BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Trương Thị Hải Duyên VỀ BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA ĐẠI SỐ LIÊN KẾT VỚI KHÔNG GIAN DỊCH
Đồ thị và siêu đồ thị
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về lý thuyết siêu đồ thị, được Tomforde giới thiệu trong [8] và [9].
Đồ thị có hướng được định nghĩa là một bộ gồm tập đỉnh và tập cạnh, cùng với hai ánh xạ xác định nguồn và đích của các cạnh Cụ thể, một đồ thị (có hướng) bao gồm tập đỉnh E₀, tập cạnh E₁ và hai ánh xạ r và s từ E₁ đến E₀.
Trong lý thuyết đồ thị, đỉnh v ∈ G 0 được phân loại thành nhiều loại: đỉnh dìm nếu s −1 (v) = ∅, đỉnh phát ra vô hạn nếu |s −1 (v)| = ∞, và đỉnh nguồn nếu r −1 = ∅ Đỉnh cô lập được xác định là một đỉnh dìm hoặc phát ra vô hạn Đỉnh v được gọi là đỉnh chính quy nếu 0 < |s −1 (v)| < ∞ Đường có độ dài hữu hạn α trong đồ thị E là một chuỗi các cạnh α = e 1 e 2 e n, trong đó r(e j ) = s(e j+1) với j = 1, , n − 1 Nếu r(e n) = s(e 1) và r(e j) ̸= s(e i) (với i ̸= j + 1), thì đường α được gọi là chu trình Đồ thị E mở rộng được định nghĩa là bộ Eb = (E 0 , E 1, ).
E 1 ∗ , r, s) trong đú E 1 ∗ là tập cỏc cạnh ảo Nếuα = e 1 e 2 ã ã ãe n là một đường trong E, thỡ phần tử e ∗ n ã ã ãe ∗ 2 e ∗ 1 được ký hiệu là α ∗
Siêu đồ thị, theo định nghĩa của Mark Tomforde, là một phương pháp thống nhất cho Exel-Laca và đồ thị C∗-đại số, đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu tương đương Morita của chúng Siêu đồ thị G được định nghĩa là G = (G₀, G₁, r, s), trong đó G₀ là tập hợp đếm được các đỉnh, G₁ là tập hợp đếm được các cạnh, và s là ánh xạ từ G₁ đến các đỉnh.
G 0 , r : G 1 −→ P(G 0 )\ {∅}, trong đó P(G 0 ) là tập hợp tất cả các tập con của
Một đường đi hữu hạn trong siêu đồ thị G được định nghĩa là một chuỗi các phần tử α1, α2, , αn, trong đó mỗi cạnh có s(αi+1) thuộc r(αi) với mọi 1≤ i ≤ n−1 Độ dài của đường đi α được ký hiệu là |α|:= n, và các phần tử của G0 được xem như các đường đi có độ dài.
Ký hiệu G ∗ đại diện cho tập hợp tất cả các đường đi hữu hạn trong G Các ánh xạ r và s được mở rộng tự nhiên đến G ∗ Đặc biệt, khi A thuộc G 0, chúng ta định nghĩa s(A) = r(A) = A.
Nếu G là một siêu đồ thị, thì một đường đóng trong G có dạng α = α1 α2 αn với |α| ∈ G* và |α| ≥ 1, đồng thời s(α) ∈ r(α) Đường đóng α được xác định dựa trên đỉnh v = s(α) Một chu trình (dựa trên v) là một đường đi đóng sao cho các đỉnh đầu vào s(αi) và s(αj) không trùng lặp với mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ |α|.
Một lối thoát cho một chu trình α là một trong những đối tượng sau:
(1) Cạnh e ∈ G 1 sao cho tồn tại một i mà s(e) ∈ r(α i ) nhưng e̸= α i+1
(2) Đỉnh dìm w sao cho w ∈ r(α i ) với i nào đó.
Siêu đồ thị G = (G 0 , G 1 , r, s) có G 0 là tập con nhỏ nhất của P(G 0 ) chứa tất cả các đỉnh v thuộc G 0, bao gồm r(e) cho mọi cạnh e trong G 1 G 0 cũng phải đóng với các phép toán hợp hữu hạn, giao hữu hạn và phép lấy phần bù Các đỉnh trong G 0 được gọi là các đỉnh sinh.
Hệ quả 1.1.4 ([2]) Cho G là một siêu đồ thị Khi đó,
G 0 = { \ e∈X 1 r(e)∪ .∪ \ e∈X n r(e)∪F : X 1 , , X n là các tập con hữu hạn của G 1 và F là một tập con hữu hạn của G 0 } Để làm rõ hơn định nghĩa này, chúng tôi sẽ minh họa các khái niệm về siêu đồ thị thông qua một số ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1.1.5 Cho E = E 0 , E 1 , r E , s E là một đồ thị hữu hạn Ta định nghĩa siêu đồ thị G E = (G 0 E ,G E 1 , r G E , s G E ) liên kết với đồ thị E như sau: G 0 E = E 0 ,
G E 1 = E 1 , s G E (e) = s E (e), và r G E (e) = {r E (e)} đối với mọi e ∈ E 1 Khi đó, ta có G E 0 là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn của G 0 E
Ví dụ 1.1.6 Cho G là siêu đồ thị như Hình 1.1.
Khi đó G 0 = {v, w, x},G 1 = {e, f, g}, s G (e) = v, s G (f) = w, s G (g) = x và r G (e) ={v, w, x}, r G (f) = {x}, r G (g) ={v, w} Khi đó, ta có G 0 = P(G 0 ).
Không gian dịch chuyển con
Trong phần này, tôi sẽ giới thiệu lại các khái niệm cơ bản liên quan đến không gian dịch chuyển con Đầu tiên, tôi sẽ tóm tắt những kiến thức thiết yếu về hệ động lực hình thức.
Trong luận văn này, chúng tôi giả định rằng R là một vành giao hoán có đơn vị Định nghĩa 1.2.1 nêu rõ rằng A là một tập hợp không rỗng, được gọi là bảng chữ cái Một từ trên A được định nghĩa là chuỗi hữu hạn các ký tự trong A, và ký hiệu A^0 = ω đại diện cho từ trống Tập hợp các từ có độ dài k trên A được ký hiệu là A^k.
Ta định nghĩa A-không gian dịch chuyển đầy đủ là
(2) Cho α ∈ A ∗ ∪ A N , ta kí hiệu |α| là độ dài của α.
(3) Nếu α, β ∈ A ∗ , thì βα là phép nối thông thường.
Nếu n ⩾ 1, thì β n được biểu diễn bằng n từ β nối tiếp nhau, với quy ước u 0 = ω Trong trường hợp này, ta có u m u n = u m+n cho mọi m, n ⩾ 0 Đồng thời, β ∞ được gọi là từ vô hạn β Định nghĩa 1.2.2 xác định ánh xạ dịch chuyển (shift map) σ trên A N, được biểu diễn bởi σ : A N → A N.
Một tập con X ⊆ A N được gọi là bất biến với σ nếu σ(X) ⊆ X. Định nghĩa 1.2.3 ([2]) Cho tập con bất biến X⊆ A N , ta định nghĩa
(1) L n (X) là tập các từ có độ dài n xuất hiện trong một phần tử nào đó của
(2) Ngôn ngữ của X là tậpL X gồm tất cả các từ hữu hạn xuất hiện trong một từ nào đó của X Khi đó,
Ta sẽ minh họa định nghĩa trên bằng ví dụ sau.
Giả sử A = {0,1} và X = A N, trong đó L X bao gồm tất cả các từ hữu hạn xuất hiện trong một từ nào đó của X Một số từ trong L X có thể được liệt kê như sau.
Không gian dịch chuyển là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết tập hợp Theo định nghĩa, cho F là tập con của A ∗ được gọi là tập tránh, thì X F được xác định là tập các phần tử trong A N không chứa các từ thuộc vào F Một tập con X của A N được xem là không gian dịch chuyển nếu tồn tại F là tập tránh trên A sao cho XF = X.
Khi không gian dịch chuyển X nằm trong không gian dịch chuyển Y, X được gọi là không gian dịch chuyển con của Y Ví dụ minh họa sẽ giúp làm rõ định nghĩa này.
Ví dụ 1.2.6 Cho bảng chữ cái A Khi đó,
(1) X = A N là một không gian dịch chuyển do ta có thể chọn F = ∅ Như vậy, X F = A N = X.
(2) X = ∅ là một không gian dịch chuyển do ta có thể chọn F = A Như vậy,
Gọi X là tập hợp các chuỗi nhị phân mà không có hai số 1 nằm cạnh nhau Tập hợp này tạo thành một không gian dịch chuyển với A = {0; 1} và tập tránh F = {11} Do đó, X được xác định là X F.
Không gian dịch chuyển này được gọi là dịch chuyển trung bình vàng (golden mean shift).
Tập hợp X bao gồm tất cả các chuỗi nhị phân mà giữa hai số 1 bất kỳ luôn có một số lượng chẵn các số 0 Do đó, X được xem như một không gian dịch chuyển với A = {0, 1} và tập tránh F = {1 00 0}.
Không gian dịch chuyển này thường được gọi là dịch chuyển chẵn (even shift).
Tập F có thể chứa hữu hạn hoặc vô hạn phần tử, nhưng thường có thể đếm được số phần tử của nó bằng cách liệt kê theo thứ tự độ dài Trong một không gian dịch chuyển cho trước, có thể tồn tại nhiều tập tránh F Không gian dịch chuyển con hữu hạn được định nghĩa là không gian có thể mô tả bằng một tập hợp tránh hữu hạn, tức là không gian X có dạng X F với tập tránh hữu hạn F Một không gian dịch chuyển con được gọi là M-bước nếu nó có thể mô tả bằng một tập tránh mà các từ tránh đều có độ dài M + 1 Để làm rõ hơn định nghĩa này, ta sẽ xem xét một ví dụ.
Ví dụ 1.2.9 (1) Không gian dịch chuyển X = A N là một không gian dịch chuyển con hữu hạn Trong đó, tập tránh F = ∅ và X = X F = A N
(2) Dịch chuyển trung bình vàng X trong Ví dụ 1.2.6 là không gian dịch chuyển con hữu hạn vì ta có tập tránh F = {11} là hữu hạn và X = X F
Dịch chuyển chẵn X trong Ví dụ 1.2.6 không phải là không gian dịch chuyển con hữu hạn Cụ thể, gọi L N (X) là tập hợp các từ có độ dài N trong không gian X Nếu X là không gian dịch chuyển con hữu hạn, thì sẽ tồn tại một số m ⩾ 1 cùng với tập hợp tương ứng.
F là tập hợp các từ có độ dài m sao cho X = X F Xét x = 0 ∞ 10 2m+1 10 ∞, mọi từ có độ dài m trong x đều thuộc L m (X) Do đó, x ∈ X F = X, dẫn đến mâu thuẫn với định nghĩa của dịch chuyển chẵn.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một ví dụ về tập hợp X ⊆ A N, được định nghĩa là một dịch chuyển hữu hạn và X = X F với tập tránh hữu hạn F Giả sử N là độ dài của từ dài nhất trong F, chúng ta gọi F N là tập hợp tất cả các từ có độ dài N, bao gồm một số từ trong F Khi đó, ta có X F N = X F, và tất cả các từ trong F N đều có độ dài N giống nhau.
Ví dụ, nếu A = {0,1} và F = {11,000}, thì F 3 = {110,111,011,000} Để thuận tiện ta coi như trong không gian dịch chuyển hữu hạn, tất cả các từ tránh đều có cùng độ dài.
Một phương pháp cơ bản để xây dựng các không gian dịch chuyển con hữu hạn là sử dụng đồ thị hữu hạn có hướng, từ đó tạo ra các đường đi vô hạn trên đồ thị Các tác giả trong [1] đã chỉ ra rằng không gian dịch chuyển con hữu hạn có thể được biểu diễn thông qua dịch chuyển cạnh, như được minh họa trong các ví dụ dưới đây.
Trong ví dụ 1.2.11 về không gian dịch chuyển cạnh của đồ thị E, ta định nghĩa dịch chuyển cạnh một phía X E liên kết với E là tập hợp tất cả các đường vô hạn Điều này tạo thành một không gian dịch chuyển con trên A = E 1 với tập tránh.
X E = {e= (e i ) i∈ N : r(e i ) = s(e i+1 )}. Ánh xạ dịch chuyển trên X E được gọi là ánh xạ dịch chuyển cạnh liên kết với đồ thị E, và được kí hiệu là σ E
X E là một không gian dịch chuyển con hữu hạn 1-bước do mọi từ trong F đều có độ dài là 2.
Ví dụ 1.2.12 (Không gian dịch chuyển cạnh của siêu đồ thị) Cho siêu đồ thị
Dịch chuyển cạnh một phía X G liên kết với G được định nghĩa là tập hợp tất cả các đường đi vô hạn Nó tạo thành không gian dịch chuyển con trên A = G 1, với tập tránh F = ef ∈ A 2, trong đó s(f) ∉ r(e).
X G = {e= (e i ) i∈ N : s(e i+1 ) ∈ r(e i )}. Ánh xạ dịch chuyển trên X G được gọi là ánh xạ dịch chuyển cạnh liên kết với siêu đồ thị G, và được kí hiệu là σ G
X G là không gian dịch chuyển con hữu hạn 1-bước do mọi từ trong F đều có độ dài là 2.
Ví dụ 1.2.13 (1) Cho đồ thị E như Hình 1.2 Khi đó ta có một dịch chuyển cạnh trên A = E 1 = {e, f, g} với tập tránh F = {eg, f e, f f, gg} là
(2) Cho siêu đồ thị G như trong Ví dụ 1.1.6 Khi đó ta có một dịch chuyển cạnh liên kết với G trên A = G 1 = {e, f, g} với tập tránh F = {ef ∈ A 2 : s(f) ∈/ r(e)} = {f e, f f, gg} là
Đại số liên kết với không gian dịch chuyển con
Đại số đường Leavitt của đồ thị
Đại số đường Leavitt LR(E) được định nghĩa cho một đồ thị có hướng E = E0, E1, với r và s là các đỉnh và R là một vành giao hoán có đơn vị LR(E) là R-đại số sinh bởi các tập hợp v (v ∈ E0) và các cạnh e, e* (e ∈ E1), thỏa mãn các điều kiện nhất định đối với mọi cạnh e, e' ∈ E1 và các đỉnh v, v' ∈ E0.
(5) v = P e:s(e)=v ee ∗ với mọi đỉnh v chính quy. trong đó δ là ký hiệu Kronecker.
Mệnh đề 2.1.12 đề cập đến tính chất phổ dụng của L R (E), trong đó E là một đồ thị, R là vành giao hoán có đơn vị, và A là một R-đại số chứa tập hợp các phần tử lũy đẳng đôi một trực giao a v (v ∈ E 0) Đồng thời, có hai tập hợp a e và b e (e ∈ E 1) được xác định trong ngữ cảnh này.
(3) av = P {e∈E 1 |s(e)=v}aebe với mọi đỉnh chính quy v ∈ E 0
Theo định nghĩa đại số đường đi Leavitt, có một đồng cấu R-đại số duy nhất φ : LR(E) → A thỏa mãn φ(v) = av, φ(e) = ae, và φ(e ∗ ) = be cho mọi v ∈ E 0 và e ∈ E 1.
Mệnh đề 2.1.13 ([10]) Cho E là một đồ thị, R là vành giao hoán có đơn vị. Đại số đường Leavitt L R (E) là Z-phân bậc, với thành phần thuần nhất bậc n là
LR(E)n = span R αβ ∗ : α, β ∈ E ∗ và |α| − |β| = n Để chứng minh, gọi A là R-đại số tự do sinh bởi E 0 ∪ E 1 ∪ (E 1 ) ∗ Đối với mỗi v ∈ E 0 và e ∈ E 1, định nghĩa deg(v) = 0, deg(e) = 1 và deg(e ∗ ) = −1 Với mọi đơn thức rx 1 x n, trong đó r ∈ R và x i ∈ v ∈ E 0 ∪ e, e ∗ | e ∈ E 1, ta đặt deg(rx 1 x n ) = Σ n i=1 deg(x i ) Do đó, A trở thành R-đại số Z-phân bậc với phần tử thuần nhất bậc n, với n ∈ Z.
Gọi I là iđêan của A sinh bởi tất cả các phần tử cảm sinh từ các đồng nhất
(1) - (5) trong Định nghĩa 2.1.11 Rõ ràng, I là iđêan thuần nhất Do đó,
L R (E) = A/I là một Z-phân bậc Định lý 2.1.14, được gọi là định lý phân bậc duy nhất, nêu rằng cho một đồ thị E và một vành giao hoán R có đơn vị, nếu T là một vành phân bậc và ϕ : L R (E) → T là một đồng cấu vành phân bậc với điều kiện ϕ(rv) ̸= 0 cho mọi v ∈ E 0 và r ∈ R\{0}, thì ϕ sẽ là đơn ánh.
Mệnh đề 2.1.15 xác định rằng cho đồ thị E không có đỉnh dìm và không có đỉnh nào vừa là đỉnh nguồn vừa phát ra vô hạn Nếu X là dịch chuyển cạnh một phía của E, thì A R (X) sẽ đồng cấu với LR(E).
Chứng minh Ta xây dựng một ánh xạ từLR(E)đếnA R (X)như sau Vớie ∈ E, đặtte := se vàte ∗ := s ∗ e Nếuv ∈ E 0 không phải đỉnh nguồn, tồn tại e ∈ r −1 (v), ta đặt q v := p C(e,ω) Trong trường hợp này
C(e, ω) ={x ∈ X : ex ∈ X} = {x ∈ X : s(x) =r(e)} = {x ∈ X : s(x) =v}. Nếu v ∈ E 0 là đỉnh nguồn, thì v không phát ra vô hạn (theo giả thuyết) và ta định nghĩa q v := P e∈s −1 (v)s e s ∗ e Xét e, f ∈ s −1 (v) và e ̸= f, ta có
C(ω, e)∩ C(ω, f) = ∅ Theo Định nghĩa 2.1.2, ta có thể viết q v = X e∈s −1 (v) p C(ω,e) = p ∪ e∈s−1 (v)C(ω,e)
Ta cần chứng minh rằng te, te ∗ :e ∈ E 1 và qv : v ∈ E 0 thỏa mãn các điều kiện của L R (E) trong Định nghĩa 2.1.11 Thật vậy,
Ta có p A p A = p A nên p A là phần tử lũy đẳng với mọi A ∈ B Do đó với v ∈
E 0 , ta cóq v q v = q v Giả sửv 1 , v 2 ∈ E 0 sao cho v 1 ̸= v 2 và r −1 (v 1 )∩r −1 (v 2 ) = ∅.
Ta xét các trường hợp sau.
• Nếu v 1 và v 2 không là đỉnh nguồn, thì với e ∈ r −1 (v 1 ) và e ′ ∈ r −1 (v 2 ), ta có C(e, ω)∩C (e ′ , ω) = {x ∈ X : s(x) = v 1 } ∩ {x ∈ X : s(x) = v 2 } = ∅. Khi đó ta có q v 1 q v 2 = p C(e,ω) p C(e ′ ,ω) = 0.
• Nếu v1 là đỉnh nguồn và v2 không là đỉnh nguồn Giả sử e ′ ∈ r −1 (v2). Khi đó C(ω, e) ∩ C(e ′ , ω) = {ex ∈ X : x ∈ X} ∩ {x ∈ X : s(x) v2} = ∅ Thật vậy, nếu e ∈ s −1 (v1) thì C(e ′ , ω) ∩ C(ω, e) = {ex ∈
X : x ∈ X, s(ex) = v 2 } = ∅ do s(ex) = v 1 ̸= v 2 Do đó, q v 1 q v 2 P e∈s −1 (v 1 )p C(ω,e) p C(e ′ ,ω) = 0
• Nếu v 1 và v 2 đều là đỉnh nguồn Vì v 1 ̸= v 2 , giả sử e ∈ s −1 (v 1 ) và e ′ ∈ s −1 (v 1 ) ta có C(ω, e) ∩C(ω, e ′ ) = {ex ∈ X : x ∈ X} ∩ {e ′ x ∈ X : x ∈
X}= ∅ Do đó, theo Định nghĩa 2.1.2 ta có q v 1 q v 2 = 0.
(2) q s(e) te = teq r(e) = te với mọi e∈ E 1
Giả sử e ∈ E 1 Nếu s(e) là đỉnh nguồn, thì theo Định nghĩa 2.1.2 ta nhận được q s(e) te = X e ′ ∈s −1 (s(e)) se ′ s ∗ e ′se = ses ∗ e se = se = te.
Nếu s(e) không là đỉnh nguồn, ta lấy f ∈ E 1 sao cho r(f) = s(e) Lưu ý rằng C(e, ω) = {x ∈ X : s(x) = r(e)} = {x ∈ X : s(x) = r(f e)} = C(f e, ω) và p C(f,ω) s e = s ∗ f s f s e = s ∗ f s f s e s ∗ e s e = s e s ∗ e s ∗ f s f s e = s e p C(f e,ω) do s ∗ f s f và s e s ∗ e giao hoán theo Mệnh đề 2.1.8 Khi đó, ta có q s(e) t e = p C(f,ω) s e = s e p C(f e,ω) = s e p C(e,ω) = s e s ∗ e s e = s e = t e
Do r(e) không là đỉnh nguồn nên q r(e) = p C(e,ω) Dễ thấy, từ công thức của hai trường hợp trên ta thu được teq r(e) = te.
Giả sử e ∈ E 1 Nếu s(e) là đỉnh nguồn, thì theo Định nghĩa 2.1.2 ta nhận được t ∗ e q s(e) = X e ′ ∈s −1 (s(e)) s ∗ e s e ′ s ∗ e ′ = s ∗ e s e s ∗ e = s ∗ e = t ∗ e
Nếu s(e) không là đỉnh nguồn Lấy f ∈ E 1 sao cho r(f) = s(e) Lưu ý rằng C(e, ω) = {x ∈ X : s(x) = r(e)} = {x ∈ X : s(x) = r(f e)} = C(f e, ω) và s ∗ e p C(f,ω) = s ∗ e s ∗ f s f = s ∗ e s e s ∗ e s ∗ f s f = s ∗ e s ∗ f s f s e s ∗ e = p C(f e,ω) s ∗ e do s ∗ f s f và s e s ∗ e giao hoán theo Mệnh đề 2.1.8 Khi đó, ta có t ∗ e q s(e) = s ∗ e p C(f,ω) = p C(f e,ω) s ∗ e = p C(e,ω) s ∗ e = s ∗ e s e s ∗ e = s ∗ e = t ∗ e
Do r(e) không là đỉnh nguồn nên q r(e) = p C(e,ω) Dễ thấy, từ công thức của hai trường hợp trên ta thu được q r(e) t ∗ e = t ∗ e
Với e, e ′ ∈ E 1 , theo Mệnh đề 2.1.3, ta có t ∗ e te ′ = s ∗ e se ′ = δe,e ′ p C(e,ω) = δe,e ′ q r(e)
(5) q v = P e:s(e)=v t e t ∗ e với mọi đỉnh v chính quy.
Nếu v ∈ E reg 0 là đỉnh nguồn, ta cần chứng minh điều này Ngược lại, nếu v ∈ E reg 0 không phải là đỉnh nguồn và e ∈ r −1 (v), ta có thể viết C(e, ω) = {x ∈ X : s(x) v} dưới dạng hợp hữu hạn không giao nhau là C(e, ω) = ∪ f ∈s −1 (v) C(ω, f) Do đó, q v = p C(e, ω) = ∑ f ∈s −1 (v) p C(ω, f) = ∑ f ∈s −1 (v) s f s ∗ f = ∑ f ∈s −1 (v) t f t ∗ f.
Dựa vào tính chất phổ dụng của L R (E), chúng ta có thể xây dựng một đồng cấu R-đại số Φ : L R (E) → A R (X), trong đó Φ là toàn ánh nhờ vào tập sinh A R (X) theo Mệnh đề 2.1.3 Phép đồng cấu này phân bậc trên Z và nếu r ∈ R\{0} và v ∈ E 0 không phải là nguồn, thì rq v = rp C(e,ω) với một số e∈ r −1 (v) Do đồ thị không có đỉnh dìm, ta có C(e, ω) ̸= ∅, tức là rq v ̸= 0 Theo Định lý phân bậc duy nhất của đại số đường đi Leavitt, chúng ta kết luận rằng Φ là ánh xạ đẳng cấu.
Mệnh đề trên có thể không đúng nếu trong đồ thị có một đỉnh vừa là nguồn vừa là phát vô hạn.
Ví dụ 2.1.16 Cho đồ thị E với E 0 = {v, w}, E 1 = {e n } n∈
Theo [13, Section 4.2], LR(E) là đại số có đơn vị khi E0 là tập hữu hạn Đồng thời, với mọi α, β ∈ L X không đồng thời là từ trống, tập C(α, β) sẽ rỗng hoặc chỉ chứa một phần tử Do đó, B là họ các tập con hữu hạn của X, dẫn đến X không thuộc B Theo Mệnh đề 2.1.10, A R (X) không có đơn vị, vì vậy L R (E) không đẳng cấu với A R (X).
Đại số đường Leavitt của siêu đồ thị
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chứng minh rằng đại số dịch chuyển con liên kết với siêu đồ thị chỉ có các đỉnh chính quy, đẳng cấu với đại số đường đi Leavitt của siêu đồ thị Chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của đại số đường Leavitt liên quan đến siêu đồ thị Cụ thể, định nghĩa 2.1.17 nêu rõ rằng, với siêu đồ thị G và vành giao hoán có đơn vị R, đại số đường Leavitt của G, ký hiệu là L R (G), là R-đại số được sinh bởi các phần tử s e, s ∗ e (với e thuộc G 1) và p A (với A thuộc G 0), thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(4) p v = P s(e)=v s e s ∗ e với 0< s −1 (v) < ∞. trong đó δ là Kronecker delta.
Mệnh đề 2.1.18 chỉ ra rằng, cho G là một siêu đồ thị và R là một vành giao hoán có đơn vị, thì đại số đường Leavitt L R (G) của G là Z-phân bậc Đặc biệt, thành phần thuần nhất của đại số này có bậc n.
Định lý 2.1.19 nêu rõ rằng nếu G là một siêu đồ thị, R là một vành giao hoán có đơn vị và T là một vành Z-phân bậc, thì đồng cấu vành phân bậc π: L R (G) → T sẽ là đơn ánh nếu π(rp A) khác 0 cho mọi A ∈ G 0 không rỗng và r ∈ R khác không.
Trong ví dụ 2.1.20, G được định nghĩa là một siêu đồ thị với tập hợp các đỉnh đếm được G 0 = {1, 2, } và tập hợp các cạnh đếm được {e1, e2, } Các cạnh này thỏa mãn điều kiện s(ei) = i cho mọi i, với r(e1) = G 0 và r(ej) = j - 1 cho j > 1 Siêu đồ thị này được minh họa trong hình dưới đây Không gian dịch chuyển con liên kết X G tương ứng với G, và lưu ý rằng U = B vì C(e1, ω) = X G Theo Mệnh đề 2.1.10, ta có A R (X G ) = Ae R (X G ).
Mệnh đề 2.1.21 ([2]) Cho G là một siêu đồ thị sao cho mọi đỉnh đều là đỉnh chính quy vàX G là dịch chuyển cạnh một phía củaG Khi đó,A R (X G ) ∼= L R (G).
Chứng minh Lưu ý rằng với e ∈ G 1 , ta có Fe = C(e, ω) = {x ∈ XG : s(x) ∈ r(e)}.
Với mỗi A ∈ P G 0 , đặt A ′ = {x ∈ X G : s(x) ∈ A} Khi đó, với A, B ∈
P G 0 , ta có (A∪ B) ′ = A ′ ∪B ′ và (A∩B) ′ = A ′ ∩B ′ Ngoài ra, với v ∈ G 0 là đỉnh chính quy, ta có {v} ′ = S e∈s −1 (v)C(ω, e) ∈ B Với e ∈ G 1 , chúng ta có r(e) ′ = C(e, ω) ∈ B Theo Hệ quả 1.1.4, ta có A ′ ∈ B với mọi A ∈ G 0
Chúng ta sẽ xây dựng một ánh xạ từ L R (G) đến A R (X G) bằng cách xác định t e = s e và t ∗ e = s ∗ e cho mỗi e ∈ G 1 Đối với mỗi A ∈ G 0, chúng ta đặt q A = p A ′ Mục tiêu là chứng minh rằng các hàm t e, t ∗ e cho e ∈ G 1 và q A cho A ∈ G 0 đều thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa của L R (G).
(1) Đối với tập rỗng, ta có q ∅ = p ∅ ′ = p ∅ = 0.
Tương tự, ta thấy rằng qA∪B = qA+qB −qA∩B.
(2) Cho e∈ G 1 và đặt v = s(e) Khi đó, q s(e) t e = X f ∈s −1 (v) p C(ω,f ) s e = X f∈s −1 (v) s f s ∗ f s e = s e = t e , t e q r(e) = s e p C(e,ω) = s e s ∗ e s e = s e = t e Các mối quan hệ liên quan đến t e ∗ được chứng minh tương tự như vậy.
(3) Giả sử e, f ∈ G 1 , theo Mệnh đề 2.1.3, ta có t ∗ e tf = s ∗ e sf = δe,fp C(e,ω) = δe,fq r(e)
(4) Nếu v là một đỉnh chính quy, thì q v = X f ∈s −1 (v) p C(ω,f ) = X f ∈s −1 (v) s f s ∗ f = X f ∈s −1 (v) t f t ∗ f
Theo tính chất phổ dụng của L R (G), đồng cấu R-đại số Φ: L R (G) → A R (X G ) là toàn ánh, với s e , s ∗ e : e∈ G 1 là tập sinh của A R (X G ) theo Mệnh đề 2.1.3 Đồng cấu này cũng là đồng cấu Z-phân bậc Nếu r ∈ R\{0} và A ∈ G 0 khác rỗng, thì rq A ̸= 0 theo [2, Theorem 4.5] Áp dụng Định lý phân bậc duy nhất của siêu đồ thị, ta kết luận rằng Φ là đẳng cấu.
Biểu diễn bất khả quy của đại số liên kết với không gian dịch chuyển con
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu các biểu diễn bất khả quy trên đại số liên kết với không gian dịch chuyển con dựa trên bảng chữ cái tùy ý, theo tài liệu [7] Định nghĩa 2.2.1 ([7]) nêu rõ rằng, với X là không gian dịch chuyển con và R là vành giao hoán có đơn vị, ký hiệu P là R-môđun tự do với cơ sở {δ x : x ∈ X}.
Ký hiệu [p] có nghĩa là [p] = 1 nếu p đúng và [p] = 0 nếu ngược lại.
Với mọi A ∈ U, ta định nghĩa R-tự đồng cấu PA : P → P trên một phần tử cơ sở δx, x ∈ X như sau
Với mỗi a ∈ A, ta định nghĩa R-tự đồng cấu S a , S a ∗ : P → P trên một phần tử cơ sở δ x , x = x 1 x 2 x 3 ∈ X như sau
Ta ký hiệu R-đại số của tất cả R-tự đồng cấu của P bởi End R (P) Rõ ràng,
Tiếp theo chúng tôi sẽ chứng minh rằng các phép tự đồng cấu được định nghĩa ở trên là một biểu diễn của Ae R (X).
Mệnh đề 2.2.2 nêu rõ rằng, cho không gian dịch chuyển con X và vành giao hoán R có đơn vị, tồn tại một R-đồng cấu đại số ϕ : Ae R (X) → End R (P) Đồng cấu này thỏa mãn các điều kiện ϕ(p A ) = P A, ϕ(s a ) = S A và ϕ(s ∗ a ) = S a ∗, với A thuộc U và a thuộc A.
Để chứng minh rằng Ae R (X) là một đại số phổ dụng, chúng ta chỉ cần xác minh rằng các phần tử P A, S a, S a ∗, với A thuộc U và a thuộc A, đều thỏa mãn ba điều kiện của Định nghĩa 2.1.6.
(1) Dễ dàng chứng minh được P X = 1, P A∩B = P A P B , P A∪B = P A +P B −
(2) Xét a ∈ A và x ∈ X Nếu ax ∈ X thì ta có
S a S a ∗ S a (δ x ) = S a S a ∗ (δ ax ) = S a (δ x ) và nếu ax /∈ X thì Sa(δx) = 0 Do đó, SaS a ∗ Sa(δx) = Sa(δx) với mọi x ∈ X và khi đó, SaS a ∗ Sa = Sa với mọi a ∈ A Tương tự, ta có S a ∗ SaS a ∗ = S a ∗ vói mọi a ∈ A.
(3) Xét α, β ∈ L X và x ∈ X Nếu x ∈ C(α, β), thì x = βy và αy ∈ X Do đó, trong trường hợp này, chúng ta có
Giả sử x = x 1 x 2 x 3 /∈ C(α, β) Khi đó x 1 x |β| ̸= β, hoặc x = βy và αy /∈ X Nếu x 1 x |β| ̸= β thì S β ∗ (δ x ) = 0 Nếu x = βy và αy /∈ X thì
Do đó, khi x /∈ C(α, β), ta có
Vì vậy, ta có với mọi x ∈ X thì S β S α ∗ S α S β ∗ (δ x ) =P C(α,β) (δ x ) là đúng, và do đó
Trong bài viết này, chúng ta xem xét đồng cấu π trong Mệnh đề 2.2.2, nhận thấy rằng nó không phải lúc nào cũng trung thành Cụ thể, với A = {a} và X = {a ∞ }, ta có S a (δ a ∞ ) = δ a ∞ = P X (δ a ∞ ), dẫn đến S a = P X trong End R (P) Tuy nhiên, theo [7, Định lý 2.4], chúng ta có s a ̸= p X, chứng tỏ rằng đồng cấu π là không trung thành Để đồng cấu π trong Mệnh đề 2.2.2 trở nên trung thành, cần xem xét khái niệm chu trình không lối thoát Theo Định nghĩa 2.2.3 ([7]), cặp (A, c) được gọi là chu trình nếu A ⊆ r(A, c) và không có lối thoát nếu A = {c ∞ } Cuối cùng, Định lý 2.2.4 ([7]) khẳng định rằng đồng cấu π : Ae R (X) → EndR(P) là trung thành nếu và chỉ nếu X không có chu trình nào không có lối thoát.
Giả sử không tồn tại chu trình nào không có lối thoát, ta có π(γpA) = γPA ≠ 0 với mỗi γ ≠ 0 thuộc R Theo Định lý duy nhất Cuntz-Krieger cho đại số dịch chuyển con, điều này cho thấy rằng π là trung thành.
Ngược lại, giả sử rằng tồn tại một chu trình không có lối thoát (A, c) trong
X Khi đó, với mỗi x ∈ X, ta có
S c P A (δ x ) = [x ∈ A]S c (δ x ) = [x ∈ A]S c (δ c ∞ ) = [x∈ A]δ c ∞ = [x ∈ A]p A (δ x ) và do đó S c P A = P A Vì vậy, π(s c p A ) = π(p A ) Tuy nhiên, theo tính phân bậc của [7, Theorem 2.4], ta thu đượcs c p A ̸= p A , và do đó π không trung thành.
Mệnh đề 2.2.2 chỉ ra rằng đồng cấu π thường không phải là bất khả quy Ví dụ, xét không gian dịch chuyển con X chứa các phần tử y và z, với điều kiện rằng σ n (y) ̸= σ m (z) cho mọi n, m thuộc tập N Giả sử Y là tập hợp con của X.
Y = x ∈ X : σ n (x) =σ m (z) với một số n, m ∈ N vàM làR-môđun con củaP sinh bởi{δ x : x ∈ Y} Từ định nghĩa của P A , S a và
S a ∗ ta cóP A (M) ⊆ M, S A (M) ⊆ M vàS a ∗ (M) ⊆ M với mỗiA ∈ U vàa ∈ A Do đó,M là một môđun con bất biến của π (theo nghĩa là π Ae R (X) (M) ⊆ M
Tập Y cung cấp hướng dẫn về cách xây dựng các thành phần bất khả quy cho biểu diễn π Theo định nghĩa 2.2.6, trong một không gian dịch chuyển con X, hai phần tử x và y được coi là tương đương (ký hiệu x ∼ y) nếu tồn tại các số tự nhiên n và m sao cho σ n (x) = σ m (y).
Lưu ý rằng x ∼ y nếu và chỉ nếu tồn tại c, d ∈ L X và ξ ∈ X sao cho x = cξ và y = dξ.
Quan hệ ∼ theo định nghĩa 2.2.6 là một quan hệ tương đương Đối với mỗi phần tử x thuộc tập X, lớp tương đương của x được ký hiệu là [x] Ta định nghĩa P[x] là R-môđun con của P được sinh bởi tập hợp {δ y : y thuộc [x]} Khi đặt X = e {[x] : x thuộc X}, ta có thể thu được kết quả mong muốn.
Mỗi môđun con P[x] được xác định là một thành phần bất khả quy trong biểu diễn π Theo Định lý 2.2.7, với X là không gian dịch chuyển con và R là một vành, đồng cấu π: Ae R (X) → End R (P) được thiết lập dựa trên Mệnh đề 2.2.2.
(1) Với mọi x ∈ X, môđun con P[x] là π-bất biến, tức là π Ae R (X) P [x] ⊆
(2) Nếu R là một trường thì với mỗi x ∈ X, môđun con P[x] là bất khả quy,nghĩa là không có môđun con 0̸= Y ⊈ P [x] sao cho π Ae R (X) (Y) ⊆ Y.
Chứng minh (1) Chọn x ∈ X và cho y ∈ X sao cho y ∼ x Khi đó, với a ∈ A, ta có S a (δ y ) = [ay ∈ X]δ ay Vậy, S a (δ y ) = 0 ngoại trừ trường hợp ay ∈ X, nói cách khác ay ∼ x (vì ay ∼ y và y ∼ x ) Do đó, π(s a ) P [x] ⊆P [x]
Tương tự, π(s ∗ a ) P [x] ⊆ P [x] và π(p A ) P [x] ⊆ P [x] với mỗi a ∈ A và A ∈ U.
Vì π là một phép đồng cấu, ta có điều cần chứng minh.
(2) Cho x∈ X và 0̸= Y ⊆ P [x] là một môđun con bất biến π Ta cần chứng minh rằng Y = P [x]
Xét y ∈ Y với y = P n i=1 λ i δ x i, trong đó 0 ̸= λ i ∈ R và x i ∼ x với mọi i, với điều kiện x i ̸= x j cho mọi i ̸= j Có thể phân tích x i thành x i = x i 1 x i 2 x i 3 với i thuộc {1, , n} Do x i ̸= x j với mọi i ̸= j, tồn tại m ∈ N sao cho x i 1 x i 2 x i m ̸= x j 1 x j 2 x j m với mọi i, j thuộc {1, , n} và i ̸= j Giả sử à = x 1 1 x 1 2 x 1 m, khi đó, π λ −1 1 pZ à.
(y) = δ x 1 và vì Y là π-bất biến, ta nhận được δ x 1 ∈ Y.
Cuối cùng, chúng ta chứng minh rằng δ z ∈ Y cho mỗi z ∈ [x] Cho z ∈ [x]. Khi đó z ∼x 1 , tồn tại c, d ∈ L X và ξ ∈ X sao cho x 1 = cξ và z = dξ Do đó, π(s d s ∗ c ) (δ x 1 ) =S d S c ∗ (δ x 1 ) = S d S c ∗ (δ cξ ) = S d (δ cξ ) =S d (δ ξ ) =δ dξ = δ z
Do δ x 1 ∈ Y và Y là π-bất biến, ta nhận được δ z ∈ Y Do đó, P[x] ⊆ Y, ta có điều cần chứng minh.
Chúng ta đã chứng minh rằng, với mọi x ∈ X, R-môđun con P[x] là π-bất biến Điều này cho thấy P[x] là một Ae R (X)-môđun trái, với tích trái được xác định bởi à.z = π(à)(z) cho mọi à ∈ Ae R (X) và z ∈ P[x].
A e R (X) P[x] là tập hợp tất cả các Ae R (X)-đồng cấu của P[x] Sau đây, chúng ta mô tả tập hợp này.
Mệnh đề 2.2.8 Cho X là một không gian dịch chuyển con và R là một vành. Khi đó, EndA ˜ R (X) P[x] đẳng cấu với R. Chứng minh Cho φ ∈ EndA ˜ R (X) P[x]
Với y, z ∈ [x], lấy c, d ∈ L X và ξ ∈ X sao cho y = cξ và z = dξ Khi đó, vì φ là một đồng cấu Ae R (X), ta có φ(δ y ) = φ(δ cξ ) =φ(S c S d ∗ (δ dξ )) = φ(S c S d ∗ (δ z )) = S c S d ∗ φ(δ z ).
Do đó, φ = 0 nếu φ(δ z ) = 0 với một số z ∈ [x].
Giả sử rằng φ(δz) ̸= 0 với mọi z ∈ [x], ta có thể viết lại φ(δz) dưới dạng tổng Pn i=1γiδ x i, trong đó x i ∈ [x], 0 ̸= γi ∈ R, và x i ̸= x j với mọi i ̸= j Giả sử rằng x k ̸= z với một số k Xét m ∈ N sao cho chuỗi x k 1 x k 2 x k m ̸= z1z2 zm và chuỗi này cũng khác với mọi chuỗi x i 1 x i 2 x i m, với mọi i ̸= k Đặt α = x k 1 x k 2 x k m, từ đó ta có γ k δ x k = P Z α (γ k δ x k ) = P Z α n.
Trong bài viết này, chúng ta có đẳng thức P Z α (φ(δ z )) = φ(P Z α (δ z )) = 0, trong đó đẳng thức thứ hai đúng do tính bất biến của φlà Ae R (X) Từ đó, chúng ta kết luận rằng δ x k = 0, điều này dẫn đến mâu thuẫn Do đó, với mọi z ∈ [x], ta có φ(δ z ) = γ z δ z với một số γ z ∈ R.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng ánh xạ z → γ z là hằng số Giả sử z ∈ [x] Ta viết x = cξ và z = dξ, trong đó c, d ∈ L X và ξ ∈ X (xem Nhận xét (3.8)) Khi đó, γ x δ x = φ(δ x ) = φ(S c S d ∗ (δ z )) =S c S d ∗ (φ(δ z )) = γ z S c S d ∗ (δ z ) = γ z δ x
Do đúγ z = γ x với mọiz ∈ [x] Ta nhận đượcφ(à) =γ x àvới mọià∈ Ae R (X).
Ta kí hiệu γ x bởi γ φ Khi đó, EndA ˜ R (X) P[x] và R là đẳng cấu bởi ánh xạ
∋ φ 7→ λ φ ∈ R, và chứng minh hoàn tất.
Tiếp theo, chúng ta sẽ đưa ra điều kiện để các biểu diễn bất khả quy của
Ae R (X) cảm sinh bởi các môđun P[x], x ∈ X, được coi là tương đương Định nghĩa về các phép đồng cấu tương đương được nêu rõ: Nếu X là một không gian dịch chuyển con, R là một vành, và M, N là hai R-môđun, thì các R-đồng cấu φ : Ae R (X) → End R (M) và ϕ : Ae R (X) → End R (N) được xem là tương đương nếu tồn tại một đẳng cấu R-môđun.
U : M →N sao cho, với mỗi à ∈ Ae R (X), sơ đồ bờn dưới giao hoỏn.
Cho π : Ae R (X) → End R (P) là phép đồng cấu theo Mệnh đề 2.2.2 Theo Định lý 2.2.7, với mỗi x ∈ X, môđun con P[x] là π-bất biến, do đó hạn chế của π đối với P[x] tạo thành một phép đồng cấu, vẫn được ký hiệu là π Qua đó, chúng ta có một phép đồng cấu mới π : Ae R (X) → End R P [x], là phép đồng cấu không thể giản lược.
Dưới đây chúng tôi mô tả khi nào các phép đồng cấu như vậy là tương đương.
Tính biểu diễn hữu hạn
Trong phần này, chúng tôi mở rộng các kết quả từ [15, Proposition 4.9] cho trường hợp đại số liên kết với không gian dịch chuyển con, từ đó xây dựng các môđun P[p] với p là một đường vô tỷ Định nghĩa 2.3.1 ([12]) chỉ ra rằng, cho X là một không gian dịch chuyển con, một từ p = x0 x1 x2 x3 ∈ X được xem là một đường thẳng nếu Z x0 = {p} và với mọi β ∈ L X cùng k ∈ N, điều kiện β ∞ ̸= xk xk+1 xk+2 phải được thỏa mãn.
Ta ký hiệu P X là tập hợp tất cả các phần tử A ∈ U sao cho A = {p}, với đường p ∈ X.
Trong không gian dịch chuyển con X, một đường vô hạn được định nghĩa bởi một dãy các từ e1, e2, , en thuộc tập A Tập hợp tất cả các đường vô hạn trong X được ký hiệu là p∞ Đối với một đường vô hạn p = e1, e2, , en thuộc p∞ với n thuộc N, ta ký hiệu τ≤n(p) là đường đi hữu hạn e1, e2, , en và τ>n(p) là đường đi vô hạn e(n+1), e(n+2), Nếu p và q là hai đường vô hạn trong X, chúng được coi là tương đương (ký hiệu p∼q) nếu tồn tại các số nguyên không âm m, n sao cho τ>m(p) = τ>n(q) Quan hệ tương đương ∼ trên p∞ rõ ràng tồn tại, và [p] biểu thị lớp tương đương của đường vô hạn p.
Tập hợp Q X bao gồm các phần tử {p} ∈ U, trong đó p không phải là tích của hai phần tử α và β từ tập L X Các phần tử thuộc Q X được gọi là đường vô tỷ, trong khi các phần tử không thuộc Q X được xác định là đường hữu tỷ.
Ví dụ 2.3.3 Cho A = {a, b, c}là một bảng chữ cái có 3 chữ cái, và chox ∈ A ∞ là phần tử x = bcb 2 cb 3 cb 4 c
X = {a ∞ , b ∞ , ax, cx} ∪ {σ n (x) : n ∈ N} là một không gian dịch chuyển con Khi đó, Q X ̸= ∅ vì có chứa {ax} là một đường vô tỷ.
Mệnh đề 2.3.4 Cho K là một trường, X là một không gian dịch chuyển con, và p = e1ã ã ãenã ã ã là một đường vụ tỷ trong X Cho ϵ0 = pZ p và ϵi s e 1 ã ã ãs e i s ∗ e iã ã ãs ∗ e
1 với mọi i ≥ 1 Khi đó, môđun trái S p trên Ae K (X), sinh bởi x với x = ϵ i x với mọi i ≥0 là đơn và đẳng cấu với P[p] Do đó, ta có
Ae K (X) (ϵi−ϵi+1)⊕Ae K (X) (1−ϵ0) trong đó Ae K (X) (1−ϵ 0 ) := nr −rϵ 0 | r ∈ Ae K (X)o.
Chứng minh Ta lưu ý rằng ϵ i ãp = p là cỏc phần tử trong P[p], với mọi i ≥ 0.
Vì P[p] là một môđun đơn trên Ae K (X), P[p] là một ảnh của S p dưới phép ánh xạ gửi x ∈ S p tới p∈ P [p] , và do đó S p khác không.
Giả sử x₀ = p₀ x = x và xᵢ = s * eⁱ với mọi i ≥ 1 Ta có x = s e¹ * eⁱ xᵢ với mọi i ≥ 1 Giả sử y là một phần tử khác không trong Sₚ Vì Sₚ = A eᴷ(X), y có thể được viết dưới dạng y = r x với 0 ≠ r = Pₘᵢ₌₁ kᵢ sᵃᵢ p Aᵢ sᵇᵢ ∈ A eᴷ(X), trong đó m là tối thiểu sao cho kᵢ ∈ K\{0}, αᵢ, βᵢ ∈ Lₓ, Aᵢ ∈ U với mọi 1 ≤ i ≤ m Xét n ≥ max{|βᵢ| | 1 ≤ i ≤ m} + 1 Khi đó ta có yₘ.
Theo tính tối tiểu của m, ta có sα i pA i s ∗ β i s τ ≤n (p) s ∗ τ
≤n (p) ̸= 0 với mọi 1≤ i ≤ m. Đặc biệt, ta có s ∗ β i s τ ≤n (p) ̸= 0 với mọi 1 ≤i ≤ m Khi đó, với mỗi i, tồn tại một đường δi ∈ X sao cho |δ i | ≥ 1, τ ≤n (p) = βiδi Ta suy ra y m
Theo tính tối thiểu của m, các phần tử sα i δ i xn là khác không và đôi một khác nhau, tạo thành các đường đôi một khác nhau với độ dài dương trong X.
Bằng cách đánh số lại các đường α i δ i , không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng p C(ω,α 1 δ 1 ) y = p C(ω,α 1 δ 1 ) (Pk i s α i δ i x n ) = P d i=1 k i s α i δ i x n , trong đó 1 ≤ d ≤ m Chúng tôi lưu ý rằng s ∗ α
1 δ 1 s α i δ i = 0 đối với mọi 2 ≤ i ≤d, và do đó k 1 −1 s τ ≤n (p) s ∗ α 1 δ 1 p C(ω,α 1 δ 1 ) y = k 1 −1 s τ ≤n (p) s ∗ α 1 δ 1 d
Vậy x ∈ L K (G)y, và do đó S p = L K (G)x = L K (G)y Khi đó, S p đơn và đẳng cấu với P[p], ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.3.5 Cho K là một trường và X là không gian dịch chuyển con, với p = e1 ã ã ãe n ã ã ã là một đường vụ tỷ trong X A K (X)-mụđun P[p] sẽ biểu diễn hữu hạn nếu và chỉ nếu tồn tại m sao cho σ m (p) là đường thẳng.
Chứng minh (=⇒) Giả sử P[p] là biểu diễn hữu hạn Theo Mệnh đề 2.3.4,
L∞ i=0A K (X (ϵi −ϵi+1) là tổng trực tiếp hữu hạn, trong đó ϵ0 = pZ p và ϵi s e 1 ã ã ãs e i s ∗ e iã ã ãs ∗ e
1 với mọi i ≥ 1, và do đó tồn tại m sao cho ϵ m = ϵ m+i với mọi i ≥0 Khi đó ta có p C(e m ,ω) = s ∗ e m ã ã ãs ∗ e 1 ϵ m s e 1 ã ã ãs e m = s ∗ e m ã ã ãs ∗ e 1 ϵ m+1 s e 1 ã ã ãs e m = s e m+1 s ∗ e m+1 và p C(ω,e m+1 ) = p C(ω,e m+1 ) p C(e m ,ω) = p C(e m+1 ,ω) s e m+1 s ∗ e m+1 = s e m+1 s ∗ e m+1 = p C(e m ,ω)
Như vậy, C(em, ω) = {C(ω, em+1)} Tương tự, vì ϵm+i = ϵm+i+1 với mọi i ≥ 0, ta thu được C (em+i, ω) = {C(ω, em+i+1)} với mọi i, nói cách khác, tất cả các C(ω, ei) = σ i (p)(i ≥ m) đều là đường thẳng.
(⇐=) Giả sử tồn tạim sao choσ m (p)là đường thẳng Khi đó ta cóϵ m = ϵ m+i với mọii ≥0 Theo Mệnh đề 2.3.4,P[p] biểu diễn hữu hạn, ta có điều cần chứng minh.
Kết quả này mở rộng [15, Proposition 4.9] cho đại số liên kết với không gian dịch chuyển con, chứng minh rằng P[p] có thể được biểu diễn hữu hạn cho mọi đường hữu tỉ p.
Mệnh đề 2.3.6 Cho K là một trường, X là không gian dịch chuyển con và p = π ∞ ∈ L X là một đường hữu tỉ trong X Khi đó P[p] = P [π ∞ ] đẳng cấu với
Ae K (X)-môđun S π sinh bởi x ∈ S π sao cho s π x = x, do đó nó đẳng cấu với
Ae K (X)p C(ω,π) /Ae K (X) p C(ω,π) −s π và biểu diễn hữu hạn.
Chứng minh Ta cú s π ãp= p là cỏc phần tử trongP[p] Vỡ P[p] làAe K (X)-mụđun đơn, P[p] là ảnh của S π dưới ánh xạ gửi x ∈ S π đến p ∈ P [p] , và do đó S π khác không.
Chúng ta lưu ý rằng x = s n π x là các phần tử trong S π đối với mọi n≥ 0, với π 0 := p C(ω,π) Giả sử y là một phần tử không thuộc S π Vì S π = Ae K (X)x, nên y có thể được viết dưới dạng y = rx, với 0 ̸= r = P m i=1 k i s α i p A i s ∗ β i ∈ Ae K (X), trong đó m là số tối thiểu sao cho k i ∈ K\{0}, và α i , β i ∈ L X , A i ∈ U với mọi 1≤ i ≤ m Đặt n là số nguyên dương sao cho |β i | < n|π| với mọi 1 ≤ i ≤ m Do đó, chúng ta có y m.
Theo tính tối tiểu của m, ta có s α i p A i s ∗ β is n π ̸= 0 với mọi 1 ≤ i ≤ m Khi đó, với mỗi i, tồn tại δ i ∈ G ∗ sao cho |δ i | ≥ 1, π n = β i δ i Như vậy ta có y m
Theo tính tối thiểu của m, các phần tử α i δ i x là những yếu tố khác không và đôi một khác nhau trong S π Do đó, α i δ i tạo thành các đường đôi một khác nhau với độ dài dương trong L X.
Bằng cách đánh số lại các đường α i δ i , mà không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng p C ( ω,α 1 δ 1 ) y = p C(ω,α 1 δ 1 ) (Pk i s α i δ i x) =P d i=1 k i s α i δ i x, trong đó
1 δ 1 s α i δ i = 0 đối với mọi 2≤ i ≤ d, và do đó k −1 1 s ∗ α 1 δ 1 pC (ω,α 1 δ 1) y = k 1 −1 s ∗ α 1 δ 1 d
Khi đó ta có x ∈ Ae K (X)y, và S π = Ae K (X)x = Ae K (X)y Do đó, S π đơn và đồng cấu với P[p], ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 2.3.7 Cho E là đồ thị như hình sau, X là không gian dịch chuyển cạnh một phía của E.
Với π = e^(1/ã ã ãe n), ta có α = (e^(1/ã ã ãe n)) ∞, tạo thành một đường hữu tỷ trong Ae K (X) với n > 0 Ae K (X)-môđun P[α] là đơn, biểu diễn hữu hạn và đẳng cấu với Ae K (X)-môđun S π sinh bởi x ∈ S π sao cho s π x = x, do đó nó đẳng cấu với
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề sau.
Bài viết này trình bày các kiến thức cơ bản về đồ thị, siêu đồ thị và đại số liên kết, tập trung vào không gian dịch chuyển con trên bảng chữ cái tùy ý Nội dung được dựa trên nghiên cứu của Boava-Castro-Goncalves-Wyk [2].
Bài viết này trình bày các biểu diễn bất khả quy đã được biết đến trong đại số liên kết, liên quan đến không gian dịch chuyển con, dựa trên nghiên cứu của Goncalves-Royer [7].
(3) Khảo sát tính biểu diễn hữu hạn của các môđun đơn được giới thiệu bởiGoncalves-Royer đã nói ở trên.
[1] D Lind and B Marcus, An Introduction to Symbolic Dynamics and Cod- ing Cambridge University Press, 1995.
[2] G Boava, G G de Castro, D Goncalves, and D van Wyk Algebras of one- sided subshifts over arbitrary alphabets, to appear in Revista Matemática Iberoamericana (see, also arXiv:2211.02148).
W Ott, M Tomforde, and P N Willis explore one-sided shift spaces over infinite alphabets in their 2014 publication, which is part of the New York Journal of Mathematics series This work, found in volume 5 of the NYJM Monographs, is published by the State University of New York at Albany.
[4] X W Chen Irreducible representations of Leavitt path algebras, Forum Math 27 (2015), 549–574.
[5] P Ara and K M Rangaswamy, Finitely presented simple modules over Leavitt path algebras, J Algebras 417 (2014), 333 – 352.
[6] P N Ánh and T G Nam, Special irreducible representation of Leavitt path algebras, Adv Math 377 (2021), 107483.
[7] D Goncalves and D Royer, Irreducible representations of one-side subshift algebras, ArXiv:2306.16179.