Nghiên cứu Ứng dụng thuật toán giảm bậc mô hình cho một số bài toán trong lĩnh vực Điều khiển

Tuy nhiên, trong thực tế các mô hình tuyến tính bậc cao mô hình đối tượng bậc cao, các bộ điều khiển bậc cao như trong các nghiên cứu [3], [94] cũng có thể không ổn định, do đó để đáp ứn

BAO CAO TONG KET

DE TAI KHOA HOC VA CONG NGHE CAP

TRUONG

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG THUẬT TOAN GIAM BAC

MÔ HÌNH CHO MỘT SÓ BÀI TOÁN TRONG

LINH VUC DIEU KHIEN

Mã số: T2020-B17

Chú nhiệm đề tài: TS VŨ NGỌC KIÊN

THÁI NGUYÊN, NĂM 2021

9 | ThS Duong Quynh Nga DHKTCN

CM: Diéu khién tu dong

CM: Điều khiển tự động

CM: Điều khiển tự động

12 | ThS Trân Thị Thanh Huyện DHKTCN

CM: Diéu khién ty dong

Tên đơn vị

trong và ngoài nước Nội dung phối hợp nghiên cứu

Họ và tên người đại diện đơn vị

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỀU -

THÔNG TIN KÉT QUẢ NGHIÊN CỨU ++++''+"

INFORMATION ON RESEARCH RESULTồŠ -

1.1, Bài toán giảm bậc mô hình -.eceeeeeeetterrtrrtrrrrrreenrrii77170/T

li

1.2 Các nghiên cứu giảm bậc tuyến tính ổn định eerneereerrrrrrterrerrrerene i

phù hợp (MM) ceneinnnneerrererretrertdrrrrrrnndi2g707777777/0//

ƒ 10 1.2.6 Nhóm các phương pháp khác

2.3.2 Thuật toán bảo toàn điểm cực trội -etrrrerrrth

2.4.1 Thuật toán chặt cân bằng gián tiếp cho hệ không ôn định (bstrnr) - 17

2.4.5 Thuật toán cân bằng LQG -.e-erreeeetrrreetrrrrttrrrrrrrre

TỶ 6 "

ĐIỀU KHIỂN ee6cccnn2nnnrrrrsriiirereririllltrrrrit

25 3,1 Giới thiệu

3.2 Ung dung giảm bậc mô hình trong

3.4 Kết luận chương 3 cccennnnnrerrrrrnmerrrrrirtftntdli177771//

=- TÀI LIỆU THAM KHẢO . -++netnhhttntthhtrttrerrrrrerre

Các ký hiệu:

A’ Chuyển vị của ma trận A

A’ Chuyén vị liên hợp của ma tran A (lay chuyén

vị của ma trận A rồi lấy

liên hợp của các phần tử)

Cc Tập số phức

Các chữ viết tắt:

ADI Alternating Direction Implicit: Xen kẽ hướng ngầm

BT Balanced Truncation : Chat can bang CARE Control Algebraic Riccati Equation: Phuong trinh

Riccati điều khiển

COM Computer Output on Micro ; Céng giao tiép nối tiếp

1O Input/Output: Công nhập/xuất KMs Krylov Methods: Phuong phap không gian con Krylov

MA Modal Analysis: Phan tich mé hinh

cơ điện tử

MM Moment Matching: Thời điểm phù hợp

phat quang

PSO Particle Swarm Optimization: Thuật toán tối ưu hóa bầy

đàn

nhiễu loạn suy biến

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH VÀ ĐÒ THỊ Hình 3.1 Mô hình xe hai bánh tự cân bằng

Hình 3.2 Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển của xe hai bánh tự cân bằng Hình 3.3 Mô hình hóa xe hai bánh tự cân bằng

Hình 3.4 Đồ thị bode của mô hình xe hai bánh khi thông số mô hình thay đổi

Hình 3.5 Đáp ứng góc của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh - ban đầu

xe nghiêng một góc 2 (rad)

Hình 3.6 Đáp ứng góc của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh khi mang

tải trong các trường hợp- ban đầu xe nghiêng một góc 2a ad )

Hình 3.7 Sơ đồ Simulink hệ thống điều khiển xe hai bánh tự cân bằng sử dụng

bộ điều khiển bậc 4 Hình 3.8 Đáp ứng của hệ thống điều khiển xe hai bánh tự cân bằng sử dụng bộ điều khiển bậc 4

Hình 3.9 Sơ đồ Simulink hệ thống điều khiển xe hai bánh tự cân bằng sử dụng

bộ điều khiển bậc 5

Hình 3.10 Đáp ứng của hệ thống điều khiển xe hai bánh tự cân bằng sử dụng

bộ điều khiển bậc 5 Hình 3.11 Sơ đồ Simulink hệ thống điều khiển xe hai bánh tự cân bằng sử

dụng bộ điều khiển bậc 2

Hình 3.12 Đáp ứng của hệ thống điều khiển xe hai bánh tự cân bằng sử dụng

bộ điều khiển bậc 2 theo thuật toán của Zilochian

Hình 3.13 Đáp ứng của hệ thống điều khiển xe hai bánh tự cân bằng

Hình 3.14 Đáp ứng của hệ thống điều khiển xe hai bánh tự cân bằng sử dụng

bộ điều khiển bậc 2 khi mô hình xe hai bánh thay đổi

Hình 3.15 Kết quả thực nghiệm hệ thống điều khiển cân bằng xe khi xe đứng

im: a,b — đáp ứng góc nghiêng của xe; c Hình ảnh xe cân bằng

Hình 3.16 Kết quả thực nghiệm hệ thống điều khiển cân bằng xe khi xe đứng

im và mang tải I.8kg: a,b — đáp ứng góc nghiêng của xe; c Hình ảnh xe cân bằng

Hình 3.17 Kết quả thực nghiệm điều khiển cân bằng xe khi xe đứng im và

mang tải 2.9kg: a,b — đáp ứng góc nghiêng của xe; c Hình ảnh xe cân bằng Hình 3.18: Kết quả thực nghiệm hệ thống điều khiển cân bằng xe khi xe đứng

im và mang tải 1,8kg lệch tâm: a,b — đáp ứng góc nghiêng của xe; c Hình ảnh

xe cân bằng

Hình 3.19: Kết quả thực nghiệm hệ thống điều khiển cân bằng xe khi xe di

chuyển và mang tải 1,8kg: a — đáp ứng góc nghiêng của xe; c Hình ảnh xe cân bằng

Hình 3.20 Phân loại ổn định hệ thống điện theo tài liệu [3] (nét đậm chỉ phạm

vi nghiên cứu của tài liệu [3]) Hình 3.21 Cấu trúc mô phỏng hệ thống ổn định góc rotor của máy phát trong

Hình 3.24 Đáp ứng bode của bộ điều khiển bậc 17 và các bộ điều khiển bậc 4

Hình 3.25 Đáp ứng bước nhảy của bộ điều khiển bậc 17 và các bộ điều khiển

bậc 3

Hình 3.26 Đáp ứng bode của bộ điều khiển bậc 17 và các bộ điều khiển bậc 3

Hình 3.27 Đáp ứng bược nhảy của bộ điều khiển bậc 17 và các bộ điều khiển

bậc 2

Hình 3.28 Đáp ứng bode của bộ điều khiển bậc 17 và các bộ điều khiển bậc 2

Hình 3.29 Đáp ứng bước nhảy của bộ điều khiển bậc 6, bộ điều khiển bậc 4 và

Hình 3.33 Đáp ứng góc rotor ö của máy phát khi sử dụng bộ điều khiển bền

vững bậc 17 và các bộ điều khiển giảm bậc

THONG TIN KET QUA NGHIEN CUU

1 Thong tin chung:

- Tén đề tài: Nghiên cứu ứng dụng giảm bậc mô hình cho một số bài toán trong

lĩnh vực điều khiển

- Mã số: T2020-B17

- Chủ nhiệm: Vũ Ngọc Kiên

- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp

- Thời gian thực hiện: Từ tháng 09 năm 2020 đến tháng 09 năm 2021

2 Mục tiêu:

- Nghiên cứu và đánh giá các bài toán điều khiển có xuất hiện mô hình bậc cao

- Ung dụng các thuật toán giảm bậc để giải quyết các bài toán giảm bậc mô hình bậc oao trong một số bài toán điều khiển

3 Kết quả nghiên cứu:

1 Nghiên cứu và đánh giá một số thuật toán giảm bậc mô hình cho hệ ổn định

và không ôn định

2 Áp dụng thuật toán giảm bậc cho bài toán điều khiển bền vững xe hai bánh tự

cân bằng cho kết quả: Có thể sử dụng các bộ điều khiển bậc 5, bậc 4, bậc 2 thay thế bộ điều khiển bền vững bậc cao (bậc 30) trong bài toán điều khiển bền vững xe hai bánh

tự cân bằng Đã lựa chọn được bộ điều khiển bậc thấp phù hợp nhất (bộ điều khiển bậc

2) Thực nghiệm điều khiển xe hai bánh cho thấy: Hệ thống điều khiển cân bằng sử

dụng bộ điều khiển bậc thấp giúp xe cân bằng ổn định khi đứng im, khi đi chuyển, khi

tải thay đổi Bộ điều khiển bậc thấp khi sử dụng trong điều khiển xe hai bánh giúp xe

cân bằng ổn định khi xe đứng im, di chuyển, thay đổi tải của xe Sử dụng bộ điều khiển bậc thấp giúp mã lập trình điều khiển đơn giản hơn, tăng tốc độ đáp ứng của hệ

thống và đảm bảo được yêu cầu điều khiển thời gian thực

3 Áp dụng thuật toán giảm bậc cho bài toán điều khiển bền vững góc tải của máy phát cho kết quả: Có thể sử dụng các bộ điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc 2 thay thế bộ

điều khiển bền vững bậc cao (bậc 28) trong bài toán điều khiển bền vững góc tải máy phát Thông qua mô phỏng hệ thong PSS én dinh géc rotor của máy phát sử dụng bộ điều khiển giảm bậc cho thấy: Hệ thống giúp ổn định góc rotor với thời gian đáp ứng

tương đương (bộ điều khiển bậc 4 theo thuật toán bảo toàn điểm cực) và nhỏ hơn (bộ điều khiển bậc 2 theo thuật toán chuyển đổi liên tục — rdi rac) so với khi sử dụng bộ điều khiển bậc cao

Báo, Báo cáo Số lượng

problems in the field of control Code number: T2020-B17 Coordinator: Vu Ngoc Kien Implementing institution: Thai Nguyen University of Technology Duration: from 09/2020 to 09/2021

3 Applying the order reduction algorithm for the problem of stable control of the generator load angle gives the result: It is possible to use the 4", 3", and 2™ order controllers to replace the high-order robust controller (28'"-order controller) in the problem of stable control of generator load angle Simulation results of the generator’s rotor angle stabilization PSS system using reduced-order controllers show that: The system stabilizes the rotor angle with equivalent response times (4°-order controller according to the dominant pole retention algorithm) and smaller (2"™-order controller according to the continuous-discontinuous mapping algorithm) compared to when using the high-order controller

lĩnh vực kỹ thuật Đề tăng tốc độ tính toán, có một số hướng tiếp cận sau:

1 Sử dụng tối ưu thông lượng bộ nhớ cho các vi xử lý song song

2 Phân rã các bài toán và lập trình song song theo nghĩa tính toán hiệu năng cao

3, Quay về dùng các chip tương tự như mạng nơ ron tế bào (CNN)

4 Tìm cách giảm độ phức tạp của thuật toán mà vẫn đảm bảo sai số theo yêu cầu

Một trong những hướng quan trọng của giảm độ phức tạp của thuật toán chính

là giảm bậc mô hình mà dé tai sé tap hing nghiên cứu

2 Tính khoa học và cấp thiết của đề tài

Mô tả toán học hệ động lực học là bước nghiên cứu cơ bản đầu tiên trong quá trình điều khiển hệ động học Mục tiêu của mô tả hệ động lực học là chuyển hóa hiện tượng vật lý của hệ động học thành mô hình toán học, vì thế mô hình toán học cần phải mô tả một cách chính xác các tính chất của hệ động học Tuy nhiên, việc mô tả chính xác hệ động lực học thường dẫn tới các mô hình toán học phức tạp, có thể có

toán học phức tạp, bậc cao sẽ gặp nhiều khó khăn trong mô phỏng và điều khiển như làm tăng khối lượng tính toán, tăng thời gian mô phỏng, thời gian điều khiển, Vì thế, vấn đề đặt ra là cẦn rút gọn hay đơn giản hóa mô hình toán học phức tạp, bậc cao

để thu được một mô hình toán học đơn giản hơn, mà vẫn đảm bảo mô tả một cách tương đối chính xác hệ động học sẽ giúp giảm khối lượng tính toán, xử lý; tăng tốc độ đáp ứng; giảm thời gian mô phỏng, điều khiển, Như vậy mô hình đơn giản, bậc thấp đã giải quyết hài hòa yêu cầu về độ chính xác của mô hình với yêu cầu thực tế khi

sử dụng mô hình toán học Từ thực tế này, xuất hiện yêu cầu: tìm cách xác định mô hình bậc thấp từ mô hình gốc bậc cao thỏa mãn một số điều kiện nhất định và hình thành lên lĩnh vực “giảm bậc mô hình” (MOR: Model Order Reduction)

Việc nghiên cứu giảm bậc cho hệ tuyến tính bậc cao đã có nhiều kết quả, tuy nhiên các thuật toán đã được đề xuất vẫn cần phải được đánh giá, so sánh khi ứng dụng vào các bài toán thực tế Do đó, việc nghiên cứu một cách hệ thông bài toán giảm bậc mô hình cũng như các bài toán điều khiển cần ứng dụng thuật toán giảm bậc nhằm đưa ra được các đánh giá, so sánh về việc ứng dụng các thuật toán giảm bậc cho các bài toán điều khiển là rất cần thiết

3 Mục tiêu của đề tài

- Nghiên cứu và đánh giá các bài toán điều khiển có xuất hiện mô hình bậc cao

- Ứng dụng các thuật toán giảm bậc để giải quyết các bài toán giảm bậc mô hình bậc cao tong một số bai toán điều khiển

4 Đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các thuật toán giảm bậc mô hình cho hệ tuyến tinh én định và không ổn định

vào, nhiều đầu ra, mô tả trong không gian trạng thái bởi hệ phương trình sau:

y =Cx trong dé, xe R”, ue R’, ye R’, ACR”, BER”, CER” Muc tiéu cua bai toan

giảm bậc đối với mô hình mô tả bởi hệ phương trình (1.1) là tìm mô hình mô tả bởi hệ

phương trình:

x, =A,x,+Buu (1.2)

y, =C,x,

trong đó, x, ER’, u, ER’, y, ER’, A, ER”, B ER”, C, ER”, voir<n

sao cho mô hình mô tả bởi hệ phương trình (1.2) có thé thay thế mô hình mô tả bởi hệ

phương trình (1.1), đồng thời đáp ứng được một số yêu cầu sau:

1 Sai số giảm bậc nhỏ và tồn tại một chặn trên của sai số giảm bậc;

2 Thuật toán giảm bậc cần tính toán hiệu quả, 6n dinh;

3 Thuật toán giảm bậc có thể thực hiện tự động dựa trên công thức tính chặn

trên của sai số giảm bậc;

4 Các tính chất quan trọng của hệ thống gốc cần được bảo toàn trong hệ giảm

bậc như tính ôn định và tinh thụ động,

5 Phù hợp với từng yêu cầu riêng biệt của từng bài toán giảm bậc

1.2 Các nghiên cứu giảm bậc tuyến tính ôn định

Trong nhiều năm qua, đã có rất nhiều các công trình nghiên cứu để giải quyết

bài toán giảm bậc mô hình bậc cao được công bố và đề xuất, trong đó hầu hết các công

trình tập trung giải quyết bài toán giảm bậc cho hệ tuyến tính Phụ thuộc vào các tính

chất của hệ gốc cần được bảo toàn trong hệ giảm bậc mà có nhiều phương pháp giảm

bậc khác nhau, tuy nhiên, theo tài liệu [7], [8], [24] thì hầu hết các phương pháp đều

dựa trên các kỹ thuật cơ bản như sau:

Phân tích nhiễu loạn suy biến (Singular Perturbations Analysis — SPA);

Phan tich phuong thirc (Modal Analysis — MA);

Phân tích giá trị suy biến (Singular Value Decomposition — SVD);

Thời điểm phù hợp (Moment Matching - MM hay Krylov Methods— KM§);

Kết hợp phân tích giá trị suy biến (SVD) và thời điểm phù hợp (MM)

Sau đây, ta đi tìm hiểu cụ thể các phương pháp giảm bậc dựa trên các kỹ thuật

cơ bản này

1.2.1 Nhóm phương pháp dựa trên phân tích nhiễu loạn suy bién (SPA)

Đề xuất đáng quan tâm nhất của nhóm này là của Kokotovic và đồng tác giả

[78], [80] và Yousefi [49], Ishizaki và các đồng tac gia [42], Saragih va các đồng tác

giả [81], Fernando và các đồng tác giả [27] Nhóm phương pháp này đặc biệt tiện lợi

cách loại bỏ các mode “nhanh” và chỉ giữ lại các mode “chậm” Theo [4], một ưu điểm quan trọng của nhóm phương pháp này này nằm ở chỗ bản chất vật lý của các trạng thái của hệ gốc được bảo toàn trong hệ giảm bậc, bởi nếu cần thiết các trạng thái thuộc mode “nhanh” đã bỏ đi có thể tái xác định bằng cách quay trở lại hệ gốc, vì tất cả các trạng thái đều không mắt đi Tuy nhiên, với nhóm phương pháp này, khó khăn chính là làm thế nào đề xác định, phân chia một cách hợp lý các trạng thái nhóm thuộc mode

“chậm” và các trạng thái thuộc mode “nhanh”, vì các trạng thái của một hệ thống thường ghép ngẫu nhiên với nhau nên khó xác định được trạng thái nào gắn với mode nào Thêm vào đó, các mode “nhanh” và mode “chậm” cũng chỉ được xác định theo khái niệm tương đối

1.2.2 Nhóm phương pháp dựa trên phân tích phương thức

Nhóm phương pháp này dựa trên cơ sở phân tích phương thức để xác định và bảo toàn một số đặc tính quan trọng của mô hình gốc trong mô hình giảm bậc Trong các tính chất của mô hình gốc cần được bảo toàn thì giá trị riêng quan trọng (hay điểm cực trội) được quan tâm nhiều nhất [9], [73], [74], [75] Trong các phương pháp đề xuất trên cơ sở bảo lưu các giá trị riêng quan trọng của hệ gốc trong hệ giảm bậc thì phương pháp tổng quát nhất là phương pháp ghép hợp trong tài liệu [9] Ưu điểm của nhóm phương pháp bảo toàn các giá trị riêng quan trọng là do oe các giá trị riêng quan trọng của mô hình gốc trong mô hình giảm bậc nên tính ổn định của mô hình giảm bậc được bảo toàn Tuy nhiên, theo phương pháp ghép hợp để xác định mô hình giảm bậc cần phải tính các giá trị riêng và các véc tơ riêng của ma trận A, do đó nếu

ma trận A có kích thước rất lớn thì quá trình tính toán sẽ mắt thời gian đáng kể Đặc điểm thứ hai của phương pháp ghép hợp là đáp ứng bước nhảy h@) của mô hình gốc và

mô hình giảm bậc có thể khác nhau đáng kể, điều này có thể được khắc phục bằng cách phối hợp phương pháp ghép hợp với phương pháp trùng khớp các điểm theo thời gian [37] Một câu hỏi quan trọng đối với phương pháp ghép hợp là chọn các giá trị riêng như thế nào? Câu hỏi này có đáp án khi kết hợp một tiêu chuẩn áp dụng trong kỹ thuật phân tích, tổng hợp hệ thống Tiêu chuẩn tỷ số năng lượng dựa trên cơ sở xét tổng năng lượng đáp ứng xung ở đầu ra của mô hình gốc, bảo toàn các giá trị riêng có đóng góp nhiều nhất vào tong đó đã được dùng để xác định bậc thích hợp nhất cho mô hình giảm bậc được đề xuất trong tài liệu [60] Trong tài liệu [21] sử dụng những xung đơn vị để tìm một đại lượng đo tầm ảnh hưởng của từng trị riêng của ma tran A lam

cơ sở xác định các giá trị quyết định Một tiêu chuẩn khác được đề xuất trong tài liệu [84] là chọn các giá trị riêng quan trọng của hệ dựa trên sự đóng góp của từng mode biến đổi theo thời gian vào đặc tính giữa đầu vào và đầu ra của hệ Một phương pháp lựa chọn giá trị riêng quan trọng đáng quan tâm nhất hiện nay là phương pháp điểm cực trội trong tài liệu [73-75] Trong tài liệu [73-75], tác giả đánh giá tính quan trọng (tính trội) của điểm cực dựa trên cở sở đóng góp của điểm cực vào đáp ứng xung đầu

ra, sau đó sử dụng phương pháp Arnoldi và Jacobi-Davidson, không gian con Krylov

1.2.3 Nhóm phương pháp dựa trên SVD

Nhóm phương pháp giảm bậc này được thực hiện dựa trên phép phân tích giá

trị suy biến (SVD) và thông tin từ các giá trị Hankel suy biến của hệ thống Đề xuất

quan trọng nhất của nhóm phương pháp này là phương pháp chặt (cắt ngắn) cân bằng

trong tài liệu [65] Phương pháp chặt cân bằng được thực hiện bằng cách áp dụng điều

kiện tương đương lên quá trình đường chéo hóa đồng thời hai ma trận Gramian điều

khiển và Gramian quan sát động học của hệ Hug tư duy hệ hở, Việc tương đương hóa

hai ma trận đường chéo như thế cho phép chuyển mô hình gốc biểu diễn trong hệ cơ sở

bất kỳ thành hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ trong không gian cân bằng nội

Từ không gian cân bằng đó, mô hình bậc thấp có thể tìm được bằng cách loại bỏ các

giá trị riêng ít đóng góp cho sự tạo dựng mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ,

tức là loại bỏ các trạng thái ít khả năng điều khiển và quan sát Phương pháp chặt cân

bằng được phát triển thêm trong tài liệu [71], và được xác định mối quan hệ với các

chuẩn Hankel trong tài liệu [30] va được hiệu chỉnh cho vùng tần thấp trong tài liệu

[80] Những nghiên cứu gần đây về phương pháp chặt cân bằng [7-8], H2- 13], [86] tập

trung vào hoàn thiện thuật toán hoặc hiệu chỉnh thuật toán chặt cân bằng cho từng bài

toán ứng dụng giảm bậc cụ thé

Ngoài phương pháp chặt cân bằng thì phương pháp dựa trên SVD còn có một

số phương pháp khác như phương pháp cân bằng ngẫu nhién (the stochastic balancing

method) [23], [31], cân bằng thực dương (the positive real balancing method) [68], can

bang LQG (the LQG balancing method) [43], can bang trong tan số [29], phương pháp

xấp xỈ chuẩn Hankel (Hankel-Norm Approximation) [8], xấp xỉ nhiễu loạn suy biến

(Singular Perturbation Approximation) [58], Phương pháp cân bằng ngẫu nhiên

được đề xuất đầu tiên trong nghiên cứu [31] hc hệ cân bằng ngẫu nhiên, sau đó được

tổng quát hóa trong nghiên cứu [23] Khác với phương pháp chặt cân bằng yêu cầu

phải giải 2 phương trình Lyapunov, phương pháp cân bằng ngẫu nhiên yêu cầu giải

một phương trình Lyapunov và một phương trình Riccati Một phương pháp rất gần

với phương pháp chặt cân bằng là phương pháp cân bằng thực dương [68] áp dụng

giảm bậc cho các hệ thực dương Phương pháp cân bằng thực dương có thể được coi là

phương pháp căn bằng ngẫu nhiên áp dụng cho thừa số pho của các hệ thụ động và yêu

cầu giải 2 phương trình Riccati Phương pháp cân bằng LQG (the LQG balancing

method) [43] cũng yêu cầu giải 2 phương trình Riccati mở rộng theo tư duy hệ kín

Hai phương pháp giảm bậc khác cũng gần tương tự như phương pháp chặt cân bằng là

phương pháp xấp xỉ chuẩn Hankel (Hankel-Norm Approximation) [8], xắp xỉ nhiễu

loạn suy bién (Singular Perturbation Approximation) [58] Theo [7], ưu điểm chung

của các phương pháp giảm bậc dựa trên SVD là khả năng bảo toàn tính ổn định và

cung cấp công thức tính chặn trên của sai số giảm bậc toàn cục Tuy nhiên, các

phương pháp thuộc nhóm này đều yêu cầu nhiều lần phân tích ma trận nên độ phức tạp

của thuật toán cao và khó khăn khi áp dụng cho các hệ bậc rất lớn

1.2.4 Nhóm phương pháp thời điểm phù hợp (MM)

Cơ sở của nhóm phương pháp này là chọn trùng khớp đặc tính đáp ứng xung

của hệ giảm bậc với đáp ứng xung của hệ gốc tại các thời điểm Nhóm phương pháp

này được phát triển từ phương pháp lấy xấp xỉ khi tích phân gần đúng hàm theo chuỗi

của Pade [79] Một hạn chế lớn của phương pháp gần đúng Pade là đôi khi các mô

hình bậc thấp tìm được có thể không ôn định dù rằng mô hình gốc bậc cao én định Để

khắc phục nhược điểm trên đã có nhiều phương pháp được đề xuất trong đó quan trọng

nhất là phương pháp giảm bậc ổn định sử dụng phương pháp gần anne theo chuỗi

Chebyshev Pade được đề xuất trong tài liệu [17] và phương pháp thời điểm phù hợp

(Pade approximants - moment matching) hay phuong phap khéng gian con Krylov

trong tài liệu [25], [36], [32] Trong đó, phương pháp không gian con Krylov được

chia làm 3 nhóm nhỏ hơn là:

1) Thực hiện theo quy trình Arnoldi như trong tài liệu [32],

2) Thực hiện theo quy trình Lanholz như trong tài liệu [25], [32],

3) Thực hiện theo tỷ số năng lượng như trong tài liệu [32], [36]

Các kỹ thuật này đảm bảo cho việc lựa chọn điểm trùng khớp phù hợp, xác định

được công thức tính chặn trên của sai số giảm bậc, đảm bảo được sự én định của mô

hình, có thể á ấp dụng cho hệ nhiều vào nhiều ra, hệ tính toán song song, Theo [7], ưu

điểm chủ yếu của nhóm phương pháp này nằm ở chỗ tính toán đơn giản hơn so với các

phương pháp khác Tuy nhiên, nhóm PHGHE pháp này yêu cầu phải lựa chọn điểm

trùng hợp, nên quá trình giảm bậc không thể thực hiện tự động mà phụ thuộc vào kinh

nghiệm của người sử dụng, đồng thời không tồn tại công thức tính chặn trên của sai số

giảm bậc toàn cục

1.2.5 Nhóm phương pháp kết hợp phân tích giá tri suy biến (SVD) và thời điểm phù

hợp (MM)

Nhóm phương pháp này tìm cách kết hợp ưu điểm của phương pháp phân tích

giá trị suy biến (SVD) và phương pháp thời điểm phù hợp (moment matching) [7],

trong đó đáng quan tâm nhất là nhóm phương pháp low — rank Gramian [33], [38],

[41], [55-56], [70], [76] Nghiên cứu [70] đề xuất cách giải 2 phương trình Lyapunov

cho hệ kích thước lớn theo phương pháp lặp low-rank ADI (LR-ADI) (ADI -

alternating đirection implicif) Nghiên cứu [56] đề xuất cách giải 2 phương trình

Lyapunov cho hệ kích thước lớn theo phương pháp lặp phân tích Cholesky ADI (CF-

ADI) Một phương pháp giải 2 phương trình Lyapunov cho hệ kích thước lớn khác

cũng được để xuất trong [70] được gọi là phương pháp lặp low-rank Smith (LR -

Smith) và là một trường hợp đặc biệt của phương pháp lap low-rank ADI (LR-ADI)

Một phiên bản cải tiến của phương pháp lặp low- rank Smith (LR -Smith) cũng được

giới thiệu trong [33] Trong [11] thực hiện kết nối giữa phương pháp kiểu Smith

(Smith-type methods) và phương pháp kiểu ADI (ADI- type methods) Uu điểm của

nhóm phương pháp này là sẽ bảo toán được tính ổn định của hệ, cung cấp công thức

tính chặn trên của sai số giảm bậc toàn cục, giảm độ phức tạp của thuật toán giảm bậc

nên có thể áp dụng cho hệ có bậc rat cao

1.2.6 Nhóm các phương pháp khác

Trong [52] giới thiệu phương pháp giảm bậc bảo toàn các trạng thái quan trọng của hệ gốc trong hệ giảm bậc Trong [98] đề xuất phương pháp kết hợp phép chiếu trực giao thích hợp (POD) với phương pháp chặt cân bằng (POD-BT) Trong [69] đề xuất phương pháp dùng các thuật toán PSO hoặc GA tìm thông số của mô hình giảm

bậc cố định cho hệ SISO kích thước lớn,

1.3 Các phương pháp giảm bậc cho hệ tuyến tính không ôn định

Thực tế cho thấy, hầu hết các thuật toán giảm bậc được đề xuất đều áp dụng cho

hệ gốc ổn định tiệm cận — tức là hệ có tất cả các điểm cực nằm ở bên trái trục ảo, các nghiên cứu về giảm bậc cho hệ không ổn định còn rất hạn chế Tuy nhiên, trong thực

tế các mô hình tuyến tính bậc cao (mô hình đối tượng bậc cao, các bộ điều khiển bậc cao như trong các nghiên cứu [3], [94]) cũng có thể không ổn định, do đó để đáp ứng yêu cầu bài toán giám bậc (mô hình đối tượng hoặc bộ điều khiển bậc cao) thì các

thuật toán cần phải có khả năng giảm bậc được cả hệ ôn định và không én định

Theo các nghiên cứu [18], [43], [92] [93], [94], [102] thì có hai cách tiếp cận

co ban để giảm bậc cho hệ không ổn định như sau:

Cách tiếp cận thứ nhất: [7], [26], [50], [94] (cách giảm bậc gián tiếp hệ không

ổn định) hệ không ổn định được phân tích thành tổng của hai phần là phần ổn định và

phần không én định Sau đó, áp dụng các thuật toán giảm bậc ổn định như chặt cân

bằng [65] trên phần ổn định Hệ giảm bậc được hình thành là tổng của phần giảm bậc

hệ ổn định và phần không ổn định Theo cách tiếp cận thứ nhất thì hiệu quả giảm bậc

phụ thuộc chủ yếu vào thuật toán giảm bậc áp dụng cho phân hệ ôn định Tuy nhiên do

cách tiếp cận này coi phân hệ không ổn định là không thể loại bỏ trong hệ giảm bậc do

đó hệ giảm bậc luôn có bậc lớn hơn bậc của phân hệ không ổn định, điều này dẫn đến

cách tiếp cận này có thể không thể cung cấp một hệ giảm bậc xấp xỉ tốt mối quan hệ

vào — ra của hệ gốc khi phân hệ không ổn định chiếm một phần đáng kể Tuy nhiên

trong thực tế, các phân hệ không ổn định thường chiếm một phần nhỏ trong hệ gốc như trong tài liệu [3] nên cách tiếp cận này vẫn có thé cho kết quá giảm bậc tốt

Cách tiếp cận thứ lai: (cách giảm bậc trực tiếp hệ không ổn định) hệ không ổn định được giảm bậc trực tiếp theo thuật toán chặt cân bằng mở rộng cho hệ tuyến tính không ổn định trong tài liệu [102], theo thuật toán LQG [43], theo phân tích nguyên tố trong tài liệu [93], thuật toán chặt cân bằng áp dụng cho hệ rời rạc không én định trong

tài liệu [18], thuật toán chặt cân bằng mở rộng cho hệ tuyến tính không én định trong

tài liệu [101] Ưu điểm của cách tiếp cận này là bậc của hệ giảm bậc không phụ thuộc

vào bậc của phân hệ không ổn định, tức là bậc của hệ giảm bậc có thể nhỏ hơn bậc của

phân hệ không ổn định

1.4 Các nghiên cứu trong nước về giảm bậc mô hình

Theo tìm hiểu của tác giả thì ở trong nước hiện nay chưa có nhiều công trình nghiên cứu về giảm bậc mô hình, xin nêu ra ở đây một số công trình mà tác giả đã tìm

hiểu được

Trong tài liệu [64], tác giả tập trung nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của giảm bậc mô hình (tập trung đặc biệt vào bảo toàn thụ động) và xấp xỉ cho các hệ thống động lực theo phương pháp xấp xỉ dáng điệu phát triển bởi JC Willems

Trong tài ligu [1], tac gia đề xuất phương pháp giảm bậc kết hợp giữa phương pháp dựa trên SVD với bảo toàn giá trị riêng quan trọng và áp dụng thuật toán giảm

bậc cho bài toán viễn thông

Trong tài liệu [4], tác giả đề xuất phương pháp giảm bậc tối ưu đầu ra, đảm bảo bảo lưu các trạng thái quan trọng của mô hình gốc bậc cao trong mô hình giảm bậc và

áp dụng thuật toán giảm bậc cho các bài toán trong mạng viễn thông

Trong tài liệu [5], tác giả đưa ra 3 tiêu chuẩn đánh giá (đo) tính quan trọng (tính trội) của các điểm cực và xây dựng thuật toán giảm bậc mới cho hệ ổn định sử dụng 3 tiêu chuẩn này để đánh giá và sắp xếp các điểm cực theo tính quan trọng (tính trội) giảm dần trên đường chéo chính của ma trận tam giác trên A, bằng cách này, có thể bảo toàn được các điểm cực quan trọng của hệ gốc trong hệ giảm bậc đồng thời thu được sai số giảm bậc nhỏ Thuật toán cũng được mở rộng áp dụng giảm bậc cho hệ không ổn định theo phương pháp gián tiếp

1.5 Kết luận chương 1

Trong chương này, tác giá nghiên cứu và đánh giá một cách có hệ thống về các thuật toán giảm bậc mô hình tuyến tính én định và thuật toán piảm bậc mô hình tuyển tính không ô ổn định, qua đó cho thấy các thuật toán đã đề xuất đều có ưu nhược điểm riêng, cần được áp dụng cho các bài toán giảm bậc thích hợp Đồng thời, các thuật toán giảm bậc tuyến tính đã đề xuất chủ yếu áp dụng cho hệ ổn định, các thuật toán giảm bậc cho hệ không ô ổn định là chưa nhiều và đều có ưu nhược điểm riêng

CHƯƠNG 2 CÁC THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH

cho hệ không én định

2.2 Các công cụ toán học sử dụng trong các thuật toán giảm bậc mô hình 2.2.1 Pháp phân tích ma trận

2.2.1.1 Phép phân tích giá trị suy biến (SVD)

Cho ma trận A€(Œ”", với ø<m Khi đó tồn tại hai ma tran unita UEC”, UU’ =I,, va VEC”, VV =I, , voi U’, V’ là ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận U, V (lấy chuyển vị của ma trận U, V rồi lấy liên hợp của các phần tử), sao cho:

A=UZV',

trong đó £ =diag(o,,0,, ,)1a ma tran dudng chéo, voi o, > ø, > > ơ, là căn bậc

hai của giá trị riêng AA', V7 là ma trận chuyển vị của ma trận V Phép phân tích

A =USV' được gọi là phép phân tích giá trị suy biến của ma trận A [6]

2.2.1.2 Phép phân tích Schur

Cho ma trận vuông A € JR”” Khi đó tồn tại ma trận unita U € JR”” sao cho

A=UAU, trong đó: A là ma trận tam giác trên với các giá trị riêng của ma trận À nằm trên đường chéo chính của ma trận À, U' là ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận U

2.2.1.3 Phép phân tích Cholesky

Cho ma trận A€]R“” là ma trận xác định dương Khi đó tồn tại một ma trận tam giác trên R € IÑ”” sao cho

A=RR,

Ma trận R còn được gọi là thừa số cholesky cua A

2.2.2 Gramian diéu khién và quan sút của hệ tuyển tính

Xét một hệ tuyến tính, liên tục, tham sô bất biến theo thời gian, én định tiệm cận như mô tả trong (1 I)

Do A 1a ma tran ổn định (tất cả các giá trị riêng của A đều có phần thực âm)

và hệ mô tả bởi phương trình trong (1.1) có khả năng điều khiển và quan sát hoàn toàn

Khi đó Gramian đặc trưng cho khả năng điều khiển P và cho khả năng quan sát Q của hệ (1.1) được định nghĩa như sau [7]:

Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q thỏa mãn hai phương trình

Lyapunov sau day:

AP + PA’ =—BB’ (2.3)

Gramian là đại lượng dùng để đo năng lượng điều khiển và năng lượng quan sát

của hệ Ý nghĩa vật lý của các Gramian được thể hiện trong tài liệu [7] như sau: Giả sử

P, Q là hai Gramian điều khiển và quan sát của hệ (1.1) Khi đó

(i) Năng lượng nhỏ nhất để điều khiển hệ từ trạng thái 0 tại thời điểm t = 0 tới trạng

thái x, tại thời điểm ¢— 00 1a x/P"x,

(1ï) Năng lượng lớn nhất để quan sát trạng thái ban dau x, của hệ là x;Qx,

Nhận xét: Tinh chat (i) va (ii) ctia Gramian điều khiển và quan sát cho chúng ta biết

biến trạng thái nào là khó điều khiển hoặc dễ điều khiển (cũng như khó quan sát hay

dễ quan sát) Cụ thể, những biến trạng thái nằm Hong vung cac vector riêng của P

tương ung với giá trị riêng lớn nhất sẽ là dễ điều khiển nhất vì chỉ cần năng lượng

nhỏ để điều khiển những biến này Tương tự, những biến trạng thái nằm trong vùng

các vector riêng của Q tương ứng với giá trị riêng lớn nhất sẽ dé quan sát nhất vì chỉ

cần năng lượng nhỏ để quan sát những biến này

Tính chất (ii) cho chúng ta ý tưởng về khái niệm cân bằng, tức là dùng một phép đôi

biến để sắp xếp lại các biến trạng thái theo thứ tự dé điều khiển/dễ quan sát đến khó

điều khiển/khó quan sát Nếu ta sử dụng một phép biến đổi T để dua hé (A, B, C)

trong (1.1) về dạng tương đương (T"'AT, T-'B, CT) thì các Gramian sẽ được biến

đổi như sau:

Ê=TPT"

Ô=T'QT'

Khi này tích của hai Gramian mới Ê, Ộ là ÔÔ= T(PQ)T" Điều này đồng nghĩa

rằng dù phép đổi biến T đã làm thay đổi các Gramian của hệ nhưng lại không làm

thay đổi các giá trị riêng của tích các Gramian P và Q Cụ thể, theo tài liệu [66

Afzal, S.; Rajendra, P Reduced order modelling based control of two wheeled mobile

robot Journal of Intelligent Manufacturing 2019, 30(3), 1057-1067

] ta có: Các giá trị riêng của tích các Gramian P và Q là dương va bat biến đối

với các phép biến đổi không suy biến

Ký hiệu Gee, Or a 50, } là các giá trị riêng của tích PQ, với giả thiết

ơ,>øơ,> >øơ, thì theo [7] ta có: Táp các giá trị {0,,0,5 0,} duoc goi là các giá

trị suy biến Hankel của hệ Giá trị suy biến Hankel ø, được coi là “năng lượng” của

mỗi trạng thái của hệ 3

2.3 Các thuật toán giảm bậc cho hệ ôn định

2.3.1 Thuật toán chặt cân bằng

Thuật toán chat c4n bang (balanced truncation) là phương pháp giảm bậc được

giới thiệu đâu tiên bởi Moore [65], sau đó đã được nhiều tác giả phát triển và hoàn

thiện thuật toán [20, 45, 102, 61]

Ý tưởng của thuật toán chặt cân bằng là tìm một phép biến đổi không suy biến

7 để chéo hóa đồng thời hai ma trận Gramian điều khiển P và ma trận Gramian quan

sát @ như đã thảo luận trong Mục 2.2.2, sau đó áp dụng kỹ thuật chặt (tức là bỏ đi

những biến không quan trọng), để thu được hệ giảm bậc Nội dung cụ thể của thuật

toán như sau:

Xét hệ (A,B,C,D) ổn định tiệm cận và biểu diễn ở dạng tối thiểu như được mô

tả trong (1.1)

Thuật toán 2.3.1: Thuật toán chặt can bang

Đầu vào: Hệ gốc (A,B,C) được mô tả trong (1.1)

Bước I: Tính hai ma trận Grammian quan sát Q va Grammian điều khiển P của hệ

bằng cách giải hai phương trình Lyapunov (2.3) và (2.4)

Bước 2: Phân tích Cholesky cho ma trận P, tức là tìm ma trận tam giác trênR sao

cho: P=RR’

Bước 3: Phân tích SVD cho ma trận RQR” như sau: RQR" = U'LD’U, trong dé U là

ma trận trực giao, (tức là UU=UU”=I), và là ma trận đường chóo,

X= điag (ơ,,Ø,„ Ø,), với ơ,>øơ,> >ơ, >0 Các giá trị ơ,,ơ,, ,ơ, chính là các

giá trị Hankel suy biến của hệ

Bước 4: Tính ma trận T không suy biến như sau:

TT = RUD,”

Bước 5: Tính (A,„,B,„„C„)=(T'AT,T'A,CT)

Bước 6: Chọn số bậc cần rút gọn r sao cho r <n va o, >¢,,,

Bước 7; Biểu diễn (A,„„B,„,C„„) ở dạng khối như sau

a — ie A, ;Bự = b

A, A, B,

trong d6 A, € R”,B,€ R”,C, ER”

Dau ra: Hé rit gon (A,,,B,,C,)

Hé rut gon (A B,C) thu duge tir Thudt todn 2.3.1 cd cac tinh chat sau:

(i) Matran A,, 1a ma tran 6n dinh (nguén)

Nhận xét: Tính chất (iï) cho thấy hệ rút gọn (A,,,B,,C,) gitt lai r gid tri suy biến

Hankel quan trọng nhất của hệ ban đầu là (0n0pmsØn)i

(ii) Hệ rút gọn (A,,,B,,C,) thu duge tir Thudt todn 2.3.1 06 danh gid sai s6 nhu

sau:

|G(s)—G,()|, <2(ø,., +ø,„; + +ø,); [1]

trong đó G(s) =C(sI—A) 'B,G,(s)=C,(sI—A,,) B, 1a biéu dién dang hàm truyền

của hệ gốc (1.1) và hệ rút gọn, (Ø4 2n‹001) là các giá trị suy biến Hankel bị lược

bỏ

2.3.2 Thuật toán bảo toàn điểm cục trội

Thuật toán bảo toàn điểm cực trội [5] đưa ra 3 tiêu chuẩn đánh giá (đo) tính

quan trọng (tính trội) của các điểm cực và xây dựng thuật toán giảm bậc mới cho hệ én định sử dụng 3 tiêu chuẩn này để đánh giá và sắp xếp các điểm cực theo tính quan trọng (tính trội) giảm dần trên đường chéo chính của ma trận tam giác trên A, bằng cách này, có thể bảo toàn được các điểm cực quan trọng của hệ gốc trong hệ giảm bậc đồng thời thu được sai số giảm bậc nhỏ Nội dung cụ thể của thuật toán như sau:

Giả sử rằng hệ thống tuyến tính tham số bắt biến theo thời gian trong (1.1) là hệ

én định tiệm cận và ở dạng tối thiểu (A, B, C)

Thuật toán 2.3.2 Thuật toán bảo toàn điểm cực trội

Đầu vào: Hệ gốc (A, B, C) được mô tả như (1.1) Bưwóc I: Phân tích Schur của ma trận A: A = UAU”, trong đó U là ma trận unitary và

A là ma trận tam giác trên

Bước 2: Tính Gramian quan sát Q từ phương trình Lyapunov sau:

Buwéc 3: Phan tich Cholesky cha Q: Q=R'R, trong dé R 14 ma tran tam gidc trén

Bước 4: Tinh ma tran khéng suy bién T= UR"

Bước 5: Tính (Ã, B, C)=(T*AT, T'B, CT)

Buớc 6: Sắp xếp lại điểm cue theo chi s6 tri H,, va H, và hỗn hợp Bước 6.1: Với mỗi điểm A,, voi i=1, n ta tính toán chỉ số trội H, tương ứng

R,= Red (hoặc chỉ sô trội H, tương ứng §, = trace(B} B,) , hoặc chỉ sô trội hôn

eA,

hợp tương ứng J, = max {R,,S,})

Bước 6.2: Chọn chỉ số trội H, lớn nhất R, (tuong ty voi chi số trội H, và hỗn hợp)

Bước 6.3: Sắp xếp lại điểm cực A, (và liên hợp của nó Ä,, nếu cần thiết) thành vị trí

đầu tiên trên đường chéo của ma trận A bằng ma trận đơn nhất (unitary matrix) U,:

* Ok #

4

U/AU, = x OK OR

*

Buóc 6.4: Tính hệ thông tương đương mới (U/ÃU,, U7ỗ, CU,)

Bước 6.5: Bỏ đi hai hàng và cột đầu tiên của (U;AU,, U'B, U,) ta thu được một hệ

thống nhỏ (Â B, È) với kích cỡ #— 2

Buéc 6.6: Lặp lại quá trình trên từ bước 6.1 đến 6.5 cho hệ thống nhỏ (Â B, ê) và

tiếp tục vòng lặp cho đến khi tất cả các điểm cực được sắp xếp lại theo độ lớn của chỉ

số trội H,, chỉ số trội H, hoặc chỉ số trội hỗn hợp

Bước 7: Rút gọn hệ tương đương Bưuớc 7.1: Chọn số bậo cần rút gọn z sao chor <n

Bước 7.2: Biểu diễn (A, B, C) ở dạng khối nhau sau:

trong do A,, ER”, B, eR”, C, eR”

Đầu ra: Hệ rút gon(A,,, B, Cy:

A

2.4 Thuật toán giảm bậc cho hệ không ôn định

Để thực hiện giảm bậc cho hệ không ổn định thì có hai phương pháp cơ bản:

Phương pháp thứ nhất: Phân tách hệ không ôn định G(s) thành hai phần:

G@œ)=G*(s)+G'(s), trong đó G*(s) là phân hệ không ổn định và G' (s) là phân hệ

ổn định Sau đó thực hiện giảm bậc phân hệ ổn định G”(s) thu được hệ rút gọn ổn

định Ê~(s), kết quả giảm bậc của hệ không ổn định G@) sẽ là Š(s) = G(s) +G"(s)

Phương pháp thứ hai: Thực hiện giảm bậc trực tiếp hệ không ôn định

Phần nội dung sau đây sẽ trình bay chi tiết nội dung các phương pháp giảm bậc cho hệ không ổn định thực hiện theo hai phương pháp trên

2.4.1 Thuật toán chặt cân bằng gián tiếp cho hệ không 6n dinh (bstmr)

Nội dung thuật toán chặt cân bằng gián tiếp [1, 65, 71, 77] như sau

Xét hệ thống (A,B,C,D) không ổn định được mô tả trong (1.1) và biểu diễn ở dạng

tối thiểu

Thuật toán 2.4.1: Thuật toán chặt cân bằng gián tiếp cho hệ không ôn định

Đầu vào: Hé (A,B,C) duge mé ta trong (1.1)

Bước 1: Chuyển hệ thống về dạng tựa tam giác ta thu được hệ thống có dạng

I, Ss XS

g5

Bước 5: Phân tách hệ (A,,B,,C,,D) về dang

Buốc 6: Giảm bậc hệ ỗn định (A acc j theo Thuậf toán 2.3.1 thu được hệ rút

gọn (A,,B,,C,D) với A, cR”,B,eÑ”,C,clR”,r <m

Dau ra: Hệ rút gọn (A,.B,,€,) Tr Sa CÀ)

2.4.2 Thuật toán chat can bằng của Zhou

Vấn đề khó khăn khi áp dụng thuật toán chặt cân bằng cho hệ không ôn định đó

là việc xác định các gramian luôn đi kèm yêu cầu hệ gốc là Ổn định tiệm cận Để có thể

xác định được các gramian của hệ không én định Zhou [102] đã chứng minh được rằng

có thể sử dụng các hàm đặc biệt X và Y là nghiệm của hai phương trình Lyapunov

XA+A'X-XBB'X=0

AY+YA -YC'CY =0

Từ hai hàm đặc biệt X và Y qua phép đặt F=—B'X và L=~—YC), ta có thể xác

định gramian điều khiển và gramian quan sát của hệ không ổn định qua hai phương

Sau khi xác định dược gramian điều khiển P và gramian quan sát Q ta thực hiện các pute theo thuật toán chặt cân bằng của Moore sẽ thu được hệ giảm bậc của hệ gốc không ôn định ‘

Nội dụng cụ thể của thuật toán chặt cân bằng của Zhou [102] như sau:

Xét hệ thống không ổn định được mô tả trong (1.1) và biểu diễn ở dạng tối thiểu

Thuật toán 2.4.2: Thuật toán chặt cần bằng trực tiếp của Zhou [102]

Đầu vào: Hệ (A,B,C) được mô tả trong (1.1)

Buéc 1: Tinh X va Y phan ổn định của hệ phương trình

XA+A'X-XBB'X=0 AY+-YA'—YC'CY =0

— Bước 2: Đặt R=—B'X và L=—YC" - : ; H = Bước 3: Tính Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q Đừng cách giải hệ phương trình

(A+BF)P+P(A+BF)'+ BB=0

Q(A+LC)+ A(A+LC)'+C'C=0

Buéc 4: Phan tích Cholesky ma tran P = R’R, voi R 1a ma tran tam giác trên

Bwéc 5: Phan tich SVD ma tran RQR’ =U'L’U, trong d6 U 1a ma tran unitary

Hankel suy biến của hệ

Bước 6: Tính ma trận T không suy biến

p= = R “UY''2

Bước 7: Tính (A„ B„› Cu.) =(T'AT,T'A,CT)

Bước 8: Chọn số bậc cần rút gon r sao cho r <n

Buớc 9: Biểu diễn (A bại 2“ „„„B,„„„C„„) ở dạng khối nhau sau nhai 2

2.4.3 Thuật toán bảo toàn điểm cực trội áp dụng cho hệ không 6 ẩn định

Để thực hiện giảm bậc cho hệ không ô ổn định trong [5] xây dựng và hoàn thiện thuật toán giảm bậc theo cách tiếp cận cơ bản như sau: Phân tách hệ không ổn định G(s) thành hai phần: G(s)=G†*(s)+G (s), trong đó G*(s) là phân hệ không ổn định và G(s) là phân hệ ô ổn định Sau đó thực hiện giảm bậc phân hệ ô ổn định G'(s)

thu được hệ rút gọn ổn định Ê (s), kết quả giảm bậc của hệ không ổn định G(s) sẽ là G(s) = G(s) + G(s) [50]

Phần nội dung sau đây sẽ trình bày chi tiết nội dung của thuật toán:

chuyển trục tọa độ dựa vào giá trị phần thực của điểm cực không ổn định có phần thực

lớn nhất

Thuật toán chặt cân bằng của Zilochian [106] cụ thể như sau:

Thuật toán 2.4.4 Thuật toán chặt cân bằng mở rộng của Zilochian [106]

Đầu vào: Hệ (A, B, C) được mô tá trong (1) (hệ không én định) có biểu diễn dạng

hàm truyền là G(s):= C(sI— A) B

Bước I: Xác định điểm cực a không ổn định lớn nhất của hé (1) Dat

8 =real(œ)-+ổ, trong đó 6€l§ nhỏ tùy ý và 6 > 0

Chuyển đổi hệ (A, B, C) thành hệ G„(s) ôn định theo hệ phương trình sau:

A, =A-I B,=B c,=C

Buéc 2: Tinh Grammian quan sét Q, va Grammian điều khiển được P, của hệ thống (A„ B,, C,) bằng cách giải hai phương trình Lyapunov sau:

A,P,+P,A; =-B,B) pp?

A,Q,+Q,A,= ~C;C,

Bước 3: Phân tích các ma trận sau:

Phân tích Cholesky ma trận P, = R„„Rj„, với R„, là ma trận tam giác trên Bp Bp?

Phân tích Cholesky ma tran Q, =R,,Rj,, voi R„, là ma trận tam giác trên Øø "8o?

Phân tích SVD ma trận R„„R?, = U,AV/

Bước 4: Tính ma trận T, không suy biến

iS Rive Buóc 5Š:

Tính („ Bis G; =(T7A,T,, T, By CT,)- Bước 6: Chọn số bậc cần rút gọn r sao chor <n

Biểu diễn („› B„, È,) ở dạng khối như sau:

trong d6 A,,, 11 €R™, By, € R™, Ce N

Ta thu được hệ giảm bậc (Â,,„, B,„, Ê, „} ôn định

Bước 7: Chuyên đôi hệ („„„ B„„, C,,) ồn định về hệ én định - Ø ( B È)

theo hệ phương trình sau:

AP+PA —PC'C'P+BB'=0 A'Q+QA — QBB'Q+C'C=0 Sau khi xác định được giá trị của gramian điều khiến P và gramian quan sát Q ta thực hiện các bước theo thuật toán chặt cân bằng của Moore sẽ thu được hệ giảm bậc của hệ gôc không ôn định

Thuật toán cân bằng LQG [43] cụ thể như sau:

Thuật toán 2.4.5 Thuật toán cân bang LGQ [43]

Đầu vào: Hệ (A, B, C) được mô tả trong (1) (hệ không én định) Bưuóc I: Tính gramian điều khiển P và gramian quan sát Q theo hệ phương trình AP+PA —PC'C'P+BB'=0

A'Q+QA — QBB'Q+C'C=0 Bước 2: Phân tích các ma trận sau Phân tích Cholesky ma trận P = RR”, với R là ma trận tam giác trên

Phân tích SVD ma trận RỌR” = UAV”

Bước 3: Tính ma trận L= V'”

Bưóc 4: Tính ma trận không suy biến T”' = R”UL7?

Buóc 5:

Tinh (A, B, C)=(T'AT, T"B, CT)

Bước 6: Chọn số bậc cần rút gọn r sao cho r <ø

Biểu diễn (A, B, C) ở dạng khối như sau:

A, Ay trong d6 A, ER”, B,ER”, CER”

Đầu ra: Hệ giảm bậc (A,,, B,, C,)

2.4.6 Thuật toán chặt cân bằng ngẫu nhiên (bstmr)

Phương pháp cân bằng ngẫu nhiên được đề xuất đầu tiên trong nghiên cứu [31]

cho hệ cân bằng ngẫu nhiên, sau đó được tổng quát hóa trong nghiên cứu [23] Khác với phương pháp chặt cân bằng yêu cầu phải giải 2 phương trình Lyapunov, phương pháp cân bằng ngẫu nhiên yêu cầu giải một phương trình Lyapunov và một phương trình Riccati

Nội dung cụ thê của thuật toán như sau:

Thuật toán 2.4.6 Thuật toán chặt cân bằng ngẫu nhiên Đầu vào: Hệ (A, B, C)(ổn định hoặc không ôn định) được mô tả trong (18) có biểu diễn dạng hàm truyén 1a G(s) = C(sI— A) 'B

Bước I: Tính Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q bằng cách giải phương trình Lyapunov và phương trình Riccati

Buốóc 4: Tính phân tích SVD của (V, 1.BIG Ni ) = ULV

Buéc 5: Tao phép biến đỗi trái/ phải cho mô hình rút gon bac k cuối cùng

S,„„ = V„„¿UB(I:k,1:&) ”

Đ — V,„„VS( : k,l : k)”

Step 6: Tinh (A,, B,, C,) = (Spc AS amc Si acBs CS, „„) *

Đầu ra: Hệ giảm bậc (A,, B,, C,)

2.5 Kết luận

Trong chương này, tác giả đã đạt được một sô nội dung sau

1 Trinh bày một số công cụ toán học thường đùng trong giảm bậc mô hình

2 Nghiên cứu và đánh giá một số thuật toán giảm bậc mô hình cho hệ ổn định

và không ổn định

CHUONG 3 UNG DUNG GIAM BAC MO HiNH TRONG MOT SO BAI

TOAN DIEU KHIEN

Ti rong nội dung Chương 2, chúng tôi đã giới thiệu các thuật toán giảm bậc mô hình Để làm rõ tính đúng đắn, wu nhược điểm và hiệu quả của các thuật toán này, trong chương 3, chúng tôi sẽ áp dụng thuật toán giảm bậc mô hình trong điều khiển cụ thể là bài toán giảm bậc bộ điều khiển bậc cao của hệ thông điều khiển cân bằng xe hai bánh và bài toán 6n định góc tải máy phát

3.1 Giới thiệu

Theo lý thuyết điều khiển bền vững thì hệ thống điều khiển bền vững H„ làm cho chất lượng hệ thống ỗ ổn định, ít phụ thuộc vào sự thay đổi của đối tượng cũng như nhiễu tác động lên hệ thống Mục đích của điều khiển bền vững là chất lượng vòng kín được duy trì mặc dù có sự thay đổi trong đối tượng Tuy nhiên, từ phương pháp thiết

kế điều khiển bền vững H„ đầu tiên được McFarlane và Glover giới thiệu vào năm

1991 J63] đến các nghiên cứu sau này về lý thuyết điều khiển bền vững Hu [2,103] thì

bộ điều khiển thu được thường có bậc cao (bậc của bộ điều khiển được xác định là bậc của đa thức mau) Bậc của bộ điều khiển cao có nhiều bất lợi khi chúng ta đem thực hiện điều khiển thực, vì :

+ Nếu sử dụng hệ thống điều khiển số thì bộ điều khiển bậc cao sẽ dẫn tới mã chương trình phức tạp làm gia tăng khối lượng tính toán cần được xử lý dẫn tới các hệ thống điều khiển có thể không đáp ứng được yêu cầu điều khiển thời gian thực hoặc nếu muốn đáp ứng được thì yêu cầu tốc độ (tốc độ của vi xử lý) của phần cứng cao làm tăng chỉ phí của hệ thống điều khiến

+ Nếu thiết kế điều khiển tương tự thì cấu trúc mạch điều khiển phức tạp, dẫn tới khả năng gặp sự cố trong thiết kế và cũng như trong họat dong của mạch tăng lên hay độ tin cậy của hệ thống giảm đồng thời chỉ phí cho hệ thống điều khiển tương ứng tăng lên

Vì vậy, việc giảm bậc bộ điều khiển mà vẫn đảm bảo chất lượng của hệ thống điều khiển (thể hiện qua các chỉ tiêu chất lượng tĩnh, chất lượng động của hệ thống điều khiển) có một ý nghĩa thực tiễn rất lớn đối với hệ thống điều khiển bền vững Để thu được bộ điều khiển bậc thấp thì ta có thé thực hiện theo 2 phương pháp khác nhau :

Phurơng pháp trực tiếp: phương pháp này lựa chọn một cầu trúc cố định của bộ điều khiển giảm bậc sau đó áp dụng các thuật toán tối ưu để tìm các tham số của bộ điều khiển có cấu trúc cố định đó sao cho đảm bảo các tiêu chuẩn của điều khiển bền vững

Phương pháp gián tiếp: Thiết kế bộ điều khiển bền vững cho đối tượng bắt định sẽ thu được bộ điều khiển bậc cao, sau đó thực hiện giảm bậc bộ điều khiển bậc cao theo các thuật toán giảm bậc để thu được bộ điều khiển bậc thấp

Theo quan điểm của tác giả thì phương pháp trực tiếp, bộ điều khiển có thể thu được bậc thấp như trong tài liệu [89], [90] nhung gap phai van dé 1a do phai cùng lúc giải hai bài toán tối ưu (bài toán điều khiển bền vững và bài toán tìm thông số của bộ điều khiển bậc thấp), nên các tính phức tạp của bài toán là rất cao và nếu lựa chọn cấu trúc của bộ điều khiển bậc thấp không thích hợp thì có thể không xác định được tham

số của bộ điều khiển bậc thấp (bài toán tối ưu không có nghiệm) Với phương pháp gián tiếp thì bài toán giảm bậc là một bài toán độc lập nên luôn cho kết quả giảm bậc như trong tài liệu [3, 5] vì vậy để luôn tìm được bộ điều khiển bậc thấp trong mọi trường hợp thì phương pháp gián tiếp có ưu thế hơn Chính vì vậy, trong nội dung chương này, tác giả sẽ tng, dụng thuật toán giảm bậc mô hình đã đề xuất trong (Hong

2 đễ giảm bậc bộ điều khiển bậc cao trong bài toán điều khiển bền vững, cụ thể là bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh

3.2 Ứng dụng giảm bậc mô hình trong bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh 3.2.1 Bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh

Xe dap đã xuất hiện trên thế giới hàng thế kỷ và là một phương tiện giao thông được

sử dụng phổ biến Việc điều khiển xe cân bằng iene do người lái, tuy nhiên, việc cân bang 6 ổn định xe khi không có người lái lại là vấn đề khá khó khăn Vì thế, nghiên cứu về xe ÔN tự cân bằng thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa nghiên cứu Để có thể điều khiển cân bằng xe, ta cần phải hiểu được động lực học của xe hai bánh Mô hình xe đạp có tính không trực quan và phụ thuộc mạnh vào tốc độ của xe [10] Khi xe không chuyển động, mô hình xe đạp là không én định giống như con lắc ngược [10] Tuy nhiên, khi xe chuyển động tịnh tiến trong những điều kiện nhất định thì xe có khả năng ổn định [10] Trong [10] cũng chỉ ra rằng có thể mô tả xe hai bánh bằng nhiều mô hình với sự phức tạp khác nhau từ mô hình tuyến tính bậc hai đến mô hình tuyến tính bậc 4, mô hình phi tuyến Có nhiều giải pháp khác nhau để giải quyết bài toán cân bằng xe hai bánh khi khong có người lái, trong đó, cơ bản có thể phân thành hai nhóm: Có hoặc không có bộ ổn định

Với nhóm phương pháp không có bộ ỗ ôn định như các nghiên cứu [88], [87], [95], [39], [83], để duy trì trạng thái cân bằng của xe, hệ thống điều khiển sẽ điều khiển góc lái của xe bằng động cơ điện Phương pháp này được xây dựng dựa trên tính chất của xe đạp khi có người lái, đó là khi xe di chuyển việc điều khiển góc lái sẽ sinh ra lực ly tâm giúp duy trì trạng thái cân bằng của xe Do đó phương pháp này rất khó có thể duy trì trạng thái cân bằng khi xe ding yên Với nhóm phương pháp có bộ ôn định thì có nhiều giải pháp thiết kế bộ ổn định để duy trì trạng thái cân bằng của xe Bộ ô ổn định sử dụng bánh đà theo nguyên lý con quay hồi chuyển như trong nghiên cứu [1ó6, 22, 28,

45, 51, 59, 72, 85, 89] Trong các nghiên cứu này [16, 22, 28, 45, 51, 59, 72, 85, 89], bánh đà sẽ quay với tốc độ cao để tích lấy năng lượng, sau đó hệ thống điều khiển sẽ điều khiển góc nghiêng của bánh đà để sinh ra lực theo nguyên lý của con quay hồi chuyển nhằm duy trì trạng thái cân bằng của xe Giải pháp này có thể sử dụng một bánh đà như trong nghiên cứu [16, 22, 28, 45, 51, 59, 72, 85, 89] hay str dung 2 bánh

đà như nghiên cứu [22, 59, 72] Ưu điểm của biện pháp này là đáp ứng nhanh, lực duy trì cân bằng lớn, nhưng nhược điểm là bánh đà quay với tốc độ cao nên tiêu tán năng lượng lớn Bộ cân bằng có dạng vật năng có thể thay đổi vị trí như nghiên cứu [53]

Trong [53], tác giả thêm một vật nặng vào mô hình xe và thay đổi vị trí của vật nặng

để thay đổi trọng tâm của xe nhằm duy trì trạng thái cân bằng Ưu điểm của phương pháp này [53] là có thể duy trì trạng thái cân bằng của xe khi xe đứng yên cũng như khi xe chuyển động, tuy nhiên nhược điểm là để đảm bảo lực cân bằng lớn thì khối

lượng vật nặng thêm vào cũng lớn dẫn tới kích thước, trọng lượng của xe tăng lên đồng thời đáp ứng của hệ thống thường chậm Để khắc phục nhược điểm của nghiên cứu [53], nghiên cứu [4ó, 99] đề xuất sử dụng vật nặng dạng bánh đà dé thay đổi trọng tâm trọng lực Theo đó, một bánh đà sẽ được lắp đặt trên xe và có thể thay đổi kết cầu của bánh đà để thay đổi trọng tâm của bánh đà, từ đó thay đổi được trọng tâm của xe

Bộ cân bằng sử dụng bánh đà theo nguyên lý con lắc ngược như trong nghiên cứu [19,

44, 47, 48, 54, 97] Theo phurong pháp này [19, 44, 47, 48, 54, 97], bánh đà được đặt trên xe sẽ thay đổi chiều quay để tạo ra lực cân bằng với trọng lực của xe nhằm duy trì trạng thái cân bằng của xe Ưu điểm của phương pháp này: là bánh đà thường quay với tốc độ thấp nên tiêu tán năng lượng ít, đáp ứng của hệ thống nhanh Nhược điểm của phương pháp này là lực cân bằng không lớn nên xe chỉ có thể cân bằng trong phạm vi góc nghiêng không lớn

Ta thấy, mỗi nhóm phương pháp cân bằng xe hai bánh đều có ưu nhược điểm riêng nên có một số nghiên cứu tìm cách kết hợp các phương pháp như kết hợp phương pháp điều khiển góc lái với phương pháp thay đổi tâm trọng lựe như nghiên cứu [82]

Qua phân tích các giải pháp cân bằng xe hai bánh, trong bài báo này, chúng tôi lựa chọn giải pháp sử dụng bánh đà theo nguyên lý con lắc nguge để xây dựng mô hình xe hai bánh tự cân bằng Để điều khiển hệ thống cân bằng xe theo nguyen ly con lắc ngược, có nhiều phương pháp khác nhau như điều khiển PD [44], điều khiển PID [4ó,

47, 54], điều khiển LQG và MPC [48], điều khiển bền vững [97] Tuy nhiên, xe hai

bánh khi hoạt động trong thực tế sẽ chịu nhiều tác động bất định như tải, nhiễu, ngoại lực do đó có thể coi mô hình xe hai bánh là đối tượng bất định [85], vì thế điều khiển tối ưu bền vững là thích hợp để điều khiển xe hai bánh Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ thiết kế bộ điều khiển hệ thống cân bằng xe hai bánh theo thuật toán điều khiển tối ưu bền vững Tuy nhiên, bộ điều khiển tối ưu bền vững thường có bậc cao [ó, 14,

40, 61, 66, 104, 67, 99, 100] nên sau khi thiết kế bộ điều khiển bền vững chúng tôi đề xuất sử dụng các thuật toán giảm bậc để rút gọn bộ điều khiển nhằm giúp hệ thống vừa đáp ứng được yêu cầu ổn định bền vững, vừa giúp mã chương trình điều khiển sẽ đơn giản hơn, có khả năng ứng dụng tốt trong thực nghiệm điều khiển xe Để thu được bộ điều khiển bậc thấp thì ta có thể thực hiện theo 2 phương pháp khác nhau như đã đề cấp ở mục 3.1 Theo như phân tích trong muc 3.1, trong mục 212 này, nhóm tác giả lựa chọn thiết kế bộ điều khiển bậc thấp cho bài toán điều khiển cân bằng cho xe hai bánh theo phương pháp gián tiếp

Một mô hình xe hai bánh tự cân bằng trong giới hạn bài toán khi xe chuyển động thẳng, khi xe mang tải và chịu tác động của ngoại lực trong giới hạn cho phép

được thể hiện trong hình 3.1 như sau:

Hình 3.1 Mô hình xe hai bánh tự cân bằng

Xe tự cân bằng được tạo thành từ các thành phần sau: Một bánh đà đường kính 0.26 m,

_ trọng lượng 3.796 kg có tác dụng tạo ra mô mem xoắn; một động cơ 1 chiều 15V-

100w-3400 rpm để quay bánh đà quanh trục của nó; một động cơ 1 chiều được dùng

để điều khiển xe tiến hoặc lùi; mạch cầu H được được dùng để điều khiển động cơ điện 1 chiều; 5VDC- 100 xung Eneoder Sharp được dùng dé đo tốc độ bánh đà; cảm

biến GY-521 MPU-6050 được dùng để đo góc nghiêng của xe Kích thước của xe như sau: đài 1.19m, cao 0.5m, rong 0.4m

Hệ thống cân bằng của mô hình xe hai bánh được xây dựng theo nguyên lý con lắc

ngược như sau: Khi động cơ quay bánh đà quay quanh trục của nó với gia tốc a sẽ tạo

ra một mô mem xoắn tác động vào xe để giữ cho xe được cân bằng

Cấu hình hệ thống điều khiển cân bằng của xe được thể hiện trong hình 3.2 như sau

3.2.2 Mô hình hóa xe hai bánh tự cân bằng

Để xây dựng mô hình động lực học chúng tôi đưa ra một số giả định như sau: Toàn bộ

các chỉ tiết của xe tạo thành một liên kết cứng với một bậc tự do (DOF) là quay quanh trục Z Bánh đà được gắn cứng vào xe và trọng tâm của bánh đà được cố định so với khung xe Mô hình đơn giản của xe được thể hiện trong hình 3.3, với F là trọng tâm của bánh đà, B là trọng tâm của xe Góc nghiêng của xe so với trục Z là œ, góc quay của bánh đà là ổ

Mô hình động học của xe hai bánh được thể hiện trong hình 3.3

Hình 3.3 Mô hình hóa xe hai bánh tự cân bằng

Vì trọng tâm của bánh đà không chuyên động so với trọng tâm của xe, vận tốc tuyệt

đối tại hai điểm E và B như sau

|b;|= ở lu;|=h„¿

Với ?, là chiều cao của tâm trọng lực của xe (không kể bánh đà), h„ là chiều cao của

tâm trọng lực của bánh đà

Đặt 7; là động năng của xe hai bánh va T, 1a động năng của bánh đà

Ta tính đ a tính được 7„ như sau: 7, = 2m; | + 7 (a+ ) hư” rt (asd)

Với m„ là trọng lượng của xe (bao gồm cả động cơ), 7 , là trọng lượng của bánh đà, J,

là mô men quán tính của xe, 7„ là mô men quán tính của bánh đà,

Tổng động năng của hệ là: 7 = T; +7,

1 a 7.1 ` s5 ap

T=>m, lv, | +2m, l9;| + aha +t a UP +u¿ỗ (3.1)

Đặt V la tong thé năng của hé Ta cd V = g.cos a.(m,h, + m,h,) (3.3)

Để mô tả động học của mô hinh xe hai bánh, ta sử dụng phương trình Lagrange [28]

như sau

dt| 0q,| 9, 4, Với Ó, là lực ngoài, 4, hệ tọa độ tổng quát

Voi g, =a, áp dụng (3.1) — (3.4), ta được

Với Œ„ là mô men xoắn của trục động cơ một chiều gắn với bánh đà qua khớp nối có

tỷ số truyền là k:1 và được xác định theo công thức sau:

D=(0|

Các thông số của mô hình xe hai bánh tự cân bằng được thê hiện trong bang 3.1

Bảng 3.1 Các thông số của mô hình xe hai bánh tự cân băng

Trường hợp 1: Khi xe mang tải 1.8kg, chiều cao trọng tâm của xe ”, =0.13m, mô hình của xe có dạng

S (= a(s) _ —0.1527s

U(s) 8° +.0.1253s* — 40.725 — 4.821 Truong hop 2: Khi xe mang tai 2.9kg, chiều cao trọng tâm của xe ”, =0.l6m, mô

(3.27)

của xe có dạng

s,(s)= a(s) " =e

U(s) 8° +0.1345s’ — 63.445 —7.511 Trường hợp 4: Khi xe mang tải 10kg, chiều cao trọng tâm của xe #„ = 0.12, mô hình

Đồ thị bode của mô hình xe hai bánh trong các trường hợp xe mang tải khác nhau được thể hiện trên hình 3.4 như sau

Magnitude

4 3

| Bicycle model - Case 1

| Bicycle modal - Case 2

Bicycle model - Case 3

| — — - Bicycle model- Case 4

Hình 3.4 Đồ thị bode của mô hình xe hai bánh khi thông số mô hình thay đổi

Thiết kế hệ thống điều khiển bền vững RH,_ cho xe hai bánh tự cân bằng thé

hiện trong phụ lục 1 và phụ lục 2 Kết quả, chúng tôi thu được bộ điều khiển như sau:

R=

B(s) với

A(s)=—1.01g — 37.985" — 646s” — 6580s” — 4.486.10*s'' —2.169.10°s” —7.7.10°s

~2,051,10°s* —4.147.10°s’ — 6.393.10°s° —7.46.10°s° —6.453.10°s*

—3.951.10° —1.566 10%? — 3.338.10°s — 2.302.101 B(s) =2.23.10s' + 0.00525s" +-0.1697” + 2.4018” +18.97s" +92.73g”

-+292.1s° -589.7s" -+- 707.1” 346.755 -241s° - 436.941 — 203g” —18.375'

Sử dụng Matlab- Simulink để mô phỏng hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

dụng bộ điêu khiển bậc 15 cho kết quả như sau

‘Angle Response - 2pi/180

8 ae | T SE SỈ

o0k|- ‡ : : Ệ i |

0.01 0.01

Hình 3.5 Đáp ứng góc của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh - ban đầu xe

Khi cho xe hai bánh mang tải trong các trường hợp khác nhau, đáp ứng góc nghiêng

của hệ thống như sau

Hình 3.6 Đáp ứng góc của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh khi mang tải

-0.03

trong các trường hợp- ban đầu xe nghiêng một góc 2a (rad )

(*) Nhận xét: Bộ điều khiển bền vững bậc 15 có khả năng điều khiển cân bằng ổn

định xe hai bánh khi tham số của mô hình xe thay đổi Tuy nhiên, sử dụng bộ điều

khiển bậc 15 để điều khiển xe hai bánh sẽ làm mã chương trình điều khiển phức tạp

làm ảnh hưởng đến tốc độ đáp ứng của hệ thống điều khiển thực và có thể làm hệ

thống mắt én định Vi thế, chúng tôi tìm cách rút gọn bộ điều khiển bậc cao để làm mã chương trình điều khiển đơn giản hơn và đảm bảo cho hệ thống điều khiển thực luôn duy trì cân bằng 6n định

Yêu cầu đặt ra đối với bài toán giảm bậc bộ điều khiển bậc 15 như sau: Bộ điều khiển bậc thấp có bậc càng thấp càng tốt Đáp ứng của hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc thấp phải trùng khớp với đáp Wag của hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc 15 hoặc cản hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc thấp đảm bảo điều khiển cân bang 6 6n dinh xe hai banh

Phân tích bộ điều khiển bậc 15, chúng tôi thấy rằng đây là hệ không én định Để giảm bậc cho hệ không ổn định ta cần sử ding các thuật toán giảm bậc hệ không ổn định

Các thuật toán giảm bậc cho hệ không ô on dinh duge phan làm 2 nhóm như sau Nhóm các thuật toán giảm bậc gián tiếp hệ không ổ én định: Các thuật toán này HH hiện chia hệ không én định thành 2 phân hệ là phân hệ không ô én định và phân hệ ổn định Phân hệ én định sẽ được rút gon để thu được phân hệ ôn định bậc thấp Sau đó, ô phân hệ Penge ổn định sẽ được thêm vào cùng phân hệ ổn định bậc thấp để thu được

3.2.3 Giảm bậc gián tiếp bộ điều khiển bậc cao Phân tách bộ điều khiển bậc 15 thành hai phân hệ bền và không bền theo thuật toán [5] chúng tôi thu được kết quả như sau

Thực hiện giảm bậc bộ điều khiển bậc 15 theo một số thuật toán giảm bậc gián tiếp, chúng tôi thu được kết quả như sau