Dựng mô hình và tính thể tích khối vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng

Lời nói đầi Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta hay tiếp xúc hoặc quan sát thấy những vật thể có dạng hình khối được giới hạn bởi các mặt phẳng chẳng hạn như các loại hộp dựng, tủ quần

TRƯỞNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

GVHD: Huỳnh Thi Vu

SV thực hiện Nguyễn Hoàng Chương 2010967 chuong.nguyenhcmut0173@hemut.edu.vn

Duong Anh Cuong 2112957 cuong.duonganh@hcmut.edu.vn

Nguyễn Đại Dương 2113094 duong.nguyendaiduong@hcmut.edu.vn

Lé Khanh Duy 2113009 duy.le110cdt142@hcmut.edu.vn

Tp HồChí Minh, Tháng 4/2022

2.2 Tich phan bGi 2 2 QO Qua cv v V VN V TY Ta

23 Tích phân kếp và ứng dụng tích phân kép tính diện tích các mặt và thể tích vật thể 2.4 Tích phân bội ba và ứng dụng của tích phân bội ba tính thể tích vậtthể 7

2.5 Ưng dụng tích phân đường tính diện tích mặt

2.6 Ưng dụng tích phân mặt tính diện tích

3.1 Mô hình I: Mũi tiện Ce va

Bảng phân công công việc

2010967 | Nguyễn Hoàng Chương | Trình bày, tổng hợp LaTeX 100%

2113094 | Nguyễn Đại Dương Nềì tảng, cơ sở lí thuyết, kiểm tra kết quả + thuyết trình 100%

2113009 | Lê Khánh Duy Thực hành(vẽ & tính), dựng + tính thể tích bài tập phụ 100%

Đề bài tập lớn môn Giải Tich 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 2/28

Loi cam ơn

Chúng em xin cảm ơn cô Huỳnh Thị Vu, người vừa là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Giải Tích

2, vừa là ngươi định hướng, truyền đạt cho chúng em các kiến thức cần thiết để hoàn thành bài báo cáo

này Một lần nữa, chúng em xin cảm ơn và trân trọng sự tận tâm của cô Chúc cô luôn có nhi`âi sức khỏe!

Đề bài tập lớn môn Giải Tich 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 3/28

Lời nói đầi

Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta hay tiếp xúc hoặc quan sát thấy những vật thể có dạng hình khối được giới hạn bởi các mặt phẳng chẳng hạn như các loại hộp dựng, tủ quần áo, các tòa nhà hay

các công trình kiến trúc khác Để tìm hiểu cách tạo hình cũng như diện tích và thể tích của chúng thì nhóm chúng em, được sự hướng dẫn của giảng viên là cô Huỳnh Thị Vu đã nghiên cứu và tìm hiểu về đề

tài: <Dựng, tính diện tích các mặt và thê tích của khối vật thể được giới hạn bởi các mặt phẳng= Qua đề

tài lẦa này, chúng ta sẽ biết được cách dựng hình bằng ứng dụng Geogebra, cách ứng dụng các kiến thức

đã học vào trong thực tế Do kiến thức và hiểu biết của nhóm chúng em có hạn, đồng thoi trong qua trình thực hiện không thể tránh khỏi những sai xót có thể dẫn đến kết quả thiếu tính chính xác tuyệt

đối, mong nhận được sự góp ý chân thành của cô

Đề bài tập lớn môn Giải Tich 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 4/28

IãTEX là một công cụ soạn thảo các văn bản khoa học chuyên nghiệp, đặc biệt là các công thức Toán

học với nhi công dụng vô cùng hữu ích, có thể chạy hoàn toàn miễn phí trên hệ thống phần cứng và

các hệ đi`âi hành khác

IATEX được ra đời vào năm 1985, do giáo sư toán học Donald Knuth phát minh, là một phầì mềền sắp chữ mã nguồn mở được Leslie Lamport phát triển dựa trên n\XT Ngày nay, KEX được sử dụng rộng rãi trên toàn thế giới, được dùng làm tiêu chuẩn chế bản cho các nhà in sách, tạp chí khoa học, các

ấn phẩm khác, được đưa vào chương trình giảng dạy, ứng dụng làm poster, viết bài báo khoa học, tạo file trình chiếu hay làm luận văn Ngoài được ứng dụng trong lĩnh vực toán hếEEÄL,hiện nay đã phát triển mạnh mẽ ở các ngành khoa học khác như vật lý, hóa học,

Tính chất

¢ LAIEX phù hợp khi bạn cần soạn thảo văn bản dài, tài liệu, ebook, đồ án, công thức toán hoc ma

không có nhi`âi định dạng, hiệu ứng

¢ LATEX thể hiện sự chuyên nghiệp, người sử dụng chỗ cần tập trung cho việc soạn thảo còn việc định dạng thì sẽ được phần mần tự động điâi chồnh một cách hợp lệ

Ưu điểm

s Định dạng văn bản đầu, chuyên nghiệp và đẹp mắt

Hỗ trợ soạn thảo các công thức toán, các hình vẽ, mã nguồn lập trình, tạo các cấu trúc phức tạp như ch mục, mục lục, phụ lục, tài liệu tham khảo một cách dễ dàng

Người sử dụng chỗ cần học một số lệnh dễ nhớ để xác định cấu trúc logic của tài liệu và gần như

không phải suy nghĩ nhiềi đến việc trình bày bản ¡n Việc trình bay bản in duoc thực hiện một cách tự động bởi công cụ sắp chữ

« Có hệ thống định dạng, bố trí chuyên nghiệp, dễ dàng để người sử dụng có thể tập trung cho việc

soạn thảo văn bản

Soạn thảo nội dung nhanh chóng, các bước thiết lập kiểu riêng biệt được thực hiện ở cuối, giúp tiết

kiệm thời gian

Đề bài tập lớn môn Giải Tich 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 5/28

12 Geogebra

GeeGebra

Dynamic Mathematics for Everyone

GeoGebra 1A mét ph% mn hinh hoc déng hỗ trợ giảng day trong trường học Tác giả Markus Hohenwarter khởi động dự án từ năm 2001 tại trường đại học Salzburg và hiện đang tiếp tục phát triển tại trưởng đại học Florida Atlantic GeoGebra được viết trên Java và vì thế là phầi mền đa nền

13 MatLab

Matlab (tén viét t&t cia Matrix laboratory) la phY% mn cung cap méi trường tính toán số và lập trình, do công ty MathWorks thiết kế Matlab cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay

biểu đồ thông tổn, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình

máy tính viết trên nhiâi ngôn ngữ lập trình khác

Matlab dùng để giải quyết các bài toán về giải tích số, xử lý tín hiệu số, xử lý đồ họa mà không phải lập trình cổ điển Hiện nay, Matlab có đến hàng ngàn lệnh và hàm tiện ích Ngoài các hàm cài sẵn trong

chính ngôn ngữ, Matlab còn có các lệnh và hàm ứng dụng chuyên biệt trong các Toolbox để mở rộng môi trưởng Matlab, nhằm giải quyết các bài toán thuộc các phạm trù riêng Các Toolbox khá quan trọng và

tiện ích cho người dùng như toán sơ cấp, xử lý tín hiệu số, xử lý ảnh, xử lý âm thanh, ma trận thưa, logic mo

2_ Cơ sở lí thuyết

2.1 Vẽ vật thể giới hạn

Không gian ba chiềầI là một mô hình hình học có ba thông số (không tính đến thơi gian), trong đó

bao gìn tất cả các vật chất được chúng ta biết đến Ba chiêi được nhắc đến ở đây thường 1a chia dai,

chiên rộng va chi: cao (hoặc chia sau) Ba hướng bất kì nào cũng có thể được chọn, miễn là chúng không nắm trong cùng một mặt phăng

Trong vật lý và toán học, một chuỗi các con số n có thể được hiểu là một vị trí trong không gian n chiêu Khi n= 3, tập hợp tất cả các vị trí đó được gọi là không gian Euclide 3 chi, thưởng ký hiệu là R” Không gian này chỗ là một ví dụ trong một loạt các không gian ba chiềêi thưởng gọi là đa tạp ba chi “au

1 Trục Ox 1ó

Truc Oy

2.2 Tích phân bội

Tích phân bội là một loại tích phân xác định được mở rộng cho các hàm có nhii¡ hơn một biến thực,

ví dụ, ƒ(x, y) hoặc ƒ(x, y, z) Các tích phân của một hàm hai biến trên một vùng trong không gian R7 được gọi là tích phân kép, và tích phân của hàm ba biến trên một mi của RỞ được gọi là tích phân bội

ba

Tích phân bội có nhiêi ứng dụng trong thực tiễn Trong bài báo cáo này chúng ta biết được cách sử dụng tích phân bội ( tích phân kép và tích phân bội ba) trong việc tính toán diện tích bề mặt vật thể và

thể tích vật thể (Áp dụng cho Khối vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng)

23 Tích phân kép và ứng dụng tích phân kép tính diện tích các mặt và thể tích vật thể

a Tính diện tích mặt, min cho sẵn

Diện tích mi, mặt cho sẵn sẽ được tính theo công thức:

oo ldx dy S=

b Tính thể tích vật thể D Thể tích vật thể, cụ thể trong bài báo cáo là thể tích của khối vật thể giới hạn bởi miền D,

giới hạn xung quanh bởi những đương tháng song song với trục Oz thì có công thức:

Nếu giới hạn này tồn tại, lúc này f(x, y z) được gọi là hàm khả tich trén Q

° Ứng dụng của tích phân bội ba tính thể tích vật thể

Thể tích của vật thể được tính theo công thức

ooo 1 dx dydz V=

f(x, y)dl = Ï f&,y@)) 1 + (y@)#2dt

Trưởng hợp x=x(y),c < y`Ê d thì:

6Q oP

P(x, y)dx + Q(x, y)dy =+

Dấu ” + ”nếu chiềêi lấy tích phân trùng với chỉềi dưỡng quy ước Ngược lại, ta lấy dấu ”-”

Ung dung dinh ly Green tinh dién tich mat

Từ céng thttc Green cho P(x, y) = x va Q(x, y) = -—y ta được:

1

HH dx dy= ~O x dy -y dx

Sp = Chú ý: Tích phân theo biên C của mi& D phai lấy theo chiôềi dương (chiềầi ngược kim đồng h3

Đề bài tập lớn môn Giải Tich 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 8/28

3 Các khối vật thể giới hạn bởi mat phang

3.1 Mô hình 1: Mũi tiện

Result More digits

41

s +V5 ~22.7361 Computation result

1 2(41+2V5)

POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE

ffoo fffeas ft

a nan io

D

O,0,3 202 + x dxdy v3 = 16(cm*)

[Tổ Stepby-step solution }

Đề bài tập lớn môn Giải Tich 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 14/28

Do khối có tính đối xứng nên ta chia khối làm hai phần bằng nhau, mặt chia là mặt phẳng, y =3

7 3y z=0 x= 0

Ta thực hiện tính toán trên khối LI (Một nửa của khối lăng vB 2

3 [jyW5% dx oa

Visual representation of the integral

left sum 2

4 (assuming subintervals of equal length)

Indefinite integral Approximate form [% Step-by-step solution

favs ar= 225 « constant

Đề bài tập lớn môn Giải Tich 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 18/28

Trưởng Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

%& WolframAlpha ex"

tt :

0 Ân: cao NT * v KTĐẶC:) ^A +

Indefinite integral Approximate form [¥ Step-by-step solution

Diện tích xung quanh của kim tự tháp:

POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE

Đề bài tập lớn môn Giải Tich 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 21/28

3.4 Mô hình 4: Khối rubik

a Dựng hình trong Geogebra Tham số hóa

283 { = Surface(t,—2+ t + s (8 — 2 t),2 v2,t,2,4,s,0,1)

+

— | =2+t+s(8—2t)

283 i= Curve (2,4,t,t,0,2 v2)

Trưởng Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

3 [free [Eons (aes

POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE

= Diện tích toàn phần khối rubik = 2.24 = 48

c Thể tích

1— 22

RZ =0 : 2⁄x<4

x(u ,v ,r)=(l-u)x(3+ rzcos(v ))xcos (4*pi «u);

y(u , v,r)=(1l-u)*(3+ r «cos( v ))* sin (4*pi xu);

A=[diff(x,u) diff(x,v) diff(x,r); diff(y ,u) diff(y,v) diff(y ,r); diff(z,u) diff(z,v) diff(z,r)];

Bedet(A) ;

V=int (int (int (B,r,0,1),v,0 ,2xpi),u,0,1);

fprintf(’Gia tri cua V=%.\n’, V);

funx = @(u ,v) (1-u).*«(3+cos(v)) «cos (4.* pi *u);

funy = @(u ,v) (1-u).*(3+cos(v)) «sin (4.* pi *u) 3

funz = @(u ,v) 3.«u+(l-u ) * s in(v) ;

f surf( funx ,funy,funz,[0 1 0 2xpi])

camlight

*« Kết quả

Đề bài tập lớn môn Giải Tich 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 26/28

IIEX

Đề bài tập lớn môn Giải Tich 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 27/28

Tài liệu

[1l Nguyễn Đình Huy (2018) Giải Tích 2, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Mình

[2] TS Lê Xuân Đại Bài giảng điện tử Giải tích 2

[3] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole

[4] H.Anton, I.Bivens, S.Davis (2012) Calculus Early Transcendentals, 10th edition, Wiley