Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Trường: Sử dụng hình học Afin trong nghiên cứu hình học sơ cấp

Như vậy, các bài toán của hình học phẳng và hình học không gian có thể được xem là trường hợp riêng của các bài toán tổng quát trong Hình học Afin.. Vì vậy, nếu trong quá trình dạy học ở

Hải Phòng, tháng 3 năm 2019

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1.Hình học của nhóm biến đổi 5

1.2.Hình học Afin 5

Chương 2: SỬ DỤNG HÌNH HỌC AFIN TRONG GIẢI TOÁN 8

HÌNH HỌC SƠ CẤP 8

2.1 Sử dụng tọa độ Afin giải toán HHSC 8

2.2 Sử dụng hình tương đương Afin giải toán HHSC 13

2.3 Sử dụng tâm tỉ cự giải toán HHSC 19

2.4 Sử dụng phép biến đổi giải toán HHSC 24

2.5 Sử dụng bất biến định hướng giải toán HHSC 28

Chương 3: SỬ DỤNG HÌNH HỌC AFIN SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI 34

CỦA HÌNH HỌC SƠ CẤP 34

3.1 Sử dụng tương tự theo cấu trúc sáng tạo bài toán mới 34

3.2 Sử dụng bất biến sáng tạo bài toán mới 41

Bài toán 3.2.2 42

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

Phần lớn thời lượng của chương trình ĐHSP Toán được dành cho các học phần toán cao cấp, nghiên cứu chuyên sâu về toán Điều này dẫn đến SV luôn đặt ra câu hỏi:

“Học môn này để làm gì?” Nếu không xác định được câu trả lời, SV dễ bị tâm lý không hứng thú, dẫn đến hiệu quả học tập không cao

Toán cao cấp nói chung, Hình học Afin nói riêng được giảng dạy ở bậc ĐH có một vai trò quan trọng trong việc nhìn nhận Hình học sơ cấp một cách có hệ thống, rõ ràng và chặt chẽ Bởi vì, mặt phẳng và không gian 3 chiều thông thường là các không gian Afin với số chiều là 2 hoặc 3 Như vậy, các bài toán của hình học phẳng và hình học không gian có thể được xem là trường hợp riêng của các bài toán tổng quát trong Hình học Afin Các phương pháp nghiên cứu của Hình học Afin có thể áp dụng giải quyết các vấn đề của HHSC Vì vậy, nếu trong quá trình dạy học ở bậc ĐH, GV cho SV tìm hiểu phương pháp ứng dụng các công cụ của Hình học Afin trong việc định hướng giải toán, giải bài toán và sáng tạo bài toán mới từ các bài toán đã biết thì SV sẽ hiểu ý nghĩa của kiến thức toán bậc đại học, từ đó có ý thức tự giác học tập, nghiên cứu, tăng hiệu quả học tập Việc làm này phù hợp với sứ mạng của Trường ĐH Hải Phòng là trường đại học theo hướng ứng dụng, đào tạo gắn với thực tiễn

1.2 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

Đã có nhiều công trình nghiên cứu trong và ngoài nước về mối quan hệ giữa HHCC

và HHSC Cụ thể chúng tôi đã nghiên cứu một số công trình sau:

Nghiên cứu trong nước:

- Nguyễn Văn Mậu trong Hình học và một số vấn đề liên quan đã chỉ ra một số chủ đề

sử dụng kiến thức về phép biến hình trong mặt phẳng và trong không gian để giải toán HHSC

- Đào Tam trong Hình học sơ cấp (2004) nghiên cứu sâu về ứng dụng tích các phép

biến hình trong giải toán HHSC

- Nguyễn Thị Thanh Vân trong Dạy học hình học cao cấp ở đại học cho SV SP Toán theo hướng chuẩn bị năng lực dạy học hình học ở trường phổ thông (2015) nghiên

cứu các phương pháp có thể khai thác mối liên hệ giữa HHCC

- Hồ Phương Nam trong Dùng hình học cao cấp để xây dựng hệ thống bài tập HHSC nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT (2014) đã xây

dựng các hệ thống bài tập trên cơ sở những hiểu biết về hình học afin và xạ ảnh và một số nghiên cứu khác

- Trần Việt Cường, Đỗ Thị Trinh(2015), Hình thành một số kiến thức của hình học cao cấp từ nền tảng kiến thức toán học phổ thông cho sinh viên sư phạm toán, Tạp chí

khoa hoc Trường Đại học sư phạm Hà Nội, số 8A, tr 64-70 nghiên cứu phương pháp hình thành kiến thức HHCC từ minh họa cụ thể trong HHSC

Nghiên cứu ngoài nước:

Chúng tôi cũng đã tìm hiểu một số nghiên cứu ở nước ngoài về vấn đề này như:

- Alfred S Posamentier trong Advanced Euclidean Geometry: Excursion for secondary Teachers and Students đề cập đến nghiên cứu áp dụng hình học Euclide trong dạy học

sinh phổ thông

- Buton L trong Thinking things through: Problem solving in mathematics chỉ ra một số

phương pháp giải quyết vấn đề toán học bằng hình học Afin và Euclid

- Sharygin I trong Problems in Solid geometry, Problem in Plane geometry đưa ra hệ

thống bài tập hình học phẳng và HHKG khá phong phú để tác giả có thể lựa chọn cho đề tài … và một số tác giả khác

Qua nghiên cứu, chúng tôi nhận thấy cần ứng dụng, cụ thể hóa các lý thuyết trong các tài liệu thành chủ đề toán học cho SV SP Toán thực hành trong quá trình học tập ở

ĐH Qua đó SV sẽ có thói quen vận dụng có hiệu quả kiến thức được học ở ĐH trong công việc giảng dạy toán sau này

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Làm cho SV SP Toán hiểu được mối liên hệ của toán cao cấp nói chung, hình học Afin nói riêng với HHSC Từ đó hiểu được ý nghĩa của kiến thức toán ở bậc đại học trong công tác dạy học toán ở trường phổ thông

- Giúp SV có thể sử dụng hiểu biết về Hình học Afin để định hướng cách giải các bài toán hình học sơ cấp

- Giúp SV có thể sử dụng công cụ của Hình học Afin (bất biến, phép biến hình…) để giải toán HHSC

- Giúp SV có thể sử dụng công cụ của Hình học Afin sáng tạo các bài toán HHSC

3 Đối tượng nghiên cứu

Nội dung Hình học Afin, nội dung hình học sơ cấp và phương pháp khai thác mối liên hệ giữa các nội dung đó

4 Phạm vi nghiên cứu

Khai thác kiến thức của Hình học Afin trong nghiên cứu một số chủ đề hình học

sơ cấp: Sử dụng Hình học Afin trong định hướng giải toán HHSC; Sử dụng Hình học Afin trong giải toán HHSC; Sử dụng Hình học Afin để sang tạo bài toán HHSC mới

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết: Tìm hiểu lý thuyết cơ bản của Hình học Afin Tìm hiểu các kiến thức HHSC tương ứng; Từ đó tìm mối liên hệ giữa một số kiến thức của Hình học Afin và HHSC

- Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến các chuyên gia về nội dung nghiên cứu

Qua đó giúp SV SP Toán hiểu được ý nghĩa của Hình học Afin nói riêng, toán cao cấp nói chung được giảng dạy trong chương trình đại học đối với công tác sau này, tăng hứng thú học tập cho SV

SẢN PHẨM KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI

[1] Nguyen Thi Thanh Van, Using similar inferrence in advanced geometry teaching in

university for mathematics students, Kỷ yếu hội thảo quốc tế ICME 2018, Hà Nội

SẢN PHẨM ĐÀO TẠO

Hướng dẫn 01 SV làm khóa luận theo hướng nghiên cứu của đề tài:

Đỗ Thị Hải Ly (2019), Một số biện pháp khai thác và phát triển bài toán Hình học phẳng cho sinh viên sư phạm Toán

7 Kết cấu của đề tài

Ngoài phần mở đầu và kết luận, đề tài chia làm 3 chương

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

- Chương 2: Sử dụng Hình học Afin trong giải toán hình học sơ cấp

- Chương 3: Sử dụng Hình học Afin để sáng tạo bài toán hình học sơ cấp

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trích dẫn các kiến thức theo tài liệu [2]

1.1 Hình học của nhóm biến đổi

1.1.1 Nhóm biến đổi

Định nghĩa: Cho X là một tập hợp khác rỗng Khi đó X được gọi là một không gian Một

phép biến đổi trên không gian X là một song ánh từ X đến chính nó

Tập các phép biến đổi trên X lập thành một nhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ Mỗi nhóm con của nhóm các phép biến đổi trên X gọi là một nhóm biến đổi trên X

1.1.2 Bất biến của nhóm biến đổi

Định nghĩa: Một tập con H khác rỗng của không gian X được gọi là một hình của X

Tính chất A của hình H trong không gian X gọi là bất biến của nhóm biến đổi S trên X

nếu với mọi f thuộc S, f(H) cũng có tính chất A

1.1.3 Hình học của nhóm biến đổi

Định nghĩa: Lý thuyết toán học nghiên cứu các tính chất bất biến của một nhóm biến đổi

S trên không gian X gọi là hình học của nhóm S

1.2 Hình học Afin

1.2.1 Không gian Afin

Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường K, A là tập hợp khác rỗng mà

các phần tử gọi là các điểm Nếu ánh xạ 𝜑: 𝐴 × 𝐴 → 𝑉 sao cho 𝜑(𝑀, 𝑁) = 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thỏa mãn các tiên đề:

A1: ∀𝑀 ∈ 𝐴, ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∃! 𝑁 ∈ 𝐴: 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣

A2: ∀𝑀, 𝑁, 𝑃 ∈ 𝐴, 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Thì A gọi là một không gian Afin trên trường K liên kết với không gian vectơ V V gọi là không gian vectơ liên kết với A, kí hiệu 𝑉 = 𝐴 Nếu V là một không gian vectơ n chiều thì A gọi là không gian Afin n chiều

1.2.2 Tọa độ Afin

Định nghĩa: Cho A là không gian Afin liên kết với không gian vectơ n chiều V Hệ

{𝑂; 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ } với O là một điểm thuộc A và 𝑒𝑛 ⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ là một cơ sở của V được gọi 𝑛

là một mục tiêu Afin của không gian A

Ngoài ra, nếu OE i e i i 1, ,n thì hệ n+1 điểm độc lập Afin { O; E1, E2, ,En} là cách kí hiệu khác của mục tiêu Afin {𝑂; 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ } 𝑛

Khi đó mỗi điểm M thuộc A, vectơ 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ biểu diễn được duy nhất dưới dạng 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥1𝑒⃗⃗⃗ +1

𝑥2𝑒⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑥2 𝑛𝑒⃗⃗⃗⃗ , 𝑥𝑛 𝑖 ∈ 𝑅, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 Khi đó bộ số (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) gọi là tọa độ của điểm M đối với mục tiêu {𝑂; 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ } Kí hiệu M = (𝑥𝑛 1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) hoặc 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ , … , 𝑒2 ⃗⃗⃗⃗ sang cơ sở 𝑒𝑛 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑒1′ ⃗⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑒2′ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑥𝑛′ 0 là tọa độ của 𝑂′ đối với mục tiêu thứ nhất

1.2.3 Tâm tỉ cự của hệ điểm

Định nghĩa: Trong không gian Afin thực An cho hệ điểm 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘 và k số thực

𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑘 sao cho∑𝑘 𝜆𝑖 ≠ 0

𝑖=1 Điểm G trong A thỏa mãn điều kiện: ∑𝑘 𝜆𝑖𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑖

𝑖=1 = 0⃗ gọi

là tâm tỉ cự của hệ 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘 ứng với họ hệ số 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑘

Nếu 𝜆1 = 𝜆2 = ⋯ = 𝜆𝑘 thì G gọi là trọng tâm của hệ điểm

1.2.4 Phép biến đổi Afin

Định nghĩa: Cho hai không gian Afin A và A’và ánh xạ tuyến tính 𝜑: 𝐴 → 𝐴′⃗⃗⃗

Ánh xạ 𝑓: 𝐴 → 𝐴′ gọi là ánh xạ Afin liên kết với 𝜑 nếu với mọi M, N thuộc A, 𝑓(𝑀)𝑓(𝑁)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜑(𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

Song ánh Afin từ A tới chính nó gọi là một phép biến đổi Afin (Phép Afin)

Một số phép Afin thường gặp: Chúng ta đã biết phép đối xứng trục, phép quay, phép

tịnh tiến, phép vị tự, phép đối xứng xiên, phép thấu xạ Afin là những là phép biến đổi Afin

Phép chiếu song song

Định nghĩa: Trong không gian Afin A cho m- phẳng α và 𝛽 là không gian con bù tuyến tính cuả 𝛼 trong 𝐴 Ánh xạ 𝑓: 𝐴 → 𝛼, 𝑓(𝑀) = 𝑀′ = 𝛼 ∩ 𝛽𝑀, với 𝛽𝑀 là phẳng qua M có phương 𝛽 gọi là phép chiếu song song cơ sở α, phương 𝛽

Tính chất:

- Phép chiếu song song là ánh xạ Afin

- Phép chiếu song song từ m- phẳng tới m – phẳng là phép Afin

- Mọi bất biến Afin đều bất biến qua phép chiếu song song từ mặt phẳng đến mặt phẳng

- Luôn tồn tại phép chiếu song song biến tam giác thành tam giác đồng dạng với một tam giác cho trước ; hình bình hành thành hình vuông ; elip thành đường tròn

- Trong trường hợp phép chiếu vuông góc biến hình H trên mặt phẳng α thành hình H’ trên mặt phẳng α’, góc giữa α và α’ là φ thì S(H’) = S(H) cosφ

1.2.5 Bất biến Afin

Tập các phép Afin trên không gian Afin A lập thành một nhóm biến đổi trên A Mỗi bất biến đối với nhóm Afin gọi là bất biến Afin, tức là tính chất bất biến Afin là tính chất không đổi qua phép Afin

Một số bất biến Afin: Tính chất độc lập, không độc lập của hệ điểm; Tính chất song

song, tính chất cắt nhau, chéo nhau của các phẳng là những tính chất Afin; Đơn hình, hộp, phẳng, tâm tỉ cự, tỉ số đơn là những khái niệm Afin

1.2.6 Hình học Afin

- Hình học của nhóm Afin gọi là Hình học Afin Như vậy, Hình học Afin nghiên cứu những bất biến của nhóm Afin như: quan hệ song song, cắt nhau, chéo nhau, tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích, thể tích, tâm tỉ cự…và tính chất của các phép biến đổi trên không gian Afin

- Hình học Afin là một bộ phận của hình học Euclid, hình học đồng dạng

Chương 2: SỬ DỤNG HÌNH HỌC AFIN TRONG GIẢI TOÁN

HÌNH HỌC SƠ CẤP 2.1 Sử dụng tọa độ Afin giải toán HHSC

Trong chương trình THPT, HS đã được học cách sử dụng phương pháp tọa độ trong giải toán hình học Phương pháp này sử dụng mô hình số học của hệ tiên đề về HHSC Nó tỏ ra là một phương pháp khá hiệu quả trong giải toán Tuy nhiên ở phổ thông, học sinh mới chỉ dừng lại ở việc sử dụng tọa độ trực chuẩn Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một cách tổng quát hơn để giải các bài toán Hình học Afin, đó là sử dụng tọa độ Afin Một điều đáng lưu tâm nữa là lời giải của bài toán hoàn toán có thể “chuyển ngôn ngữ” thành lời giải của HHSC

Bài toán 2.1.2 Cho hình lăng trụ tam giác 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ Lấy các điểm 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 lần lượt

thuộc các cạnh bên 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′, 𝐶𝐶′sao cho 1 1 1 3

Nhận xét: Với bài toán này việc xác định điểm I và J rất khó khan nếu sử dụng hình vẽ

Trong trường hợp này, sử dụng tọa độ Afin không những giải quyết được bài toán một cách rõ ràng, nhất quán mà còn chỉ rõ được vị trí điểm I và J

Chọn mục tiêu {A’; C’, B’, A}, khi đó A’(0,0,0); B’(0,1,0); C(1,0,1); A1(0,0,1

Cho tứ diện ABCD Gọi 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1, 𝐷1 là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng

𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴 sao cho 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐴1𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵1𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐵1𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶1𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐶1𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷1𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐷1𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Với 1𝐴giá trị nào của k thì bốn điểm 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1, 𝐷1 cùng thuộc một mặt phẳng

2𝐺𝐷 và G là trọng tâm tam giác 𝐴1𝐵𝐶1

b) Chứng minh rằng mp(𝐷1𝐴𝐶) song song với mp(𝐵𝐴1𝐶1) và trọng tâm 𝐺′ của tam giác 𝐷1𝐴𝐶 cũng nằm trên 𝐵1𝐷 và 𝐵1𝐺′ =2

a)Gọi N là giao điểm của 𝑆𝐴′ với BC Chứng minh rằng các điểm A, M, N thẳng hàng

b)Chứng minh rằng MBC '

ABC

S  SA

c)Chứng minh rằng MA' MB' MC' 1

SA  SB  SC 

Lời giải

Hình 2.2 a) Chọn mục tiêu {S; A, B, C} Phương trình của mặt phẳng (ABC): 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1; 𝑀(𝑥0𝑦0, 1 − 𝑥0− 𝑦0); 𝑀𝐴′: {𝑧 = 1 − 𝑥𝑦 = 𝑦0

| = 0 hay 𝐴, 𝑀, 𝑁 thẳng hàng

b) và c) sử dụng định lý Talet

Bằng việc sử dụng tọa độ Afin, SV không chỉ đơn thuần giải được bài toán mà còn

có tư duy thuật giải mạch lạc Muốn tìm mồi liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán Afin,

ta phải dựa vào một mục tiêu Afin, hay cần biểu diễn các vectơ qua một hệ vectơ cố định cho trước

MỘT SỐ BÀI TƯƠNG TỰ

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng (P) lần

lượt cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′ Gọi O là giao điểm của AC và BD I là giao điểm của 𝐴′𝐶′và SO

a) Tìm giao điểm 𝐷′ của mặt phẳng (P) và cạnh SD

a) Chứng minh rằng RQ song song với (ABCD), (PQRS) song song với (ABCD)

b) Gọi M là giao điểm của cạnh 𝐶𝐶′với (AQR) Tính tỉ số

P, Q đồng phẳng

Bài 4: Cho hình chóp SABC Các điển I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,

SBC, SCA,

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (IJK) song song với mặt phẳng (ABC)

b) Tìm tập hợp các điểm M trong hình chóp SABC sao cho KM song song với mặt phẳng (ABC)

Bài 5: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trên một mặt phẳng lầm

lượt có tâm O và 𝑂′ 𝐺1, 𝐺2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABE Chứng minh rằng:

a) 𝑂𝑂′ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE)

b) 𝐺1, 𝐺2 song song với mặt phẳng (CEF)

Bài 6: Cho tứ diện ABCD

a) M là một điểm nằm trong tứ diện, các đường thẳng AM, BM, CM, DM cắt các mặt đối diện tương ứng tại 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1, 𝐷1

Chứng minh giá trị của tổng

AA  BB CC  DD không phụ thuộc vị trí điểm M Tính giá trị đó

b) N là một điểm nằm trong tam giác ABC Các đường thẳng qua N, song song với

DA, DB, DC tương ứng cắt các mặt (DBC), (DCA), (DAB) tại các điểm 𝐴2, 𝐵2, 𝐶2 Chứng minh rằng tổng NA2 NB2 NC2

DA  DB  DC có giá trị không đổi Tính giá trị đó

c) DN cắt mặt phẳng (𝐴2𝐵2𝐶2) tại G Tính tỉ sốGD

GN Chứng minh G là trọng tâm tam giác 𝐴2𝐵2𝐶2

Bài 7: Cho hình hộp 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của

𝐵𝐶, 𝐶1𝐷1, 𝐴𝐴1 Chứng minh rằng mặt phẳng (ACB1) song song với mặt phẳng (A1C1D) Dựng các giao điểm I, K của BD1 với hai mặt phẳng đó Chứng minh rằng I, K là trọng tâm của các tam giác ACD1 , A1C1D đồng thời BI = IK = KD1

Bài 8: Cho lăng trụ OABO1A1B1 Gọi K, M, N, E lần lượt là trung điểm của BB1, OA,

OO1, AA1 G là trọng tâm tam giác OAB Điểm I thuộc đoạn AB sao cho AI = 1

3 AB Chứng minh rằng (NGB)//(O1AK); (MNK)//(O1AB1); (GKN)//(O1B1I); (AGK)//(OB1E)

Bài 9: Cho lăng trụ 𝐴𝐵𝐶𝐴′𝐵′𝐶′ I, G là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶𝐶′ Chứng minh rằng

IG song song với mặt phẳng (ABC’)

Bài 10: M, N, P là trung điểm của các cạnh AB, B1C1, DD1 của hình hộp ABCDA1B1C1D1 Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (BDC1)

2.2 Sử dụng hình tương đương Afin giải toán HHSC

Đôi khi chúng ta phải giải quyết các bài toán hình học trong trường hợp tổng quát Những bài này thường khó hơn những bài tương tự trong các trường hợp đặc biệt Khi học Hình học Afin, ta có thêm những kiến thức để có thể khẳng định nếu bài toán Afin được chứng minh trong trường hợp đặc biệt thì sẽ đúng trong trường hợp tổng quát Lý do

là tính chất Afin luôn đúng trên mọi hình tương đương Afin

Như vậy thay vì phải giải bài toán Afin trong trường hợp tổng quát, ta chỉ cần giải quyết chúng trong trường hợp đặc biệt

Có một vấn đề đặt ra là lời giải này có thể chuyển thành lời giải của HHSC hay không? Câu trả lời là hoàn toàn có thể được Ta chỉ việc sử dụng một phép chiếu đặc biệt

từ mặt phẳng đến mặt phẳng, đó là phép chiếu song song

Phép chiếu song song đã được học ngay trong chương trình THPT nhưng việc ứng dụng nó mới dừng lại ở việc vẽ hình không gian Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng phép chiếu song song như một công cụ hữu hiệu để giải toán Như ở chương I, phép chiếu song song

là một phép Afin, tức là nó giữ bất biến các tính chất Afin Hơn thế nữa, luôn tồn tại phép chiếu song song biến tam giác, thành tam giác có hình dạng cho trước, hình bình hành thành hình vuông… nên ta sẽ chứng minh các tính chất Afin trên các hình đặc biệt đó và quay về hình ban đầu bằng cách sử dụng tính chất song song của các đường thẳng

Ứng dụng phép chiếu song song giải toán HHSC

Bài toán 2.2.1

Qua mỗi đỉnh của tam giác ABC kẻ 2 đường thẳng chia cạnh đối diện của tam giác thành

3 phần bằng nhau Chứng minh rằng các đường chéo nối các đỉnh đối diện của lục giác được tạo thành từ 6 đường thẳng đó đồng quy tại 1 điểm

giác đều A’BC

thuộc A’P’ Tương tự, điểm X là giao của CR và BR’ cúng thuộc A’P’ Hay nói cách khác XX’ là đường cao tam giác A’BC

Tương tự ta có YY’ và ZZ’ là các đường cao còn lại Do 3 đường cao của tam giác đồng quy, ta có điều phải chứng minh

Một phép chiếu song song đặc biệt thường hay được sử dụng trên không gian Euclid là phép chiếu vuông góc Ngoài các tính chất chung của phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc còn được sử dụng đối với các bài toán có liên quan đế một số yếu tố lượng như

Trong tứ diện ABCD, cần chứng minh AC.BD < AB.CD + AD.BC

Ta đã biết bất đẳng thức Ptôlêmê đối với tứ giác :

trong tứ giác ABCD, ta có AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC

Liên tưởng trên dẫn tới việc cần tìm mối liên hệ giữa độ dài các cạnh của tứ diện ABCD với độ dài các cạnh của một tứ giác Từ đó liên hệ với việc cần sử dụng một phép chiếu song song phù hợp

D' A'

C'

Hình 2.4

Xét mặt phẳng α song song với hai cạnh AC và BD của tứ diện Xét phép chiếu vuông góc xuống α biến tứ diện ABCD thành tứ giác A’B’C’D’

Do α song song với AC và BD, ta có AC = A’C’ ; BD = B’D’ ; AB >A’B’ ; AD>A’D’ ;

BC > B’C’ ; CD > C’D’ ;

Theo định lý Ptolemy, A’C’.B’D’ ≤ A’B’.C’D’ + A’D’.B’C’

Do đó : AC.BD < AB.CD + AD.BC

Bài toán 2.2.3

Lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ có đáy là tam giác vuông tại O, OA = OB = a√2 M là trung điểm của OA Tính diện tích thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng qua M vuông góc với A’B

Lời giải

Hình 2.5

Do OI và AB’ vuông góc với A’B nên thiết diện song song với OI và A’B

Qua M kẻ đường song song với OI cắt AB tại N ; Qua N kẻ NP song song với AB’ cắt BB’ tại P ; MN cắt OB tại K ; KP cắt OO’ tại Q Thiết diện là tứ giác MNPQ.Hình chiếu vuông góc của MNPQ xuống mặt phẳng (OAB) là tứ giác MNBO Diện tích MNBO là

Thiết diện là ngũ giác AMIKN

Hình chiếu của ngũ giác xuống mặt phẳng (A’B’C’D’) là A’B’IKD’

Diện tích A’B’IKD’ dễ dàng tính được là7 2

Cho góc xOy và điểm J trong góc đó, dựng qua J đường thẳng d cắt Ox, Oy tại A’, C’ sao

Bài toán này giải được nhờ sử dụng phép vị tự

Sau khi dựng được A’, C’, chiếu song song A’,C’ theo phương b được A, C Nối AC cắt b tại B

Hình 2.6

MỘT SỐ BÀI TƯƠNG TỰ

Các bài toán sau có thể chứng minh bằng cách sử dụng phép chiếu song song

Bài 1: Cho tam giác ABC, lấy lần lượt trên AB,BC,CA các điểm M, N, P sao cho

AB  BC  CA

a) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

b) Đoạn CM cắt AN và BP tạo thành 3 đoạn thẳng, tính tỉ số độ dài 3 đoạn thẳng đó nếu AM =

3

AB

Bài 2: Chứng minh định lý Menenaus

Bài 3: Cho tam giác ABC Trên phần kéo dài của các cạnh AB, BC và AC lấy các điểm

D, E, F (B nằm giữa A và D; C nằm giữa B và E ; A nằm giữa C và F sao cho BD = AB ;

CE = BC và AF = AC Gọi S là diện tích của ABC Tính diện tích DEF theo S

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD M, N là trung điểm của AD và CD Nối BN và CM cắt

nhau tại E Chứng minh diện tích ABCD gấp 5 lần diện tích tam giác BEC

Bài 5 : Chứng minh định lý Ceva

Bài 6 : Hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a SA vuông góc với

đáy SA = 2a Tính diện tích thiết diện của mặt phẳng qua A và vuông góc với SC với hình

chóp

Bài 7 : Hình chóp tam giác đều có góc ở đỉnh là α, độ dài cạnh bên bằng a Tính diện tích

thiết diện của hình chóp với mặt phẳng đi qua 1 cạnh đáy và trung điểm cạnh đối diện

Bài 8 : Cho tam giác ABC; Trên AB, BC, CA lấy các điểm M, N, P Gọi M’, N’, P’ là các

điểm đối xứng với M, N, P lần lượt qua trung điểm của AB, BC, CA Chứng minh rằng diện tích tam giác MNP bằng diện tích tam giác M’N’P’

Bài 9 : Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD SA, SB, SC, SD lần lượt là diện tích các mặt đối diện với A, B, C, D A1, A2, A3, A4 là các hình chiếu của G lên mặt phẳng BCD, CDA, ABD, ABC Chứng minh rằng: 𝑆𝐴2𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑆1 𝐵2𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑆2 𝐶2𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆3 𝐷2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 𝐺𝐴4

Bài 10 : Chứng minh rằng tổng các bình phương hình chiếu các cạnh của hình lập phương

cạnh a lên mặt phẳng nào đó có giá trị không đổi là 8a2

2.3 Sử dụng tâm tỉ cự giải toán HHSC

Tâm tỉ cự là một khái niệm Afin Trong nhiều trường hợp, tâm tỉ cự và các tính chất của nó là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán Afin Những lời giải bài toán sử dụng tâm tỉ cự hoàn toàn có thể chuyển ngôn ngữ thành lời giải hình học phổ thông thông qua biểu diễn vectơ Vì vậy, đây là một gợi ý cách giải hiệu quả cho các bài toán HHSC

Bài toán 2.3.1

Trong không gian cho 4 điểm A,B,C,D Xét 7 đường thẳng, trong đó có 3 đường thẳng tương ứng nối các trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC còn 4 đường thẳng tương ứng nối 1 điểm (trong 4 điểm A,B,C,D) với trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 điểm còn lại Chứng minh rằng các đường thẳng đó đồng qui

Ta có thể dựa vào tính chất trên để đưa bài toán về dạng dựng trọng tâm của hệ 4 điểm A,B,C,D

Cách 1: Chia hệ điểm trên thành 2 hệ con, mỗi hệ 2 điểm và không có điểm chung Gỉa sử

đó là các hệ {A,B} và {C,D} Gọi I là trung điểm của AB, thì có ngay I = Ttc A B

1 1

Gọi J là trung điểm của CD, cũng có J = Ttc C D

    suy ra G là trung điểm của IJ Tương tự chứng minh được

G cũng là trung điểm của 2 đoạn thẳng còn lại

Cách 2: Chia hệ điểm đã cho thành 2 hệ con, trong đó một hệ 1 điểm và một hệ 3 điểm;

Giả sử đó là các hệ {A} và {B,C,D} Nếu K là trọng tâm của tam giác BCD thì

  hay G thuộc đường thẳng AK Ta xét tương tự với các đường còn lại

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Giải Gọi S là diện tích tam giác ABC

Kẻ ON//AB; OM//AC; OO’ và BB’ vuông góc với AC

K A

B

C O

Trong không gian cho n điểm A1, A2, …, An , 𝑥𝑖 ∈ 𝑅, i=1,…,n M là một điểm bất kỳ trong không gian

x IA

x x

n

i n

Bài toán 2.3.5 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác

nhau Trên đoạn EC lấy điểm M, trên đoạn DF lấy điểm N sao cho các đường thẳng AM

và BN cắt nhau Gọi I, K là giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành Chứng minh rằng các đường thẳng IK, AM, BN đồng quy

Lời giải

Do AM và BN cắt nhau nên A,B,N,M thuộc 1 mặt phẳng Vậy ABMN là thiết diện của mặt phẳng với lăng trụ ADF.BCE nên là hình bình hành, hay O là trung điểm của AM

và BN