Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 một số Ứng dụng của phép tính vi phân trong sinh học

Phép vi phân, một công cụ chính của giải tích toán học, không chỉ giúp nghiên cứu sự thay đổi của các hệ thống sinh học mà còn cung cấp các phương pháp để tối ưu hóa và dự đoán các quá t

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG SINH HỌC

NHÓM L35_03

TP HCM, 11-2024

2

Giải bài tập Chỉnh sửa báo cáo

Kim Ngân Viết báo cáo

3

Nhận xét và chấm điểm của thầy/cô

4

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 5

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 6

1.1 Các khái niệm cơ bản 6

1.2 Mối liên hệ giữa vi phân và các mô hình sinh học 7

1.3 Các mô hình vi phân trong sinh học 8

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG 9

2.1 Mô hình tăng trưởng quần thể 9

2.2 Lan truyền bệnh dịch 11

2.3 Phản ứng enzyme và tốc độ phản ứng 14

2.4 Di truyền học quần thể 17

CHƯƠNG III: TỔNG KẾT 20

CHƯƠNG IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

5

LỜI NÓI ĐẦU

Trong sinh học hiện đại, các khái niệm và phương pháp của toán học, đặc biệt là phép

vi phân, đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và mô hình hóa các hiện tượng sinh học phức tạp Phép vi phân, một công cụ chính của giải tích toán học, không chỉ giúp nghiên cứu sự thay đổi của các hệ thống sinh học mà còn cung cấp các phương pháp để tối ưu hóa và dự đoán các quá trình sinh lý, di truyền, và sinh thái

Trong bài báo cáo này, nhóm em sẽ tập trung vào một số ứng dụng cụ thể của phép vi phân trong sinh học, dựa trên các phần được đề cập trong tài liệu “Biocalculus” của James Stewart và Troy Day Cụ thể, các ứng dụng trong Mục 3 và 4 của sách sẽ là nền tảng để nhóm em khám phá cách vi phân hỗ trợ giải quyết các vấn đề trong các lĩnh vực như tốc độ tăng trưởng của quần thể, phản ứng của tế bào với các tác nhân hóa học, và nhiều khía cạnh khác trong sinh học

Thông qua các ứng dụng của phép vi phân vào sinh học, bài báo cáo này không chỉ nhằm nâng cao hiểu biết của cá nhân về sinh học định lượng mà còn thể hiện vai trò to lớn của toán học trong việc thúc đẩy sự phát triển của các nghiên cứu sinh học hiện đại

6

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Các khái niệm cơ bản

1 Đạo hàm: Đạo hàm thể hiện tốc độ thay đổi của một biến số theo một biến số

khác Trong sinh học, đạo hàm thường biểu diễn tốc độ thay đổi của các yếu tố sinh học như kích thước quần thể, nồng độ chất hoặc tốc độ phản ứng sinh hóa theo thời gian hoặc theo không gian

2 Phương trình vi phân: Đây là các phương trình liên hệ giữa một hàm số và

đạo hàm của nó, dùng để mô tả mối quan hệ động lực giữa các yếu tố sinh học

- F là một hàm số cho trước, biểu diễn mối quan hệ giữa các biến

2.1 Phương trình vi phân cấp một (chỉ chứa đạo hàm bậc nhất), như trong các

mô hình tăng trưởng quần thể

2.2 Phương trình vi phân cấp cao hơn (chứa đạo hàm bậc hai hoặc cao hơn),

áp dụng trong các mô hình phức tạp hơn như động học enzyme

• Công thức tổng quát: ( ' '' ( ))

, , , , , n 0

2.3 Hệ phương trình vi phân: Trong sinh học, thường có nhiều biến tương tác

lẫn nhau, vì vậy ta thường sử dụng hệ phương trình vi phân để mô tả mối quan hệ giữa các biến Ví dụ, hệ phương trình Lotka-Volterra mô tả mối quan hệ giữa quần thể của hai loài trong một hệ sinh thái

• Ví dụ: Hệ Lotka-Volterra:

dx

x xy dt

dy

xy y dt

= −

= −

• Trong đó: -x: số lượng con mồi

-y: số lượng thú săn mồi

-   , , , : các tham số

1.2 Mối liên hệ giữa vi phân và các mô hình sinh học.

1 Biểu diễn sự thay đổi theo thời gian (động học):

Vi phân được sử dụng để mô tả sự thay đổi của các đại lượng sinh học qua thời gian như: quá trình tăng trưởng quần thể Vi phân giúp mô tả sự thay đổi số lượng cá thể trong một quần thể theo thời gian, như trong mô hình tăng trưởng logistic, nơi tốc

độ thay đổi số lượng cá thể dN

dt

 

 

 phụ thuộc vào số lượng hiện tại của quần thể N

2 Mô hình hóa sự lan truyền

Trong các mô hình dịch bệnh, vi phân giúp mô tả sự lan truyền của bệnh qua các nhóm người trong quần thể Các phương trình vi phân mô tả sự thay đổi số lượng người dễ bị nhiễm ( )S , bị nhiễm ( )I , và đã hồi phục ( )R theo thời gian Đây là cách

mô phỏng quá trình bệnh tật lan truyền trong một quần thể sống

3 Mô hình hóa sự phân bố và di chuyển của các chất trong cơ thể:

8

Vi phân cũng được dùng trong việc mô tả sự phân phối và vận chuyển của các chất như oxy, thuốc hay các ion trong cơ thể Những thay đổi nồng độ chất theo không gian và thời gian có thể được mô tả bằng phương trình vi phân, giúp hiểu rõ hơn về quá trình chuyển hóa và phân phối chất trong cơ thể

4 Mô hình di truyền:

Trong di truyền học, vi phân giúp mô tả sự thay đổi tần suất gen trong quần thể qua các thế hệ Vi phân được áp dụng trong các mô hình tiến hóa để mô tả sự thay đổi của các đặc tính di truyền theo thời gian

1.3 Các mô hình vi phân trong sinh học

1 Mô hình tăng trưởng quần thể:

• Mô hình Malthus (tăng trưởng cấp số nhân)

• Mô hình logistic

2 Mô hình dịch bệnh (SIR)

3 Động học enzyme (Phương trình Michaelis-Menten)

9

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG

2.1 Mô hình tăng trưởng quần thể

• Các mô hình tăng trưởng quần thể được xây dựng dựa trên các yếu tố sinh học

và môi trường như tỉ lệ sinh, tỉ lệ tử vong, khả năng cạnh tranh và sự cung cấp tài nguyên để mô tả cách mà quần thể sinh vật tăng trưởng và phát triển Có hai

mô hình tăng trưởng cơ bản: tăng trưởng theo hàm mũ và tăng trưởng theo hàm logistic

• Mô hình tăng trưởng đơn giản

Mô hình tăng trưởng theo cấp số nhân (Malthus)

• Ví dụ: Một quần thể vi khuẩn ban đầu có 200 cá thể Quần thể này tăng

trưởng theo mô hình Malthus với tỉ lệ tăng trưởng r=0,05(tức là 5%) mỗi giờ Hãy thực hiện các yêu cầu sau:

o Lập phương trình tăng trưởng của quần thể vi khuẩn theo thời gian t

o Tính số lượng vi khuẩn sau 10 giờ

o Tìm thời gian cần thiết để số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi

10

Giải

Code matlab: >> %Khai báo các tham số của bài toán

>> No=200; %ban đầu có 200 cá thể

• Là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong sinh học và dịch tễ học nhằm mô

tả sự lây lan của bệnh trong quần thể và dự đoán diễn biến của dịch bệnh Dựa vào lý thuyết này, các mô hình toán học đã được phát triển để hiểu rõ hơn về sự lây truyền và kiểm soát dịch bệnh, bao gồm các yếu tố như tốc độ lây nhiễm, tỷ

lệ khỏi bệnh và khả năng miễn dịch

Mô hình SIR (Susceptible-Infectious-Recovered) cơ bản Tốc độ giảm số người dễ nhiễm bệnh: dS S I

dt = −  Tốc độ thay đổi của số người nhiễm bệnh: dI S I I

dt =   −  Tốc độ tăng của số người hồi phục: dR I

o Dự báo đỉnh dịch và số ca nhiễm tối đa

o Phân tích sự lây lan của dịch bệnh trong các nhóm dân cư và khu vực khác nhau

12

o Dự báo tốc độ lây lan trong các nhóm tuổi và sức khỏe khác nhau

o Ứng dụng trong quy hoạch tiêm chủng và chính sách y tế dài hạn

• Ví dụ: Một bệnh truyền nhiễm xuất hiện trong một thị trấn có dân số ban đầu là

1000 người Các thông tin cụ thể về bệnh dịch và tốc độ lây lan như sau: Ban đầu có 990 người thuộc nhóm dễ nhiễm bệnh ( )S , 10 người đã bị nhiễm ( )I ,

và chưa có người hồi phục (R=0) Tỉ lệ lây nhiễm là =0,2, nghĩa là trung bình mỗi người nhiễm bệnh sẽ lây cho 0,2 người mỗi ngày Tỉ lệ hồi phục là 

=0,05, tức là mỗi người nhiễm bệnh có 5% cơ hội hồi phục mỗi ngày Hãy sử dụng mô hình SIR để:

o Viết các phương trình vi phân cho mô hình SIR của bài toán

o Dự đoán số lượng người bị nhiễm bệnh sau 7 ngày

o Tính thời gian cần thiết để số người hồi phục vượt quá 500

13

Code matlab : %Khai bao du kien bai toan

beta=0.2;%Tỉ lệ lây nhiễm

gamma=0.05;%Tỉ lệ hồi phục

N=1000;%Dân số ban đầu

tspan=[0 100];

y0=[990, 10, 0] ;%Lần lượt là: S(0), I(0), R(0)

%Khai báo hàm ode45 để giải hệ pt vi phân SIR

[t, y]=ode45(@(t, y) sir_model(t, y, beta, gamma, N), tspan, y0);

%Vẽ đồ thị kết quả

plot(t, y(:,1), 'b', t, y(:,2), 'r', t, y(:,3),'g')

legend('S(t)', 'I(t)', 'R(t)')

xlabel('Thời gian(ngày)')

2 Số người nhiễm bệnh sau 7 ngày là: 28 người

3 Thời gian cần thiết để số người hồi phục vượt quá 500 người là: 46,73 ngày

2.3 Phản ứng enzyme và tốc độ phản ứng

• Động học enzyme

Là một lĩnh vực của sinh học nghiên cứu tốc độ phản ứng xúc tác bởi enzyme Thông qua động học enzyme, chúng ta có thể hiểu được cơ chế hoạt động, hiệu quả và các yếu tố ảnh hưởng đến hoạt động của enzyme

• Phương trình Michaelis-Menten

Là mô hình kinh điển mô tả động học của phản ứng enzyme, đặc biệt trong điều kiện nồng độ enzyme thấp hơn rất nhiều so với chất nền

[ ] [ ]

max m

o Ứng dụng trong ức chế enzyme và thiết kế thuốc

• Ví dụ: Một nghiên cứu viên đang thí nghiệmđể tìm hiểu sự thay đổi của tốc độ phản ứng enzyme khi thay đổi nồng độ chất nền Nghiên cứu viên đó sử dụng

mô hình Michaelis-menten để mô tả mối quan hệ này với V max =150mol/ min, 75

2 Tính giá trị của đạo hàm này tại [ ] 40S = M và [ ] 100S = M

3 Phân tích ý nghĩa của kết quả Giải:

Code matlab: %Khai báo các dữ kiện đề bài cho

Vmax=150; %Tốc độ tối đa, đơn vị µmol/min

16

1 Ta có phương trình Michaelis-menten : [ ]

[ ]

max m

( [ ]) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

m max max m max

Khi [ ] 100S = M , tốc độ thay đổi giảm còn 0,37mol/ min/M , cho thấy tốc độ phản ứng tăng chậm hơn khi nồng độ chất nền tiếp tục tăng Điều này cho thấy rằng enzyme đang dần tiến tới trạng thái bão hòa, và hiệu quả tăng thêm của chất nền bị giảm dần

tự nhiên tác động lên cấu trúc di truyền của quần thể

• Phương trình vi phân mô tả sự thay đổi tần số alen trong quần thể theo thời gian: dp p W( AA w tb) q W( Aa w tb)

• Quy luật Hardy-Weinberg

o Sử dụng vi phân để mô phỏng sự thay đổi tần suất của các alen trong quần thể qua thời gian, khi các yếu tố như chọn lọc tự nhiên, đột biến hoặc di cư tác động đến quần thể

o Phương trình vi phân cho sự thay đổi tần số alen p theo thời gian:

 : tác động của chọn lọc lên kiểu gen Aa

• Nghiên cứu tiến hóa

18

Vi phân trong nghiên cứu tiến hóa đóng vai trò quan trọng trong việc mô phỏng

và hiểu rõ hơn về các quá trình di truyền và sự thay đổi của quần thể theo thời gian dưới ảnh hưởng của các lực tiến hóa

• Ví dụ: Một quần thể có 2 alen A và a với plà tần số alen A và q là tần số alen a Trong quần thể này, các kiểu gen có sức sống như sau: sức sống của kiểu gen AA là W AA=1, 2 , sức sống của kiểu gen Aa là W Aa= 1, sức sống của kiểu gen aa là W aa= 0,8 Ban đầu p= 0, 6 và q= 0, 4 Hãy tính tốc độ thay đổi của tần số alen A trong quần thể và dự đoán xu hướng thay đổi tần số alen A

theo thời gian

(p * (1 - p) * (p * (W_AA - W_Aa) + (1 - p) * (W_Aa - W_aa))) /

(p^2 * W_AA + 2 * p * (1 - p) * W_Aa + (1 - p)^2 * W_aa);

% Sử dụng hàm ode 45 để giải phương trình vi phân

[t, p_values] = ode45(allele_frequency_change, tspan, p0);

% Vẽ đồ thị

plot(t, p_values)

xlabel('Thời gian (thế hệ)');

ylabel('Tần số alen A');

title('Đồ thị sự thay đổi tần số alen A theo thời gian');

20

CHƯƠNG III: TỔNG KẾT

1 Qua bài tập lớn này, các thành viên có cơ hội tăng kỹ năng làm việc nhóm Trong quá trình tuy xảy ra nhiều khó khăn nhưng nhờ vậy mà từng cá nhân có thể thể hiện thế mạnh của bản thân Cả nhóm đã hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao nhằm:

• Ôn tập các kiến thức tích phân và một số phương pháp tính tích phân hiệu quả

• Ghi nhớ kiến thức sâu hơn nhờ việc tự tìm tòi, nghiên cứu, đọc hiểu kiến thức về giải tích

• Thể hiện tinh thần đóng góp tích cực, hòa đồng

• Làm việc và trải nghiệm với những phần mềm hữu ích như: Word (soạn thảo văn bản), Matlab,…

2 Đồng thời, nhóm gặp những khó khăn trong quá trình làm việc:

• Quá trình tự nghiên cứu tìm tòi thông tin kiến thức không tránh khỏi sai sót

• Vì còn trong quá trình làm quen với các phần mềm và chưa thành thạo nhiều, việc soạn thảo, viết code tốn nhiều thời gian Dẫn đến bài báo cáo dừng lại ở mức hoàn thành, chưa mở rộng ra nhiều hơn

3 Kết thúc bài tập lớn này, mỗi thành viên đều có thêm trải nghiệm và kinh

nghiệm cho bản thân, đồng thời hiểu rõ hơn về tinh thần làm việc Bài báo cáo

là thành quả cho sự cố gắng của các thành viên Nên cả nhóm đều sẽ tiếp thu và trân trọng những nhận xét của mọi người và thầy cô

21

CHƯƠNG IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Murray, J D (2002) Mathematical Biology: I An Introduction Springer

2 Smith, H L., & van den Driessche, P (2009) Mathematical Models in Biology

Springer

3 Alon, U (2007) Network motifs: theory and experimental approaches Nature

Reviews Genetics, 8(6), 450-461

4 Jones, D A., & Perrott, R (2012) Enzyme Kinetics: From the Steady-State

Approach to Molecular Modeling Springer

5 Anderson, R M., & May, R M (1991) Infectious Diseases of Humans:

Dynamics and Control Oxford University Press