Bai 2 he toa do

Hệ trục tọa độ trong không gian Hệ gồm ba trục Ox Oy Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, , , hay đơn giản gọi là hệ toạ độ Oxyz..  Không gi

BÀI 2 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A LÝ THUYẾT

1 Hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ gồm ba trục Ox Oy Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, , ,

hay đơn giản gọi là hệ toạ độ Oxyz

Chú ý: Ta gọi , ,i j k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox Oy Oz, ,

 Trong hệ toạ độ Oxyz (Hình), ta gọi: điểm O là gốc toạ độ; Ox là trục hoành, Oy là trục tung ;

Oz là trục cao ; các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) là các mặt phẳng toạ độ

 Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz

Nhận xét: Các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau

2 Tọa độ điểm , tọa độ vector trong không gian

A Tọa độ điểm

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M

 Xác định hình chiếu vuông góc M1 của điểm M trên mặt phẳng Oxy Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,

tìm được hoành độ a, tung độ b của điểm M1

 Xác định hình chiếu vuông góc P của điểm M trên trục cao Oz , điểm P ứng với số c trên trục Oz

Số c là cao độ của điểm M

 Bộ số ( ; ; )a b c là toạ độ của điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , kí hiệu là M a b c ( ; ; )

*Chú ý :

 Toạ độ của một điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz luôn tồn tại và duy nhất

 Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm M theo cách :

Gọi H K P lần lượt là hình chiếu vuông góc của , , M lên các trục Ox Oy Oz Các chỉ số ; ;, , a b c ứng với

, ,

H K P khi đó tương ứng là hoành độ , tung độ và cao độ của điểm M Kí hiệu M a b c ( ; ; )

Từ định nghĩa trên ta suy các tính chất sau :

Trong không gian Oxyz cho trước điểm M a b c ; ;  , khi đó :

 Hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox Oy Oz lần lượt là , , H a ;0;0 , K0; ;0b  và C0;0;c

 Hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng ( Oxy), (Oyz và () Ozx lần lượt là )

1 ; ;0 , 2 0; ;

Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A3; 4;5

a) Tìm hình chiếu của A lên trục Ox

b) Gọi A A A1, 2, 3 lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng toạ độ ( Oxy), (Oyz), (Ozx)

Tìm toạ độ của các điểm A A A1, 2, 3

 Mỗi vector u bất kì trong không gian đều tồn tại duy nhất một điểm M để OM u

Do đó các vector bằng nhau thì có cùng tọa độ Nói cách khác :

Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết toạ độ của nó

 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , ta có :

Vectơ đơn vị i trên trục Ox có tọa độ là i 1;0;0;

Vectơ đơn vị j trên trục Oy có tọa độ là j 0;1;0;

Vectơ đơn vị k trên trục Oz có toạ độ là k 0;0;1

Ta có tính chất sau đây ( sẽ hiểu rõ hơn ở mục 3 Các phép toán về vector )

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , nếu ua b c; ;  thì u ai  bj ck

Ví dụ 1 Cho A3; 4;5 Tìm tọa độ của các vectơ A A A A1 ; 2 Biết A1, A2 lần lượt là hình chiếu của A

lên các mặt phẳng Oxy và Oyz

3 Các phép toán về vector

Nếu ux y z1; ;1 1 và v x y z2; 2; 2 thì

1 Tổng hai vector : u v x1x2;y1y2; z1z2

2 Hiệu hai vector : u v x1x y2; 1y z2; 1z2

3 Nhân một số thực với một vector : mumx my mz1; 1; 1 , mR

4 Tọa độ các điểm quan trọng

A Xác định tọa độ một số điểm thường gặp

 Cho hai điểm A x A;y z A; A và B x B;y z B; B Nếu M x M;y M;z M là trung điểm đoạn thẳng AB thì

 Cho tứ diện ABCD có A x y z A; A; A ,B x y z B; B; B ,C x C;y z C; Cvà D x D;y D;z D

Nếu G x G;y G;z G là trọng tâm tam giác ABC thì

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có A2;1;0 , B 0; 2;5 , C 5;0; 2 Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng

AB và trọng tâm G của tam giác ABC

1 2 0

13

a) Tìm toạ độ của vectơ AB

b) Tìm toạ độ của điểm D

c) Tìm tọa độ điểm P biết trọng tâm tứ diện PABC là G1; 2;1

B Tọa độ các điểm đối xứng qua mặt phẳng , trục tọa độ

Trong không gian Oxyz , cho điểm M a b c ; ;  , khi đó ta có :

 Các điểm đối xứng với M qua trục Ox, Oy Oz, lần lượt là M a1 ; b; c, M2a b; ;c và

Ví dụ Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm là A1; 2;3, B1; 4;1

a) Tìm điểm đối xứng của A qua Oz và qua mặt phẳng Oyz

b) Tìm khoảng cách từ A đến trục Ox

c) Gọi M N, lần lượt là điểm đối xứng của A qua Ox và B qua mặt phẳng Oxy Tính MN

Lời giải

a) A1 1; 2;3 và A21; 2;3 tương ứng các điểm đối xứng của A qua Oz và qua Oyz

b) Ta có A' 1;0;0  là hình chiếu của A lên Ox   2 2

A A n A I

n

A A n A I

 Điểm I được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A A1, 2, A n

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A3;1; 2 ,  B 2; 3;5  Điểm M thuộc đoạn AB

sao cho MA2MB , tọa độ điểm M là

Điểm M thuộc đoạn AB và MA2MB MA 2MB hay MA2MB0

1 33

1 338

1 3

A B M

A B M

A B M

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm (1; 4;5) A , (3; 4; 0) ,B C(2; 1; 0) và mặt

phẳng Oxy Gọi M a b c là điểm thuộc Oxy sao cho biểu thức ( ; ; ) T MA2 MB23MC2 đạt giá

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm (2; 2; 4) , A  B( 3;3; 1) ,  C( 1; 1; 1)   và mặt phẳng Oyz

Xét điểm M thay đổi thuộc Oyz , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( 1; 2;5) , A  B(3; 1; 0) , C( 4; 0; 2)  Gọi

I là điểm trên mặt phẳng ( Oxy) sao cho biểu thức IA2IB3IC nhỏ nhất Tính khoảng cách từ I đến

Với hai vectơ ux y z1; ;1 1 và v x y z2; 2; 2 khác vectơ 0, ta có:

u và v vuông góc vối nhau khi và chỉ khi x x1 2y y1 2z z1 2 0

.cos ,

Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A1;0;0 , B 0;0;1 và C2;1;1

a) Chứng minh rằng , ,A B C không thẳng hàng

b) Tính chu vi của tam giác ABC

c) Tính cosABC

Giải

a) Ta có: BA1;0; 1 ,  BC2;1;0 Suy ra BA1;0; 1  k BC2 ; ;0k k  với mọi kR

Vậy ba điểm , ,A B C không thẳng hàng

Cho hai vectơ ux y z1; ;1 1 và v x y z2; 2; 2 không cùng phương

Khi đó, vectơ wy z1 2y z z x2 1; 1 2z x x y2 1; 1 2x y2 1 vuông góc với cả hai vectơ u và v

Nhận xét :

 Vectơ w trong định lí trên còn được gọi là tích có hướng của hai vectơ u và v, kí hiệu là w u v,

Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước: a b ad bc

Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai vectơ u 1; 2;3 và v 2;0; 3 

Tìm tọa độ độ của vectơ w  u v, 

Chọn w6;9; 4 Theo định lí trên, vectơ w vuông góc với cả hai vectơ u và v

C Các ứng dụng của tích vô hướng , tích có hướng

 Diện tích tam giác: 1 ,

Áp dụng công thức diện tích hình bình hành: S ABCD AB AD,   1;1;1 , 0; 1;0    1.Chọn B.

Ví dụ 2 Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho O0;0;0, A0; 2; 2 , B1;3; 1 , C1; 2;m Tổng các giá trị của m để 4 điểm O A B C đồng phẳng ? , , ,

1 Mức độ nhận biết – thông hiểu

Câu 1 Trong không gian Oxyz , cho điểm A1; 2; 3  Hình chiếu vuông góc của Alên mặt phẳng Oxy có

Câu 6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  i 2j3k Tọa độ của vectơ a là

Câu 9 Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A1; 2;3 ,  B 1; 2;5 , C 0;0;1 Tìm toạ

độ trọng tâm G của tam giác ABC

A G0;0;3 B G0;0;9 C G1;0;3 D G0;0;1

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A1;5;3 và M2;1; 2  Tọa độ điểm B biết

M là trung điểm của AB là

Câu 14 Cho hai véc tơ a1; 2;3 , b  2;1; 2 Khi đó, tích vô hướng  ab b bằng

Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a2;1; 2 và vectơ b1;0; 2 Tìm tọa độ vectơ clà tích có hướng của a và b

Câu 24 Trong không gian Oxyz , cho hình chóp A BCD có A0;1; 1 ,  B1;1; 2 , C1; 1;0  và D0;0;1 

Tính độ dài đường cao của hình chóp A BCD

Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2; 1;5 ,   B 5; 5;7 ,  M x y; ;1 Với giá trị nào của ,x y thì A B M , , thẳng hàng

A x  4; y  7 B x 4;y 7 C x4;y 7 D x   4; y  7

Câu 28 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A2; 2;1 , B0;1; 2 Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng

Oxy sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là 

Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD B, 3;0;8 , D  5; 4;0 Biết đỉnh

A thuộc mặt phẳng Oxy và có tọa độ là những số nguyên, khi đó  CA CB bằng:

Câu 33 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm (1; 2; 1), (2; 1;3) A  B  và ( 3;5;1)C  Tìm tọa

độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

A D( 2;8; 3)  B D( 4;8; 5)  C D( 2; 2;5) D D( 4;8; 3) 

Câu 34 Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD Biết A1;0;1, B2;1; 2và D1; 1;1 

Tọa độ điểm C là

A 2;0; 2 B 2; 2; 2 C 2; 2; 2  D 0; 2;0 

Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;3;1 và B5;6; 2 Đường thẳng AB cắt

mặt phẳng Oxz tại điểm M Tính tỉ số AM

Câu 36 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A2;3;1, B2;1;0, C 3; 1;1 Tìm tất cả

các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và diện tích tứ giác ABCD bằng 3 lần diện tích tam giácABC

A D12; 1;3  B  

8; 7;112;1; 3

D D

D D

Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D    , biết rằng A3;0;0,

0; 2;0

B , D0;0;1, A1; 2;3 Tìm tọa độ điểm C

A C10; 4; 4 B C  13; 4; 4 C C13; 4; 4 D C7; 4; 4

Câu 38 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A2;0;0, B0; 2;0, C0;0; 2 Có tất cả bao nhiêu điểm

M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A B C, , và AMBBMCCMA 90

Câu 39 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u và v tạo với nhau một góc 120 và u 2, v 5 Tính

uv

Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M2;3; 1 , N1;1;1 và P1;m1; 2 Tìm

m để tam giác MNP vuông tại N

Câu 42 Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A3; 2; m,B2;0;0, C0; 4;0, D0;0;3

Tìm giá trị dương của tham số m để thể tích tứ diện bằng 8

Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2;0 , B1;0; 1 , C0; 1; 2 , D2; ;m n

Trong các hệ thức liên hệ giữa m và n dưới đây, hệ thức nào để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng?

toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét

A 0; 435;0  B 445;0;0  C 0; 445;0  D 435;0;0 

Câu 45 Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học Xét hệ trục toạ độ Oxyz có gốc

O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét Hãy tìm toạ )

độ của điểm treo đèn

A 4; 4; 4 B 4;3; 4 C 4;3;3 D 3; 4;3

PHẦN II Chọn đúng – sai Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a,b,c,d trong các câu bên dưới

Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M x y z ; ; 

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Nếu Mđối xứng với M qua mặt phẳng Oxzthì M x y ; ;z

b) Nếu Mđối xứng với M qua Oy thì M x y ; ;z

c) Nếu Mđối xứng với M qua mặt phẳng Oxythì M x y ; ;z

d) Nếu Mđối xứng với M qua gốc tọa độ Othì M2 ; 2 ;0x y 

Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba véctơ a1; 2; 1 ,  b3; 1;0 ,  c1; 5; 2  Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) a cùng phương với b

b) a,b,c không đồng phẳng

c) a,b,c đồng phẳng

d) a không vuông góc với b

Câu 3.Trong không gian tọa độ Oxyz Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

a) Nếu vectơ u và vectơ v cùng phương thì  u v; 0

c) a b  8 thì m1

d) Có duy nhất một giá trị m thỏa mãn b 6

Câu 5 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có độ dài mỗi cạnh bằng 1 Xét hệ tọa độ Oxyz gắn với hình

lập phương như hình vẽ bên

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Câu 6 Cho hình tứ diện ABCD có ba cạnh AB AC AD đôi một vuông góc và , , AB3,AC4,AD6

Xét hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh A và các tia Ox Oy Oz lần lượt trùng với các tia , ,

b) Tọa độ của điểm D là 4;5; 5 

c) AABBCCDD

d) Tọa độ của điểm C là 1;3;1

Câu 8 Trong không gian Oxyz a,   1;0; 2 ,  b 0;1;1, c2;1;0 , d 3;0; 1  Biết d      x a y b z c

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

c) Giá trị của tham số m để va thuộc khoảng  1; 2

d) Giá trị của tham số m để góc giữa hai vectơ ,u v bằng 45 thuộc khoảng  0;1

Câu 10 Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi

500 km được đặt trên đỉnh tháp Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng

Oxy trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam, trục Oz hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét)

Một máy bay tại vị trí A cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Ra đa ở vị trí có toạ độ 0;0;0

b) Vị trí A có toạ độ 300; 200;10

c) Khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng 360, 69 km (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

d) Ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu không phát hiện được máy bay tại vị trí A

Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình bình hành ABCD có ba đỉnh A1; 2;3 , B 5;0; 1 

và C4;3;6 Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Toạ độ của vectơ AB là 4; 2; 4  

b) Gọi toạ độ của điểm D là x D;y D;z D, thì CD là x D4;y D3;z D6

c) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ABCD

d) Toạ độ của điểm D là 8;1; 2

Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A2;3;0 , B 4;0;5, C0; 2; 3  Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

b) Hai vectơ BA BC không cùng phương ,

c) Chu vi tam giác ABC là 2 3 5

d) Số đo góc B (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ) bằng 53,8

Câu 16 Cho điểm M3; 1; 2  Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Toạ độ điểm M  3;1; 2  là điểm đối xứng của điểm M qua gốc toạ độ O

b) Toạ độ điểm O6; 2;4  là điểm đối xứng của điểm O qua điểm M

c) Khoảng cách từ M đến gốc tọa độ bằng MO14

d) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng Oxz bằng 2

Câu 17 Một nhân viên đang sử dụng phần mềm để thiết kế khung của một ngôi nhà trong không gian Oxyz

được minh hoạ như Hình Cho biết OABC DEFH là hình hộp chữ nhật và EMF DNH là hình lăng trụ đứng

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Tọa độ của điểm H là 0; 4; 4

b) Ta có ME0; 2; 2  

c) Ta có MF 0; 2; 2 

d) EMF 60

Câu 18 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC Biết OA2;1; 3 ,  OB4;3; 2 ,  OC0; 2; 1 

Đường thẳng AB cắt mặt phẳng xOytại điểm M x M;y M;z M Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) BAC 90

b) Tính chu vi tam giác ABC bằng 3 2  2 (đơn vị dài)

c) x M y M 0

d) x M y M z M 10

Câu 19 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A3; 2;5 ,  B 2;1; 3  và C1;2;1 Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Oz là A0;0;5

b) Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng Oyz là B2;0; 3 