Tính Ổn Định của phương trình vi phân Điều khiển và phương trình riccati

Lyapunov từ cuối thế kỷ XIX.Trước Lyapunov đã có một số công trình nghiên cứu về tính ổn định, tuynhiên phải đến khi Lyapunov công bố công trình nổi tiếng "Bài toán tổngquát về sự ổn địn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Mục lục

Mở đầu 2

Kí hiệu 6

Chương 1 Cơ sở lý thuyết ổn định lyapunov 7 1.1 Phương trình vi phân 7

1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 10

1.2.1 Các định nghĩa 10

1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 13

1.3 Một số kết quả cơ sở 15

1.3.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm 15

1.3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm 19

Chương 2 ổn định hóa các hệ điều khiển 23 2.1 Hệ phương trình điều khiển 23

2.2 Bài toán ổn định hóa các hệ điều khiển 24

2.2.1 Định nghĩa 24

2.2.2 ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính 25

2.2.3 ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính có chậm 37

Chương 3 Tính ổn định của phương trình vi phân điều khiển có nhiễu phi tuyến 45 3.1 Hệ điều khiển tuyến tính có nhiễu phi tuyến 45

3.2 Hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm với nhiều chậm có nhiễu phi tuyến 54

Kết luận 70

Tài liệu tham khảo 71

mở đầuTrong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập đến các vấn đề kỹ thuật, điềukhiển thường liên quan đến các hệ thống được mô tả bởi các phương trìnhtoán học Khi nghiên cứu các phương trình này, người ta quan tâm nghiêncứu định tính, nghĩa là nghiên cứu những tính chất đặc trưng của tất cảhoặc bộ phận các đường cong nghiệm, từ đó phán đoán được dáng điệu củachúng trong thời gian quan sát, đặc biệt là trong quá trình thời gian dần ravô cùng [1], [2], [5], [11],v.v Trong đó, lý thuyết ổn định là một bộ phậnquan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực và được ứng dụng nhiềutrong các lĩnh vực cơ học, vật lý toán, kỹ thuật, kinh tế

Lý thuyết ổn định được hình thành bởi những công trình nghiên cứu

đầu tiên của nhà toán học người Nga A M Lyapunov từ cuối thế kỷ XIX.Trước Lyapunov đã có một số công trình nghiên cứu về tính ổn định, tuynhiên phải đến khi Lyapunov công bố công trình nổi tiếng "Bài toán tổngquát về sự ổn định của chuyển động, 1892" thì lý thuyết ổn định mới thực

sự được quan tâm và có bước tiến mạnh mẽ [1], [17],v.v Vấn đề ổn địnhphương trình vi phân đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quantâm nghiên cứu và giải quyết, có thể kể ra đây một số tác giả trong nướcnhư: Hoàng Hữu Đường, Vũ Tuấn, Nguyễn Thế Hoàn, Vũ Ngọc Phát, TrầnThị Loan,.v.v Những định nghĩa về tính ổn định của Lyapunov đưa rahơn một thế kỷ qua vẫn còn nguyên giá trị và ngày càng phát triển Haiphương pháp do ông đề xuất là phương pháp số mũ đặc trưng và phươngpháp hàm Lyapunov Trong đó, phương pháp hàm Lyapunov được xem

là cách tiếp cận chính khi nghiên cứu về tính ổn định, nội dung của phươngpháp này là dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm đặc biệt (được gọi là hàmLyapunov) mà tính ổn định của hệ đã cho được kiểm tra trực tiếp qua dấucủa đạo hàm (dọc theo quỹ đạo của hệ đang xét) của hàm Lyapunov tươngứng

Cùng với sự phát triển của lý thuyết ổn định, lý thuyết điều khiển toán

học cũng là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng mới

được xuất hiện và phát triển trong mấy thập kỷ gần đây, tính điều khiển

được hệ động lực được khởi xướng bởi một công trình nổi tiếng của Kalman

từ những năm 60 của thế kỷ XX, trong đó đã chứng minh một điều kiện đại

số về tính điều khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều không có hạnchế điều khiển Từ những kết quả của Kalman thì việc nghiên cứu tính điềukhiển được đã không ngừng phát triển và trở thành một hướng quan trọngcủa lý thuyết điều khiển hệ động lực [5], [18],v.v Do nhu cầu nghiên cứucác tính chất định tính của hệ thống điều khiển, người ta bắt đầu nghiêncứu tính ổn định các hệ điều khiển hay còn gọi là tính ổn định hóa cho hệ

điều khiển Nói một cách giải tích, cho một hệ thống mô tả bởi phươngtrình toán học điều khiển:

u(t)

−−→ ˙x(t) = f (t, x(t), u(t)) −−→x(t)bài toán ổn định hóa của hệ là tìm hàm điều khiển (có thể phụ thuộc vào biếntrạng thái mà người ta thường gọi là hàm điều khiển ngược u(t) = h(t, x))sao cho hệ động lực

˙x(t) = f (t, x(t), h(t, x(t))) = F (t, x(t))

là ổn định hoặc ổn định tiệm cận tại trạng thái cân bằng Đã có nhiều côngtrình nghiên cứu quan trọng về bài toán này đối với các hệ điều khiển tuyếntính ôtônôm ˙x = Ax + Bu thông qua nghiệm của phương trình Riccati đạisố:

A0P + P A − P BB0P + Q = 0 (1)Tuy nhiên, hướng nghiên cứu về tính ổn định của các hệ điều khiển tuyếntính không ôtônôm, các hệ có nhiễu, hệ phi tuyến, mối liên hệ giữa tính ổn

định hóa với nghiệm phương trình Riccati vi phân:

˙

P (t) + A0(t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B0(t)P (t) + Q(t) = 0 (2)còn rất ít Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một hướng nghiên cứumới về bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến

tính không ôtônôm có nhiễu phi tuyến với mục đích là tìm hiểu và nghiêncứu các điều kiện đủ sao cho hệ là ổn định hóa được dựa trên nghiệm củaphương trình Riccati vi phân (2).

Luận văn gồm: Phần mở đầu, ba chương và phần kết luận

Phần mở đầu trình bày xuất xứ, ý nghĩa vấn đề luận văn nghiên cứu.Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết phương trình viphân, lý thuyết ổn định Lyapunov và một số kết quả cơ sở cho hệ phươngtrình vi phân tuyến tính Đây là các kết quả nền tảng cho việc trình bày cáckết quả nghiên cứu trong các chương sau

Chương 2 trình bày một số tiêu chuẩn ổn định hóa cơ bản nhận được

đối với các hệ điều khiển tuyến tính và tìm mối liên hệ giữa phương trìnhRiccati vi phân tương ứng (2) với tính ổn định hóa được xuất phát từ một

số kết quả cơ sở đã có

Chương 3 trình bày một số nghiên cứu độc lập về bài toán ổn địnhhóa các hệ điều khiển tuyến tính có nhiễu phi tuyến dựa trên nghiệm củaphương trình Riccati vi phân tương ứng, cụ thể là cho hệ điều khiển tuyếntính ôtônôm có nhiễu phi tuyến ˙x = Ax + Bu + f(t, x, u), hệ điều khiểntuyến tính không ôtônôm có nhiễu phi tuyến ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) +

f (t, x(t), u(t)) và hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm với nhiều chậm

có nhiễu phi tuyến ˙x(t) = A(t)x(t) + Pm

i=1Ai(t)x(t − hi) + B(t)u(t) +

f (t, x(t), x(t − h1), , x(t − hm), u(t)), trong đó điều kiện đặt ra đối vớihàm f(.) là điều kiện tăng trưởng tuyến tính dạng kf(t, x, y1, , ym, z)k 6akxk +Pm

i=1bikyik + ckzk

Phần kết luận trình bày các kết quả mới thu được và hướng nghiên cứumới của luận văn

Luận văn này hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS TSKH

Vũ Ngọc Phát Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy.Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các giáo sư, tiến sĩ Khoa Toán -Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các giáo sư, tiến sĩ tổ

phương trình vi phân-tích phân đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốtthời gian học tập tại Khoa Toán - Tin Tôi cũng xin chân thành cảm ơnBan Điều hành Dự án Giáo viên Trung học cơ sở, Ban giám hiệu, Ban chủnhiệm Khoa Sư phạm, Bộ môn Toán Trường Đại học An Giang đã tạo điềukiện thuận lợi để tôi được tham gia khóa đào tạo này.

Cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên và giúp đỡ tôitrong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 01 tháng 09 năm 2007Tác giả: Võ Thành Tài

Kí hiệu

Trong toàn bộ luận văn này, trừ các trường hợp đặc biệt được nói rõ ởmỗi mục, còn lại sử dụng các kí hiệu sau

• R là tập các số thực, R+ = [0, ∞)

• Rn là không gian Euclide n chiều

• C([a, b], Rn) là không gian Banach các hàm liên tục trên [a, b] nhậngiá trị trong Rn

• λ(A) là tập các giá trị riêng của ma trận A

• λmin(P ) là giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận thực đối xứng P

• λmax(P ) là giá trị riêng lớn nhất của ma trận thực đối xứng P Trong luận văn này chúng tôi luôn giả thiết ma trận P (t) bị chặn trên

R+ và kí hiệu p = sup

t>0

kP (t)k

Chương 1

Cơ sở lý thuyết ổn định lyapunov

Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết phương trình

vi phân, lý thuyết ổn định Lyapunov và một số kết quả cơ sở cho hệ phươngtrình vi phân tuyến tính [1], [2], [5], [11]

của hệ (1.2) được biểu diễn thông qua ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) của

Đặc biệt A là ma trận hằng số, ta có hệ:

(

˙x(t) = Ax(t) + g(t), t > 0,x(t0) = x0, t0 > 0 (1.3)Nghiệm của hệ (1.3) cho bởi:

f (t, x2)k 6 kkx1 − x2k với mọi t ∈ I, x1, x2 ∈ D Khi đó với mỗi(t0, x0) ∈ I ì D sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1) luôn có duy nhấtnghiệm x(t) trên khoảng [t0 − d, t0 + d]

Định lý 1.2 (Định lý Caratheodory) Xét hệ phương trình vi phân (1.1),trong đó giả sử f(t, x) là hàm đo được theo t ∈ I và liên tục theo x ∈ D.Nếu tồn tại hàm khả tích m(t) trên (t0, t0+ b) sao cho kf(t, x(t))k 6 m(t)với mọi (t, x) ∈ I ì D Khi đó hệ (1.1) có nghiệm x(t) trên khoảng[t0, t0 + β] với β > 0 nào đó

Chú ý rằng định lý Caratheodory chỉ khẳng định sự tồn tại nghiệm chứkhông duy nhất nghiệm.

Định lý 1.3 (Định lý kéo dài nghiệm) Xét hệ phương trình vi phân (1.1),trong đó giả sử f ∈ C[(a, b) ì D, Rn

], a > 0, thỏa mãn kf (t, x)k 6 M

và kf(t, x1) − f (t, x2)k 6 kkx1 − x2k trên (a, b) ì D Giả sử x(t) =x(t, t0, x0) là nghiệm của (1.1) xác định trên [t0, β), t0 ∈ (a, b) Khi đótồn tại lim

t→βx(t) =: x(β − 0) Hơn nữa nếu (β, x(β − 0)) ∈ (a, b) ì D thìnghiệm x(t) có thể thác triển lên [t0, β + α), với α > 0 nào đó

Định lý 1.4 (Định lý duy nhất toàn cục) Xét hệ phương trình vi phân (1.1),trong đó giả sử f ∈ C(R+

ì D, Rn), thỏa mãn kf(t, x)k 6 M0kxk + M1

và kf(t, x1) − f (t, x2)k 6 kkx1 − x2k trên R+ ì D Khi đó với mỗi(t0, x0) ∈ R+ì D thì hệ (1.1) luôn có duy nhất nghiệm x(t) trên [t0, +∞).Chúng ta nhận thấy rằng hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mốiquan hệ giữa biến thời gian t, trạng thái của hệ thống x(t), vận tốc thay

đổi của trạng thái ˙x(t) tại cùng một thời điểm t Nhưng trên thực tế, cácquá trình xãy ra trong tự nhiên thường có liên quan đến quá khứ Các hệphương trình có phụ thuộc chậm thể hiện được đặc điểm phụ thuộc vào quákhứ này của hệ thống Để mô tả các hệ thống với mối quan hệ có chậm,dưới đây chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản cho hệ có chậm [11].Xét hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ chậm h (0 6 h < +∞) Vớix(.) : R+ → Rn là một hàm liên tục, đặt xt(θ) = x(t + θ), ∀θ ∈ [−h, 0]

và ký hiệu kxtk = sup

θ∈[−h,0]

kx(t + θ)k Khi đó hệ phương trình có chậm đượccho dưới dạng

(

˙x(t) = f (t, xt), t > 0,x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] (1.4)trong đó f : D → Rn

, D ⊂ RìC([−h, 0], Rn), φ ∈ C([−h, 0], Rn), kφk =sup

t∈[−h,0]

kφ(t)k

Hàm x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân có chậm (1.4) trên[t0 − h, t0 + A] nếu tồn tại t0 ∈ R+ và A > 0 sao cho:

i x ∈ C([t0 − h, t0 + A], Rn), (t, xt) ∈ D.

ii x(t) thỏa mãn phương trình (1.4) với t ∈ [t0, t0 + A]

Hệ (1.4) được gọi là tuyến tính nếu f(t, φ) = L(t, φ) + h(t), trong đóL(t, φ) là tuyến tính theo φ Hệ (1.4) được gọi là ôtônôm nếu f(t, φ) =g(φ), trong đó g không phụ thuộc theo t

Trong luận văn này chúng tôi luôn giả thiết hàm f của hệ (1.4) thỏa mãn

điều kiện về tồn tại, kéo dài nghiệm, phụ thuộc liên tục theo điều kiện ban

đầu

Bổ đề 1.1 (Bổ đề Schur) Với mọi ma trận đối xứng P cấp n ì n, ma trận

đối xứng Q cấp m ì m và và ma trận M cấp m ì n, ta có

2hQy, xi − hSy, yi 6 hQS−1Q0x, xi, ∀y, x ∈ Rn.1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov

1.2.1 Các định nghĩa

Xét hệ phương trình vi phân

(

˙x(t) = f (t, x(t)), t ∈ I = [t0, +∞),x(t0) = x0, t0 > 0 (1.1)

Trong luận văn này, chúng tôi luôn giả thiết hệ (1.1) thỏa mãn các điềukiện về tồn tại và kéo dài nghiệm phụ thuộc liên tục theo điều kiện ban

đầu Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi

Định nghĩa 1.1 Nghiệm x(t) của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với mọi

ε > 0, t0 > 0 tồn tại δ = δ(t0, ε) > 0 sao cho bất kỳ nghiệm y(t) : y(t0) =

y0 của hệ thỏa mãn ky0− x0k < δ thì ta đều có ky(t) − x(t)k < ε với mọi

t > t0

Định nghĩa 1.2 Nghiệm x(t) của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cậnnếu nó là ổn định và có δ > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm y(t) : y(t0) = y0của hệ thỏa mãn ky0 − x0k < δ thì lim

t→∞ky(t) − x(t)k = 0

Định nghĩa 1.3 Nghiệm x(t) của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu nó

là ổn định tiệm cận và có các hằng số α, M > 0 sao cho với bất kỳ nghiệmy(t) : y(t0) = y0 của hệ thỏa mãn ky0 − x0k < δ thì ky(t) − x(t)k 6

Định nghĩa 1.4 Cho α > 0, hệ (1.1) được gọi là α ổn định mũ nếu tồn tạihằng số M > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm y(t) : y(t0) = y0 của hệ thỏamãn ky0 − x0k < δ thì ky(t) − x(t)k 6 M.e−α(t−t0) với mọi t > t0 > 0

Chú ý

i) Trong các định nghĩa trên nếu δ không phụ thuộc vào t0 thì tính ổn

định hay ổn định tiệm cận được gọi là ổn định đều hay ổn định tiệm cận

Do đó từ bây giờ ta chỉ xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0 tức là

f (t, 0) = 0, ∀t > 0 và nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm thường

+) Hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có δ > 0sao cho với kx0k < δ thì lim

t→∞kx(t)k = 0.+) Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu nó là ổn định tiệm cận và cócác hằng số α, M > 0 sao cho bất kỳ nghiệm x(t) : x(t0) = x0 của hệ thỏamãn kx0k < δ thì kx(t)k 6 M.kx0k.e−α(t−t0 ) với mọi t > t0 > 0

+) Cho α > 0, hệ (1.1) được gọi là α ổn định mũ nếu tồn tại hằng số

M > 0sao cho bất kỳ nghiệm x(t) : x(t0) = x0 của hệ thỏa mãn kx0k < δthì kx(t)k 6 M.kx0k.e−α(t−t0 ) với mọi t > t0 > 0

Trong phần này ta xét hệ phương trình vi phân có chậm sau

(

˙x(t) = f (t, xt), t > 0,x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] (1.4)Trong luận văn này, với hệ có chậm tổng quát (1.4) chúng tôi luôn giảthiết f(t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ Điều đó đảm bảo cho hệ (1.4) luôn có nghiệmkhông Các khái niệm dưới đây có thể xem trong [11]

Định nghĩa 1.5 Hệ (1.4) được gọi là ổn định nếu với mọi số ε > 0, với mọi

t0 ∈ R+, tồn tại số δ = δ(t0, ε) > 0 sao cho với mọi φ ∈ C([−h, 0], Rm))

mà kφk < δ thì nghiệm x(t) của hệ (1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu(t0, φ) ∈ R+ ì C([−h, 0], Rm) đều nghiệm đúng bất đẳng thức kx(t)k <

ε, ∀t > t0

Định nghĩa 1.6 Hệ (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định

và có b0 = b0(t0) > 0 sao cho với mọi φ ∈ C([−h, 0], Rm) mà kφk < b0

thì nghiệm x(t) của hệ (1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu (t0, φ) ∈ R+ìC([−h, 0], Rm) đều thỏa mãn lim

t→∞kx(t)k = 0

Định nghĩa 1.7 Cho α > 0, hệ chậm (1.4) là α ổn định mũ nếu tồn tại hàmξ(.) : R+ → R+ sao cho với mỗi φ ∈ C([−h, 0], Rn) thì nghiệm x(t, φ)của hệ thỏa mãn kx(t, φ)k 6 ξ(kφk)e−αt, ∀t > 0

1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov

Đây là phương pháp dùng phép thử trên một lớp hàm đặc biệt để nghiêncứu tính ổn định của nghiệm của hệ phương trình vi phân Dưới đây, chúngtôi trình bày một số khái niệm và các kết quả đã biết [1], [5], [17],v.v Trước tiên ta đưa vào các khái niệm sau đây:

•Ma trận P là đối xứng nếu P = P0

•Ma trận đối xứng P là xác định dương nếu hP x, xi > 0 với mọi

x ∈ Rn\{0}, và ký hiệu là P > 0

•Ma trận đối xứng P (t) là xác định dương đều nếu tồn tại c > 0 :

hP (t)x, xi > ckxk2 với mọi t > 0, với mọi x ∈ Rn, và ký hiệu là P (t) 0

iv) d

dtV (x) < 0, ∀x ∈ D \ {0}

Định lý dưới đây cho ta điều kiện đủ để hệ (1.5) là ổn định tiệm cận

Định lý 1.5 Nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov thì ổn định Hơn nữa nếu hàmLyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận đều

Đối với hệ phi tuyến tổng quát

trong đó f : I ì D ⊂ I ì Rn

→ Rn là hàm phi tuyến cho trước, f(t, 0) =

0, ∀t ∈ I Ta luôn giả thiết các điều kiện trên f sao cho hệ (1.6) có nghiệmx(t) với x(0) = x0, t > 0

điều kiện sau:

ì C([−h, 0], Rn

) → Rn, φ ∈ C([−h, 0], Rn), h > 0

Định lý 1.7 (Định lý Lyapunov) Giả sử tồn tại hàm V (t, xt) : R+ ìC([−h, 0], Rn) → R+ và λ1, λ2, λ3 > 0 sao cho:

i) λ1kx(t)k2

6 V (t, xt) 6 λ2kxtk2

∀t > 0,ii) d

Định lý 1.9 Hệ (1.7) là ổn định tiệm cận đều khi và chỉ khi với bất kỳ matrận đối xứng Q > 0, phương trình Lyapunov

có nghiệm là ma trận đối xứng P > 0

Chứng minh * Giả sử phương trình (LE1) có cặp nghiệm P, Q đối xứngxác định dương.

Giả x(t) là một nghiệm tùy ý của hệ (1.7) thỏa mãn x(0) = x0

dtV (x) 6 −ckx(t)k2, ∀t > 0

Vậy theo định lý 1.6 thì hệ là ổn định tiệm cận đều

* Ngược lại, giả sử hệ (1.7) ổn định tiệm cận mũ, khi đó A là ma trận

ổn định, tức là Reλ < 0 với mọi λ ∈ λ(A)

Với bất kỳ ma trận đối xứng Q > 0, xét phương trình ma trận sau đây

là xác định và do Q đối xứng nên P cũng đối xứng.

Mặt khác, lấy tích phân hai vế phương trình (1.7.1) từ t0 đến t ta được

Z(t) − Q = A0P (t) + P (t)A, ∀t > t0.Cho t → +∞, để ý rằng Z(t) → 0 khi t → ∞, ta được

Q = 2 1

1 3

, P = 1

Vậy theo định lý 1.9 hệ là ổn định tiệm cận đều

Định lý 1.10 Với α > 0, hệ (1.7) là α ổn định mũ nếu tồn tại các ma trận

đối xứng P > 0, Q > 0 sao cho

A0P + P A + 2αP + Q = 0 (LE2)

Chøng minh Gi¶ sö x(t) lµ mét nghiÖm tïy ý cña (1.7) tháa m·n x(0) =

Ta có A = −52 1

−2 −94

.Với α = 2, nghiệm của phương trình (LE2) là

Q = 2 0

0 0.5

, P = 2 0

Khi đó định lý 1.9 được phát biểu lại như sau:

Hệ quả 1.1 Cho α > 0, nếu tồn tại P > 0, Q > 0 là các ma trận đốixứng sao cho

A0αP + P Aα+ Q = 0,thì hệ (1.7) là α ổn định mũ

1.3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm

˙x(t) = A(t)x(t), t > 0, (1.8)trong đó A(t) là ma trận cấp n ì n với các phần tử là các hàm liên tục theo

Chứng minh Với x(t) là một nghiệm tùy ý của hệ (1.8) thỏa mãn x(0) =

dtV (t, x) = h ˙P (t)x(t), x(t)i + hP (t) ˙x(t), x(t)i + hP (t)x(t), ˙x(t)i

= h( ˙P (t) + A0(t)P (t) + P (t)A(t))x(t), x(t)i

= −hQx(t), x(t)i

Do ma trận đối xứng Q > 0 nên có γ > 0 sao cho

hQx, xi > γkxk2, ∀x ∈ Rn.Khi đó, d

Nghiệm của phương trình Lyapunov (LDE1) là

Q(t) = 2 0

0 2

, P (t) = e−2t + 1 0

Chứng minh Xét hàm Lyapunov

V (t, x) = hP (t)x(t), x(t)i + kx(t)k2

i) Ta chứng minh tồn tại a, b > 0 : akx(t)k2

6 V (t, x) 6 bkx(t)k2.Hiển nhiên V (t, x) > kx(t)k2

, ∀t > 0

Mặt khác do P (t) giới nội nên ta có

V (t, x) 6 p1kx(t)k2.Vậy kx(t)k2

6 V (t, x) 6 p1kx(t)k2

∀t > 0

ii) Ta chứng minh tồn tại γ > 0 : d

dtV (t, x) 6 −γkx(t)k2

Lấy đạo hàm của hàm V (t, x) dọc theo nghiệm x(t) của hệ ta đượcd

dtV (t, x) = h ˙P (t)x(t), x(t)i + 2hP (t) ˙x(t), x(t)i + 2h ˙x(t), x(t)i

= h( ˙P (t) + A0(t)P (t) + P (t)A(t) + A0(t) + A(t))x(t), x(t)i

0 e−t



> 0,thỏa mãn λmin(Q) = 1 > 2à(A) = 0

Vậy theo định lý 1.12 thì hệ là ổn định tiệm cận

Chương 2

ổn định hóa các hệ điều khiển

Chương này trình bày bài toán ổn định hóa và một số tiêu chuẩn ổn địnhhóa cơ bản nhận được trong [5], [6], [18] đối với các hệ điều khiển tuyếntính và tìm mối liên hệ giữa tính ổn định hóa được cho các hệ điều khiểntuyến tính với nghiệm phương trình Riccati vi phân tương ứng

2.1 Hệ phương trình điều khiển

Trong thực tiễn nhiều bài toán đề cập đến các vấn đề kỹ thuật, điềukhiển thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bằng các phương trìnhtoán học Trong quá trình hoạt động, các hệ này luôn chịu sự tác động củacác tác nhân khác nhau lên nó, các tác nhân này có thể chủ quan, có thểkhách quan Những hệ thống chịu sự tác động của con người với mục đíchhướng hệ thống tới những mục tiêu mong muốn gọi là những hệ thống có

điều khiển

Xét một hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t > 0, (2.1)trong đó x(t) là biến trạng thái mô tả đầu ra, u(t) là biến điều khiển mô tả

đối tượng đầu vào hệ thống Các đối tựơng điều khiển trong các mô hình

điều khiển hệ thống được mô tả như những dữ liệu đầu vào có tác độngquan trọng, có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống.Như vậy ta hiểu một hệ phương trình điều khiển là sự mô tả một mô hìnhtoán học của hệ thống điều khiển biểu thị sự liên hệ vào-ra:

u(t)

−−→ ˙x(t) = f (t, x(t), u(t)) −−→x(t)

2.2 Bài toán ổn định hóa các hệ điều khiển

Trường hợp hệ tuyến tính

(

˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t),

trong đó A(t), B(t) là các ma trận n ì n, n ì m tương ứng liên tục theo

t > 0, hệ (2.3) là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm điều khiển ngượcu(t) = K(t)x(t) sao cho hệ:

˙x(t) = [A(t) + B(t)K(t)]x(t),

là ổn định tiệm cận

Trong luận văn này chúng tôi cũng quan tâm đến tính α ổn định hóa

được của hệ điều khiển

Định nghĩa 2.1 Cho α > 0, hệ (2.2) được gọi là α ổn định hóa đượcnếu tồn tại hàm u(t) = h(x(t)) sao cho hệ phương trình vi phân ˙x(t) =

f (t, x(t), h(t))= F (t, x(t))M là α ổn định mũ

Xét hệ thống điều khiển có chậm sau.

(

˙x(t) = f (t, xt, u(t)), t > 0x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], (2.4)trong đó f : R+

là ổn định tiệm cận

Tương tự như đối với hệ điều khiển không có chậm, khi nghiên cứu hệ

điều khiển có chậm (2.4), chúng ta cũng xét đến khái niệm α ổn định hóa

được

Cho α > 0, ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 2.2 Hệ (2.4) được gọi là α ổn định hóa được nếu tồn tạihàm điều khiển ngược u(t) = g(x(t)) sao cho hệ phương trình vi phân

˙x(t) = f (t, xt, g(x(t))) là α ổn định mũ

Nhận xét Số α > 0 trong định nghĩa trên thường được gọi là số mũLyapunov, bài toán α ổn định hóa được là bài toán xét tính ổn định của một

hệ điều khiển với số mũ Lyapunov cho trước

2.2.2 ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính

Xét hệ điều khiển tuyến tính liên tục ôtônôm

Các định lý dưới đây đưa ra điều kiện đủ cho tính ổn định hóa được cho

hệ (2.5) thông qua nghiệm của phương trình Riccati Do đó, trong phầnnày, trước tiên sẽ trình bày về phương trình Riccati

Phương trình Riccati xuất phát từ bài toán quy hoạch tuyến tính tối ưutoàn phương [5, 18]:

hQx(s), x(s)i + hRu(s), u(s)i
ds → min, (2.5.2)trong đó Q là ma trận đối xứng xác định không âm cấp n ì n, R là ma trận

Định lý dưới đây đưa ra điều kiện đủ cho tính ổn định hóa được cho hệ(2.5) thông qua nghiệm của phương trình Riccati đại số

Định lý 2.1 Nếu tồn tại các ma trận đối xứng P > 0, Q > 0 thỏa mãnphương trình Riccati đại số:

A0P + P A − P BB0P + Q = 0, (RAE1)thì hệ (2.5) là ổn định hóa được với hàm điều khiển ngược u(t) = −1

2B0P x(t).Chứng minh Đặt K = −1

2B0P, ta cần chứng minh với điều khiển ngược

u = Kx thì hệ ˙x = [A + BK]x là ổn định tiệm cận

1 2



Nghiệm của phương trình Riccati đại số (RAE1) là

Q =  8 −1

−1 8

, P = 1 0

định hóa được với số mũ Lyapunov α > 0 cho trước

Cho α > 0, đặt Aα = A + αI

Định lý 2.2 Cho α > 0, nếu tồn tại các ma trận đối xứng P > 0, Q > 0thỏa mãn phương trình Riccati đại số:

A0αP + P Aα− P BB0P + Q = 0, (RAE2)thì hệ (2.5) là α ổn định hóa được với u(t) = −1

Ví dụ 2.2 Xét tính 2 ổn định hóa được của hệ điều khiển sau:

0 2



Với α = 2, nghiệm của phương trình Riccati đại số (RAE2) là

Định lý dưới đây đưa ra điều kiện cho hệ (2.5) là ổn định hóa được thôngqua nghiệm phương trình Lyapunov

Định lý 2.3 Nếu tồn tại các ma trận đối xứng P > 0, Q > 0 thỏa mãnphương trình

AP + P A0 − BB0+ Q = 0, (LE3)thì hệ (2.5) là ổn định hóa được với u(t) = −1

Xét hàm

V (x) = hP−1x(t), x(t)i

Ta có λmin(P−1)kx(t)k2 6 V (x) 6 λmax(P−1)kx(t)k2

Lấy đạo hàm của hàm V (x) dọc theo nghiệm x(t) của hệ ta đượcd

0 1



Nghiệm của phương trình Lyapunov (LE3) là

Q =  1 −1

−1 3

, P = 2 0

Sau đây chúng tôi sẽ trình bày mối liện hệ giữa tính điều khiển được

về 0 toàn cục và tính ổn định hóa được hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm

Định nghĩa 2.3 Cho hai trạng thái x0, x1 ∈ Rn, cặp (x0, x1) được gọi là

điều khiển được sau thời gian t1 > 0nếu tồn tại một điều khiển chấp nhận

được u(t) ∈ L2([0, ∞), Rm)sao cho nghiệm x(t, x0, u)thỏa mãn điều kiện:

x(0, x0, u) = x0, x(t1, x0, u) = x1

Định nghĩa 2.4 Hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm (2.5) được gọi là điềukhiển được toàn cục về 0 (ĐKĐTC0) nếu với bất kỳ trạng thái x0 ∈ Rn,tồn tại thời gian t1 > 0 sao cho (x0, 0) là điều khiển được sau thời gian t1.Với T > 0, ký hiệu ma trận LT xác định bởi

(T1 − t)e−AtBB0e−A0t dt

Khi đó LT1 cũng không suy biến, tức là tồn tại ma trận ngược L−1

T1

Đặt K = −T1B0L−1T

1, ta chứng tỏ u = Kx là điều khiển ngược cần tìm

Hơn nữa, vì L−1

T1 là ma trận xác định dương nên có số γ > 0 sao cho

hL−1T

1x, xi > γkxk2.Suy ra d

0 −1



Do rank[A/B] = 2 nên hệ là điều khiển được về 0 toàn cục

Khi đó L1 = e−4 0

0 e−2

, L−11 = e4 0

0 e2

.Vậy theo định lý 2.4 thì hệ đã cho ổn định hóa được với

u(t) = −e−4 0

0 e−2

x(t)

Chú ý Điều ngược lại không đúng, tức là nếu hệ tuyến tính (2.5) là ổn

định hóa được thì chưa thể kết luận hệ là điều khiển được về 0 toàn cục

Ví dụ 2.5 Xét hệ điều khiển sau:

(

˙x1 = −2x1,

˙x2 = 2x1 − x2 + u2

Ta có A = −22 −10



là ma trận ổn định, do đó hệ là ổn định hóa đượcvới K = 0 Tuy nhiên hệ không là ĐKĐTC0 vì

rank[B, AB] = rank0 0

Định lý dưới đây là một mở rộng trực tiếp của định lý 2.1 cho hệ điềukhiển tuyến tính không ôtônôm

Định lý 2.5 Nếu tồn tại các ma trận đối xứng P (t)  0 và Q > 0 thỏamãn phương trình:

˙

P (t) + A0(t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B0(t)P (t) + Q = 0, (RDE1)thì hệ (2.6) ổn định hóa được với u(t) = −1

2B0(t)P (t)x(t)

Chứng minh Đặt K(t) = −1

2B0(t)P (t), ta cần chứng minh với điều khiểnngược u(t) = K(t)x(t) thì hệ ˙x(t) = [A(t) + B(t)K(t)]x(t) là ổn địnhtiệm cận

6 V (t, x) 6 pkx(t)k2, ∀t > 0

ii) Ta chứng minh ∃γ > 0 : d

dtV (t, x) 6 −γkx(t)k2.Lấy đạo hàm của hàm V (t, x) dọc theo nghiệm x(t) của hệ ta được

Định lý dưới đây là một mở rộng định lý 2.5 với giả thiết P (t) khôngcần xác định dương đều, nhưng thay vào đó là đặt thêm điều kiện cho matrận Q