều quan trọng là xác định xem (k-m) biến bị loại ra có tác động đáng kể đến mối liên hệ với biến Y hay không.
- Trị thống kê kiểm định đối với giả thiết này là:
FC là số đo độ thích hợp không hiệu chỉnh, với giả thuyết không cho rằng nó tuân theo phân phối F Phân phối này có (k-m) bậc tự do cho tử số và (n-k) bậc tự do cho mẫu số.
Bác bỏ giả thuyết H0 khi:
Fc > F(α, k - m, n - k) Hoặc giá trị p-value của thống kê f nhỏ hơn mức ý nghĩa cho trước đó.
8.2 Kiểm định ý nghĩa của mô hình
Trong mô hình hồi quy đa biến, giả thuyết "không" cho rằng mô hình không có ý nghĩa, tức là tất cả các hệ số hồi quy riêng đều bằng 0 Để kiểm tra giả thuyết này, ứng dụng kiểm định Wald, thường được gọi là kiểm định F, được thực hiện theo các bước cụ thể.
Hồi quy Y được thực hiện dựa trên một số hạng không đổi và các biến độc lập X1, X2,…, Xk Tiếp theo, ta tính tổng bình phương sai số cho SSRU và SSRR Phân phối F là tỷ lệ giữa hai biến ngẫu nhiên khi chúng độc lập với nhau.
Vì H0: 𝛽1 = 𝛽2 = = 𝛽𝑘 = 0, thấy rằng trị thống kê kiểm định đối với giả thuyết này là:
B3: Tra số liệu ở bảng F tương ứng với bậc tự so k-1 cho tử và n-k cho mẫu với mức ý nghĩa α
B4: Bác bỏ H0 ở mức ý nghĩa α nếu Fc > F(α, k − 1, n − k) Đối với phương pháp p-value, tính giá trị p = P(F > Fc) và bác bỏ giả thuyết H0 nếu p < α.
Tiền xử lý số liệu
Hình 1 Đọc dữ liệu vào R và xem các thuộc tính trong dữ liệu.
Dữ liệu được phân tích bao gồm 50 quan sát và 12 biến, trong đó có 2 biến phân loại là infill_pattern và material, còn lại là các biến định lượng.
Hình 2 Xem 10 dòng đầu tiên của dữ liệu.
Kiểm tra dữ liệu khuyết trong tệp tin:
Hình 3 Kiểm tra dữ liệu khuyết trong tệp tin
Nhận xét: Tệp tin không chứa dữ liệu khuyết.
Thống kê mô tả
Hình 4 Tóm tắt tổng quan dữ liệu
Lập bảng thống kê số lượng cho infill_pattern và material
Tạo hàm tính thống kê mô tả (cỡ mẫu, trung bình, độ lệch chuẩn, trung vị, min và max):
Hình 5: Tạo hàm tính thống kê mô tả
Hình 6 Tạo dữ liệu bao gồm các biến liên tục
Lập bảng tính thống kê mô tả cho các biến liên tục:
Hình 7 Thực hiện tính thống kê mô tả cho các biến liên tục
Lập bảng tính thống kê mô tả cho biến elongation theo 2 nhóm material: CODE:
Hình 8 Thực hiện tính thống kê mô tả cho elongation ở 2 nhóm vật liệu
Lập bảng phân phối tần số cho các biến phân loại:
Hình 9 Lập bảng thống kê số lượng cho các biến phân loại.
Vẽ đồ thị phần histogram cho elongation:
Hình 10 Đồ thị histogram cho elongation
+ Đồ thị Elongation không có phân phối chuẩn, phân phối hơi lệch phải.
+ Elongation phân bố trong khoảng từ (0 - 3,5%).
+ Phân bố tần số cao nhất trong khoảng (1 - 1,5%) và thấp nhất trong khoảng (0 - 0,5%).
Vẽ các đồ thị boxplot thể hiện phân phối của Elongation theo các biến phân loại: CODE:
Hình 11 Đồ thị boxplot cho elongation theo các nhóm infill_pattern
Nhận xét cho thấy không có sự khác biệt đáng kể trong phân phối độ kéo dài (elongation) giữa hai nhóm mẫu infill_pattern Do đó, có thể dự đoán rằng yếu tố infill_pattern không ảnh hưởng đến độ kéo dài này.
Hinh 12 Đồ thị boxplot cho elongation theo các nhóm material
Nhận xét cho thấy sự khác biệt rõ rệt trong phân phối elongation giữa hai nhóm vật liệu, với nhóm PLA có phân phối elongation cao hơn so với nhóm ABS Điều này dẫn đến dự đoán rằng yếu tố vật liệu có ảnh hưởng đáng kể đến elongation.
Vẽ các đồ thị phân tán thể hiện mối quan hệ tuyến tính giữa biến Elongation và các biến liên tục:
Hình 14 Đồ thị plot cho elongation và wall_thickness
Hình 15 Đồ thị plot cho elongation và infill_density
Hình 16 Đồ thị plot cho elongation và nozzle_temperature
Hình 18 Đồ thị plot cho elongation và print_speed
Hình 19 Đồ thị plot cho elongation và fan_speed
Nhận xét : Ta nhận thấy các biến còn lại đều có quan hệ tuyến tính rất yếu với biến elongation.
Vẽ đồ thị ma trận tương quan giữa các biến trong bộ dữ liệu:
Hình 20 Đồ thị ma trận tương quan
Hệ số tương quan giữa biến bed_temperature và fan_speed đạt giá trị 1, cho thấy sự tồn tại của hiện tượng đa cộng tuyến, nghĩa là hai biến độc lập này có mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau.
Ta loại bỏ fan_speed ra khỏi mô hình hồi quy.
Thống kê suy diễn
Mục tiêu và các giả định
Xây dựng mô hình hồi quy đa biến nhằm phân tích tác động của các thông số điều chỉnh trong máy in 3D đến độ nhám và độ căng của sản phẩm in Mô hình này giúp xác định mối quan hệ giữa các yếu tố kỹ thuật và chất lượng bề mặt, từ đó tối ưu hóa quy trình in 3D Việc áp dụng hồi quy đa biến không chỉ nâng cao hiệu suất in mà còn cải thiện độ chính xác và độ bền của sản phẩm cuối cùng.
The article examines the relationship between surface roughness, tensile strength, and elongation of printed materials It highlights how these dependent variables interact, providing insights into their significance in material performance The findings reveal the impact of surface roughness on both tensile strength and elongation, emphasizing the importance of these factors in evaluating the durability and flexibility of printed products.
Biến dự báo (biến độc lập): layer_height, wall_thickness, infill_density, nozzle_temperature, bed_temperature, print_speed, infill_pattern, material tương ứng với từng biến phụ thuộc
Giả định của mô hình hồi quy tuyến tính đa biến
Tất cả các phân tích được thực hiện dựa trên những giả định quan trọng, bao gồm: sai số (ε i) có phân phối chuẩn, có giá trị trung bình bằng 0, và phương sai σ 2 cố định cho tất cả các x i Ngoài ra, các thành phần sai số ε 1, ε 2, …, ε n phải độc lập với nhau, đồng thời mối quan hệ giữa biến dự báo X và biến phụ thuộc cần phải có tính tuyến tính.
Y được giả sử là tuyến tính.
Ảnh hưởng của các thông số điều chỉnh trong máy in 3D đến độ nhám của bản in
Biến phụ thuộc: độ nhám – roughness
Biến dự báo ( biến độc lập): layer_height, wall_thickness, infill_density, nozzle_temperature, bed_temperature, print_speed, infill_pattern, material.
Mô hình được biểu diễn như sau:
Ta đặt bài toán kiểm định giả thuyết:
𝐻 0 : hệ số hồi quy không có ý nghĩa thống kê (𝛽 𝑖 = 0)
𝐻 1 : hệ số hồi quy có ý nghĩa thống kê (𝛽 𝑖 ≠ 0)
2.1 Thực hiện ước lượng các hệ số 𝛃 𝐢 :
Hình 21 Khởi chạy và kết quả mô hình 1 – phân tích hồi quy
Hình 22 Khoảng tin cậy của mô hình 1 Nhận xét:
Kết quả phân tích trên cho thấy:
-666.2925 1261.6444 1.5227 0.2116 -3.0886 2.8602 0.6356 22.4403 Lúc này, mô hình hồi quy tuyến tính trở thành:
Kết quả cho thấy rằng giá trị p (𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 8.891𝑒 − 13) nhỏ hơn 1.4𝑒 − 14, điều này chứng minh rằng ít nhất một biến dự báo trong mô hình có khả năng giải thích cao cho biến độ nhám (roughness).
Trong bài kiểm định 𝐻0, các hệ số khoảng tin cậy đối với wall_thickness, infill_density, infill_pattern honeycomb và material pla cho thấy cận dưới nhỏ hơn 0 và cận trên lớn hơn 0 Mặc dù điều này chưa đủ để bác bỏ 𝐻0, nhưng nó cho thấy rằng các biến này không có ý nghĩa trong mô hình hồi quy đã xây dựng Do đó, chúng ta có thể loại bỏ các biến này khỏi mô hình hồi quy.
2.2 Xây dựng mô hình 2 loại bỏ biến infill_pattern từ mô hình 1:
Mô hình 2 có giá trị 𝑅 2 hiệu chỉnh là 0.7722, cao hơn so với 𝑅 2 hiệu chỉnh của mô hình 1 là 0.767 Do đó, có thể kết luận rằng mô hình 2 hiệu quả hơn mô hình 1.
2.3 Xây dựng mô hình 3 loại bỏ biến wall_thickness từ mô hình 2
Hình 24 Kết quả mô hình 1.3.
Nhận xét: Mô hình 3 có 𝑅 2 hiệu chỉnh = 0.7759 lớn hơn 𝑅 2 hiệu chỉnh của mô hình 2 (0.7722) nên có thể cho rằng mô hình 3 hiệu quả hơn.
2.4 Xây dưng mô hình 4 loại bỏ biến infill_density từ mô hình 3
Hình 25 Khởi chạy và kết quả mô hình 1.4.
Nhận xét: Mô hình 4 có 𝑅 2 hiệu chỉnh = 0.7771 lớn hơn 𝑅 2 hiệu chỉnh của mô hình 3 nên có thể cho rằng mô hình 4 tối ưu hơn mô hình 3.
2.5 Xây dựng mô hình 5 loại bỏ biến materialpla từ mô hình 4
Hình 26 Khởi chạy và kết quả mô hình 1.5.
Nhận xét: Mô hình 5 có 𝑅 2 hiệu chỉnh = 0.7775 lớn hơn 𝑅 2 hiệu chỉnh của mô hình 4 (0.7771) nên có thể cho rằng mô hình 5 tối ưu hơn mô hình 4.
Kết luận cho thấy mô hình 5 đạt hiệu quả cao nhất trong việc phân tích, với 77.75% sự biến thiên của các thông số điều chỉnh trong máy in 3D ảnh hưởng đến độ nhám của bản in.
2.6 Kiểm tra các giả định của mô hình
- Đồ thị phân tích phần dư để kiểm tra các giả định trong phân tích hồi qui tuyến tính.
Đồ thị 1 (Residuals vs Fitted) cho thấy đường màu đỏ hơi cong, vi phạm giả thuyết tuyến tính, nhưng gần với đường nằm ngang, xác nhận phần dư có trung bình bằng 0 Đồ thị 2 (Q-Q Residuals) cho thấy các điểm sai số gần đường kỳ vọng phân phối chuẩn, thỏa mãn giả định sai số có phân phối chuẩn Đồ thị 3 (Scale-Location) với trục tung là căn bậc hai của giá trị sai số (chuẩn hóa) và trục hoành là giá trị 𝑦̂ 𝜄 của biến phụ thuộc, cho thấy đường màu đỏ có độ dốc, vi phạm giả định phương sai của sai số là cố định Cuối cùng, đồ thị 4 (Residuals vs Leverage) không có đường Cook’s distance, cho thấy không có điểm nào ảnh hưởng cao cần loại bỏ trong bộ dữ liệu.
Ảnh hưởng của các thông số điều chỉnh trong máy in 3D đến độ căng của bản in
Biến phụ thuộc: tension_strenght
Biến dự báo (biến độc lập): layer_height, wall_thickness, infill_density, nozzle_temperature, bed_temperature, print_speed, infill_pattern, material.
Mô hình được biểu diễn như sau: tension_strenght = β 0 + β 1 layer_height + β 2 wall_thickness + ⋯ + β8 materialpla + ε
Ta đặt bài toán kiểm định giả thuyết:
𝐻 0 : hệ số hồi quy không có ý nghĩa thống kê (𝛽 𝑖 = 0)
𝐻 1 : hệ số hồi quy có ý nghĩa thống kê (𝛽 𝑖 ≠ 0)
3.1 Ước lượng các hệ số 𝜷 𝒊
Hình 28 Khởi chạy và kết quả mô hình phân tích hồi quy 2 – mô hình 1
Mô hình hồi quy tuyến tính lúc này:
Giá trị P = 1.456e-07 nhỏ hơn mức ý nghĩa 5%, cho thấy mô hình có ý nghĩa cao Điều này chỉ ra rằng ít nhất một biến dự báo trong mô hình có khả năng giải thích tốt cho biến độ nhám của độ bền kéo (tension_strength).
Trong bài toán kiểm định giả thuyết 𝐻0, p-value cho các biến infill_patternhoneycomb, print_speed và materialpla lớn hơn mức ý nghĩa cho thấy các biến này không có ảnh hưởng đáng kể đến mô hình hồi quy Do đó, chúng ta có thể loại bỏ các biến này khỏi mô hình để cải thiện tính chính xác và hiệu quả của phân tích.
3.2 Xây dựng mô hình 2 loại bỏ biến material từ mô hình 1
Hình 29 Khởi chạy và kết quả mô hình 2.2.
Nhận xét: Mô hình 2 có 𝑅 2 hiệu chỉnh = 0.5865 lớn hơn 𝑅 2 hiệu chỉnh của mô hình 1 (0.5767) nên có thể kết luận rằng mô hình 2 hiệu quả hơn mô hình 1.
3.3 Xây dựng mô hình 3 loại bỏ biến print_speed từ mô hình 2
Hình 30 Khởi chạy và kết quả mô hình 2.3.
Nhận xét: Mô hình 3 có 𝑅 2 hiệu chỉnh = 0.5938 lớn hơn 𝑅 2 hiệu chỉnh của mô hình 2 (0.5865) nên có thể kết luận là mô hình 3 hiệu quả hơn
3.4 Xây dựng mô hình 4 loại bỏ biến infill_pattern từ mô hình 3
Hình 10 Khởi chạy và kết quả mô hình 2.4.
Nhận xét: Mô hình 4 có 𝑅 2 hiệu chỉnh = 0.5995 lớn hơn 𝑅 2 hiệu chỉnh của mô hình 3 (0.5938) nên có thể cho rằng mô hình 4 hiệu quả hơn mô hình 3.
Kết luận cho thấy mô hình 4 là mô hình hiệu quả nhất trong các thử nghiệm, với khả năng giải thích 59.95% sự biến thiên của các thông số điều chỉnh trong máy in 3D ảnh hưởng đến độ căng của bản in.
3.5 Kiểm tra các giả định của mô hình Đồ thị kiểm tra các giả định của mô hình:
Hình 32 Đồ thị kiểm tra các giả định của mô hình phân tích hồi quy 2.4
Đồ thị 1 (Residuals vs Fitted) cho thấy đường màu đỏ hơi cong nhưng vẫn nằm ngang, chứng tỏ giả thuyết tuyến tính tương đối thỏa mãn với phần dư có trung bình bằng 0 Đồ thị 2 (Q-Q Residuals) cho thấy các điểm sai số gần sát đường kỳ vọng phân phối chuẩn, khẳng định giả định về phân phối chuẩn của sai số Đồ thị 3 (Scale-Location) với đường màu đỏ có độ dốc cho thấy giả định về phương sai của sai số không thỏa mãn Cuối cùng, Đồ thị 4 (Residuals vs Leverage) không xuất hiện đường Cook’s distance, cho thấy không có điểm nào có ảnh hưởng cao cần loại bỏ trong bộ dữ liệu.
Ảnh hưởng của các thông số điều chỉnh của máy in đến độ giãn dài của bản in
Biến dự báo (biến độc lập): layer_height, wall_thickness, infill_density, infill_pattern, nozzle_temperature, bed_temperature, print_speed, material.
Mô hình được biểu diễn:
Ta đặt bài toán kiểm định giả thuyết:
𝐻 0 : hệ số hồi quy không có ý nghĩa thống kê (𝛽 𝑖 = 0)
𝐻 1 : hệ số hồi quy có ý nghĩa thống kê (𝛽 𝑖 ≠ 0)
4.1 Ước lượng các hệ số 𝜷 𝒊 (mô hình 1)
Hình 34 Khởi chạy và kết quả mô hình phân tích hồi quy 3 – mô hình 1
Mô hình hồi quy tuyến tính lúc này:
Giá trị p là 2.839e-08, thấp hơn mức ý nghĩa, cho thấy ít nhất một biến dự báo trong mô hình có khả năng giải thích cao cho biến độ giãn dài (elongation).
Hệ số p-value của các biến wall_thickness, infill_patternhoneycomb, print_speed và material đều lớn hơn mức ý nghĩa, cho thấy chúng không có ý nghĩa trong mô hình hồi quy hiện tại Do đó, chúng ta chưa đủ cơ sở để bác bỏ giả thuyết 𝐻0 và có thể loại bỏ các biến này khỏi mô hình hồi quy.
4.2 Xây dựng mô hình 2 loại bỏ biến material từ mô hình 1
Hình 35 Khởi chạy và kết quả mô hình 3.2
Nhận xét: Mô hình 2 có 𝑅 2 hiệu chỉnh = 0.6194 lớn hơn 𝑅 2 hiệu chỉnh của mô hình 1 (0.6103) nên có thể cho răng mô hình 2 hiệu quả hơn mô hình 1.
4.3 Xây dựng mô hình 3 loại bỏ biến infill_patternhoneycomb từ mô hình 2
Hình 36 Khởi chạy và kết quả mô hình 3.3.
Nhận xét: Mô hình 3 có 𝑅 2 hiệu chỉnh = 0.6272 lớn hơn 𝑅 2 hiệu chỉnh của mô hình 2 (0.6194) nên có thể cho rằng mô hình 3 hiệu quả hơn mô hình 2.
4.4 Xây dựng mô hình 4 loải bỏ biến print_speed từ mô hình 3
Hình 37 Khởi chạy và kết quả mô hình 3.4.
Nhận xét: Mô hình 4 có 𝑅 2 hiệu chỉnh = 0.6218 nhỏ hơn 𝑅 2 hiệu chỉnh của mô hình 3 (0.6272) nên có thể cho rằng mô hình 3 hiệu quả hơn mô hình 4.
4.5 Xây dựng mô hình 5 loại bỏ biến wall_thickness từ mô hình 3
Hình 38 Khởi chạy và kết quả mô hình 3.5.
Nhận xét: Mô hình 5 có 𝑅 2 hiệu chỉnh = 0.6219 nhỏ hơn 𝑅 2 hiệu chỉnh của mô hình 3 (0.6272) nên có thể cho rằng mô hình 3 hiệu quả hơn.
Kết luận từ các thử nghiệm cho thấy mô hình 3 là mô hình hiệu quả nhất, với 62.72% sự biến thiên của các thông số điều chỉnh trong máy in 3D ảnh hưởng đến độ giãn dài của bản in.
4.6 Kiểm tra các giả định của mô hình hồi quy
Dựa vào đồ thị kiểm tra các giả định của mô hình:
Hình 39 Đồ thị kiểm tra các gải định của mô hình phân tích hồi quy 3.3
Đồ thị 1 (Residuals vs Fitted) cho thấy đường màu đỏ hơi cong nhưng vẫn nằm ngang, cho thấy giả thuyết tuyến tính tương đối thỏa mãn và phần dư có trung bình bằng 0 Đồ thị 2 (Q-Q Residuals) cho thấy các điểm sai số gần sát đường kỳ vọng phân phối chuẩn, chứng tỏ giả định sai số có phân phối chuẩn được thỏa mãn Đồ thị 3 (Scale-Location) với đường màu đỏ có độ dốc nhưng vẫn tương đối thẳng, cho thấy giả định phương sai của sai số là cố định tương đối thỏa mãn Cuối cùng, Đồ thị 4 (Residuals vs Leverage) không xuất hiện đường Cook’s distance, chứng tỏ không có điểm nào gây ảnh hưởng cao cần loại bỏ trong bộ dữ liệu.
Code R
Nguồn code có thể được truy cập tại đây: code R
