Đại Cương Về Phương Trình.pdf

Phương trình là gì Khái niệm: Phương trình là một biểu thức toán học có chứa các biến số và các phép toán, trong đó các giá trị của các biến được tìm kiếm để làm cho cả biểu thức trở

1

TRƯỜNG ĐẠ I HỌC QUY NHƠN

KHOA GIÁO D C TI U H C VÀ M N NON Ụ Ể Ọ Ầ

BÁO CÁO

Môn: Toán h c 4 ọ

Giáo viên hướng dẫn: Phan Thanh Nam

Nhóm sinh viên th c hiự ện: Y Phương

2

I Đại cương về phương trình

1 Phương trình là gì

Khái niệm: Phương trình là một biểu thức toán học có chứa các biến số và các

phép toán, trong đó các giá trị của các biến được tìm kiếm để làm cho cả biểu thức trở thành một phép tính đúng Phương trình thường chứa dấu bằng (=), biểu thị sự bằng nhau gi a hai bi u thữ ể ức

Ví dụ: 11x + 12 = 2019 là một phương trình, trong đó 11x + 12 và 2019 là hai biểu

thức được phân tách b ng dằ ấu “=”

2 Nghi m trên m t tệ ộ ập S của phương trình

- Nghi m cệ ủa phương trình là giá trị (các giá tr ) c a bi n s (các bi n s ) khi thay ị ủ ế ố ế ốvào phương trình làm cho hai vế ủa phương trình bằ c ng nhau P(x)=Q(x)

- Một phương trình có thể có m t nghi m, hai nghi m, , không có nghi m nào ộ ệ ệ ệhoặc có vô s nghiố ệm

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1 hoặc x = 1

- Kí hiệu: ậ T p nghi m cệ ủa phương trình là tấ ảt c các nghi m cệ ủa phương trình đó thường được kí hiệu như sau: S = {a,b, }

- Nghi m trên t p S cệ ậ ủa một phương trình là các giá trị thuộc t p S mà khi thay vào ậphương trình, phương trình trở thành đúng

Cụ thể hơn, nếu ta có một phương trình f(x) =0 và mộ ật t p h p S, thì nghi m trên ợ ệtập S của phương trình là những giá trị x trong t p S sao cho f(x)= 0 ậ

Ví dụ: Nếu phương trình là x^2 - 4 = 0 và t p S là t p h p các s nguyên Z thì ậ ậ ợ ốnghi m trên t p S s là các giá tr c a x trong Z mà th a mãn x^2 - ệ ậ ẽ ị ủ ỏ 4 = 0 Trong trường hợp này, phương trình có các nghiệm là x = 2 và x = -2 C hai giá tr ả ị này đều thuộc tập

số nguyên Z, nên nghi m trên t p Z cệ ậ ủa phương trình là {2,−2}

3

3 Giải phương trình

Khái niệm: Giải phương trình là để tìm ra các nghiệm của nó, đó là những giá trị

mà thỏa mãn đầy đủ các điều kiện quy định bởi các phương trình, bao gồm hai biểu thức kết n i v i nhau bằng d u b ng Khi tìm kiếm nghi m số, một ho c nhi u bi n t ố ớ ấ ằ ệ ặ ề ế ự

do được chỉ định là n s ẩ ố

➢ Các bước giải phương trình

Bước 1: Xác định loại phương trình

Bước 2: Đưa phương trình về ạng đơn giản hơn d

Bước 3: Th c hiự ện các phép biến đổi đồng nhất

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 4 }

4 Phương trình tương đương

Khái niệm: Phương trình tương đương là các phương trình có cùng tập nghiệm

Nói cách khác, hai phương trình được coi là tương đương nếu mọi nghiệm của phương trình này đều là nghi m cệ ủa phương trình kia và ngược lại

Ký hiệu: <=> (đọc là tương đương)

Ví d ụ:

Xét hai phương trình sau:

1) 2x + 4 = 10

2) x + 2 = 5

Hai phương trình này là tương đương vì:

- Nghi m cệ ủa phương trình (1) là x = 3

- Nghi m cệ ủa phương trình (2) cũng là x = 3

Chúng ta có th ể chứng minh điều này bằng cách giải từng phương trình:

Với phương trình (1):

➢ Phương trình dạng ax + b = 0, với a = 0, b ≠ 0 phương trình vô nghiệm

➢ Phương trình dạng ax + b = 0, với a = 0, b = 0 phương trình vô số nghiệm

5

Bước 1: Chuyển v ax = - ế b

Bước 2: Chia hai v ế cho a ta được: x = - 𝒃

𝒂Bước 3: K t lu n nghi m: S = {- ế ậ ệ 𝒃

𝒂 } Tuy nhiên, ở Tiểu h c ta không thọ ể hướng d n h c sinh giẫ ọ ải như trên GV có thể hướng dẫn gi i toán tìm X theo quy t c tìm thành phả ắ ần chưa biết của 4 phép tính ở tiểu học, cụ thể như sau :

+ Phép c ng: ộ

* X + b = c (X: s hố ạng chưa biết; b: số hạng đã biết; c: tổng)

* a + X = c (a: s hố ạng đã biết; X: số hạng chưa biết; c: t ng) ổQuy tắc để tìm X (số ạng chưa biết) : h

S hố ạng chưa biết = T ng ổ – ố s hạng đã biết

6

+ Phép nhân:

* X x b = c (X: th a s ừ ố chưa biết; b: thừa số đã biết; c: tích)

* a x X = c (a: th a s ừ ố đã biết; X: thừa số chưa biết; c: tích) Quy tắc để tìm X : Th a s ừ ố chưa biết = Tích : Th a sừ ố đã biết

* X : b = c (X: s b chia; b: s ố ị ố chia; c: thương)

* a : X = c (a: s b chia; X: s ố ị ố chia; c: thương)

Quy tắc để tìm X : S b ố ị chia = Thương x Số chia

S chia = S b ố ố ị chia : Thương

Phương trình này cũng là một phương trình bậc nhất, nhưng dưới dạng khác, trong

đó ẩn s x không nhân v i h s a mà ch cố ớ ệ ố ỉ ộng ho c tr vặ ừ ới m t sộ ố hằng a

➢ Phương trình cơ bản dạng chuẩn ax + b = 0

Đây là dạng phương trình đơn giản nhất mà chỉ có một ẩn số và được biểu diễn trực tiếp dưới dạng chuẩn ax+b=0 Mục tiêu là tìm x

8

3x – 2x = -6 – 4

x = - 10

➢ Phương trình có chứa dấu ngoặc a(x + b) + c = 0

Phương trình có dấu ngoặc, cần phải thực hiện các phép phân phối (nhân vào trong ngoặc) để đưa về dạng đơn giản hơn

Ví dụ: 2(x +2) + 3 = 0

Giải: Ta nhân 2 vào từng phân tử bên trong dấu ngoặc sau đó cộng các hằng số lại với

nhau và chia hai vế cho 2 để tìm x:

𝟔 3x – 3 + 2x 2 +1= – 𝟏𝟐

𝟔 4x = 16

b Tìm thành phần chưa biết trong phép tính:

Ở lớp 2 (sách chương trình Cánh Diều) và ở l p 3 ớ (sách chương trình Kết nối tri thức), các em được học phương trình bậc nhất một ẩn dưới dạng tìm thành phần chưa biết trong phép tính

Ví dụ: Toán 2 cánh diều bài “ LUYỆN TẬP PHÉP C NG KHÔNG NH Ộ Ớ

d Bài toán thêm, bớt đơn vị:

Ví dụ: Quy n sách c a Lan gể ủ ồm 64 trang, Lan đã đọc được 24 trang H i Lan ỏcòn phải đọc bao nhiêu trang n a thì h t cu n sách? N u g i s ữ ế ố ế ọ ố trang mà Lan chưa đọc hết là x, ta có phương trình: x + 24 = 64

X = 64 – 24

X =40

e Tìm t s ỉ ố phần trăm của hai s : ố

Tìm m t s khi bi t t s ộ ố ế ỉ ố phần trăm của số đó với số đã biết: x = 100 x b 𝑎

trong đó: a là số đã cho; b (%) là tỉ số phần trăm của x và a; x là s c n tìm ố ầ

Ví dụ: Toán l p 5 T p 2 trang 22 Bài 1: ớ ậ

f Tìm độ dài các cạnh c a hình khi bi t chu vi hoủ ế ặc diện tích

chiều dài 130m, chiều rộng là 70m Tính cạnh của hình vuông đó

Lời giải: Chu vi hình chữ nhật là 2 x (130 + 70) = 400m

Chu vi hình vuông = Chu vi hình chữ nhật = 400m

11

Cạnh hình vuông là a = P/4 = 400 : 4 = 100m

g Tìm m t s ộ ố biết khi c ng s ộ ố đó vớ ố ất kì đượi s b c k t quế ả giống ban đầu

Ví dụ: c ng v i s 0 S nào c ng vộ ớ ố ố ộ ới 0 cũng cho kết quả b ng chính s ằ ố đó.( Toán 4 Cánh diều bài 27 “ Các tính chất của phép cộng”

i Bài toán chuyển động:

Tìm quãng đường biết vận tốc và thời gian đi Yếu tố phương trình được thể hiện dưới dạng: s = v × t

Ví d : ụ Một ô tô đi từ thành ph ố A đến thành phố B với vận t c 60 km/h Bi t quãng ố ếđường t ừ A đến B dài 240 km Tính thời gian ô tô đi hết quãng đường

4 Ứng dụng phương trình bậc nhất vào giải bài toán ở tiểu học

a Tìm thành phần chưa biết của phép tính

Ở Tiểu học, học sinh ch ỉ được học được học các phương trình đơn giản dạng: x+a = b (ho c a +x = b); x ặ – a = b; x.a = b (hoặc a.x = b); x : a= b (trong đó a,b là các con số

đã biết) Xen kẽ với quá trình h c, các phép tính s họ ố ọc tương ứng Các phương trình này là cơ sở để tiếp tục giải các phương trình phứ ạp hơn.c t

Ngay t l p 1, hừ ớ ọc sinh đã học quan hệ bằng nhau, h c dùng dọ ấu (=) để ố n i 2 số ( 2 = 2; 3 = 3;…)

(Bài 4 trang 29, sách Toán 1, t p 1 - K t n i tri thậ ế ố ức)

Tiếp đó, khi học các công th c c ng, tr thì các bài t p dứ ộ ừ ậ ạng

4 + = 5; 2 + = 5 v a giúp h c sinh ôn t p công th c c ng, tr m i h c, vừ ọ ậ ứ ộ ừ ớ ọ ừa

là lo i bài tạ ập “tìm số” chưa biết Những kiến thức này là s chu n b cho h c sinh ự ẩ ị ọlàm quen với phương trình

Ở các lớp dưới học sinh bước đầu làm quen với ác phương trình đơn giản, trong đó số chưa biết thường được ký hiệu bằng ô tr ng Ch ng hố ẳ ạn:

Ví d ụ 1:

Bài 4: S ? ố

1 + ? = 2 3 + ? = 5

2 + ? = 4 5 + ? = 6

(trang 59, sách Toán 1, t p 1 Kậ – ết n i tri thố ức)

Chỗ trống thường xuất hi n trong phép c ng và phép tr trong ph m vi 10 Ch ệ ộ ừ ạ ỗ trống

có th bên trái ho c bên ph i dể ở ặ ả ấu “=” Chỗ trống ch ỉ xuất hi n trong dãy phép tính ệ

mà m i bên c a dỗ ủ ấu “=” chỉ có 1 d u phép toán, không xu t hi n trong dãy tính có 2 ấ ấ ệphép toán liên tiếp Luôn điền được duy nh t m t s thsich h p và ch ấ ộ ố ợ ỗ trống để được phép toán đúng Các phép toán luôn trong phạm vi bảng cộng ho c tr các s mà HS ặ ừ ố

(trang 29, sách Toán 2, t p 2 K t n i tri thậ – ế ố ức)

Dạng bài toán này đã có ở lớp 1 và m t s ộ ố bài toán đầu lớp 2, tuy nhiên l p 1, ở ớ

“số cần tìm” là kết quả của một phép toán c thể Khác với trường hợp này: “số ụchưa biết” là một thành ph n c a phép tính ầ ủ

Dạng 9: Tính t ng có dổ ạng S = a1.a2 + a2.a3 + a3.a4 + … + an.an+1

Dạng 10: Tính tổng có dạng S = a1.a2.a3 + a2.a3.a4 + a3.a4.a5 + … +

an.an+1.an+2

Dạng 11: Tính tổng có dạng S = 1 + 23 + 33 + … + n3

Dạng 12: Liên phân số

➢ Phương pháp làm bài toán tính tổng một dãy số

Điền thêm số hạng vào sau, gi a hoữ ặc trước một dãy số

Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy s : ố

+ S hố ạng đứng sau b ng s hằ ố ạng đứng trước nhân với số thứ tự c a nó ủ

+ M i s h ng (kỗ ố ạ ể t sừ ố hạng thứ 2) tr ở đi đều bằng a lần s ố liền trước nó

+ M i s h ng (kỗ ố ạ ể t sừ ố hạng thứ 2) tr ở đi, mỗi số liền sau bằng a l n s ầ ố liền trước nó cộng (tr ) n (n khác 0) ừ

➢ Cách gi i bài toán tính t ng c a dãy s có quy luả ổ ủ ố ật cách đề ớu l p 5

Muốn tính t ng c a m t dãy s có quy luổ ủ ộ ố ật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:

Bước 1: Tính số s h ng có trong dãy: (S h ng l n nh t c a dãy s h ng bé nhố ạ ố ạ ớ ấ ủ – ố ạ ất của dãy): kho ng cách gi a hai sả ữ ố hạng liên ti p trong dãy + 1 ế

Bước 2: Tính t ng cổ ủa dãy: (Số hạng l n nh t c a dãy + s h ng bé nhớ ấ ủ ố ạ ất c a dãy) x sủ ố

Một vài kí hiệu thường dùng:

- ab để chỉ một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục là a, chữ số hàng đơn

vị là b

- abc để chỉ một số tự nhiên có ba chữ số, chữ số hàng trăm là a, chữ số hàng chục

là b, chữ số hàng đơn vị là c

- a00 là số tự nhiên có ba chữ số, chữ số hàng trăm là a, chữ số hàng chục và chữ

số hàng đơn vị đều là 0 (chữ số “không”) Hoặc a00 là số tròn trăm mà chữ số hàng trăm

là a

- ab0 là số tự nhiên có ba chữ số, chữ số hàng trăm a, chữ số hàng

chục là b, chữ số hàng đơn vị là 0 (chữ số “không”) Hoặc ab0 là số tròn chục mà chữ số hàng chục là b

- 𝑎

𝑏 để chỉ một phân số có tử số bằng a, mẫu số bằng b (Với a là số tự nhiên, b là

số tự nhiên khác 0)

- a,b để chỉ một số thập phân có hai chữ số, phần nguyên có một chữ số

- ab,cd để chỉ một số thập phân có bốn chữ số, phần nguyên có hai chữ số a, b; phần thập phân có hai chữ số c, d

- Đối với phép chia thì thực hiện các bước tính từ trái sang phải (lần lượt từ hàng cao nhất đến hàng thấp nhất), mỗi lần như vậy tìm được một chữ số tương ứng

- Trong phép chia có dư thì số dư luôn bé hơn số chia

- Tìm một số hạng chưa biết của tổng hai số

- Tìm số bị trừ chưa biết của hiệu hai số

- Tìm số trừ chưa biết của hiệu hai số

- Tìm một thừa số chưa biết của tích hai số

17

- Tìm số bị chia chưa biết của thương hai số

- Tìm số chia chưa biết của thương hai số

– Số lẻ không chia hết cho 2, ngược lại số không chia hết cho 2 là số lẻ

– Tổng (hiệu) của hai số chẵn là số chẵn, tổng (hiệu) của hai số lẻ là số chẵn – Tổng (hiệu) của một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ

– Tích có một thừa số chẵn là một số chẵn

– Tích của một số nhân với chính nó có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 (không

có tận cùng là 2; 3; 7; 8)

▪ Vận dụng dấu hiệu chia hết của một số tự nhiên

– Những số có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2 Những số chia hết cho 2 thì có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8

– Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 Những số chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0 hoặc 5

– Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 Những số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3

– Những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 Những số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9

– Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4 Những số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4 – Các số chia hết cho cả 2 và 3 thì chia hết cho 6 Các số có tận cùng là số chẵn và tổng các chữ số chia hết cho 3 thi chia hết cho 6

18

– Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8 Các số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 8

– Nếu A × B × C = D thì D chia hết cho mỗi thừa số A, B, C

– Nếu A và B cùng chia hết cho N thì A + B hoặc A - B; B - A cũng chia hết cho N – Nếu A + B chia hết cho N, mà A chia hết cho N thì B chia hết cho N

Ví dụ 1: Tìm một số có ba chữ số, biết rằng nếu chuyển chữ số cuối lên đầu ta được một số lớn hơn 5 lần số đã cho là 25 đơn vị

Giải

Ta có thể giải bài toán này bằng cách phân tích cấu tạo thập phân của số như sau:

• Bước 1: Gọi số cần tìm là abc (a > 0, c > 0; a, b, c < 10)

Dạng 1: Nhận biết một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc

vô hạn tuần hoàn

Phương pháp:

Bước 1: Viết phân số dưới dạng phân số tối giản với mẫu số dương

Bước 2: Phân tích mẫu số ra thừa số nguyên tố

Bước 3: Nếu mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn Nếu mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dạng 2: Viết một phân số hoặc tỉ số dưới dạng số thập phân

Phương pháp:

Để viết phân số a/b dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a:b

Dạng 3: Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng phân số tối giản

Ta cần các kiến thức sau để làm dạng toán này:

+ Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn có chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy,

ví dụ: 0,(21);5,(123);

+ Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp thì chu kỳ không bắt đầu ngay sau dấu phẩy,

ví dụ: 1,5(31);0,01(123);

(phần đứng sau dấu phẩy nhưng đứng trước chu kì gọi là phần bất thường)

* Cách chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số:

❖ Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn

+) Lấy chu kì làm tử

+) Mẫu là một số gồm các chữ số 9 , số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kỳ

Ví dụ: Chuyển 0,(3) sang phân số

Ta có: 0,(3)= 3

9 = 1

3Chuyển 0,(25) sang phân số

Ta có: 0,(25)= 22

59

❖ Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp

21

+) Lấy số tạo bởi phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử +) Mẫu số là số gồm các chữ số 99 và kèm theo là các chữ số 00; số chữ số 99 bằng

số chữ số trong chu kỳ, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường

Ví dụ: Chuyển 0,1(6) sang phân số

+ Viết các số thập phân dưới dạng phân số theo các qui tắc đã học

+ Thực hiện phép tính với các phân số

+ Đưa về dạng tìm x đã biết đối với các bài toán tìm x

e Phương trình bậc nhất thường được dùng để giải các bài toán đố về tuổi

Bài toán: (Trích từ sách toán nâng cao lớp 5, tác giả: Nguyễn Bảo Ngọc – Lê Yến Ngọc)

Tuổi bố gấp 4 lần tuổi con Biết rằng 5 năm nữa tổng số tuổi của hai bố con là 57 tuổi Tính tuổi mỗi người hiện nay

Phân tích bài toán và giải:

Gọi x là tuổi con hiện nay

Tuổi bố hiện nay là 4x

Sau 5 năm nữa, tuổi con là x + 5, tuổi bố là 4x + 5