TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠIKhoa Tài chính – Ngân hàng Học Phần: TOÁN ĐẠI CƯƠNG Bài Thảo Luận: Chủ đề: Bài toàn ước lượng và kiểm định trong phân tích... Phương pháp ước lượng bằng khoảng
PHẦN MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của đề tài
Trong bối cảnh phát triển toàn cầu hiện nay, ứng dụng của khoa học xác suất thống kê ngày càng trở nên quan trọng trong nhiều lĩnh vực như khoa học công nghệ, kinh tế, chính trị và đời sống hàng ngày Nghiên cứu số liệu không chỉ cần thiết mà còn giúp chúng ta rút ra những kết luận đáng tin cậy, từ đó điều chỉnh các hoạt động nghiên cứu khoa học và xã hội Việc áp dụng những thành tựu này vào thực tiễn sẽ góp phần xây dựng một xã hội tốt đẹp hơn.
Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy cho phép ước lượng tham số θ của đại lượng ngẫu nhiên X trong một đám đông cụ thể, với sai số ɛ và xác định khả năng mắc sai lầm trong ước lượng Ngay cả với mẫu nhỏ, phương pháp này vẫn mang lại kết quả chính xác với sai số tối thiểu Bằng cách áp dụng ước lượng khoảng tin cậy, chúng ta có thể giải quyết nhiều bài toán thống kê phổ biến, chẳng hạn như ước lượng tỷ lệ thời gian sinh viên dành cho công việc làm thêm hoặc tuổi thọ trung bình của bóng đèn dây tóc.
Thống kê nói chung và các bài toán kiểm định, ước lượng nói riêng đều có ứng dụng rộng rãi trong thực tế về đời sống.
Nó không chỉ giải quyết các vấn đề thực tiễn mà còn cả những thách thức trong nghiên cứu khoa học Các phương pháp ước lượng và kiểm định đóng vai trò quan trọng trong việc xử lý nhiều vấn đề xã hội.
Để đánh giá chất lượng đời sống của người dân, cần ước lượng chiều cao trung bình của trẻ em dưới 16 tuổi, trọng lượng trung bình của trẻ sơ sinh và tỷ lệ đói nghèo Những chỉ số này phản ánh tình trạng sức khỏe và dinh dưỡng của cộng đồng, từ đó giúp nhận diện các vấn đề xã hội cần được cải thiện.
Kinh tế Việt Nam hiện đang đối mặt với nhiều thách thức, bao gồm cả kinh tế vi mô và vĩ mô Tỉ lệ thất nghiệp của người lao động đã gia tăng đáng kể sau đại dịch COVID-19, trong khi tỉ lệ xuất nhập khẩu hàng hóa biến động qua từng năm Bên cạnh đó, tỉ lệ GDP bình quân cũng là một yếu tố quan trọng phản ánh tình hình kinh tế đất nước.
Nội dung bài thảo luận
Chương 1: Cơ sở lý thuyết về ước lượng và kiểm định thống kê
Chương 2: Một số ví dụ minh họa cho ước lượng và kiểm định trong bài toán thực tế cuộc sống
Cơ sở lý thuyết về ước lượng và kiểm định thống kê
Uớc lượng
Để ước lượng tham số θ, ta lấy mẫu từ đám đông với các giá trị W ¿(X 1 , X 2 , , X n) Từ mẫu này, ta xây dựng thống kê θ * ¿ f (X 1 , X 2 , , X n) Để thực hiện ước lượng điểm, chỉ cần điều tra và cung cấp một mẫu cụ thể ω ¿(x 1 , x 2 , , x n) với kích thước n đủ lớn, từ đó suy ra θ ≈ θ * ¿f(x 1 , x 2 , , x n).
Ta có thể lấy ước lượng điểm như sau:
Lấy trung bình mẫu X để ước lượng trung bình đám đông μ ¿E (X)
Lấy phương sai mẫu điều chỉnh S '2 để ước lượng phương sai của đám đông σ 2 =Var ( X )
Lấy tần số mẫu f để ước lượng tỉ lệ đám đông p
1.2 Ước lượng khoảng tin cậy Để ước lượng tham số θ của đại lượng ngẫu nhiên X trước hết từ đám đông ta lấy mẫu ngẫu nhiên W ¿(X 1 , X 2 , , X n )
Tiếp đến ta xây dựng thống kê G ¿ f (X 1 , X 2 , , X n ), sao cho quy luật phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định Với xác suất γ=¿
1−α cho trước ta xác định các cặp giá trị α ,α thỏa mãn điều1 2 kiện α1 ≥0 , α2 ≥0và g 1−α 1 và g α 2 sao cho: P ( G>g 1−α 1)¿ 1−α và P ( G>g α 2) ¿ α 2
Biến đổi tương đương, ta có: P¿ θ 1 ¿ t α /2
Kiểm định cặp giả thuyết thống kê { H H 0 1 : :μ μ μ=μ > 0 0
Với α cho trước, ta xác định được phân vị t α
)=α Ta có miền bác bỏ W α = { t tn :t tn >t α
Kiểm định cặp giả thuyết thống kê { H H 0 1 : :μ μ μ=μ < 0 0
Với α cho trước, ta xác định được phân vị t α
)=α Ta có miền bác bỏ W α = { t tn :t tn ←t α
Trong các miền bác bỏ của 3 bài toán trên thì U = X−μ σ 0
Nếu H 0 đúng thì U ≃ N (0,1) Phần còn lại làm tương tự như Dạng 1.
Và cũng lưu ý rằng, khi σ chưa biết nhưng 2 n ¿30 thì lấy σ s’
2.3 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ đám đông
Xét một đám đông có tỷ lệ phàn tử mang dấu hiệu A là p, trong đó chưa biết Từ một cơ sở nào đó người ta tính ra được p p ¿ p 0
Gọi là tỷ lệ phần tử mang dấu A trên mẫu ngẫu nhiên kíchf thước Như ta đã biết kích thước mẫu đủ lớn thì n n f ≃ N (p , pq n ).
Xác định tiêu chuẩn kiềm định: U= f − p 0
√ p 0 n q 0 , Trong đó q 0 =¿ 1−p 0. Nếu H 0 đúng thì U ≃ N (0,1).
Kiểm định cặp giả thuyết thống kê: { H H 0 1 : : p=p p≠ p 0 0
Với α cho trước, ta xác định được phân vị u α
Ta có miền bác bỏ W α = { u tn : | u tn | >u 2 α }
Kiểm định cặp giả thuyết thống kê: { H H 0 1 : : p=p p> p 0 0
Với α cho trước, ta xác định được phân vị u α sao cho P(U>u α )=α
Ta có miền bác bỏ W α ={ u tn :u tn >u α }.
Kiểm định cặp giả thuyết thống kê: { H H 0 1 : : p=p p< p 0 0
Với α cho trước, ta xác định được phân vị u α sao cho P(U ←u α )=α.
Ta có miền bác bỏ W α ={ u tn :u tn ← u α }.
Trong các miền bác bỏ của 3 bài toán trên thì u tn = f −p 0
Một số ví dụ minh họa cho ước lượng và kiểm định trong bài toán thực tế cuộc sống
Bài toán 1
Cao là một trong những chiến lược phát triển sản xuất nông nghiệp của tỉnh Quảng Ninh Tỉnh đã quyết định thử nghiệm giống lúa J02 tại nhiều địa phương Kết quả khảo sát năng suất giống lúa J02 trên 64 thửa ruộng đã được thu thập.
Để ước lượng năng suất lúa J02 trung bình tối đa tại tỉnh Quảng Ninh với độ tin cậy 95%, cần phân tích số thửa ruộng 8, 12, 17, 13, 9, 5 Nếu tỷ lệ thửa ruộng có năng suất trên 56 tạ/ha đạt ít nhất 50%, điều này cho thấy giống lúa J02 đáp ứng tiêu chuẩn của tỉnh Với mức ý nghĩa 5%, cần tiến hành kiểm định giả thuyết để xác định tính đúng đắn của việc giống lúa J02 đã đạt tiêu chuẩn đề ra hay không.
(Số liệu được tham khảo tại website: https://baoquangninh.vn/ )
→ Bài làm: a.Gọi X là ĐLNN chỉ năng suất của giống lúa J02 , X ~ N( μ , δ 2 ¿ (tạ/ha)
Gọi X là giá trị trung bình của năng suất giống lúa J02 trên mẫu (tạ/ha)
Gọi μ là giátrị trung bình của năng suất giống lúa J 02trên đám đông (tạ/ha)
Vì n = 64 > 30, và chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nên ta chọn thống kê như sau : G=U =( X−μ )√ n
Với độ tin cậy γ =0,95 α = 0,05 , Ta xác định U α = U 0.05 =1.65sao cho :
- Độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh : S ' 2 = 1 n−1 [ Σ x i x 2 i −n x 2 ]
Kết luận: Với độ tin cậy 95%, năng suất lúa J02 trung bình tối đa tại tỉnh Quảng Ninh đạt 57,582125 tạ/ha, tính từ công thức ¿ X+ ε= 57,281+0.301125 Đồng thời, f là tỉ lệ thửa ruộng có năng suất vượt mức 56 tạ/ha trong mẫu khảo sát.
Gọi p là tỉ lệ thửa ruộng có năng suất trên 56 tạ/ha trên đám đông
Vì nd khá lớn nên f ~ N (p, pq n ) Với ý nghĩa α=0,05 cần kiểm định:
Kiểm định cặp giả thuyết thống kê { H H 0 1 : : p=p p< p 0 0 với p 0 =0,5
Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định : U = f −p 0
Nếu H 0 đúng thì ta có U N(0,1).
Tìm phân vị U α thõa mãn P(U < −U α ) = α
Ta có miền bác bỏ : W α ={ u tn :u tn ← u α } với U tn = f −p 0
Từ đầu bài ta có : U α =U 0,05 =1,65 , f = n A n = 17 13 + 64 +9+ 5 =0,6875
Từ đó: U tn ∉W α do đó chưa đủ cơ sở để bác bỏ H 0
Kết luận : Với mức ý nghĩa α=0,05 thì có thể kết luận rằng giống lúa J02 đã đạt tiêu chuẩn đề ra.
Bài toán 2
Trường Đại học Thương mại nằm trong top các trường kinh tế hàng đầu tại miền Bắc, với Khoa Tài chính – Ngân hàng thu hút sự quan tâm mạnh mẽ từ sinh viên Dưới đây là thống kê chỉ tiêu tuyển sinh ngành Tài chính – Ngân hàng thương mại của khoa H.
Với số liệu 2, 5, 6, 3 và độ tin cậy 95%, chúng ta cần ước lượng số chỉ tiêu tối thiểu mà khoa Tài chính-Ngân hàng có thể nhận được, giả sử rằng số chỉ tiêu này tuân theo phân phối chuẩn Đồng thời, chúng ta cũng cần xem xét xem có thể khẳng định rằng số chỉ tiêu tuyển sinh ngành Tài chính – Ngân hàng thương mại trung bình của trường Đại học Thương Mại cao hơn 200 chỉ tiêu hay không, với mức ý nghĩa 5%.
(Số liệu được tham khảo tại website:https://tuyensinh.tmu.edu.vn/)
→ Bài làm : a Gọi X là ĐLNN chỉ số chỉ tiêu của khoa H , X ~ N( μ , δ 2 ¿
Gọi X là giá trị trung bình của số chỉ tiêu của khoa H trên mẫu Gọi μ là giátrị trung bình của số chỉ tiêu của khoa H trên đám đông
Do X ~ N( μ , δ 2 ¿ => X ~ (N μ , δ n ) , δ chưa biết và n < 30 nên ta chọn thống kê nên ta có T = X−μ S '
Theo bảng thống kê ta có :
- Độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh : S ' 2 = 1 n−1 [Σ n i x i 2 −n x 2 ]
Với độ tin cậy là 95% ⇒ γ = 0,95 ⇒ α = 0,05
Ta xác định được phân vị t α
Kết luận: Với độ tin cậy 95%, khoa Tài chính-Ngân hàng cần tối thiểu 197,78 chỉ tiêu b Để thực hiện kiểm định, cần xem xét cặp giả thuyết thống kê với ý nghĩa α = 0,05.
Ta xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: U=
Nếu H 0 đúng thì ta có X ~ N(0,1¿
Tìm phân vị U α thỏa mãn P(U> U α ) = α ⇒ P(U> U 0,05 ) = 0,05
Ta có miền bác bỏ: W α ={ u tn :u tn > u 0,05} với u tn = X−μ S ' 0
Từ đó: u tn ∉W α do đó chưa đủ cơ sở để bác bỏ H 0
Kết luận: Dựa trên mức ý nghĩa 5%, không thể khẳng định rằng chỉ tiêu tuyển sinh trung bình của ngành Tài chính – Ngân hàng thương mại tại trường Đại học Thương Mại vượt quá 200 chỉ tiêu.