Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 tích phân bội ba

Tọa độ Descartes - M t H tộ ệ ọa độ Descartes tiếng Anh: Cartesian coordinate system xác định v ị trí của một điểm point trên một mặt phẳng plane cho trước bằng một cặp số tọa độ ,.. 2

ĐẠ I HỌC QU C GIA TP H CHÍ MINH Ố Ồ

🙞···☼···🙜🙜

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2: TÍCH PHÂN BỘI BA

Nhóm 6_ L21 GVHD : Lê Thị Yến Nhi

L i C ờ ảm ơn

Quá trình thực hiện báo cáo bài tập lớn là giai đoạn rất quan trọng với chúng em Đối với chúng em, Giải tích 2 là tiền đề quan trọng cho chúng em những kỹ năng và những kiến thức quý báu cho quá trình học tập Chúng em xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Yến Nhi đã tận tình giúp đỡ, giảng dạy và định hướng chúng em trong cách tư duy và phát triển lối làm việc khoa học Đó là những góp ý quý báu, là nền tảng thực hiện để chúng em có thể hoàn thành tốt bài tập lớn này Do giới hạn kiến thức cũng như còn nhiều thiếu sót và hạn chế Kính mong sự chỉ dẫn và đóng góp của cô để chúng em có thể hoàn thiện bản thân mình hơn Chúng em xin chân thành cảm ơn

4

MỤC L C Ụ

MỤC LỤC 4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5

1 Tọa độ Descartes 5

2 Tọa độ trụ 6

3 Tọa độ hình cầu 7

CHƯƠNG 2: NỘI DUNG LÀM BÀI VÀ KẾT QUẢ 8

1 Tích phân bội ba trong tọa độ Descartes: 8

2 Tích phân bội ba trong tọa độ trụ: 15

3 Tích phân bội ba trong tọa độ hình cầu: 20

CHƯƠNG 3: Ứ NG DỤNG C ỦA TÍCH PHÂN BỘI 3 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO 23

CHƯƠNG 1 : CƠ SỞ LÝ THUYẾ T -Tích phân bội ba là tích phân có dạng F x y z dxdy( , , )



 với  là khối v t th ậ ểđược gi i hớ ạn b i nhiở ều phương trình

1 Tọa độ Descartes

- M t H tộ ệ ọa độ Descartes (tiếng Anh: Cartesian coordinate system) xác định v ị trí của một điểm (point) trên một mặt phẳng (plane) cho trước bằng một cặp số tọa độ ( , ) x yTrong đó, x và ylà 2 giá trị được xác định bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo) 2 đường thẳng đó gọi là trục tọa độ (coordinate axis) (hoặc đơn

giản là trục); trục n m ngang gằ ọi là trục hoành, trục đứng gọi là trục tung; điểm giao nhau của 2 đường gọi làg c tố ọa độ(origin) và nó có giá trị là (0, 0)

- Ngoài ra, ý tưởng v h tề ệ ọa độ có thể được m rở ộng ra không gian ba chiều dimensional space) bằng cách sử ụ d ng 3 tọa độ Descartes (nói cách khác là thêm một trục tọa độ vào một hệ tọa độ Descartes) Một cách tổng quát, một hệ tọa độ n-chiều

(three-có thể được xây dựng bằng cách sử dụng n tọa độ Descartes (tương đương với n-trục)

Định nghĩa: Trong h tệ ọa độ hình trụ m, ột điểm trong không gian được bi u di n b ng ể ễ ằ

bộ ba có thứ tự (r, θ, z) trong đó P được biểu thị b ng bằ ộ ba có thứ tự (r, θ, z):

• ( r , ) θ là tọa độ cực của hình chiếu của điểm trong mặt phẳng xy

• z thông thường -z tọa độthông thường trong hệ tọa độ Descartes

- Mối quan hệ giữa tọa độ Descartes và tọa độ trụ:

3 Tọa độ hình cầu

-Trong hệ tọa độ Descartes, vị trí của một điểm trong không gian được mô tả bằng cách sử dụng một bộ ba có thứ tự, trong đó mỗi tọa độ biểu thị một khoảng cách bên trong hệ tọa độ trục vị trí của một điểm trong không gian được mô tả bằng hai khoảng cách (r và một số đo góc z)(θ) bên trong hệ tọa độ cầu, chúng tôi lại sử dụng một bộ ba

có thứ tự để mô tả vị trí của một điểm trong không gian

- Trong trường hợp này bộ ba mô tả một khoảng cách và hai góc Tọa độ hình cầu giúp việc mô tả một quả cầu, cũng như tọa độ trụ giúp dễ dàng mô tả một hình trụ Đường lưới cho tọa độ cầu dựa trên các số đo góc, giống như các đường lưới cho tọa

độ cực

Định nghĩa: Trong h tệ ọa độ ầ c u một điểm P trong không gian được bi u di n b i b ể ễ ở ộ

ba có thứ tự 𝜌, 𝜃, 𝜑 trong đó P trong không gian được biểu diễn bởi bộ 3 có thứ tự

xz

8

CHƯƠNG 2: NỘI DUNG LÀM BÀI VÀ KẾT QUẢ

1 Tích phân bội ba trong tọa độ Descartes:

Câu 1: Tính khối lượng vật thể Ω bị giới h n bạ ởi các mặt: z = 0, x + y + z = 3, 3x + y = 3, 3x + 2y = 6, bi t khế ối lượng riêng tại điểm P(x,y,z) là p(x,y,z) = x + y

Câu 2: Tính thể tích vật thể Ω giới h n bạ ởi các mặt: z = 0, z = 4 – x², y = 0,2y + z = 4

4 64

5

z x

3 4

của nước trong b ể thay đởi theo

chiều cao và được mô tả ởi hàm số b

𝑀 = ∭ 

𝑉1000 + ∭ 𝑑𝑉

𝑉50𝑧𝑑𝑉 Tính tích phân thứ nhất:

2 Tọa độ ủa tâm khới ( c 𝑥‾, 𝑦‾, 𝑧‾) được xác định bằng các công thức sau:

𝑥‾ =𝑀 ∭ 1

𝑉 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝑦‾ =𝑀 ∭ 1

𝑉 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝑧‾ =𝑀 ∭ 1

𝑉 𝑧𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

Do đới xứng của bể, ta có thể suy ra:

𝑥‾ =𝑀 ∭ 1

𝑉𝑥(1000 + 𝑧)50 𝑑𝑉 Giới hạn tích phân:

25200 2133 33 12 × = 1 mVậy tọa độ ủa tâm khố ủa nướ c i c c trong b ể là (𝑥‾, 𝑦‾, 𝑧‾) = (2,1.5,1) m

M_y = integral3(@(x, y, z) y * f(x, y, z), x_min, x_max, y_min, y_max, z_min, z_max);

M_z = integral3(@(x, y, z) z * f(x, y, z), x_min, x_max, y_min, y_max, z_min, z_max);

2 Tích phân bội ba trong tọa độ trụ:

r_max = @(phi, r, z) 2*sin(phi);

z_min = @(phi,r,z) [(r.*sin(phi)/3)-1];

z_max = @(phi,r,z) [3-(r.*sin(phi))];

The_tich = integral3(fun, phi_min, phi_max, r_min, r_max, z_min, z_max);

disp(['The tich vat the la: ', num2str(The_tich)]);

K T QU : Ế Ả

Câu 2: Tính tích phân

I = ∬ ∫ 2

√x2+ y2 Ω

dxdydz với Ω là miền gi i h n bớ ạ ởi x2+ y = 4, z = 0, y + z = 32

2π

= ∫ (6.2 − 22π 2sinφ)dφ

= (√3 − √22 ) 6415 +12 8 =π 2π3 +3215 (√3 − √22 )

Câu 4 Tính tích phân bộ: i ba ∭𝑉 𝑥𝑦𝑧2𝑑𝑉, trong đó là khốB i hộp ch ữ nhật được cho bởi B = {(x, y, z) ∣ 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ 𝑦 ≤ 2,0 ≤ 𝑧 ≤ 3}

f trên nhưng bằE ng 0 với mọi điểm thuộc B nhưng không thuộc E

20

3 Tích phân bội ba trong tọa độ hình cầu:

- Đổi bi n trong tế ọa độ ầu: c

+ S dử ụng trong bài toán có Ω giới hạn bởi mặt cầu hoặc giao gi a m t cữ ặ ầu và mặt nón hoặc mặt cầu b ị chắn ngang b i m t ph ng ở ặ ẳ

= 2π ∫arctan12sinθdθ.

0 ∫√5ρ ρ2dρ

2 cosθ

= 2π ∫arctan12(25 − 164cos θ4 ) sinθdθ

CHƯƠNG 3: Ứ NG DỤNG C ỦA TÍCH PHÂN BỘ I 3

Nhắc l i rạ ằng nếu f(x, y) ≥ 0 thì tích phân đơ ∫𝑎𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 n dithể hiệ ện tích của miền nằm dưới đường cong y = f(x) ừ a tới b, nếu f(x, y) ≥ 0 thì tích phân kép t

∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 n th thể hiệ ể tích của v t th nậ ể ằm dưới m t cong ặ z = f(x, y) và trên miền D Sự giải thích tương ứng của tích phân bội ba ∭  𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐸 𝑑𝑉 ới v

f(x, y, z) ≥ 0 là không hữu dụng bởi vì nó cần "siêu thể tích" (hypervolume) của đối tượng b n chi u, tố ề ất nhiên điều này rất khó hình dung (Nhớ rằng E là miền xác định của hàm f, đồ thị của f nằm trong không gian 4 chiều.) Dù sao, tích phân bội ba có thể được giải thích theo cách khác trong tình huống vật lý khác, phụ thuộc vào sựu giải thích vật lý của x, y, z và f(x, y, z)

=>𝑉(𝐸) =∭𝐸 𝑑𝑉

TÀI LIỆU THAM KHẢO

• https://youtu.be/e1zyt26NBZ4?si=q5irV7D2Jb6767hs

• https://www.geogebra.org/3d?lang=vi