Sự hình thành dao Động sóng mật Độ của ngưng tụ bose einstein trong bẫy Điều hoà ba chiều

ting để nghiên cứu về vật chất ngưng tụ trong thể giới vi mô và khám phá các hiện tượng vào năm 1925 sau khi tham khảo công Tir dé dén nay, da o6 rit nhiều nghiên cứu lý thuyết cũng như

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG DẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HỖ CHÍ MINH KHOA VATLY

MAI HÀ PHƯƠNG UYÊN

Để tài

SỰ HÌNH THÀNH DAO ĐỘNG SÓNG MẬT ĐỘ CỦA NGUNG TY BOSE - EINSTEIN TRONG BAY DIEU HOA BA CHIE!

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

‘Thanh phố Hỗ Chí Minh, 05 ~ 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

‘TRUONG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO C1 KHOA VATLY

ĐỀ tài

SỰ HÌNH THÀNH DAO ĐỘNG SÓNG MẬT ĐỘ CỦA NGUNG TY BOSE - EINSTEIN TRONG BAY DIEU HOA BA CHIEU

“Thuộc tổ bộ môn: Vật lý lý thuyết

KHOÁ LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHẠM NGUYÊN THÀNH VINH

“Thành phố Hồ Chí

inh, 05 ~ 2024

(Quá tình thực hiện khóa luận đổi với tôi phải tải qua rắt nhiễu khó khăn Để hoàn thiện được khóa luận, tôi đã nhận được n u sự động viên, giúp đỡ, hướng dẫn định hướng tối rong suốt quá tình nghiên cứu, Do đó, ôi xin gửi đến mọi người lời cảm ơ chân thành, nhất thông qua khóa luận nà

Đâu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Phạm Nguyễn Thành Vinh đã tận tình hướng dẫn và định hướng cho tôi trong suốt quá tình nghiên cứu và thực hiện khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy Cô khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm

‘Thanh phổ Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm trong suốt quá trình theo học tại trường, Tôi xin gửi lời cảm ơn đến chị Lê Ngọc Uyên, nh Bình Hiểu và các thành viên

trong nhóm nghiên cứu AMO đã hỗ trợ và tạo động lực cho tôi trong suốt quá trình học tập

tại trường cũng như trong qu tình làm khóa luận

Cuối cùng, tôi vô cùng biết gia đình đã luôn tin tưởng, động viên và tạo diễu kiện

để tôi tập trung học tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp tại trường Đại học Sư phạm

Thành phổ Hồ Chí Minh

Trân trọng

“Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2024 Tác giả

Mai Hà Phương Uyên

DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIỆT TÁT

1.2, Phương trình Gross — Pitaevskii mô tả ngưng tụ Bose ~ Einstein 6

'CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN

3.1 Phương pháp thời gian ảo 10 3.3, Phương pháp tách toán tử "

CHUONG 3 KET QUÁ NGHIEN COU

3.2 Động lực học BEC khi thay đổi tằn số hàm thể 16 3.3 Bong lve hoe BEC khi thạy đổi cường độ tương tá 8 3.4, Động lực học BEC khi thay đổi

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIÊN 1g thoi hàm thể và cường độ tương tác 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO

BEC | Bose ~ Einstein Condensate ‘Neung ty Bose ~ Einstein

“Trạng thái cơ bản của hệ BBC

Sự thay đổi mật độ củn bệ BEC theo tho gin trong mặt phẳng x ~ z khi thay đổi ấn số hàm thể

Sự thay đổi mật độ của hệ BEC theo thời gian trong mặt phẳng x ~ z

khi thay đổi cường độ tương tác

Su thay đổi mật độ của bệ BEC theo thời gian trong mặt phẳng x~ y hoà øí(,)=ej (T+005n(10/5ø//)}

và cường độ tương tác ¢, ()= 4 (1+0.02sin(20%,1))

Sự thay đổi mật độ của

BEC theo thoi gian rong một phẳng x~ ý (t=065sn(to/5s/2))

khi tẫn số hàm thể điều hod (7)

vã cường độ tuomg tie g, (1) = ¢'(1+0.02sin(20%))

m các boson

'Ngưng tu Bose — Einstein (BEC) là hiện tượng xảy ra khi một hi được làm lạnh ở nhiệt độ ắt thấp (khoảng dưới 10* K) Khi phần lớn các hạ tổn tại ở trạng

vu thể, Dựa trên trường rung bình, hệ các boson có thể được mô tả bằng một hàm sóng

duy nhất Nghiên cứu lý thuyết về BEC có ý nghĩa sâu sắc trong vật lý, như cung cắp nền

ting để nghiên cứu về vật chất ngưng tụ trong thể giới vi mô và khám phá các hiện tượng vào năm 1925 sau khi tham khảo công

Tir dé dén nay, da o6 rit nhiều nghiên cứu lý thuyết cũng như thực nghiện về BBC được công bổ, chẳng hạn như việc Hình thành slFound sig lượng tử, sự bắn định

đều xoay quanh sự hình thành sóng mật độ và quá trình chuyển pha của BEC Các phương

pháp khác nhau để tạo sống mật độ đã được để xuất, ê biên có thể kể đến là tuy đổi

phương thẳng đúng, iệc truyền dẫn dao động theo sóng ngang cũng tạo nên các mode dao

động trên bề mặt chất lòng như nghiên cứu được công bổ

n đây bởi nhóm nghiên cứu tại

Nhật Bản [16] Tuy nhiên việc kết hợp cùng lúc hai mode dao động bằng cách thay đổi

tẩn số của hàm thể và thay đổi tương tác dẫn đến sự cộng hưởng dao động và hình (hành hạt ngưng tụ Bose ~ Einsein

'Với những đánh giá nêu trên, chúng tôi thực hiện để tải “Sự hình thành đao động

sóng mật độ của ngưng ty Bose ~ Einslen trong bẫy điều hoà ba chiều” với mục đích

thành sóng mật độ trên BEC Nội

nghiên cứu điều kiện kết hợp các mode dao động

dung khoá luận gồm 3 chương:

“Chương 1 Cơ sở lý thuyết: trình bày về hiện tượng BEC đối với khí lý tưởng có nội

tương tác dựa tên lý thuyết thống kẻ và phương trình GP mô tả hệ BEC

“Chương 2 Phương pháp tính toán: tình bày vẻ phương pháp tính toán giải số

phương trình GP mô tả hệ BEC một thành phn,

Chương 3 Kết quả nghiên cứu: tình bày về kết quả mô phòng hệ BEC trong thé

điều hòa ba chiều, sau đó khảo sát các mode dao động khác nhau Cuối cùng chúng tôi kết

hợp hai mode dao động và

thể điều hòa ba chiều n hành khảo sắt sự thay đi của sóng mật độ của BEC trong

4 Hign trong ngung ty Bose — Einstein

sn khi hệ boson được làm lạnh đến nhiệt BEC la trạng thi vật chất đặc biệt xuất

ỗi, Ở điều kiện này, bầu hết các boson trong hệ đền

cực thấp, gần bằng độ không tuyệt

chiếm đóng cùng trạng thái có mức năng lượng thấp nhất, dẫn đến sự xuất hiện của các

vĩ ác hạt boxe không tuân theo nguyên lý loi trừ Panli như các hạt fermi Trong khi các các bosonlại có th tập trùng và tổn ti trong cùng một trạng th, tạo nên tính đồng nhất

“¿1 ~|?S£ ‡ Ved tie YZ

"Hình 1.1, Sơ đồ mô tả cơ chế ngưng ty Bose — Einstein [17] (a) Tinh chất hạt của các hạt

trong hệ: Các hạt có vị tí và xung lượng xác định (b) Tỉnh chất sóng của các hạt rong hệ: Các hạt được xem như các bó sóng (twave packets) có kích thước được đặc trưng bởi bước sóng nhiệt

de Broglie Ay (c)Khinhigt độ hạ thấp tính chất sóng trở nên nổi tội, bước són nhiệt dc

'ruglie lớn hơn nhiều so với khoảng cách tự do trung bình giữa các hạt (đ)Ở gần 0 K, các bạt có chung một hàm sóng duy nhất gọi him song vim We.)

3

B, Cơ sở vậtlý thẳng kê của ngưng tự Bose — Einstin

“Xết hệ boson lý tưởng không tương tác ở trạng thái cân bằng nhiệt động với thể hoá học z/ Ở nhiệt độ tuyệt đối 7 bắt kì

6 hat trung bình ở trạng thấi tuân theo thông kế

"Ngoài ra, tông số hạt Á' còn có thể được tính thông qua hàm mật độ trạng thái ¢(£) mang

Ý nghĩa là số trạng thái khả dĩ ứng với mức năng lượng E

Vi cde hat bi gi hạn trong không gian có thể tích nên động lượng bị lượng tử hoá và có dạng

'Năng lượng trong trường hợp phi tương đối tính

p?+ pị + p` PE a(n ent en ay A yan Ề + (14)

Vậy số trạng thái có mức năng lượng từ É đến E +4 hay hàm mật độ trạng thái ứng

với mức năng lượng E có biểu thức là

dN (2m)

(6) = =auy(2) Jg 16 st#) (#) tro

Khi số lượng hạt đủ lớn và xét mức năng lượng thấp nhất E,„, =Ö Khi này số hạt wong

trạng thái kích thích được xác định như sau

4

Nhiệt độchuyển pha hay nhiệt độ tới hạn 7 được ác định là nhiệt độ cao nhất mà

„ tất cá các hạt đều đạt trạng thái đó

tại đó trạng thái có năng lượng thấp nhất xuất hi

(trạng thái cơ bản) Số hạt trong trạng thái kích thích tại nhiệt độ T < T, đạt giá trị lớn nhất

khi thể hoá học „=0, nghĩa là

Khi xế tại nhiệt độ tối hạn Tẹ, tất cả A hại đều đạt trang thái kích thích Do đồ, tổng

số hạt N còn có thể được tính bằng cách thay T=T, trong biểu thức (1.10)

mk {r ry LH men) nay

CCác phương tình (1.12), (I-13), (1.14) cho ta biết thông tin về số hạt đạt cũng một

trạng thái tại điều kiện nhiệt độ nhất định Trong lý thuyết và thực nghiệm, khi hé boson

dạt được nhiệt độ rất gằn O K (eụ th là đưới 10 K tong các thí nghiệm [2], [18)) sẽ xuất

hiện hiện tượng BEC

1.2 Phuong trinh Gross ~ Pitaevskii m6 ta ngung ty Bose ~ Einstein Trong trường hop thye té, Khe véi hg boson ly twimg không có nội tương tác, hệ

boson thực có sự tương tác giữa các hạt và tương tắc giữa các boson trong BEC Ia khong

đồng nhất Đối với hg boson không lý tưởng, lý thuyết Bogoliubov được sir dung dé x:

đựng trường tương tác của hệ bằng toán tử hàm sóng [19]

Ÿứ)=W,(r)+ðWŒ), (115)

trong đó, W, (r) là hàm sóng ban đu tại thời điểm ¿ và thành phẩn nhiễu loạn nhỏ ở #(r)

Khi hệ BEC ở nhiệt độ rất thấp (khoảng 10° dén 10° K), ta có thể xem gắn đúng hệ tương đương với hệ khí đủ loãng (mật độ tại tâm ngưng tụ khoảng 10” đến IÚ” cm `) và bỏ qua

thành phần nhiễu loạn ở`P(r) Về phương diện vật lý, hầu hết số lượng boson của hệ được

ngừng tụ ở cùng một trạng thái lượng tử

Phương trình GP là một công cụ mô phỏng mạnh mẽ để nghiên cứu hành vi của

BEC trong bẫy điều hoà ba chiều và trong các điều kiện khác nhau Bằng cách giải phương

tình này và phân tích kế quả, chúng ta có th hiễ rõ hơn vỀ các hiện tượng như sự hình thành sóng mật độ và các ính chất quan trọng khác của BEC,

Toán tử Hamilon tổng quát mô tả hệ BBC có dạng như sau

ASP Sia) ALS ele rÌ) (116) Trong đó số hạng đầu tiên ở về phải là động năng của hat thir , s6 hang thứ hai thể hiện sắc tắc động bên ngoài được tạo ra bởi hàm thể , và số hạng cuối cùng là sự tương tác

Đối với hệ Ñ hạt, mỗi hạt có hàm sóng ÿ, áp dụng phép gin đúng trường trung,

bình, nghĩa là đối với một hạt, tắt cả các hạt còn lại có cũng trang thái độc lập |} Bằng

cách này, năng lượng tự do được

|)=ly)®|y)® -®|y), với ® là tích tensor, |Ÿ) là hàm sóng tch tensor AY hạt và thiểu hoá qua không gian của các hàm

{(W|') =1 Phép tính gần đúng này chí áp dụng cho hệ ngưng tụ đủ loãng và các tương tác giữa các hạt gần nhau mạnh hơn đáng kể so với các hạt 6 xa [20] TLúc này năng lượng tự do trở thành

r()=(Y|ä|)— ii) aus)

Xem ự và ` là hai biến độc lập, ta thu được các đạo hàm

6 lle \

Phương trình GP không phụ thuộc thời gian (1.28) được sử dụng để mô tả trang thé

sơ bản hay còn gọi là trạng thi nh của hệ BEC

“Tương tự, áp dụng trường trung bình và phương pháp biến phân phương trình GP"

duge giới thiệu và sử dụng để xác định và mô tả hàm sóng của BEC kin đầu tiên vào năm

1961 (21), [22], Phuong trình GP phụ thuộc thời gian có dạng,

“Trong đó, fr¿) là hàm sông vĩ mô của hệ nguyên tử BEC;

VŒ,z) là hàm thé của bẫy đặt vào hệ BEC;

« là cường độ tương tắc giữa các hạt rong hệ

“Trong khoá luận này, chúng tôi thực biện giải số phương trình GP để mô phỏng sự tiến hoá của hàm sóng (E/) theo thời gian để khảo sắt sự hình thành sóng mật độ của

khoá luận này được trình bày cụ thể ở Chương 2

vi V(r) =Em( ox? +0)" +0 (e.)=4m(o3r +0)

‘Dé thyc hiện giải số phương trình GP, chúng tôi đưa phương trình (2.1) đưa về dạng

Không thứ nguyên bằng cách đặt

fe

te0r, a, 2008, rary" aan Pa

sau dé chúng tôi chia hai về của phương trình (2.1) cho bex, `2 để thụ được phương trình

+V'@)+|f(euŸ ye] là to từ tiến hoá theo

thời gian Hàm sóng “(F'¿”) thu được bằng cách tác dụng toán tử tiễn hoá theo thời gian

cho ham song ban du ¥"(r',f,) 1a nghiệm của phương trình GP dừng

2) =(— g2 +w2(r)+ g1“ P Eff(g)=(-29'+V'(v)+ejW(r)' W0) G3

“Thực hiện giả số phương ình (24) ằng phương pháp thôi gian áo (được tình bùy

tại Mục 2.1), chúng tối thu được hàm sóng tạ trạng thái cơ ban / (r) Từ đó, chúng tôi

sử dụng phương pháp tách toán tử (được trình bày tại Mục 2.2) để thu được W“(r,£)

221- Phương pháp thời gian âo

Phương pháp thời gian áo là một công cụ quan trọng trong nghiên cứu vật lý lượng

tử được phát triển từ năm 1986 bởi hai nhà khoa học Israel Kosloff và Tai - Ezer và được

sử dụng rộng rãi trong việc giải phương trình Schrodinger đừng với độ chính xác cao [23L

“Xét hệ bạt đang ở rạng thái chẳng chập của các trạng tái riêng

với W2 (r') là các hàm riêng ứng với toán tử Hamilon #?'= Ê_ +V'(r')+ g'JW*(r.r)Ÿ,

|C,l là xác suất ôm thấy hạt ở trạng thái và tho điều kiện chủ nhoí Š]C,Ê =1

"Ta đã biết, hàm sóng phụ thuộc thời gian có dạng

Phuong pháp tách toán tử là một kỹ thuật phổ biến được sử dụng để giải quyết các

bài toán trong cơ học lượng tử liên quan đến sự tiễn hoá theo thời gian của các hàm sóng Phương pháp này dựa trên ý tưởng chia nhỏ toán tử tiễn hóa theo thời gian thành các phin nhỏ hơn ứng với những khoảng thời gian nhỏ hơn,

Khi Ar’ đủ nhỏ thì các giá trị trong dấu tích phân của phương trình (2.3) được xem như không đối Khi đó phương trình (2.3) được viết li thành

W (rt) =exp = (Ravers 8 wens ore) 29)

` phải của phương trình (29) có thé tích thành tích ia hai toán tabu dang sa:

W(r¿)=e| -iar(v'(r) + wr(rsJ]]ss[= )y ta) (2.10)

exp|-iar (vey epe(ew’y)| giúp cho việc tính toán được thực hiện nhanh hơn bởi thành phẫn toán tử xung lượng được tách riêng biệt Việc tách như vậy giúp cho quá trình

*n tử không gian top độ sang không gian xung lượng Tác dụng ần lượt các toán tử

thành phần ở về phải của phương trình (2.10) lên hàm sóng 'f“(r'(,), ta thu được giá trị

cửa W(rz)

Đo hàm sống (2.10) phụ thuộc vào toạ độ nên khi thành phần toán ừ xung lượng

on, wy "| tức dụng lên hàm sóng sẽ tạo ra một chuỗi vô hạn các đạo hàm theo không,

ian cia him Ý/(,) Do đổ, ti đây chúng ôi sử dụng phương pháp biến đổi Fourir

xuôi được sử dụng để chuyển hàm sóng 'f”(r°,,) từ không gian toạ độ sang không gian

xung lượng

W.(p)= | (ru k "rán an)

"