Giải Tích (Mt1003) Báo Cáo Btl Ứng Dụng Của Hàm Số Trong Kinh Tế.pdf

Giới hạn của hầm chi phí khi sản xuất tăng lên Khi sản xuất tăng, sự thay đổi của tổng chỉ phí có thể được phân tích qua các giai đoạn: e Giai đoạn tăng hiệu quả: Khi mức độ sản xuất còn

DAI HOC QUOC GIA, THANH PHO HO CHi MINH

TRUONG DAI HOC BACH KHOA KHOA KHOA HOC UNG DUNG

GIAI TICH (MT1003)

BAO CAO BTL

UNG DUNG CUA HAM SO TRONG KINH TE

(Applications of limits in Economics)

Giáo uiên hướng dẫn: Đặng Văn Vinh

STT | Họ và tên Mã số sinh viên | Công việc

1 Định Hữu Phúc 2412701 Nội Dung

2 Hồ Lê Ngọc Quang 2412819 Nội Dung

3 Lê Quang 2412822 Lam Slide Thuyét Trinh

4 Lé Hitu Phiic 2412713 Code, Báo Cáo

5 Ly Anh Quan 2412896 Tổng Hợp, Báo Cáo, Thuyết Trình

6 Nguyễn Trương Đăng Quang 2412839 Nội Dung

7 Phan Minh Quan 2412921 Code, Thuyét Trinh

8 Vũ Trần Hoàng Quân 2412928 Nội Dung

Khoa Khoa Học Ứng Dụng

¡œ ^,

Nhận xét của GVHD:

K

€- Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Mục lục

2_ Khái niệm cơ bản về giới hạn hàm số 4 2.1 Định nghĩa giới hạn của một hàm số ee 4 92.2 Ý nghĩa của giới hạn c c c ee 4 2.3 Các khái niệm liên quan như giới hạn một bên, giới hạn vô cùng, và liên tuc 4

3 Lý thuyết về lãi suất và lãi kép 5 3.1 Nội dung lý thuyẾt ee 5 3.2 Ví dụ minh họa cho lãi kếp ee ee ee eee 6 4_ Tối ưu hóa chỉ phí và sản xuất 7 4.1 Chi phi c6 dinh va chi phi bién di en 7 4.2 Chi phi bién (Marginal Cost- MC) 0 0 ee ee 7 4.3 Giới hạn của hàm chỉ phí khi sản xuất tăng lên Lo 7 4.4 Tối thiểu hóa chỉ phí biên (Marginal Cost- MC) 8 4.5 Hiệu quả kinh té khi quy m6 san xudt Ion 2 eee 8 4.6 Giới hạn của quy mô lớn và chỉ phí biên Q Q Q Q Q R 9

5.3 Tom tit két qua ee 12 5.4 Doan m& code ee 12

a

<3 Khoa Khoa Học Ứng Dụng

1 Giới Thiệu

Nguồn tham khảo:[1], [2]

Trong kinh tế học, các khái niệm và các phép toán học không chỉ là phương tiện tính toán

mà còn là công cụ phân tích quan trọng giúp giải thích các hiện tượng và xu hướng phức tạp Giới hạn hàm số, một khái niệm nền tảng trong giải tích, là một ví dụ điển hình của công cụ toán học hỗ trợ các nhà kinh tế hiểu rõ hơn các mối quan hệ kinh tế khi các biến tiến gần đến một giá trị nhất định Các ứng dụng của giới hạn xuất hiện rộng rãi trong các phân tích kinh tế vi mô và vĩ mô, đặc biệt khi phân tích các thay đổi vi mô của các biến số như cung, cầu, giá cả và chỉ phí

Một trong những ứng dụng phổ biến của giới hạn là:

1 Tính đạo hàm - đại diện cho tốc độ thay đổi của các biến số Trong kinh tế vi mô, các đạo hàm cho phép các nhà kinh tế tính toán độ co giãn của cầu theo giá, một thước

đo quan trọng cho thay mức độ nhạy cảm của nhu cầu hàng hóa hoặc dịch vụ trước những thay đổi về giá cả Các đạo hàm này được tính thông qua giới hạn của tỷ lệ thay đổi của cầu khi giá tiến đến một giá trị mới, giúp nhà kinh tế dự đoán phản ứng thị trường và điều chỉnh chiến lược

2 Ngoài ra, giới hạn còn được sử dụng để xác định các điểm tối wu va can bằng, là những khái niệm chủ chốt trong tối đa hóa lợi nhuận và tối thiểu hóa chỉ phí Chẳng hạn, khi phân tích chỉ phí sản xuất, các nhà kinh tế thường quan tâm đến chỉ phí cận biên, tức là chỉ phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm Giới hạn giúp xác định chỉ phí cận biên tại các mức sản xuất khác nhau, từ đó hỗ trợ ra quyết định

tôi tu về mức sản xuât và phân bố nguồn lực

Trong lĩnh vực kinh tế vĩ mô, giới hạn còn được sử dụng để mô hình hóa các xu hướng tăng trưởng kinh tế và các yếu tố ảnh hưởng đến tốc độ tăng trưởng, như tỷ lệ thất nghiệp, lãi suất, và chính sách tài khóa Ví dụ, bằng cách phân tích giới hạn của các chỉ số này trong đài hạn, các nhà kinh tế có thể đánh giá sự ổn định kinh tế và dự báo các thay đổi trong chính sách điều tiết nhằm duy trì tăng trưởng bền vững

Trong bài tập lớn, chúng ta sẽ tìm hiểu ứng dụng của giới hạn trong các bài toán kinh tế ở trong các tình huống cụ thể trong thực tế, từ đó hiểu rõ hơn cách sử dụng chúng và cách

Ap dụng trong các tình huống khác nhau Chúng ta cũng sẽ sử dụng các công cụ lập trình

để tái hiện lại cách dùng giới hạn để giải quyết các bài toán kinh tế ở thực tế

BK „

€- Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Nguồn tham khảo:[3|, [4]

2.1 Định nghĩa giới hạn của một hàm số

e Giới hạn của f(x) là L khi x tiến đến a nếu ta có thể có được những giá trị của f(x) gần bằng L như ý muốn bằng cách cho x những giá trị đủ gần a (ở phía trái hay phải) nhưng không bằng a Nói cách khác, điều này có nghĩa giá trị của f(x) có khuynh hướng càng gần

số L khi x càng gần số a (ở về cả hai phía) nhưng x z# a

Ví dụ: lima? = 4 do z2 nhận các giá trị rất gần 4 khi x tiến đến 2

aL

2.2 Ý nghĩa của giới hạn

Khái niệm về giới hạn có nhiều ứng dụng trong giải tích hiện đại Cụ thể, nhiều định nghĩa của, tính liên tục sử dụng giới hạn: một hàm số gọi là liên tục nếu tất cả giới hạn của nó bằng với giá trị của nó Giới hạn cũng xuất hiện trong định nghĩa của đạo hàm: trong giải tích một biến, đạo hàm là giá trị giới hàm của độ dốc của đường cát tuyến với đồ thị của, một hàm số

2.3 Các khái niệm liên quan như giới hạn một bên, giới hạn võ cùng,

và liên tục Giới hạn một bên:

Giới hạn bên trái của f(x) khi x tiễn đến a (hoặc giới hạn của f(x) khi x tiến đến a từ bên trái) thì bằng L nếu ta có thể có được những giá trị cia f(x) gan bằng L tùy ý bằng cách lây x đủ gần a và x nhỏ hơn a Ta viết:

lim ƒ{œ) =L

La

Tương tự, nếu ta bắt x lớn hơn a, ta được giới hạn bên phai cia f(x) khi x tién đến a từ bên phải thì bằng L và ta kí hiệu:

lim f(x) =L

Chay:

dim f(z) = L khi và chỉ khi lim f(x) = lim ƒ{œ) = L

Giới hạn vô cùng:

BK „

€- Khoa Khoa Học Ứng Dụng

e Cho f là hàm số xác định ở hai bên a, có thể trừ tại a Thế thì:

lim f(a) = £00

Se

Có nghĩa là những giá trị của f(x) có thể làm lớn (dương hoặc âm) tùy ý bằng cách lấy x

đủ gần a, nhưng không bằng a

Tính liên tục:

Khái niệm giới hạn của hàm số liên quan chặt chẽ đến khái niệm tính liên tục Một hàm

số f được gọi là liên tục tại c nếu nó có nghĩa tại e và giá trị của nó tại c bằng giới hạn cha

† khi x tiến tới c:

lim fle) = fo)

re

(Ở đây ta giả sửc là một điểm giới hạn trong mi & xdc dinhciaf.)

Liên tục trên nửa khoảng và khoảng:

Một hàm số f gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm thuộc khoảng (a,bì

— Liên tục trên nửa khoảng la, b) nghĩa là liên tục trên (a, b) và liên tục bên phải tại a

— Liên tục trên nửa khoảng (a, bị nghĩa là liên tục trên (a, b) và liên tục bên trái tại b

— Liên tục trên đoạn [a, b| nghĩa là liên tục trên (a, b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b

Chúý:

-Mọi đa thức đều liên tục trên R

-Mọi phân thức đều liên tục trên tập xác định của nó

3.1 Nội dung lý thuyết

Nguồn tham khảo:[ð|, [6]

e Lãi suất là giá phải trả cho việc sử dụng vốn Lãi suất huy động là tỷ lệ giữa số tiền lãi so với số vốn huy động Lãi suất cho vay là tỷ lệ giữa số tiền lãi và số tiền cho vay Lãi suất liên ngân hàng là lãi suất của các giao dịch vốn thực hiện giữa các ngân hàng với nhau Phân chia loại lãi suất theo phương pháp tính:

BK „

€- Khoa Khoa Học Ứng Dụng

— Lãi suất đơn: Được tính dựa trên số vốn ban đầu trong suốt kỳ hạn vay Kỳ hạn vay càng dài, mức lãi suất càng tăng

— Lãi suất kép: Được tính theo giá trị đầu tư của tiền gốc cộng dồn với tiền lãi tích lay trong các thời kỳ vay

Ung dụng của giới hạn trong lãi suất được thể hiện rõ nhất trong lãi kép Đó là khi tính toán các giá trị của một khoản tiền qua nhiều lần cộng dồn lãi theo thời gian, và khi thời gian tiến dần đến vô cực

Cụ thể ta có công thức tính lãi kép như sau:

r

A=P(1+-)"

n Trong do:

— Á: Số tiền san khi cộng lãi (tổng gốc và lãi)

— P: Số tiền gốc

— r: Lãi suất hàng năm

—n: Số lần tính lãi kép trong một năm

— †: Số năm

Dat x = 4 là độ dài của từng thời kỳ tính lãi, ta có:

A=P(1+ ra}

Khi số lần tính lãi n tăng dần (tức là khi tính lãi càng ngày càng nhiều lần trong năm) thì

n — œ @ # —> 0, ta có công thức tính lãi kép liên tục trong 1 năm nhw sau (t=1):

B= lim Pa + ra) 'š g—0*

3.2 Ví dụ minh họa cho lãi kép

Giả sử bạn đầu tư 1,000 đô la với lãi suất 5% và tính lãi kếp n lần mỗi năm Công thức tính số

dư sau I năm khi lãi suất được tính lãi kép œ lần mỗi năm là:

1, 000(1 + 0.05a)!/*,

với z = + là khoảng thời gian giữa các lần tinh lai Khi n > on, tite > OF:

jim 1, 000(1 + 0.05a)!/* = 1,000 x 905

Giới hạn này cho phép chúng ta tính toán số dư khi lãi suất được tính lãi kép liên tục Để ước lượng giá trị của giới hạn này ta có thể tham chiếu vào bảng sau:

BK „

€- Khoa Khoa Học Ứng Dụng

x | 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 1,000(1 + 0.052)'/* | 1,050.00 105114 1,051.26 1,051.27 1,051.27

Kết quả này cho thấy rằng khi số lần tính lãi tăng lên (tức là khoảng thời gian giữa các lần tính lãi z giảm), số dư sẽ tiến dần đến giá trị giới hạn khoảng 1,051.27 đô la Đây là minh họa ứng dụng của giới hạn trong việc tính toán lãi kép

Nguồn tham khảo:|7]

4.1 Chỉ phí cỗ định và chi phí biến đổi

Chi phí cổ định (Fixed Cost - EC): Là các chỉ phí không thay đổi theo mức độ sản xuất, như tiền thuê mặt bằng, máy móc Dù sản xuất nhiều hay ít, chỉ phí cố định vẫn không đổi

Chỉ phí biến déi (Variable Cost - VC): La cdc chi phi thay đổi trực tiếp theo mức độ

san xuat, nhit nguyén liệu, lao động Khi sản xuât tăng lên, chỉ phí biên đổi cũng tăng

4.2 Chi phí biên (Marginal Cost - MC)

Chỉ phí biên là chỉ phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm Để tối ưu hóa sản xuất, doanh nghiệp thường so sánh chỉ phí biên với lợi ích thu được từ đơn vị sản phẩm bổ sung đó

4.3 Giới hạn của hầm chi phí khi sản xuất tăng lên

Khi sản xuất tăng, sự thay đổi của tổng chỉ phí có thể được phân tích qua các giai đoạn:

e Giai đoạn tăng hiệu quả: Khi mức độ sản xuất còn thấp, chỉ phí trung bình (Average Cost) và chỉ phí biên (MC) có xu hướng giảm do doanh nghiệp tận dụng được quy mô sản xuất Việc tăng sản lượng lúc này giúp phân bổ chỉ phí cố định cho nhiều đơn vị sản phẩm hơn, làm giảm chỉ phí trên mỗi sản phẩm

e Giai đoạn không đổi quy mô: Ở một mức sản xuất nhất định, chỉ phí biên có thể ổn định, tức là mỗi đơn vị sản phẩm bổ sung sẽ tiêu tốn cùng một lượng chỉ phí, thể hiện doanh nghiệp đang ở quy mô tối tru

e Giai đoạn giảm hiệu quả: Khi sản xuất vượt mức tối u, chỉ phí biên có thể tăng nhanh

đo các giới hạn về nguồn lực và hiệu quả sản xuất Điều này dẫn đến sự gia tăng trong chỉ phí trung bình, nghĩa là sản xuất thêm gây ra chỉ phí cao hơn và giảm hiệu quả kinh tế

BK „

€- Khoa Khoa Học Ứng Dụng

4.4 Tối thiểu hóa chi phi bién (Marginal Cost - MC)

e Chỉ phí biên là chỉ phí bổ sung để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm, thường được ký hiệu la MC = Soy trong đó TC là tổng chỉ phí và Q là lượng sản phẩm

e Khi chỉ phí biên giảm, doanh nghiệp sẽ có thể sản xuất thêm nhiều sản phẩm mà không phải tăng mạnh chỉ phí sản xuất, tối đa hóa lợi nhuận cho từng đơn vị sản phẩm

Để tối thiểu hóa chỉ phí biên, doanh nghiệp có thể thực hiện các biện pháp sau:

øe Tối ưu hóa quy trình sản xuất: Tìm cách tăng hiệu suất lao động và cải thiện công nghệ để giảm chỉ phí khi sản xuất thêm các đơn vị

e Tăng cường sử dụng nguyên liệu hiệu quả: Giảm lãng phí trong sản xuất và tối ưu hóa lượng nguyên liệu để tiết kiệm chỉ phí biến đổi

e Quy mô sản xuất: Tăng quy mô sản xuất có thể giúp chỉ phí biên đạt mức thấp nhất

đo lợi thế quy mô, nhưng phải lưu ý đến điểm tới hạn, khi quy mô quá lớn có thể dẫn đến tình trạng không hiệu quả

4.5 Hiệu quả kinh tế khi quy mô sản xuất lớn

Khi sản xuất đạt mức độ quy mô lớn, doanh nghiệp có thể khai thác các lợi thế về hiệu quả kinh

tế, bao gồm:

e Hiéu qua kinh té nhd quy m6 (Economies of Scale): Đây là trường hợp khi sản lượng tăng, chỉ phí trung bình (Average Cost - AC) giảm Có ba dạng chính:

— Hiệu quả từ công nghệ: Sử dụng công nghệ hiện đại có thể làm tăng sản lượng

mà không tăng nhiều chỉ phí

— Hiệu quả từ chỉ phí cố định: Khi sản xuất tăng, chỉ phí cố định (như chỉ phí thuê máy móc, nhà xưởng) được phân bổ cho nhiều sản phẩm hơn, làm giảm chỉ phí trên mỗi đơn vị

— Hiệu quả từ mua nguyên liệu: Doanh nghiệp lớn thường mua nguyên liệu với số lượng lớn, có thể đàm phán giá tốt hơn từ nhà cung cấp

e Kinh té pham vi (Economies of Scope): Khi sản xuất nhiều loại sản phẩm, doanh nghiệp có thể sử dụng chung tài nguyên (nhân lực, máy móc), từ đó tiết kiệm chỉ phí

e Loi ích của sản xuất hàng loạt: Khi đạt quy mô sản xuất lớn, việc sử dụng hệ thống

tự động hóa hoặc sản xuất hàng loạt sẽ giúp tối ru hóa chỉ phí, duy trì chất lượng và tăng hiệu suất

BK „

€- Khoa Khoa Học Ứng Dụng

4.6 Giới hạn của quy mô lớn và chi phí biên

Mặc dù sản xuất quy mô lớn giúp tối thiểu hóa chỉ phí biên và đạt hiệu quả kinh tế, doanh nghiệp cần lưu ý:

e Giới hạn về nguồn lực: Khi quy mô sản xuất quá lớn, các vẫn đề như thiếu hụt nguyên liệu hoặc lao động có thể làm tăng chỉ phí biên

e Giảm hiệu quả quản lý: Khi công ty lớn lên, sự phức tạp trong quản lý cũng tăng, có thể làm giảm hiệu quả quản lý và làm tăng chỉ phí

e Sức ép từ thị trường: Sẵn xuất lớn đồi hỏi tiêu thụ lớn Nếu nhu cầu thị trường không

đủ đáp ứng, doanh nghiệp có thể gặp rủi ro về tồn kho hoặc phải giảm giá để tăng lượng tiêu thụ, ảnh hưởng đến lợi nhuận

Kết luận

Tối thiểu hóa chỉ phí biên và tận dụng hiệu quả kinh tế ở quy mô lớn là mục tiêu quan trọng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao Để tối ứu hóa, doanh nghiệp cần cân nhắc kỹ lưỡng các yếu tố

về quy mô, công nghệ, quản lý và nhu cầu thị trường để đạt được mức sản xuất tối tu mà vẫn duy trì được lợi nhuận bền vững