Bài tập lớn Đề tài quá trình dẫn nhiệt trong vật rắn có hình dạng cổ Điển

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM KHOA KỸ THUẬT HÓA HỌC BÀI TẬP LỚN QUÁ TRÌNH VÀ THIẾT BỊ TRUYỀN NHIỆT ĐỀ TÀI: QUÁ TRÌNH DẪN NHIỆT TRONG VẬT RẮN CÓ HÌNH DẠNG CỔ ĐIỂN GV: Nguyễn Đình Quân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM KHOA KỸ THUẬT HÓA HỌC

BÀI TẬP LỚN QUÁ TRÌNH VÀ THIẾT BỊ TRUYỀN NHIỆT

ĐỀ TÀI: QUÁ TRÌNH DẪN NHIỆT TRONG VẬT RẮN

CÓ HÌNH DẠNG CỔ ĐIỂN

GV: Nguyễn Đình Quân

Sinh viên thực hiện Mã số sinh viên

TP.HCM, năm 2023

Mục lục

I Lý thuyết 2

1 Tường phẳng 2

2 Ống trụ 3

3 Vật cầu 4

II Bài tập ví dụ 7

I Lý thuyết

Phương trình vi phân dẫn nhiệt: ∂t

∂ τ =a ∇2

t+q b

cρ

Xét dẫn nhiệt ổn định và không có nguồn nhiệt bên trong

∂t

∂ τ =0 , q v=0

Phương trình vi phân dẫn nhiệt: 0=∇2

t (a=const )

1 Tường phẳng

- Xét 1 vách phẳng đồng chất và đẳng hướng, chiều dày δ và hệ số dẫn nhiệt λ, vách có chiều rộng rất lớn so với chiều dày, nhiệt độ bề mặt ngoài duy trì không đổi t1và t2 Vậy nhiệt độ chỉ biến thiên vuông góc với bề mặt vách, dẫn nhiệt ổn định 1 chiều

 Phương trình vi phân dẫn nhiệt 0=d

2

t

d x2 ( ¿ )

- Theo định luật Fourier: q=−λgradt=−λ dt

dx=λ

δ(t1 −t2)(W

m2)

Nhiệt lượng truyền qua 1 đơn vị diện tích bề mặt vách trong 1 đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với

hệ số dẫn nhiệt λ và độ chệnh lệch nhiệt độ giữa 2 bề mặt Δt =t1 −t2 và tỷ lệ nghịch với chiều dày vách

Nhiệt trở dẫn nhiệt của vách 1 lớp R=δ

λ

Dòng dẫn nhiệt với vách có diện tích F: Q =F t1−t2

- Điều kiện biên loại 1

Tích phân phương trình (*) tìm được nghiệm t =C1x +C2

x =0 , t=t1⟹ C2=t1

2 | P a g e

x =δ ,t=t2⟹C1 =t2−t1

δ

Thay vào nghiệm t=−t1−t2

δ x +t1 Nhiệt độ phân bố trong tường phẳng chỉ phụ thuộc vào vị trí chiều dày x của vách cần tìm, không phụ thuộc vào hệ số dẫn nhiệt (vật liệu làm vách)

- Hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào nhiệt độ

λ =const khi Δt không quá lớn

λ =λ0(1+bt ) nhưng do sai số không đáng kể q=λ tb

δ(t1 −t2)(W

m2)

(λ tb xác định theo t tb=t1+t2

2 là hệ số nhiệt độ trung bình giới hạn của hai phía)

2 Ống trụ

Xét dòng lưu chất lỏng có nhiệt độ cao chảy từ bên trong một ống có dạng hình trụ rỗng, đường kính trong d1=2 r1và đường kính ngoài d2=2 r2, nhiệt độ bề mặt vách trong t1 và vách

ngoài t2 không thay đổi Trong khoảng nhiệt độ cho, hệ số dẫn nhiệt của vật liệu làm váchλ có giá trị không đổi

 Nhiệt độ, t =t (r )

 Chiều dài ống L (m)

 Diện tích ống có bán kính r : F =2 πrL(m2)

Phương trình vi phân dẫn nhiệt

∇2

t=∂

2

t

∂ r2 +1

r

∂ t

∂ r+1

r2

∂2

t

∂ φ2 +∂

2

t

∂ z2 =0 ¿

Trục Oz bố trí trùng với trục ống, trong trường hợp L rất lớn so với d, nhiệt độ trong vách chỉ thay đổi theo phương bán kính và trường nhiệt độ là trường 1 chiều

∂2

t

∂ z2 =0 và ∂ t ∂ z=0

Do điều kiện biên loại 1 nên mặt đẳng nhiệt là những mặt trụ đồng trục với ống và nhiệt độ không biên thiên theo

∂2

t

∂ φ2 =0 và ∂ t ∂ z=0

Phương trình vi phân có dạng đơn giản ∂2t

∂ r2 +1

r

∂t

∂ r=0( ¿ ∗ ¿ ) Theo định luật Fourier, nhiệt lượng truyền qua mặt trụ F

ln(d2

d1)(t1 −t2)(W )

Mật độ dòng nhiệt truyền qua bề mặt vách ống

q L=Q

L= t1−t2

1

2πLln(d2

d1)=

t1−t2

m2 )

Trong đó R= 1

2πLln(d2

d1) gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách trụ 1 lớp với 1 đơn vị chiều dài

Đưa biến số mới vào (**): u=dt

d2

t

d r2=du dr và 1r ∂ t ∂r=u

r

dr+u

r=0

Tích phân phương trình trên thu được lnu lnr+ =ln C1⇔ur =C1

dr r =C1⇒ dt =C1

dt

r¿

Tích phân (****) có nghiệm t =C1lnr +C2

r =r1⇒ t =t1=C1 lnr1 +C2

r =r2⇒ t =t2=C1 lnr2+C2

C1 =t1−t2

ln(r1

r2) và C2=t1−(t1−t2 ) lnr

ln(r1

r2)

4 | P a g e

Thay vào nghiệm t =t1 −(t1−t2 )

ln(d

d1)

ln(d2

d1)

Sự phân bố nhiệt độ trong vách trụ

t −t2

t2 −t1

=

ln(d

d1)

ln(d2

d1)

3 Vật cầu

Hình 1.3.1

- Xét một vật rắn có dạng hình cầu với khối lượng riêng ρ, nhiệt dung riêng c, và bán kính ngoài cùng R Diện tích của vật cầu bình thường theo hướng của sự truyền nhiệt tại bất kỳ điểm nào được tính theo công thức A =4 π r2

, trong đó r là giá trị bán kính tại điểm đó Cần chú ý rằng diện tích truyền nhiệt Acũng phụ thuộc vào r trong trường hợp này và do đó nó thay đổi tùy theo vị trí Bằng cách xem xét một phần tử vỏ hình cầu mỏng có độ dày ∆ r và lặp lại phương pháp mô tả ở trên cho hình trụ bằng cách sử dụng A =4 π r2 thay vì A =2 π rL, ta được phương trình dẫn nhiệt nhất thời một chiều cho

hình cầu (hình 1.3.1) là:

- Độ dẫn nhiệt : 1

r2

∂

∂r(r2

k ∂ T

∂r)+ ˙e gen =ρc ∂ T

∂t (1.3.1) Trong trường hợp độ dẫn nhiệt là một giá trị không đổi thì phương trình được rút gọn thành:

1

r2

∂

∂r(r2∂ T

∂r)+˙e gen

α

∂T

∂ t (1.3.2) Trong đó, α =k / ρc là độ khuếch tán nhiệt của vật liệu.

Phương trình có thể tiếp tục được thu gọn trong các điều kiện đặc biệt sau

 Trạng thái ổn định (

∂ t=0): 1

r2

d

dr(r2dT

dr)+˙e gen

k =0 (1.3.3)

 Trạng thái tạm thời, không sinh nhiệt ( ˙e gen=0):

1

r2

∂

∂r(r2∂ T

∂r)=1

α

∂ T

∂t (1.3.4)

 Trạng thái ổn định, không sinh nhiệt (∂ t ∂ =0∧ ˙e gen=0 ¿ :

d

dr(r2dT

dr)=0 (1.3.5)

Hoặc có thể viết thành:

d2

T

d r2 +2

e

dT

dr=0 (1.3.6)

Trong đó một lần nữa chúng ta thay đạo hàm riêng bằng đạo hàm thông thường trong trường hợp dẫn nhiệt ổn định một chiều

Hình 1.3.2

- Tại điều kiện biên giống như hình 1.3.2, ta được 2 điểm là:

+ T=T w 1 tại r =r1

+ T=T w 2 tại r =r2

Đặt μ=dT

dr (a)

Thì dμ dr=d

2

T

d r2 (b)

6 | P a g e

Thế (a) và (b) vào phương trình (1.3.6), ta được:

2

r μ+dμ

dr=0 (c)

Tách biến (c) bằng cách nhân (c) với dr

μ sẽ được:

2dr

r +dμ

μ=0 (d)

Tích phân (d) được lnμ =−2 lnr+lnC hay μ=C1

r2

Thay μ vào (a) được

dT

dr=C1

r2 hay dT =C1

dr

r2 (e) Tích phân (e) lên sẽ được: T=−C1

Để xác định C1, C2 từ điều kiện biên ta có:

T w 1=−C1

r1

+C2 và T w 2=−C1

r2

+C2

Từ đó suy ra:

C1 =−T w 1 −T w 2

1

r1

−1

r2

; C2 =

−T w 1

r1

−T w 2

r2

1

r1

−1

r2

(1.3.7) Cuối cùng có được nghiệm là:

T=T w 1−T w 1 −T w 2

1

r1

r2

(1

r1

−1

r) (1.3.8) Phân bố nhiệt độ trong vách cầu là một đường cong hyperbol Cuối cùng, ta được dòng nhiệt qua vách cầu là:

Q= T w1 −T w 2

1

2πk

d2−d1

d1d2

=∆ T w

m2 ) (1.3.9)

II Bài tập ví dụ

Bài 1:

Một ống thép không gỉ có thành dày (k = 19 W/m°C), có đường kính trong 2(cm) và đường kính ngoài 4(cm) được phủ một lớp cách nhiệt Amiăng dày 3(cm) (k = 0,2 W/m°C) Nếu nhiệt độ thành trong của ống và nhiệt độ bên ngoài của Amiăng được duy trì lần lượt ở mức 600°C và 100°C

a) Tính tổn thất nhiệt trên một mét chiều dài

b) Tính nhiệt độ bề mặt phân cách của ống cách nhiệt

Tóm tắt:

d1=2 cm=0,02m ;

d2=4 cm=0,04m;

d3=3+ 2 d2 =10cm=0,1m;

t1=600 ℃ ;t2=100℃

Giải:

a Tổn thất nhiệt trên mỗi mét chiều dài ống:

1

2π λ1

ln(d2

d1)+ 1

2π λ2

ln(d3

d2)

8 | P a g e

¿ 600−100 1

2π 19 ln(0,04 0,02)+ 1

2π 0,2 ln( 0,1 0,04)=680,3

W m

b Nhiệt đồ bề mặt phân cách của ống cách nhiệt:

t2 =t1 − q

2π λ1

ln(d2

d1)

¿ 600 −680,3

2π 19ln(0,04 0,02)=596,05 ℃

Bài 2:

Tường ngoài của một ngôi nhà xây bằng một lớp gạch thông thường dày 0,1 m (k = 0,7 W/m°C), sau đó là lớp thạch cao dày 0,04 m (k = 0,48 W/m°C) Nên thêm lớp cách nhiệt bằng bông đá được nén lỏng dày bao nhiêu (k = 0,065 W/m°C) để giảm 80% tổn thất nhiệt hoặc qua tường?

δ1=0,1 m;

λ2 =0,48 W

δ2=0,04 m;

λ3 =0,065 W

δ3=? m⟹ q2=0,2.q1

Giải:

q1 = ∆ t

δ1

λ1

+δ2

λ2

δ1

λ1

+δ2

λ2

+δ3

λ3

q2=0,2 q1⟺

δ1

λ1

+δ2

λ2

=

δ1

λ1

+δ2

λ2

+δ3

λ3

(0,1 0,7)+(0,04 0,48)=

1

(0,1 0,7)+(0,04 0,48)+( δ3

0,065)⟹ δ3=0,059 m

Bài 3:

Xét một hình cầu có bán kính trong r1=8 cm,bán kính ngoài r2=10 cm, và độ dẫn nhiệt

không đổi lần lượt là T1=200 °C và T2=80 °C do một số phản ứng hóa học xảy ra bên trong Xác định tốc độ mất nhiệt từ bình chứa

Giải:

Từ công thức 1.3.9, ta có:

Q= T w 1 −T w 2

1

4πk

r2 −r1

r r1 2

1

4π 45

0,1 − 0,08 0,1.0,08

=27,1(kW )

10 | P a g e